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Una funzione iniettiva (o ingettiva) è una funzione che ad elementi distinti del dominio associa elementi distinti del codominio. Nel caso di una funzione reale di variabile reale, una funzione iniettiva ha il grafico che viene intersecato al più una sola volta da qualsiasi retta orizzontale.

Nell'articolo iniettività, suriettività e invertibilità di una funzione abbiamo visto le definizioni di funzioni iniettive, suriettive e biunivoche tra due insiemi qualsiasi, . Qui vogliamo parlare nello specifico di funzioni definite sui numeri reali a valori reali, cioè le funzioni che si studiano in Analisi 1. Come si traduce la definizione di funzione iniettiva in questo caso specifico? E come si fa per stabilire se una funzione è iniettiva?

Quali sono i metodi per dire se le funzioni reali di variabile reale sono iniettive? Insomma: come si fa nella pratica? Vediamo come comportarci.

Come verificare se una funzione è iniettiva

Riprendiamo rapidamente la definizione di funzione iniettiva. Data una funzione

si dice che è una funzione iniettiva se per ogni nel dominio di la condizione implica che .

In simboli:

In particolare indica il dominio della funzione , vale a dire il sottoinsieme di (o eventualmente tutto l'asse reale) in cui la funzione è definita. In soldoni il dominio di è l'insieme in cui ha senso valutare la funzione . Nella lezione sul dominio di funzioni potete leggere una spiegazione precisa di cos'è il campo di esistenza di una data funzione e come si determina.

Fin qui nessun problema. Ma come si fa a stabilire se una data funzione è iniettiva oppure no? Prima vediamo i metodi, poi un po' di esempi.

Studio dell'iniettività con il metodo analitico

Il metodo analitico (ossia tramite calcoli) si basa direttamente sulla definizione data poco sopra. Procediamo per punti:

1) consideriamo la funzione e imponiamo l'uguaglianza

Qui sono generici e quindi li trattiamo come si fa nel calcolo letterale dei primi anni delle scuole superiori.

2) Risolviamo l'uguaglianza: portiamo tutti gli a sinistra dell'uguale e tutti gli a destra dell'uguale. Per farlo usiamo le solite regole con cui si risolvono le equazioni.

3) Se alla fine troviamo come unica possibile soluzione allora è una funzione iniettiva, altrimenti se ci sono altre possibilità oltre a allora la funzione non è iniettiva.

Studio dell'iniettività con il metodo grafico

Il metodo grafico è invece un metodo più scaltro, ma richiede un minimo di capacità nel disegnare i grafici delle funzioni. Non richiede di saper effettuare uno studio di funzione completo, basta conoscere i grafici delle funzioni elementari e avere un filo di dimestichezza. È il metodo consigliato se la funzione non ha un'espressione troppo complicata.

1) Disegniamo un grafico qualitativo della funzione, ossia un grafico che non deve essere precisissimo ma che rispecchi le caratteristiche della funzione considerata.

2) Tracciamo una serie di rette orizzontali (parallele all' asse delle x).

3) Con una sola occhiata possiamo vedere le zone - prendiamo come riferimento l' asse delle y - in cui le rette orizzontali intersecano o non intersecano il grafico della funzione .

4) Se riusciamo a trovare anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico della funzione in due o più punti, allora la funzione non è iniettiva. Se invece tutte le rette orizzontali hanno al massimo una sola intersezione con il grafico, o non ne hanno, allora la funzione è iniettiva.

Esempi di funzioni iniettive

I) Consideriamo la funzione

che ha come grafico una retta. Questa funzione è iniettiva e per vederlo possiamo applicare il metodo analitico. Imponiamo , vale a dire

eliminiamo i +5 e dividiamo per 4, in modo da ottenere

Dunque abbiamo a che fare con una funzione iniettiva, perché non ci sono altre possibilità oltre a .

Con il metodo grafico si giunge alla stessa conclusione

II) Consideriamo la funzione

che ha come grafico una parabola. Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo grafico si trova

III) Consideriamo la funzione

che viene rappresentata nel piano cartesiano da una parabola. Questa funzione non è iniettiva, infatti con il metodo analitico imponiamo , dunque

eliminiamo i - 6 ed estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri, ricavando

Così facendo scopriamo che l'uguaglianza è verificata, oltre che per , anche per . Niente iniettività.

IV) Consideriamo la funzione esponenziale

che è iniettiva, ed è facile vederlo sia con il metodo grafico sia con metodo analitico.

Con il primo infatti abbiamo la seguente situazione

invece con il metodo analitico, da

applicando il logaritmo naturale ad entrambi i membri si ricava

poiché tale condizione è l'unica che soddisfa l'uguaglianza imposta inizialmente, concludiamo che la funzione esponenziale è una funzione iniettiva.

Tutto chiaro? Se volete ora potete allenarvi un po' per conto vostro, qui sotto trovate i link agli esercizi correlati. C'è anche un tool per controllare l'iniettività delle funzioni online. Nel frattempo potete anche provare a cercare qui su YM con l'apposita barra di ricerca interna. Tra le migliaia e migliaia di problemi risolti potrebbe esserci anche il vostro... ;)

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: come verificare che una funzione è iniettiva? Come si fa a stabilire se una funzione è iniettiva?

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Come controllare se una funzione è iniettiva

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Una funzione iniettiva (o ingettiva) è una funzione che ad elementi distinti del dominio associa elementi distinti del codominio. Nel caso di una funzione reale di variabile reale, una funzione iniettiva ha il grafico che viene intersecato al più una sola volta da qualsiasi retta orizzontale.

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Il tutorial mostra come si inserisce una funzione in Geogebra, in particolare la funzione retta, mostra come varia la posizione della retta nel piano cartesiano al variare del coefficiente angolare.

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EULERO

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Dominio di una Funzione : cos'è e come trovarlo

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