# data[].attributes.body
Великий німецький вчений А. Ейнштейн писав про себе: "Мені подобається свій час ділити між політикою і рівняннями. Але рівняння, на мій погляд, набагато важливіші тому, що політика існує до якогось моменту, а рівняння будуть існувати вічно."

# data[].attributes.headline
Квадратні рівняння.

# data[].attributes.subject
Квадратні рівняння.

# data[].attributes.body
WikipediA

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Квадра́тне рівня́ння - алгебраїчне рівняння виду

де ,

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.[1]

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрата, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв'язком цього рівняння:

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 р. до н.е..

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння і позначимо через а через Тоді воно матиме такий вигляд:

отже за теоремою Вієта:

Якщо рівняння має корені і то їх можна знаходити за формулами:

і

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

Якщо сума і добуток чисел і дорівнюють відповідно і , то і - корені рівняння

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

Оскільки 7 (вільний член) - це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара - −7 і −1. Отже:

До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду , зробивши заміну . Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

Зробимо заміну :

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

Маючи значення легко знайти корені початкового рівняння:

Золотий перетин можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння .

Рівняння кола і інших конічних перетинів - еліпса, параболи, і гіперболи - є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому косинусі або синусі кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

Теорема Декарта стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх радіуси задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

Теоремою Фаусса визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом кола вписаного в біцентричний чотирикутник і радіусом описаного кола та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола зовні-описаного чотирикутника[en] .

Розв'язування рівнянь другого степеня, зокрема й квадратних, у стародавні часи було викликане потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли розв'язувати вавилоняни близько 2000 років до н. е. Серед клинописних текстів було знайдено приклади розв'язування неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лише вказівки щодо знаходження коренів рівнянь, але не зазначено, як вони були виведені. Однак, незважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язування рівнянь.

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах "Арифметика" він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

Правило знаходження коренів рівняння, зведеного до вигляду уперше дав індійський вчений Брахмагупта.

Аль-Хорезмі описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 - 1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

1. ↑ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"

2. Washington, Allyn J. (2000). ↑ Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X.

3. Sterling, Mary Jane (2010). ↑ Algebra I For Dummies. Wiley Publishing. с. 219. ISBN 978-0-470-55964-2. Архів оригіналу за 8 Лютого 2021.

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при . Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

де - sign-функція. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Корені рівняння

є також нулями функції

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли , графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути розкладена на множники за такою формулою:
, де - корені цього рівняння.

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння

яке визначає чітко визначений алгоритм, який можна використати для розв'язку квадратного рівняння.[2] Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, ax ² + bx + c = 0

1. Розділимо кожну його частину на a, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.

2. Віднімемо сталу c/a з обох частин рівняння.

3. Додайте квадрат половини значення b/x, до обох частин рівняння. Це "доповнює квадрат", перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.a, коефіцієнта при

4. Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.

5. Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши квадратний корінь у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.

6. Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння 2 x ² + 4 x − 4 = 0

Подвійний знак плюс-мінус "±" означає, що обидва варіанти x = −1 + √3 і x = −1 − √3 є розв'язками квадратного рівняння.[3]

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавілоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як вимірювання площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Індія

Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії "Аріабхаттіам", написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім , можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа - його коефіцієнти, при чому також називається першим коефіцієнтом, - другим, - вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

або два різних дійсних корені,

або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),

або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як та або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: і .)

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо , то перетворюється у лінійне рівняння . Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

Рівняння виду рівносильне рівнянню і тому завжди має тільки один корінь .

Рівняння виду розв'язується винесенням за дужки : . Таке рівняння має два корені:

Квадратне рівняння виду рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два дійсних розв'язки, якщо - жодного дійсного. Отже, якщо знаки коефіцієнтів різні, то додатнє і рівняння має два корені. Якщо знаки коефіцієнтів однакові, число від'ємне і не має дійсних коренів.

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Повні квадратні рівняння розв'язуються за допомогою дискриміна́нта ( лат. diskriminans - розрізняючий), який позначається латинською літерою .

Помноживши обидві частини рівняння на , дістанемо:

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

Якщо , то квадратне рівняння рівносильне рівнянню , звідки

або

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед . Коротко ці корені записують так:

, де

Якщо , то , звідки - єдиний корінь (точніше - два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

де :

Приклад:

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці - . Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на :

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Учасники проектів Вікімедіа

# data[].attributes.attachment_link.title
Квадратне рівняння — Вікіпедія

# data[].attributes.attachment_link.description
Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

# data[].attributes.headline
Класифікація квадратних рівнянь.

# data[].attributes.subject
Класифікація квадратних рівнянь.

# data[].attributes.headline
Опорна с хема.

# data[].attributes.subject
Опорна с хема.

# data[].attributes.headline
Розв’язання квадратних рівнянь за допомогою Онлайн калькулятора.

# data[].attributes.subject
Розв’язання квадратних рівнянь за допомогою Онлайн калькулятора.

# data[].attributes.body
Швидше ніж думка!

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
квадратне рівняння

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
корені квадратного рівняння

# data[].attributes.attachment_link.title
Онлайн калькулятор. Розв'язання квадратних рівнянь

# data[].attributes.attachment_link.description
Онлайн калькулятор. Розв'язання квадратних рівнянь.