# data[].attributes.body
Matematikboken Z

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Boken Blir världen bättre? har sedan 2005 spridits i mer än 100.000 exemplar till skolor, organisationer, kommuner och privatpersoner. Nu finns en uppdaterad version med information om de Globala målen.
Den är författad av samma huvudförfattare som förra gången, Staffan Landin och Mikael Botnen Diamant. Boken innehåller fakta om den globala utvecklingen, en oväntat stark utveckling i Afrika söder om Sahara samt kapitel om hållbar utveckling och de Globala målen.

Dessutom kan du läsa hur det gick för Millenniemålen som skulle nås fram till år 2015. Hur långt kom vi? Vilka mål nåddes och vilka områden gick för långsamt? Dessutom kan du läsa om de Globala målen för hållbar utveckling, som tog över efter Millenniemålen 1 januari 2016.

Du kan beställa boken gratis hos utbudet.se och gratisiskolan.se så länge lagret räcker. Du kan också ladda ner boken som PDF längre ner på sidan.

Lärare kan också med fördel ta del av det skolmaterial som tagits fram till boken, skapat av Den globala skolan i samarbete med UNDP.

# data[].attributes.attachment_link.description
Boken Blir världen bättre? har sedan 2005 spridits i mer än 100.000 exemplar till skolor, organisationer, kommuner och privatpersoner. Nu finns en uppdaterad version med information om de Globala målen. Den är författad av samma huvudförfattare som förra gången, Staffan Landin och Mikael Botnen Diamant.

# data[].attributes.body
Intressant gymnasiematematik

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
2013-11-12 Av Simon Rybrand 0 kommentarer

I det första inlägget om kombinatorik skrev jag om vad kombinatorik är och vilka typer av frågor som denna del inom matematiken svarar på. Nu tänkte jag att vi tar det här ett steg till och fortsätter att se fler principer. Nu skall vi kika på multiplikationsprincipen och additionsprincipen.

Multiplikationsprincipen - Antalet val du kan göra i följd

Om du skall göra ett val efter ett eller flera andra val så är det multiplikationsprincipen som används. Den säger nämligen följande:

"Om ett första val kan göras på x olika sätt och nästa val på y olika vis så kan de bägge valen göras på x⋅y sätt om de görs efter varandra. Gäller även för flera än 2 val i följd."

Vi kan ta ett exempel på detta.

På hur många sätt kan du dra 3 kungar på raken om du plockar 3 kort på raken i en kortlek med 52 kort?

Det första valet kan göras på 4 olika sätt, det andra på 3 olika sätt (tur som vi har så har vi ju redan dragit en kung) och det sista på 2 olika sätt.
För att beräkna det totala antalet val så får vi enligt multiplikationsprincipen beräkna 4⋅3⋅2 = 24. Det finns alltså 24 olika sätt att dra 3 kungar på raken ur en kortlek med 52 kort.

Multiplikationsprincipen kan också kombineras med additionsprincipen, men innan vi gör det behöver vi gå igenom vad just denna säger.

Additionsprincipen - Val från en grupp ELLER en annan grupp

Nyckelordet när det gäller additionsprincipen är ordet "eller". Det är nämligen när vi gör val från en grupp eller en annan grupp som additionsprincipen kommer till användning. Den säger följande:

"Om man väljer ett föremål från en grupp med x föremål ELLER ett föremål från en grupp med y föremål så kan detta göras på x + y sätt."

Här handlar det alltså om val av ett visst antal föremål från en samling föremål eller en eller flera samlingar av föremål. Vi tar ett enkelt exempel på detta.

Du kastar 2 tärningar. På hur många sätt kan du få summan 2 eller 3 när du kastar två kast?

Man kan få summan 2 på ett sätt. Man kan få summan 3 två sätt. Enligt additionsprincipen kan man få summan 2 eller 3 på 1 + 2 = 3 olika sätt.

Multiplikationsprincipen och additionsprincipen kombinerade

Det är också ganska vanligt att dessa två principer kombineras med varandra. Låt oss ta ett exempel även på detta.

Du skall välja kläder att ha på dig under dagen. I en garderob finns det 3 par byxor och 4 T-shirts och i en annan garderob finns det 8 par byxor och 10 T-shirt. På hur många sätt kan du välja en byxa och en T-shirt om du väljer från den ena garderoben eller den andra garderoben?

Här kan vi enligt multiplikationsprincipen välja klädesplagg på 3⋅4 = 12 sätt från den första garderoben och 8⋅10 = 80 olika sätt från den andra. Additionsprincipen ger att det finns finns 12 + 80 = 92 olika val om vi väljer från den första eller den andra garderoben.

Läs mera

# data[].attributes.attachment_link.description
2013-11-12 Av Simon Rybrand 0 kommentarer I det första inlägget om kombinatorik skrev jag om vad kombinatorik är och vilka typer av frågor som denna del inom matematiken svarar på. Nu tänkte jag att vi tar det här ett steg till och fortsätter att se fler principer.

# data[].attributes.attachment_link.description
Det finns en säker vinnare i spel, och det är den som håller i vadslagningen, arrangören. Alla typer av spel fungerar egentligen likadant. Av den totala insatsen på ett visst spel så behåller alltid arrangören en viss del, och endast en del delas ut i vinst.

# data[].attributes.body
Här kan du läsa och repetera om statistik

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det här avsnittet ska vi repetera hur vi använder en frekvenstabell, hur vi räknar med medelvärde och median, och hur vi tolkar diagram.

Frekvenstabeller

En skolklass med 10 elever har haft ett prov, som innehöll 6 stycken uppgifter.

Antalet uppgifter som de 10 eleverna svarade rätt på var:

$$ 5,\,3,\,5,\,3,\,2,\,4,\,6,\,2,\,2,\,4$$

För att få en bättre uppfattning om skolklassens resultat, kan vi använda oss av en frekvenstabell, vilket är en tabell där vi skriver in antalet rätta svar och hur många elever som hade just så många rätta svar ( frekvensen).

Då kan vi få en tabell som ser ut så här:

Till exempel kan vi läsa av i frekvenstabellen att 2 elever hade rätt på 4 stycken frågor.

Vi kan också vilja beräkna den relativa frekvensen. Den relativa frekvensen anger i vårt fall hur stor andel av eleverna som hade ett visst antal rätta svar.

Vi utökar vår frekvenstabell, så att den också innehåller den relativa frekvensen för vart och ett av antalet rätta svar:

Medelvärde och median

När vi har en uppsättning värden vill vi ofta ha en sorts sammanfattning av ungefär hur stora dessa värden är. Då har vi användning för så kallade lägesmått. Vi ska nu repetera två mycket vanliga lägesmått: medelvärde och median.

Medelvärdet får vi genom att vi summerar alla våra värden och sedan dividerar med antalet värden. Vi använder därför den här formeln för att beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{summan\,av\,värdena}{antalet\,värden}$$

I vårt tidigare exempel med antalet rätta svar på ett prov i en skolklass, kan vi beräkna medelvärdet för antalet rätta svar, så här:

$$medelvärde=\frac{summan\,av\,värdena}{antalet\,värden}=$$

$$=\frac{3\cdot {\color{Magenta} 2}+2\cdot {\color{Magenta} 3}+2\cdot {\color{Magenta} 4}+2\cdot {\color{Magenta} 5}+1\cdot {\color{Magenta} 6}}{10}= $$

$$=\frac{6+6+8+10+6}{10}=$$

$$=\frac{36}{10}=3,6$$

Medelvärdet var alltså 3,6 rätta svar. Vi säger att eleverna i genomsnitt hade rätt på 3,6 uppgifter.

Medianen får vi genom att vi sorterar värdena i storleksordning och väljer ut det mittersta värdet. Om det är ett jämnt antal värden finns det inte ett enda värde som hamnar i mitten, så då beräknar vi medianen som medelvärdet av de två värden som ligger närmast mitten.

I exemplet med antalet rätta svar på ett prov i skolklassen, sorterar vi värdena så här:

$$ 2,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4,\,5,\,5,\,6$$

Eftersom det är ett jämnt antal värden, 10 stycken, beräknar vi medianen som medelvärdet av de två mittersta talen:

$$ 2,\,2,\,2,\,3,\,{\color{Red} 3},\,{\color{Red} 4},\,4,\,5,\,5,\,6$$

Medianen blir därför

$$ median=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5$$

Tolka diagram

Diagram används för att skapa en överblick över de värden man kommit fram till i en undersökning. Vi ska nu öva på att tolka diagram, vilket är bra att kunna eftersom information ofta presenteras i form av diagram.
Temperaturen mellan måndag och fredag
I det här linjediagrammet visas hur temperaturen har varierat under fem dagar, från måndag till fredag.

Tolka diagrammet och beräkna medelvärdet och medianen för temperaturen under de fem dagarna.
Lösningsförslag:
Vi läser av de fem dagarnas temperatur (i °C) i diagrammet: 10, 9, 12, 10, 14.

Därefter är det lätt att beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{10+9+12+10+14}{5}=\frac{55}{5}=11$$

Medelvärdet är alltså 11 °C.

För att beräkna medianen sorterar vi först värdena i storleksordning: 9, 10, 10, 12, 14.

Eftersom vi har ett udda antal värden, 5 stycken, blir medianen lika med det mittersta värdet, som är 10 °C.

Alltså är med medelvärdet 11 °C och medianen 10 °C.
Biobesök
I det här cirkeldiagrammet visas hur stor andel av eleverna i en skolklass som gått på biobesök ett visst antal gånger under det senaste året. I skolklassen går 20 stycken elever.

Tolka diagrammet och beräkna medelvärdet och medianen för antalet biobesök det senaste året.
Lösningsförslag:
I diagrammet kan vi läsa av hur många procent av eleverna som gått på bio olika antal gånger. Det är den relativa frekvensen som vi kan läsa av i diagrammet. Eftersom vi vet hur många elever det finns i klassen (20 stycken) kan vi räkna ut hur många elever som varje del av cirkeln motsvarar.

Till exempel kan vi läsa av att 25 % av de 20 eleverna inte har gått på bio någon gång under det senaste året, så antalet elever som det motsvarar är

$$ 25\,\%\cdot 20=0,25\cdot 20=5$$

På motsvarande sätt kan vi räkna ut hur många elever som gått på bio 0, 1, 2, 3, 4 respektive 5 gånger, vilket vi kan skriva ner i en frekvenstabell.

När vi nu känner till frekvensen kan vi beräkna medelvärdet:

$$ medelvärde=\frac{5\cdot {\color{Magenta} 0}+3\cdot {\color{Magenta} 1}+4\cdot {\color{Magenta} 2}+2\cdot {\color{Magenta} 3}+5\cdot {\color{Magenta} 4}+1\cdot {\color{Magenta} 5}}{20}=$$

$$=\frac{0+3+8+6+20+5}{20}=$$

$$=\frac{42}{20}=2,1$$

Vad vi har beräknat här är att medelvärdet vad gäller antal biobesök det senaste året var 2,1 biobesök. Eleverna i klassen gick alltså på bio i genomsnitt 2,1 gånger under det senaste året.

Hur beräknar vi medianen?

Medianvärdet är det mittersta värdet som vi skulle hitta om vi sorterade alla våra värden i storleksordning. Eftersom det är 20 stycken värden (20 stycken elever) så är vi ute efter det 10:e och det 11:e värdet, som vi ska beräkna medelvärdet av för att få medianen.

Vi kan hitta detta värde med hjälp av frekvenstabellen. Är värdena sorterade i storleksordning, då finns de 9:e, 10:e, 11:e och 12:e värdena på den tredje raden i frekvenstabellen, den rad som visar hur många elever som gått på bio 2 gånger.

Medianen är därför lika med 2 biobesök under det senaste året.

Om vi hade ställt upp alla de 20 värdena sorterade i storleksordning hade vi fått precis samma median.

Videolektioner

Här går vi igenom frekvens och relativ frekvens.

Här går vi igenom medelvärde.

Här går vi igenom medelvärde och frekvenstabell.

Här går vi igenom median.

Här går vi igenom typvärde.

# data[].attributes.attachment_link.title
Statistik (Årskurs 9, Statistik och sannolikhet) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det här avsnittet ska vi repetera hur vi använder en frekvenstabell, hur vi räknar med medelvärde och median, och hur vi tolkar diagram. En skolklass med 10 elever har haft ett prov, som innehöll 6 stycken uppgifter.

# data[].attributes.attachment_link.description
talar om hur troligt det är att något skainträffaett tal som talar om hur troligt det är attnågot ska inträffaInger Bäckström, Burträsk

# data[].attributes.attachment_link.title
Matematik i SOL-studion Sannolikhet Träddiagram 3

# data[].attributes.attachment_link.description
Träddiagram - Dragning utan återläggning