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DE RON LARZON SEPTIMA EDICIÓN

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Fundamentos de Algebra Lineal de Ron Larson - PDF Drive

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DEFINICIONES Y CONCEPTOS

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DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

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4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades - Sistemas Algebra Lineal

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DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

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4.1 Definición de espacio vectorial - Sistemas Algebra Lineal

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2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra "real" significa que los escalares que se usan son números reales.

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TEORIA + EJERCICIOS

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Espacios y vectores | Álgebra lineal | Matemáticas | Khan Academy

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Una vez que ya conocemos a fondo las matrices, podemos centrarnos en el estudio de los determinantes.
Como ya se vio en otra ocasión la definición de determinante, hoy veremos cuales son sus propiedades y algunos ejemplos:
1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales:
Ejemplo: Calculamos el determinante de A y de su traspuesta mediante la regla de Sarrus.

2. Si la matriz tiene una fila o una columna en la que todos sus elementos son cero, entonces |A|=0.

3. Si la matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces su determinante también es cero: |A|=0.

4. Si la matriz tiene una fila o columna que sea combinación lineal de alguna de las otras, entonces |A|=0.

Ejemplo: En el siguiente determinante, la última fila es el resultado de restarle a la segunda fila la primera.

5. El determinante de una matriz triangular, (tanto si es superior como inferior) se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal.

6. Si intercambiamos el orden de dos filas, el determinante cambia de signo.

7. Si multiplicamos un determinante por un número real, quedará multiplicado por ese número únicamente una fila o una columna:
Ejemplo: Si hacemos el determinante de la matriz A y lo multiplicamos por 2, se obtiene lo mismo que el determinante de la matriz A en la que hemos multiplicado la primera fila por 2, o la primera columna, (podríamos multiplicar cualquiera de las filas o las columnas, pero sólo una)

8. Si en un determinante una fila o una columna está formada por dos sumandos, el determinante se descomponen en la suma de dos determinantes, uno con el primer sumando y el otro con el segundo sumando:

9. El determinante de la suma de dos matrices es igual a la suma de los determinantes: |A+B|=|A|+|B|

10. De forma análoga a la anterior, el determinante del producto de dos matrices, es igual al producto de los determinantes: |A*B|=|A|*|B|

11. El determinante de un número real por una matriz es igual al número real elevado al número de filas, por el determinante de la matriz. Esta propiedad se deriva de la propiedad 7. |αA|= α^n∙|A|, donde n es el número de filas de la matriz A.

Para finalizar con las propiedades de los determinantes, vamos a realizar un ejercicio típico de aplicación de algunas de las propiedades que acabamos de ver.

En primer lugar hemos aplicado la propiedad 7, como el tres está multiplicando a la segunda fila lo podemos poner delante multiplicando a todo el determinante. Y por último hemos aplicado la propiedad 6, como están intercambiadas la última fila y la segunda, cambiamos el signo del determinante.

En primer lugar utilizamos la propiedad 8 y separamos los sumandos de la fila 2 en dos determinantes. En el primer determinante como tanto la primera como la segunda fila están multiplicadas por 2, por la propiedad 7, el determinante queda multiplicado por 2 al cuadrado. En el segundo determinante, por la propiedad 7 otra vez, como la primera fila está multiplicada por dos, el determinante queda multiplicado por dos. Por último, por la propiedad 3, como tenemos dos filas iguales el determinante vale 0.

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Una vez que ya conocemos a fondo las matrices, podemos centrarnos en el estudio de los determinantes. Como ya se vio en otra ocasión la definición de determinante, hoy veremos cuales son sus propiedades y algunos ejemplos: 1.

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Conocer a fondo la determinante de una matriz, entendiendo sus propiedades, aplicaciones, historia bibliográfica de los principales a portadores al estudio de estas y métodos de resolución.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conocer la definición de la función determinante.

Calcular determinantes de matrices de 2x2; 3x3 y de mayor tamaño.

Conocer las propiedades para facilitar el cálculo de determinantes de cualquier tipo de matriz cuadrada.

Determinar distintas fórmulas para calcular determinantes de cualquier orden.

Conocer una forma para multiplicar dos determinantes de manera directa, es decir, sin calcular previamente el determinante de una matriz.

Calcular la inversa de una matriz cuadrada por el método de determinantes y adjuntas.

Calcular el determinante de una matriz transpuesta

Aplicar la Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Utilizar determinantes para facilitar el cálculo de áreas y volúmenes.

Los determinantes se introdujeron en el occidente en el siglo XVI, estos fueron antes que las matrices que no aparecieron hasta el siglo XIX. Algunos de los más grandes matemáticos ayudaron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría dice que el estudio de los determinantes se empezó con Leibniz ya que el empleo los determinantes con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultaneas. Pero las contribuciones más productivas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Augustín-Louis Cauchy (1789-1857), fue un escritor potente ya que publico casi 800 artículos. Sus contribuciones al estudio de las matemáticas fueron revolucionarias, él fue el primero en definir los conceptos de límites y continuidad así como el de convergencia de una serie infinita. Además de fundar la teoría de los números complejos, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de la propagación de ondas; contribuyo a la teoría de determinantes y de ecuaciones diferenciables.

Hay algunos otros matemáticos que deben ser nombrados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827).

Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes estando solo Cauchy antes que él fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851).Fue con él con quien la palabra determinante ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleo los determinantes fue en la funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables, Sylvester llamó más tarde jacobiano a este determinante.

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz.

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.1 Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño superior.2 El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shogun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.

El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos, que veremos a continuación.

Nota: Es necesario indicar que usaremos los símbolos Det(A) o │A│ para referirnos al determinante de A.

El determinante de una matriz puede ser positivo, negativo o cero.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:
1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir:

Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

3. Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n por un número k, su determinante queda multiplicado por kn, es decir: Det (k. A) = kn. Det (A).

El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det (A. B) = Det (A)* Det (B).

5. Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero.

7. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero.

8. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial.

9. Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

10. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía.

11. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número, su determinante no varía.
4.-CALCULO DE DETERMINANTES POR PROPIEDADES:
1) Comprobar en la siguiente matriz que detA = detAt

Solución:

Desarrollamos por cofactores eliminando la primera columna:

Estas matrices de 3x3 las resolvemos por el método de sarrus.

detA = 3(0+36-6) + 2(12-30-4-24+12+5) + (36-72)

detA = 90 + 2(-29) - 36 = - 4

De la misma forma aplicamos cofactores para eliminar la segunda columna de la matriz transpuesta.

Las matrices de 3x3 las resolvemos por sarrus.

detAt = 2( 12 - 30 - 4- 24 + 12 + 5) - 6( 3 + 12 - 18 - 6)

detAt = 2(- 29 ) - 6(-9)

detAt = - 4

Conclusión: Hemos demostrado así que detA = detAt

2) Encuentre el determinante de la matriz transpuesta si:

3) Por reducción de la segunda fila encuentre el determinante de la matriz transpuesta si:

4) Demuestre que si intercambiamos dos filas de una matriz su determinante varia en el signo.

5) Compruebe que si A es una matriz cuadrada con una columna de ceros, su determinante es cero.

Conclusión: De esta forma hemos llegado a demostrar que si una matriz tiene una fila o columna de ceros su determinante siempre será cero.

6) Compruebe que detA = 0, si A es una matriz cuadrada con dos filas iguales.

7) Compruebe que detA = 0 si la terceracolumna es proporcional a la primera columna.

8) Aplicando las propiedades de los determinantes, evaluar el determinante de:

9) Aplicando las propiedades de los determinantes encuentre el determinante de:

10) Aplicando las propiedades de los determinantes encontrar el determinante de A.

11) Evalúe el determinante de la siguiente matriz, aplicando las propiedades de los determinantes

12) Aplicando las propiedades de los determinantes reduzca los siguientes determinantes a determinantes de menor orden y resuélvalos.

13) Encuentre los determinantes de las siguientes matrices:

14) Encontrar el determinante si:

15) Encontrar el determinante de las siguientes matrices aplicando la propiedad #4

16) Encontrar el determinante de la matriz y de su transpuesta si A es una matriz formada por números complejos.

17) Desarrollar aplicando la propiedad 3

18) Desarrollar aplicando la propiedad 4.

19) Aplicar la propiedad 5.

20) Aplicar la propiedad 7.

La tercera fila es combinación lineal de la primera entonces |A|=0

21)Aplicando la propiedad 8 y 6 obtenemos la propiedad 9

22) Resolver aplicando la propiedad 7.

23) Resolver aplicando la propiedad 6.

24) Encontrar el determinante aplicando la propiedad 8.
5.1.- DETERMINANTES DE PRIMER ORDEN:
El determinante de una matriz de primer orden se define simplemente como el elemento de la matriz. Por ejemplo, si A=[3] , entonces det(A)= 3

[a11]=a11
5.2.- DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN:
Una matriz de orden 2x2 está dada por la diferencia de los productos de las dos diagonales de la matriz.

Encuentre el determinante de la matriz siguiente:

Encuentre el determinante de la siguiente matriz:

Encuentre el determinante de la siguiente matriz:
5.3.- DETERMINANTES DE TERCER ORDEN:
Para resolver determinantes de tercer orden aplicaremos dos procesos que seconocen como: La Regla de Sarrus y el Método de la Estrella:
5.3.1.- REGLA DE SARRUS:
La regla de sarrus es de fácil memorización para calcular el determinante de una matriz de 3x3. Lleva este nombre en honor a su inventor el matemático francés Pierre Frederic Sarrus.

Ahora consideremos la siguiente matriz:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

(a11x a22 a33) + (a12 x a23x a31) + (a13 x a21 xa32) - (a12 x a21 x a33) - (a11 x a23 x a32) - (a13 x a22 x a31)

También podemos resolvereste determinante por el método de la estrella:
5.3.2.- METODO DE LA ESTRELLA:
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
5.4.- DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN: 5.4.1.-METODO DE GAUSS:
Para calcular con este método primero definiremos lo siguiente:

Si A es una matriz triangular de orden n, entonces su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir;

detA = a11 x a22 x a33.......xann

Ahora continuamos con el concepto anterior:

Se conoce como método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando la propiedad de estos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, caso que es fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangulizar el determinante se puede aplicar las siguientes operaciones:

1.- Permutar do filas o columnas.

2.- Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.

3.- Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

Aplicando todas estas operaciones llegamos a la siguiente matriz:
5.4.2.- METODO DE MENORES Y COFACTORES: DEFINICION DE LOS MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ:
Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento aij se denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A. El numero (-1)i+jMij se denota por Cij y se denomina cofactor del elemento aij.

Observemos que

Encuentre todos los menores y cofactores de:

Solución:

Para encontrar el menor M11, se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se evalúa el determinante de la matriz resultante.

El determinante de una matriz Anxn es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando los elementos decualquier fila o columna por sus respectivos cofactores respetando las reglas ya vista anteriormente.

En este caso está desarrollada la primera columna, pero puede ampliarse este método para cualquier fila o columna, siempre y cuando se respeten el patrón de signos de los cofactores.

Evaluar det (A) por desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna de A.

Solución:
5.4.3.- ELIMINACION CONTINUA:
Este método fue visto en clases, y consiste que en cada matriz que se vaya obteniendo al reducir una variable se la debe ir dividiendo para el elementoprincipal elevado a la(n-2) donde n es el orden de cada matriz que se vaya obteniendo.

Ejemplo:

Encontrar el determinante por medio de eliminación continua:
5.5.- EJERCICIOS:
1) Calcular el determinante de la siguiente matriz:

Det(A) = 5 x 6 = 30

2) Por el método de Gauss hallar el siguiente determinante:

Det F = 275

Det(A) = [(8x4x2) + (-3x7x-1) + (2x-6x1) - (1x4x-1) - (-3x2x2) - (7x-6x8)]

Det(A) = 64 + 21 - 12 +4 + 12 +336

Det(A) = 425

Det(B) = 0
6.-PRODUCTO DE DETERMINANTES.
Teorema de Cauchy: El producto de dos determinantes semejantes se puede poner en forma de una determinante semejante a los factores y cuyos elementos sean las sumas de los productos de los elementos de una línea de un factor, por los elementos correspondientes de otra línea del otro factor.

Sean para la sencillez del segundo grado sabiendo que lo que se demuestre en este caso es general para todos; lo que se quiere probar es que:
6.1.- EJERCICIOS: 7.-DETERMINANTES DE ORDEN N-SIMO
El símbolo:

Este símbolo es una forma abreviada de expresar el polinomio construido por la suma algebraica de todos los productos posibles, cada uno de n factores de manera que:

1)En cada producto figura solamente un elemento de cada fila y uno solo de cada columna habrá por lo tanto n! productos.

2)El signo de cada producto es positivo o negativo ,según que el numero de inversiones de los subíndices sea par o impar, después de haber colocado las letras en el orden en el que figuran en la primera fila.

La suma algebraica así obtenida se denomina desarrollo o valor del determinante. Cada producto, con su signo, recibe el nombre de término del desarrollo del determinante.

Un determinante de orden n se representa también por

Con esta notación cada elemento se caracteriza por dos subíndices, el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece o donde se encuentra. Así, pues a23 es el elemento de la segunda fila y la tercera columna.

La diagonal principal de un determinante está formado por los elementos de la matriz situados sobre la recta que une el primer elemento de la primera fila con el último de la ultima fila.
CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN N-ESIMO
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Para esto haremos lo siguiente:

1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2. En caso negativo:
8.- DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ NOSINGULAR: 8.1.- EJERCICIOS:
La matriz no es inversible
9.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TRANSPUESTA
Si A es una matriz cuadrada entonces es cierto que:
9.1.- EJERCICIOS:
En los siguientes ejercicios encuentre el determinante de la matriz y de su transpuesta.
10.- ADJUNTO DE UNA MATRIZ
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Consideremos la matriz

Ejercicio:

Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES: OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ:
Si A es una matriz invertible de nxn, entonces es cierto que:

A continuación daremos a conocer como se obtiene la adjunta de una matriz:

Al inicio de este capítulo ya dimos a conocer como se obtiene los cofactores de una matriz, ya que necesitamos este concepto para definir la adjunta de una matriz, y está definida por:

La adjunta de una matriz es igual a los cofactores transpuestos de la matriz.
10.1.- EJERCICIOS:
1) Obtenga la inversa de una matriz aplicando determinantes:

La regla de Cramer llamada así por su inventor Gabriel Cramer (1704-1752), matemático suizo, aunque Cramer no está considerado al lado de los grandes matemáticos de su tiempo, sus contribuciones como diseminador de las ideas matemáticas le ganaron un bien merecido lugar en la historia de las matemáticas.

La siguiente regla proporciona una forma útil para la solución de ciertos sistemas lineales den ecuaciones con n incógnitas. Esta fórmula, denominada Regla de Cramer es de interés marginal para efectos de cómputo, aunque es útil para estudiar las propiedades matemáticas de una solución sin necesidad de resolver el sistema.
Regla de Cramer: 12.1.- EJERCICIOS:
Aplicar la regla de Cramer para resolver los siguientes ejercicios:

Como la tercera fila es combinación lineal de las otras dos entonces la solución de este sistema es infinitas soluciones porque el determinante es cero.

La solución de este sistema es infinitas soluciones por tener el determinante igual a 0.
13.1.- ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO XY:
El área de un triangulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) está dada por:

El signo (±) se obtiene para obtener un área positiva.
13.1.2.- PRUEBA PARA DETERMINAR SI TRES PUNTOS EN EL PLANO XY SON COLONIALES:
Tres puntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) son colineales si y solo si:
13.2.- ÁREA DE LOS POLÍGONOS:
Con el resto de polígonos primero tenemos que dividirlos en varios triángulos, crear el determinante y sumar todos los resultados parciales de los determinantes.
13.2.1.- ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS (X1, Y1) Y (X2, Y2) EN EL PLANO XY:
La ecuación de la recta que pasa por los puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

Encuentre la solución de la recta que pasa por los puntos (2, 4), (-1, 3)
13.3.- VOLUMEN DE UN TETRAEDRO:
El volumen de un tetraedro cuyos vértices son (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) y (x4, y4, z4) está dado por:
13.3.1.- PRUEBA PARA DETERMINAR PUNTOS COPLANARES EN EL ESPACIO:
Cuatro puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) y (x4, y4, z4) son coplanares si y solo si:
13.4.- EVALUACIÓN DE UN PLANO FORMADO POR TRES PUNTOS:
La ecuación del plano que pasapor los puntos (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) está dada por:

13.5.- EJERCICIOS: 1) Encuentre el área del triangulo que tiene como vértices A(-3,2) B(5,-1) C(2,4) Solución:

2) Compruebe que estos puntos son colineales: A(1,2) B(3,4) C(5,6)

Como el determinante es cero entonces los tres puntos si son colineales. 3) Encuentre la solución de la recta que pasa por los puntos dados: A(-2,3) B(-2,-4)

4) Encuentre el volumen del tetraedro que tiene los vértices dados: (0,4,1) (4,0,0) (3,5,2) (2,2,5)

5) Determine si los puntos dados son coplanares: (0,0,-1); (0,-1,0); (1,1,0); (2,1,2)

6) Encuentre una ecuación del plano que pase por los puntos dados: (1,2,7); (4,4,2); (3,3,4)

En el primer punto del trabajo tuvimos un concepto general de lo que son los determinantes y varios conceptos y aplicaciones previas para determinarlos como son los menores, los cofactores, entre otros.

Demostramos también todas las propiedades de los determinantes con los cuales nos facilitan mucho el trabajo y nos ayuda a terminar más rápido el proceso aplicado.

Las diferentes formas de resolución nos llevó a un enfoque mucho más amplio en la resolución del determinante, por ejemplo el método de cofactores se usa mucho en la resolución de el determinante de 2 x 2, el método de Sarus y el método de la estrella nos permite trabajar de una manera muy rápida en determinantes de 3x3 y el método de Gauss que es un proceso muy fácil y conocido nos permite resolver determinantes de cualquier orden.

En el punto de las aplicaciones se pudo ver formas mucho más simples que podemos usar para la resolución de la inversa, la adjunta, en geometría analítica la obtención del área de un triángulo, la determinación de colinealidad de dos puntos, así como la ecuación de la recta entre dos puntos, etc.

Reconocer las distintas maneras de resolver una determinante para encontrar una manera sencilla y rápida.

Reconocer los conceptos básicos de una determinante y aplicarlos para evitar confusiones.

Si después de revisado todo el trabajo queda alguna duda recomiendo revisar la bibliografía que esta al final. Bibliografía

Introduccion al algebra lineal: Larson- Edwards

Introduccion al algebra lineal: Howard Anton, tercera edición

Algebra lineal y sus aplicaciones, David C. Lay, segunda edicion

Teoria y problemas de Matrices: Frank Ayres

Geometria Analitica de Lehmann

Algebra Superior Spiegel Murray

webgrafia

* http:// descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_determinantes.htm

* http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ ciencias/2001004/lecciones_html/cap4/cap4s2.html

* http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm

Autor:
Mateo Caldas Calle

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Conocer a fondo la determinante de una matriz, entendiendo sus propiedades, aplicaciones, historia bibliográfica de los principales a portadores al estudio de estas y métodos de resolución. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Conocer la definición de la función determinante. Calcular determinantes de matrices de 2x2; 3x3 y de mayor tamaño.

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Métodos para resolver Matrices (MÉTODO DE GAUSS-JORDAN (Matriz Identidad...

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Métodos para resolver Matrices (MÉTODO DE GAUSS-JORDAN (Matriz Identidad...: Métodos para resolver Matrices

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Ya sabemos que las ? ¿Hasta qué punto influye la forma de estos conjuntos en la clasificación de las matrices en el matrices son conjuntos de elementos que están ordenados en estructuras de filas y columnas -y que dependiendo del número de filas y columnas que posea una matriz, estaremos hablando de una dimensión u otra-. Pero, ¿ cuántos tipos de matrices existen en el álgebra álgebra lineal? Descúbrelo con nosotros.

Tipos de matrices en álgebra lineal

Existen muchos tipos de matrices en álgebra lineal. Recordamos que las matrices se utilizan para organizar datos en matemáticas, se componen de valores dispuestos en una estructura de filas y columnas. Estos valores pueden ser número o letras, ya que pueden ser ecuaciones u otras matrices. Las cantidades que aparecen dentro de las filas y columnas pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias maneras.

La clasificación de matrices se establece a partir de cómo se organizan sus valores en las filas y columnas, para abarcar todas las posibilidades existe una larga lista, Entonces, ¿ cuáles son los tipos de matrices en matemáticas? Empecemos una por una:

Matriz fila

Se dice que es un matriz de este tipo cuando se forma por una única fila.

Matriz columna

La matriz columna, como su nombre indica tiene sólo una columna.

Matriz rectangular

Este tipo de matriz algebraica tiene una cantidad de filas y columnas diferente. Puede ser horizontal o vertical.

Una matriz horizontal, sería aquella que tiene más columnas que filas. Y, una matriz vertical es aquella que tiene más filas que columnas.

Matriz nula

Esta matriz se da cuando todos sus elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Los valores que van desde la esquina superior izquierda hacia la inferior derecha, forman una diagonal que se llama diagonal principal, la contraria, se llama diagonal secundaria.

Matriz triangular

Esta clasificación de matrices algebraicas es más específica. Decimos que es una matriz triangular superior cuando observamos que los números debajo de la diagonal principal son ceros. Y, matriz triangular inferior cuando se da al revés, que los números por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

Esta matriz es una matriz cuadrada en la que todos los números, inferiores y superiores, a la diagonal principal son nulos.

A su vez, podemos clasificar estas matrices en matemáticas en dos más: matriz escalar que es cuando se dan las características de una matriz diagonal y a su vez los elementos de la diagonal principal son iguales. Y, matriz de identidad o unidad, cuando los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Se llama matriz traspuesta a la matriz cuadrada que se obtiene al cambiar las filas y columnas de a otra de manera ordenada. Pasamos de una matriz A a una matriz Aⁿ.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz invertible, tiene inversa una matriz cuadrada.

Matriz singular

Es una matriz cuadrada, pero no tiene matriz inversa.

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¿Cuántos tipos de matrices existen en el álgebra? | Tipos de matrices

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Ya sabemos que las ? ¿Hasta qué punto influye la forma de estos conjuntos en la clasificación de las matrices en el matrices son conjuntos de elementos que están ordenados en estructuras de filas y columnas -y que dependiendo del número de filas y columnas que posea una matriz, estaremos hablando de una dimensión u otra-.

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Ahora que conocemos los distintos tipos de matrices que existen y el papel que juegan sus estructuras de filas y columnas en el álgebra lineal, vamos a ver cómo se resuelven las operaciones con matrices de manera fácil y sencilla. Los ejemplos de matrices que te proponemos a continuación son de lo más ilustrativos. ¿Les echamos un vistazo?

Operaciones con matrices

En el mundo de las matrices también encontramos las operaciones más tradicionales. Aquí podrás ver los tipos de operaciones con matrices, suma, resta, multiplicación y división, y las diferentes características y procesos de resolución que poseen cada una de ellas. Seguro que los ejercicios resueltos de operaciones con matrices te ayudan a que entiendas perfectamente el camino a seguir encontrar la solución.

Suma de matrices

Para realizar la suma de matrices debemos sumar los números que se encuentren en el mismo lugar. El resultado de esta operación da lugar a una nueva matriz que surge de sumar sus componentes. En este ejercicio de suma de matrices puedes ver perfectamente cómo se realiza paso a paso.

Resta de matrices

El procedimiento para restar matrices es el mismo que hemos comentado anteriormente para la suma. En la diferencia de matrices también debemos restar cada uno de los número que se encuentren en la misma posición. Aquí tienes el ejemplo que te ayudará a resolver es tipo de operaciones con matrices.

Multiplicación de matrices

Existen diferentes situaciones en las que nos podemos encontrar una multiplicación con una matriz. Descubre los mecanismos de estas operaciones con matrices con ejemplos para que puedas entender paso a paso cómo resolver operaciones con matrices.

Multiplicación de un escalar por una matriz

Las operaciones de un número por una matriz se resuelven de una manera muy fácil, ya que tan sólo debemos multiplicar el número por cada uno de los componentes de la matriz. El resultado que obtenemos es una única matriz, producto de la operación realizada.

Multiplicación de una matriz por otra matriz

Lo primero que debemos saber es que dos matrices sólo son multiplicables, si el número de columnas de la primera matriz se corresponde con el número de filas de la segunda.

Para calcular el producto de una matriz tenemos que multiplicar cada componente de la primera fila de la matriz A, por cada uno de los componentes de la primera columna de la matriz B y luego sumarlos. Después multiplicamos la segunda fila por todos los elementos de la primera columna de la otra matriz, y los sumamos. Así sucesivamente hasta que consigamos crear otra matriz resultante de la multiplicación de matrices.

Aunque a priori pueda parecer muy complicado, calcular el producto de matrices es muy sencillo. Si te parece que es un poco enrevesado, aquí podemos un ejercicio resuelto con el poder comprender perfectamente el método para multiplicar matrices.

Cabe destacar que en la matrices el orden de los factores sí que altera el producto. Esto quiere decir que el resultado de multiplicar A x B no será el mismo que el de multiplicar B x A.

División de matrices

Para dividir una matriz entre un número debemos dividir cada uno de los componentes de la matriz entre el número que se encuentra en el divisor. En el ejemplo puedes ver perfectamente cómo se realiza la división de matrices, con el mismo mecanismo que el de multiplicar una matriz por un número.

Las divisiones de matrices, no están definidas como tales en las matemáticas. Para realizar la división entre matrices, entendida como la operación contraria a la multiplicación, debemos multiplicar la matriz natural por la inversa de esta matriz. De forma que podemos decir que la división de matrices es igual a producto de una matriz por su inversa (A x A⁻¹⁾. Para ello, debemos calcular la inversa de una matriz, y después realizar la multiplicación como hemos hecho anteriormente.

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¿Cómo se resuelven las operaciones con matrices? | Plusmaths

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Ahora que conocemos los distintos tipos de matrices que existen y el papel que juegan sus estructuras de filas y columnas en el álgebra lineal, vamos a ver cómo se resuelven las operaciones con matrices de manera fácil y sencilla. Los ejemplos de matrices que te proponemos a continuación son de lo más ilustrativos.

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Uno de los tipos de matrices más conocidos que existen son las matrices inversas. La matriz inversa es un punto de paso obligatorio en el álgebra lineal, pero debemos ir con cuidado porque no siempre existe, así que debemos asegurarnos que es una matriz invertible antes de calcularla.

¿Qué es una matriz inversa?

Llamamos matriz invertible a una matriz, cuando existe otra matriz que puede ser considera su inversa. Es decir, que una matriz es invertible si se puede calcular su inversa, de forma que la matriz por su inversa de lugar a una matriz identidad. Esto significa que A x A⁻¹ = I. También se dice que una matriz invertible es una matriz regular, no singular, o no degenerada. No existe la posibilidad de que una matriz posea más de una inversa.

Sólo se puede calcular la inversa de las matrices cuadras, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas. Además, para que una matriz sea invertible su determinante debe ser distinto de 0 (|A| ≠ 0). Cuando el determinante de una matriz es igual 0 decimos que es una matriz singular.

Propiedades de la matriz inversa

Es necesario conocer las propiedades de la matriz inversa para entender la mayoría de operaciones que se realizan con ellas:

La inversa de un producto de matrices es igual al producto de la inversa de cada matriz: (A x B)⁻¹ = A⁻¹ x B⁻¹

Si una matriz es invertible, también lo es su transpuesta. El inverso de la transpuesta es la transpuesta de su inversa: (AT)⁻¹ = (A-1)T

La inversa de la matriz inversa es la matriz natural: (A-1)⁻¹

Métodos para calcular la matriz inversa

Existen diferentes métodos para calcular la inversa de una matriz. Si una matriz es invertible podemos calcular su inversa a partir del método por determinantes, el método de Gauss-Jordan y el método por adjuntos. Sea cual sea el método para calcular la matriz inversa, el resultado debe ser el mismo, ya que una matriz tan sólo tiene una inversa.

Aunque existen otros métodos, aquí podemos ver la fórmula para calcular la matriz inversa por adjuntos A⁻¹ = 1/|A|(Adj (A)-T)

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Matriz inversa | ¿Qué es la matriz inversa? | Plusmaths

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Uno de los tipos de matrices más conocidos que existen son las matrices inversas. La matriz inversa es un punto de paso obligatorio en el álgebra lineal, pero debemos ir con cuidado porque no siempre existe, así que debemos asegurarnos que es una matriz invertible antes de calcularla.