# data[].attributes.body
La phase au point M, à une distance R
\Phi_{S}\left(M \:, t\right) = \omega.t - k.R + \varphi

Si on se deplace de ∂l vers le haut, on se trouve à une distance R +∂R de la source.

\:R^2 + \left(\partial \:l \right)^2 = \left(R + \partial \:R \right)^2 \approx R^2 + 2.R.\partial R

\Rightarrow \:R^2 + \left(\partial \:l \right)^2 \approx R^2 + 2.R.\partial R

\Rightarrow \partial R \approx \frac{\left(\partial l\right)^2}{2.R}

La difference de phase est:
\partial \Phi = \Phi_{S}\left(M' \:, t\right) - \Phi_{S}\left(M \:, t\right) = -k.\partial R \approx - \frac{\pi.\left(\partial l \right)^2}{\lambda .R}

Et
\frac{\pi.\left(\partial l \right)^2}{\lambda .R} \ll \pi

\Rightarrow \partial \:l \ll \sqrt{\lambda.\:R}

# data[].attributes.headline
Aproximation d'une onde sphérique par une onde plane

# data[].attributes.subject
Aproximation d'une onde sphérique par une onde plane

# data[].attributes.body
\partial \:l \ll \sqrt{\lambda.\:R}

# data[].attributes.body
Les surfaces d'onde sont des sphères

# data[].attributes.headline
Fonction d'onde sphérique sinusoïdale complexe

# data[].attributes.subject
Fonction d'onde sphérique sinusoïdale complexe

# data[].attributes.body
\widetilde{f}\left(\vec{r},\:t\right)=\frac{1}{r}Ãe^{i\left(\omega .t\:-\:\vec{k}.\vec{r}\right)}

avec \:Ã = A.e^{i\varphi_{0}}

# data[].attributes.body
C'est  la vitesse à laquelle se « déplace » la phase .

v_{\varphi }=\frac{\omega }{\left|\:k\right|\:}\:=c

# data[].attributes.body
Le plan orthogonal au vecteur k est appelé le plan d'onde.

# data[].attributes.body
\:\frac{\omega ^2}{c^2} = \|\vec{k}\|^2

# data[].attributes.headline
Fonction d'onde plane sinusoïdale complexe

# data[].attributes.subject
Fonction d'onde plane sinusoïdale complexe

# data[].attributes.body
\widetilde{f}\left(\vec{x},\:t\right)=Ãe^{i\left(\omega .t\:-\:\vec{k}.\vec{x}\right)}

avec \:Ã = A.e^{i\varphi_{0}}

# data[].attributes.body
Une onde plane ne dépend que de x

\:c^2 \frac{\partial^2X}{\partial x^2} = \frac{\partial^2X}{\partial t}

# data[].attributes.body
\:c^2\:\left(\frac{\partial \:^2f\left(\vec{x},\:t\right)}{\partial \:\:x^2}\:+\frac{\partial \:^2f\left(\vec{x},\:t\right)}{\partial \:\:y^2}\:+\frac{\partial \:^2f\left(\vec{x}\:,\:t\right)}{\partial \:z^2}\right)=\:\frac{\partial ^2f\left(\vec{x}\:,\:t\right)}{\partial \:t}

# data[].attributes.body
Une combinaison linéaire de deux ondes est aussi une onde.

# data[].attributes.body
\widetilde{f}\left(x,\:t\right)=Ãe^{i\left(\omega .t\:-\:k.x\right)}

avec \:Ã = A.e^{i\varphi_{0}}

# data[].attributes.body
\Phi\left(x,\:t\right) = \omega .t\:-\:k.x\:+\varphi

\Phi\left(x,\:t\right) = \varphi_{0}

\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi = \varphi_{0}

x = \frac{\omega}{\:k}.t + \frac{\varphi - \varphi_{0}}{\:k}

v_{\varphi } =\frac{d}{dt}\left(\frac{\omega }{\:k}.t\:+\:\frac{\varphi \:-\:\varphi _0}{\:k}\right)\:=\:\frac{\omega \:}{\:k}

# data[].attributes.body
\lambda = c.T

# data[].attributes.body
\Phi\left(x,\:t\right) = \omega .t\:-\:k.x\:+\varphi

# data[].attributes.body
f\left(x,\:t\right)=A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right)

f\left(\Phi\left(x,\:t\right)\right) = A.cos\left(\Phi\left(x,\:t\right)\right)
Où:

\Phi\left(x,\:t\right) = \omega .t\:-\:k.x\:+\varphi

# data[].attributes.body
Onde progressive:

\:k > 0 \Rightarrow \:k\:= + \frac{w}{c}

Onde régressive:

\:k > 0 \Rightarrow \:k\:= - \frac{w}{c}

# data[].attributes.body
L'équation d'Alembert est valable pour toutes le ondes.
Soit:
f\left(x,\:t\right)=A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right)
On injecte f dans l'equation d'Alembert:

\:c^2 \frac{\partial^2f\left(x,\:t\right)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2f\left(x,\:t\right)}{\partial t}

\Rightarrow \:- c^2 k^2 A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right) = \:- t^2 A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right)

\Rightarrow \:- c^2 k^2 f\left(x,\:t\right) = \:- t^2 f\left(x,\:t\right)

\Rightarrow k^2\:=\:\frac{\omega ^2}{c^2}\:

# data[].attributes.body
k^2\:=\:\frac{\omega ^2}{c^2}\:

\Rightarrow \:k\:=\pm \frac{w}{c}

# data[].attributes.body
\:k \:=\:\frac{2\pi }{\lambda}

\lambda = \:\frac{2\pi}{\left|\:k\right|}

# data[].attributes.body
\omega \:=\:\frac{2\pi }{T}

\nu \:=\:\frac{1}{T}

\omega \:=\:2\pi \nu

# data[].attributes.body
Si :
f\left(x,\:t\right)=f\left(x\:-\:ct\right)
Alors :
\left(\:x_1-c.t_1\right)=\left(x_2-c.t_2\:\right)\:\Rightarrow \:x_1+c.\left(\:t_2\:-\:t_1\right)\:=\:x_2\:\:\Rightarrow \:\:x_2\:>x_1

x croissants

# data[].attributes.body
f\left(x,\:t\right)=A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right)

\Leftrightarrow \:f\left(x,\:t\right)=A.cos\left(-\text{k}.\left(\text{x}\:-\:c.t\right)\:+\:\varphi \right)

# data[].attributes.body
Une onde sinusoïdale a pour formule:
f\left(x,\:t\right)=A.cos\left(\omega .t\:-\:k.x\:+\varphi\right)

# data[].attributes.body
Une fonction est celle d'une onde  si :

pour les x croissants

f\left(x,\:t\right)=f\left(x\:-\:ct\right)

pour les x décroissants

f\left(x,\:t\right)=f\left(x\:+\:ct\right)

# data[].attributes.body
\:c^2 \frac{\partial^2X}{\partial x^2} = \frac{\partial^2X}{\partial t}

# data[].attributes.body
Lorsqu'une perturbation se propage à partir de sa source en fonction du temps, dans les différentes directions spatiales du système, sans que les constituants du milieu subissent un mouvement d’ensemble, il s’agit d’une onde.