# data[].attributes.attachment_link.entities[].name
Tetraedro De Origami / Origami Tetrahedron

# data[].attributes.attachment_link.description
Projekt "Matematyczne origami" zrealizowany w roku szkolnym 2014/15 w Gimnazjum z Oddziałami Dwujęzycznymi nr 1 w Kłodzku

# data[].attributes.body
Przykład sześcianu

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Origami powstało w VI w. n. e. w Chinach, mimo to nie Chiny lecz Japonia jest uznawana za kolebkę sztuki składania papieru.

W Japonii origami pojawiło się już w VII w. za sprawą mnichów, którzy wraz z umiejętnością produkcji papieru zaszczepili u Japończyków zamiłowanie do jego składania.

Korzenie sztuki origami

Początkowo sztuka ta była związana z kultem i grzebaniem zmarłych. Chińczycy mieli w zwyczaju obdarowywać zmarłych przedmiotami przypominającymi im życie ziemskie. Przedmioty takie - najczęściej ceramiczne - wkładano do grobowca zmarłej osoby. To z kolei prowokowało ludy barbarzyńskie i uboższe do aktów bezczeszczenia miejsc spoczynku przodków. Ceramikę wkrótce zastąpiono papierowymi składankami.

Tradycyjne modele były robione z kolorowego papieru, często przy użyciu nacięć, choć istniały figurki robione bez potrzeby nacinania. Do dziś można w Chinach zaopatrzyć się w charakterystyczny „pogrzebowy" papier do składania lub w gotowe figurki.

fot. Rafał Sabat

Tradycyjna figurka, przedstawiająca słonia

Tradycja składania papieru była początkowo przekazywana drogą ustną z pokolenia na pokolenie. Najstarsze znane nam dokumenty pisane o origami pochodzą z przełomu XVII/XVIII w. Origami w Chinach i Japonii zakorzeniło się w tradycji i kulturze. Zdecydowana większość Chińczyków i Japończyków zna na pamięć przynajmniej kilka figurek. Charakterystycznym tego przykładem jest rok 1976, kiedy tysiące Chińczyków spontanicznie uczciło pamięć zmarłego premiera, robiąc papierowe kwiaty i składając je pod jednym z pomników.

Rozpowszechnienie sztuki origami w Europie i na świecie

W Europie origami pojawiło się najpierw w Hiszpanii. Później bardzo szybko rozprzestrzeniło się również na inne kraje. Do jednego z wczesnych eksperymentatorów europejskiego origami zalicza się samego Leonardo da Vinci.

Doniosłą rolę odegrała Europa w XIX i XX w., kiedy sztuka ta zaczęła być dostrzegana również jako środek wspomagający wszechstronny rozwój dziecka. Zaczęto wprowadzać więc zajęcia z origami w system edukacji.

Origami na dobre podbiło jednak świat dopiero dzięki pracy Akira Yoshizawa. Człowiek ten jako pierwszy w latach 50-tych XX wieku zaczął tworzyć własne, oryginalne kompozycje
(do jednych z najbardziej znanych należą chińskie znaki zodiaku). To i wiele innych jego inicjatyw doprowadziło origami do nieprawdopodobnego rozwoju oraz popularności.

fot. Rafał Sabat

Tradycyjna kusudama origami

Współczesna sztuka origami

XX wiek przyniósł również stabilizację w sprawie reguł origami. Wcześniej reguły były płynne - nie przypisywano im większego znaczenia. Trudno też się temu dziwić skoro przez wieki bazowano na tradycyjnych składankach, których sposób wykonania był od stuleci jasno określony. W XX w. reguły uległy zaostrzeniu. Olbrzymią rolę odegrali w tym entuzjaści z Europy i USA. Ustalono, że punktem wyjścia będzie kwadratowa kartka papieru. Nie można przy tym korzystać z kleju, nożyczek ani dodatkowo ozdabiać figurek poprzez malowanie.

fot. Rafał Sabat

Róża origami - autor Toshikazu Kawasaki

Współczesne reguły są mniej lub bardziej przestrzegane. Chociaż o ile zastąpienie kwadratu trójkątem, prostokątem nie wydaje się niczym zdrożnym, to korzystanie z nacięć czy kleju jest absolutnie niedopuszczalne.

Jak pokazuje historia, zaostrzenie reguł spowodowało jedynie gwałtowny rozwój sztuki origami. Ograniczenie stało się wyzwaniem dla ludzkiej wyobraźni, motywując do tworzenia jeszcze precyzyjniejszych modeli. Na całym świecie powstają najprzeróżniejsze i najbardziej wymyślne wzory. Trudno bowiem dokładnie ustalić granice możliwości jakie niesie z sobą jedna kartka papieru.

tekst: Tomasz Smołka

Do opracowania historii origami korzystałem z następujących materiałów:
Robert Lang, A Brief History of Origami, w: John Montroll, Origami Sculptures, New York 1990, s. 8-9. Florence Temko, History o Paperfolding, w: Tenże, Paper Pandas and Jumping Frogs, [b.m.w.] 1998, s. 123-126. Dorota Dziamska, Smoki i inne papierowe cuda, Poznań 1997, s. 7-11.

# data[].attributes.attachment_link.description
Origami powstało w VI w. n. e. w Chinach, mimo to nie Chiny lecz Japonia jest uznawana za kolebkę sztuki składania papieru. W Japonii origami pojawiło się już w VII w. za sprawą mnichów, którzy wraz z umiejętnością produkcji papieru zaszczepili u Japończyków zamiłowanie do jego składania.

# data[].attributes.attachment_link.title
Zrób sobie choinkę | Wrocławski Portal Matematyczny - Matematyka jest ciekawa

# data[].attributes.attachment_link.description
Do wykonania modelu potrzeba kilku (co najmniej 5) kwadratowych kartek, najlepiej w różnych odcieniach zieleni, choć można też wykonać choinkę bajecznie kolorową. Im więcej kartek, tym model będzie wyższy i bardziej okazały. Wielkość kartek jest dowolna. Każda kolejna powinna być mniejsza niż poprzednia.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wielościany origami wykonuje najczęściej w technice modułowej, tzn. przygotowuje się jednakowe elementy (moduły), z których potem składa się zadaną figurę (o czym można przekonać się, analizując inne modele opisane w tym dziale). Pojedyncze moduły mogą odpowiadać wierzchołkom, ścianom (np. moduły sonobe lub Bascetty) lub krawędziom wielościanów. O odpowiednich modelach mówimy wtedy, że to wierzchołkowce, krawędziowce lub ścianowce. Kręciołek jest modułem wierzchołkowym, a wykonane zeń modele należą do najefektowniejszych.

Autorem modułu kręciołkowego i techniki łączenia tych elementów w modele jest znany origamista Herman Van Goubergen. W budowie modułu wyróżniamy wierzchołek oraz części odpowiadające krawędziom wielościanu schodzącym się w tym wierzchołku. Najprostszy wariant modułu kręciołkowego wykonujemy z kwadratowej kartki papieru, otrzymując wierzchołek i wychodzące z niego cztery spiralki, co odpowiada wierzchołkowi wielościanu rzędu 4. Z takich modułów możemy wykonać modele wielościanów o ścianach różnych kształtów, byleby w każdym ich wierzchołku schodziły się cztery krawędzie (mogą to być zatem: ośmiościan foremny, sześcio-ośmiościan, sześcio-ośmiościan rombowy mały, dwunasto-dwudziestościan i dwunasto-dwudziestościan rombowy mały - wszystkie możesz obejrzeć w Galerii wielościanów).

Jak wykonać pojedynczy moduł

Najlepiej wykorzystać do tego biurowy bloczek kolorowych, kwadratowych karteczek (są dostępne w różnych kolorach, gramaturach papieru i rozmiarach). Wszystkie powinny być tej samej wielkości, której wybór zależy od składającego, jednak trzeba pamiętać, że wykonanie modułu ze zbyt małego formatu jest trudne, a ze zbyt dużego - daje mało efektowny model.

Uwaga! Wszystkie spiralki muszą być zwinięte w tę samą stronę.

Łączenie elementów początkowo może wydać się dość trudne, ale szybko można dojść do wprawy. Wystarczy wsunąć jedną w drugą spiralki z sąsiadujących modułów, które chcemy połączyć, i dokręcić je razem. Należy zwrócić uwagę, by w jednym wirze nie pojawiły się dwie spiralki z tego samego modułu.

Spiralki skręcamy po kilka, w zależności od tego, jaki kształt ściany chcemy uzyskać. Dwa skręcone moduły tworzą odcinek, trzy utworzą trójkąt równoboczny, cztery - kwadrat, a pięć - pięciokąt foremny. Wielokąty te są jednak nieco zniekształcone przez skręcanie spiralek i trzeba chwilę przyjrzeć się z uwagą, aby dostrzec je w gotowych modelach.

Po wykonaniu odpowiedniej liczby (kilku, kilkunastu lub kilkudziesięciu modułów), łącząc je w ściany należy uformować wybraną bryłę. Na początku wymaga to trochę cierpliwości i wyobraźni, ale z czasem dochodzi się wprawy i zadanie nie jest wcale trudne.

Jak zrobić sześcio-ośmiościan rombowy mały

Przygodę z kręciołkami proponuję zacząć od wykonania modelu opisanego poniżej. Co prawda do zrobienia ośmiościanu i sześcio-ośmiościanu potrzebnych jest mniej modułów, jednak właśnie z tego powodu ich wykonanie jest trudniejsze, ponieważ wymaga "naciągania" modelu. Po najechaniu myszką na zdjęcia poniżej - zobaczysz więcej.

Oto szkielet, który musimy "wypełnić" modułami.

Zaczynamy od zbudowania kwadratowej ściany z 4 modułów.

Dokładamy 2 moduły i otrzymujemy drugą kwadratową ścianę.

Budujemy w ten sposób pierścień składający się z 8 kwadratowych ścian.

Dokładamy 1 moduł (zakręcony na trzech sąsiednich spiralkach) i otrzymujemy trójkątną ścianę.

Dodajemy kolejny moduł, dzięki któremu powstają następne dwie ściany: kwadratowa i trójkątna.

Po dołożeniu kolejnych dwóch modułów, otrzymujemy warstwę składającą się z ułożonych na przemian trójkątnych i kwadratowych ścian. Na szczycie modelu utworzyła się jeszcze jedna kwadratowa ściana.

Odwracamy model "do góry nogami" i analogicznie budujemy warstwę składającą się z trójkątów i kwadratów. Pierwszy trójkąt należy zbudować na kwadracie, który po przeciwnej stronie też miał dobudowany trójkąt.

Poniżej prezentujemy wszystkie możliwe do wykonania w tej technice modele. Liczba w nawiasie informuje, ile modułów potrzeba do wykonania danego wielościanu (jest to zawsze liczba jego wierzchołków).

Film pokazujący, jak połączyć moduły, aby powstał dwudziesto-dwunastościan można obejrzeć tutaj.

Podobnie do modułów wykonanych z kwadratowych karteczek można zrobić moduły z kartek w kształcie trójkąta równobocznego lub pięciokąta foremnego. Powstaną z nich modele wielościanów (na zdjęciach poniżej) o wierzchołkach odpowiednio rzędu 3 lub 5 (co oznacza, że w każdym wierzchołku schodzi się 3 lub 5 krawędzi), co pozwala uzupełnić galerię kręciołkową o kolejne modele wielościanów platońskich i archimedesowych. Możliwe jest też łączenie w jednym modelu modułów wykonanych z karteczek różnych kształtów, a to pozwala na wykonanie wszystkich wielościanów Johnsona.

Moduły kręciołkowe można dodatkowo modyfikować wg własnej inwencji, np. robiąc zakładki lub wgniatając wierzchołki "do środka". Oto modele wykonane według projektów Krystyny Burczyk.

Bibliografia
Krystyna Burczyk, Kręciołki, Zabierzów 2003.
Krystyna Burczyk, Kręciołki kręcone inaczej, Zabierzów 2003.
http://www1.zetosa.com.pl/~burczyk/modele/m1-00.htm
http://www.origami.friko.pl/kreciolki/index.php
http://www.britishorigami.info/academic/curler.php

# data[].attributes.attachment_link.description
Wielościany origami wykonuje najczęściej w technice modułowej, tzn. przygotowuje się jednakowe elementy (moduły), z których potem składa się zadaną figurę (o czym można przekonać się, analizując inne modele opisane w tym dziale). Pojedyncze moduły mogą odpowiadać wierzchołkom, ścianom (np. moduły sonobe lub Bascetty) lub krawędziom wielościanów.