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Il termine simmetria indica la presenza di alcune ripetizioni nella forma geometrica di un oggetto. L'oggetto può essere ad esempio una figura bidimensionale oppure una figura tridimensionale.
Molte simmetrie sono osservabili in natura.
Il concetto di simmetria è studiato in geometria ed è usato in matematica e fisica con un'accezione più generale.

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-Ogni punto dell’asse di simmetria è un punto fisso della simmetria assiale;
-Ogni retta perpendicolare all'asse di simmetria è una retta unita;
-Eseguendo due simmetrie aventi lo stesso asse una dopo l’altra, ogni punto viene riportato nella posizione iniziale;
-Eseguendo due simmetrie assiali con assi perpendicolari, una dopo l’altra, si ottiene una simmetria centrale che ha come centro l’intersezione dei due assi;
-In una simmetria assiale la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra le rispettive immagini;
-In una simmetria assiale ogni retta parallela all’asse si trasforma in una retta anch’essa parallela all’asse.
-Le figure sono inversamente uguali: isometria invertente.

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È una trasformazione che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato, detto centro di simmetria.

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È una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto.

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Indichiamo la simmetria rispetto all'asse x, cioè la trasformazione del piano che al punto P(x; y) associa il punto P' (x'; y') simmetrico di P rispetto all'asse x; si ha che x'=x e y'= -y.

Sono le equazioni della simmetria rispetto all’asse x ed esprimono che le coordinate x’ ed y’ del punto P’, simmetrico di P rispetto all’asse x, si ottengono lasciando l’ascissa di P e cambiando segno all’ordinata.

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Indichiamo la simmetria rispetto all’asse y, cioè la trasformazione del piano che al punto P (x; y), associa il punto P’ (x’; y’) simmetrico di P rispetto all’asse y.

Diventano x’= -x e y’=y e quindi le equazioni della simmetria rispetto all’asse y sono: x'= y e y'= x

Sono le equazioni della simmetria rispetto all’asse y che esprimono che le coordinate x’, y’ del punto P’, simmetrico di P rispetto all’asse y, si ottengono lasciando inalterata l’ordinata e cambiando segno all’ascissa.

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Il simmetrico di P (x; y) rispetto ad O è il punto P’ (x’; y’) tale che x’=-x e y’=-y; in altre parole il trasformato di P rispetto ad O è il punto P’ di coordinate opposte a quelle di P. Le equazioni di questa trasformazione sono: x'= -1 e y'= -y

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Simmetria rispetto alla bisettrice della I-III quadrante

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Simmetria rispetto alla bisettrice della I-III quadrante

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Consideriamo la bisettrice del I-III quadrante che ha equazione x=y e prendiamo un punto che chiameremo P (x; y). Chiameremo poi P' (x'; y') il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del I-III quadrante.

Si avrà che x'=y e y'=x

Quindi le equazioni della simmetria del I e III quadrante,sono: x'= y e y'= x.

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Simmetria rispetto alla bisettrice della II-IX quadrante

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Simmetria rispetto alla bisettrice della II-IX quadrante

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Troverai che x'= -y e y'= x.
Il movimento rigido grazie al quale una figura può sovrapporsi alla sua corrispondente in una simmetria assiale è una rotazione  attorno all'asse di simmetria, cioè un ribaltamento.
Inoltre questo tipo di trasformazione non conserva l’orientamento delle figure. Si dice che l’isometria è inversa.

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È una funzione fra due spazi metrici che conserva le distanze.

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Retta che partendo dal vertice di un angolo lo divide in due parti uguali.

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è una trasformazione dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

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y=4x+2
-y=4x+2
y=-4x-2

# data[].attributes.body
y=3x+2
y=3(-x)+2
y=-3x+2

# data[].attributes.body
y=2x+3
-y=2(-x)+3
-y=-2x+3
y=2x-3

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Simmetria rispetto alla bisettrice della I-III quadrante

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Simmetria rispetto alla bisettrice della I-III quadrante

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y=2x+3
x=2y+3
x/2=2y/2+3/2
x/3-2/3=y -------> y=1/3x-2/3

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Simmetria rispetto alla bisettrice della II-IX quadrante

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Simmetria rispetto alla bisettrice della II-IX quadrante

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y=2x+3
-x=-2y+3
+2y/2=+x/2+3/2
y=x/4+3/2