# data[].attributes.body
Matriz rectangular:

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión m x n., siendo m el número de filas y n el número de columnas.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

La matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades:

(At) t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A ·  B)t = bt · at

Matriz nula:

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada:

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas,
siendo su dimensión n x n

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior:

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior:

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal:

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la
diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular:

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Una matriz, A, es idempotente si

A² = A.

Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado
la misma matriz

Matriz involutiva:

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica:

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −At.

Matriz ortogonal:

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · At = I.

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Operaciones: Suma (ley del paralelogramo), productos (punto, por escalar, triple, cruz)

# data[].attributes.subject
Operaciones: Suma (ley del paralelogramo), productos (punto, por escalar, triple, cruz)

# data[].attributes.body
Para poder sumar o restar matrices, las matrices deben ser del mismo orden, es decir, deben tener el mismo número de filas y de columnas.

Para realizar la suma o la resta de matrices, se suman o se restan elemento por elemento, los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices a sumar o restar.
Propiedades de la suma y resta de matrices

Vamos a ver ahora las propiedades que tiene la suma y la resta de matrices

Propiedad 1

La suma o resta de dos matrices es otra matriz del mismo orden

# data[].attributes.headline
Continuidad del primer ejemplo de las operaciones.

# data[].attributes.subject
Continuidad del primer ejemplo de las operaciones.

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Estas dos matrices puedes sumarse ya que tienen el mismo número de filas y de columnas.

Vamos sumando elemento por elemento, los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Para que quede más claro, los elementos de cada matriz están de un color distinto:

# data[].attributes.body
Tenemos las matrices A y B: Estas dos matrices puedes sumarse ya que tienen el mismo número de filas y de columnas.

# data[].attributes.body
Finalmente, operamos en cada elemento de la matriz.
Debes tener en cuenta el signo de cada elemento, además del signo que tenga delante cada matriz, siguiendo siempre la regla de los signos.

# data[].attributes.body
El elemento neutro de la suma y resta de matrices es la matriz nula.

Propiedad 5

Podemos sumar a cada matriz su matriz opuesta, tal que al sumarla, el resultado es la matriz nula:

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Propiedad 2

Tiene la propiedad asociativa:

# data[].attributes.body
Propiedad 3

La suma y resta de matrices tiene la propiedad conmutativa:

# data[].attributes.headline
Producto de una matriz por un número escalar

# data[].attributes.subject
Producto de una matriz por un número escalar

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Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada uno de los elementos de la matriz.

# data[].attributes.headline
Multiplicamos cada uno de los elementos por 5:

# data[].attributes.subject
Multiplicamos cada uno de los elementos por 5:

# data[].attributes.headline
Y por último operamos en cada elemento de la matriz:

# data[].attributes.subject
Y por último operamos en cada elemento de la matriz:

# data[].attributes.headline
Operaciones: Suma (ley del paralelogramo), productos (punto, por escalar, triple, cruz)

# data[].attributes.subject
Operaciones: Suma (ley del paralelogramo), productos (punto, por escalar, triple, cruz)

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El producto vectorial  de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de  a . Su módulo es igual a:

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El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

# data[].attributes.subject
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

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Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

# data[].attributes.subject
Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

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Diferencias entre producto escalar y vectorial.

# data[].attributes.subject
Diferencias entre producto escalar y vectorial.

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Ambos productos son para dos vectores, pero se obtiene un número en el producto escalar y un vector en el producto vectorial (3 números).Pongamos un ejemplo

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Las diferencias entre uno y otro son evidentes, tanto en el símbolo de la operación como en el resultado de cada operación.

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Determinante (formas de cálculo de 2X2 y 3X3)

# data[].attributes.subject
Determinante (formas de cálculo de 2X2 y 3X3)

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El determinante de matrices de dimensión menor que 4 se calcula rápidamente mediante reglas o fórmulas. Para dimensiones mayores, es necesario desarrollar el determinante mediante otros métodos.

# data[].attributes.body
Una matriz de dimensión 1x1 tiene la forma

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El determinante de AA es el único elemento de la matriz:

# data[].attributes.subject
El determinante de AA es el único elemento de la matriz:

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Las matrices de dimensión 2x2 tienen la forma

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Regla mnemotécnica: multiplicamos en las diagonales y las restamos.

Dimensión 3x3 (Regla de Sarrus)

# data[].attributes.headline
Las matrices de dimensión 3x3 tienen la forma

# data[].attributes.subject
Las matrices de dimensión 3x3 tienen la forma

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Son aquellos que tienen por módulo cero (0) y no se les puede asignar dirección ni sentido. El extremo y el origen de estos vectores yacen en un mismo punto.Ejemplo: Sean A y B  dos vectores que tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero distinto sentido. Al realizar una suma de ambos vectores, obtenemos un vector nulo.Sabemos que:B = – APor lo tanto:A + B = A + (-A) = A – A = 0

# data[].attributes.body
En la matriz anterior de las calificaciones conseguidas en la prueba obtenida por los cinco alumnos en el primer examen podrían representarse mediante el vector columna (5x1)

# data[].attributes.body
Son aquellos vectores que tienen por módulo la unidad (1). Generalmente se les denotan con un acento circunflejo (comúnmente llamado “sombrerito”), “^”.

Ejemplo: Los vectores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos x, y, z, se designan generalmente por los vectores unitarios î, ĵ, k.

# data[].attributes.headline
Determinante con formula de cálculo 2x2 (determinante de una matriz 2x2).

# data[].attributes.subject
Determinante con formula de cálculo 2x2 (determinante de una matriz 2x2).

# data[].attributes.body
El determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria).

Ejemplos:

# data[].attributes.body
• Las 5  calificaciones obtenidas por el alumno 1 en la prueba pueden representarse por el vector renglón (1x5) A así

# data[].attributes.body
Es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión 1x n y la forma general:

# data[].attributes.headline
•	La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, 1 alumno con las medidas de su cuerpo da un vector columna (3 x 1)

# data[].attributes.subject
•	La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, 1 alumno con las medidas de su cuerpo da un vector columna (3 x 1)

# data[].attributes.body
El vector es una matriz que tiene únicamente un renglón o una columna.

# data[].attributes.body
Es una matriz que tiene una columna solamente. Un vector columna C que posea m elementos cj1 tiene la dimensión m x 1 y la forma general

# data[].attributes.headline
La matriz C -de medidas obtenidas- de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, son 10 integrantes da un vector renglón (1 x 10)

# data[].attributes.subject
La matriz C -de medidas obtenidas- de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, son 10 integrantes da un vector renglón (1 x 10)

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DETERMINANTE (FORMAS DE CáLCULO DE 2X2 Y 3X3).

# data[].attributes.subject
DETERMINANTE (FORMAS DE CáLCULO DE 2X2 Y 3X3).

# data[].attributes.body
Determinante:

Es una función que se le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado determinante de la matriz. se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga

# data[].attributes.headline
Para hacer un determinante 2×2 tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria:

# data[].attributes.subject
Para hacer un determinante 2×2 tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarle el producto de la diagonal secundaria:

# data[].attributes.headline
•	La matriz B que se da a continuación es un vector renglón (1 x 8) 

# data[].attributes.subject
•	La matriz B que se da a continuación es un vector renglón (1 x 8) 

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Determinante con formula de cálculo 3x3 (determinante con matriz 3x3).

# data[].attributes.subject
Determinante con formula de cálculo 3x3 (determinante con matriz 3x3).

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Teniendo un determinante de una matriz 3 x 3 es la siguiente: escribimos las primeras dos filas de la matriz a la derecha de la misma, como si ocupasen una cuarta y quinta fila imaginaria. A partir de aquí, multiplicaremos los elementos por diagonales y, después, tendremos en cuenta que las diagonales descendentes que vayan de izquierda a derecha llevan un signo positivo, mientras que las diagonales de derecha a izquierda que sean también descendientes llevarán un signo negativo. La regla de Sarrus dice que para calcular un determinante de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos.