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DISEGNIAMO IN SICUREZZA - Emergenza Covid - 19

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Albero Natale con inviluppi

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Dopo aver presentato i dieci modelli di arco più diffusi è arrivato il momento di conoscere il meraviglioso mondo delle volte.

Le strutture precedenti, come le tholos micenee (ma anche i nuraghi e poi i trulli), apparentemente a volta, erano in realtà pseudo-volte; nel caso specifico pseudo-cupole. Funzionavano, cioè, non per compressione reciproca dei conci, ma per gravità, come nel sistema architravato, in quanto i conci sono disposti in filari a giacitura sempre orizzontale mentre nella cupola la giacitura è radiale.

Vediamo allora di analizzare i principali tipi di volte partendo dalle tre "volte semplici" (quella a botte, la cupola emisferica e la volta a vela), cioè quelle strutture formate da un solo tipo di volta.

Dalle volte semplici si passa alle "volte composte", tutte quelle coperture realizzate attraverso l' intersezione di parti delle volte semplici.

1. VOLTA A BOTTE - Copertura di forma semicilindrica che scarica il peso su due muri perimetrali.

È importante memorizzare la nomenclatura delle varie parti in modo da poter seguire meglio le successive descrizioni.

La realizzazione della volta a botte, come quella dell'arco, richiede una costruzione di sostegno, detta centinatura, sulla quale saranno posati i conci e che verrà rimossa nel momento in cui la malta avrà fatto perfettamente presa.

La volta a botte può talvolta presentare un andamento planimetrico in curva: in tal caso si definisce " volta a botte anulare ".

Entrambi i tipi di volta (rettilinea e anulare), già presenti nell'architettura romana, saranno ampiamente utilizzati anche nel Medioevo e nelle epoche successive. Si aggiungeranno nel tempo delle varianti come gli archivolti o la sezione ogivale (a sesto acuto).

2. CUPOLA - Copertura di forma semisferica che scarica il peso su una muratura circolare. Anche per la cupola l'intradosso può presentarsi liscio o cassettonato, come nel celebre caso del Pantheon.

Durante il Medioevo e il Rinascimento le variazioni avvennero soprattutto sulla struttura d'appoggio della cupola.

La necessità, infatti, di coprire con la cupola anche ambienti a pianta quadrata (ad esempio la campata di una chiesa) innescò la ricerca di svariate soluzioni di raccordo tra il cubo e la semisfera.

Una delle strutture più diffuse, sorta in età bizantina, è la cupola su pennacchi, porzioni angolari di sfera che consentono il passaggio dal cerchio al quadrato.

In età romanica si svilupparono altre varianti a forma di nicchia come gli alveoli pensili o le trombe angolari. Splendidi esempi se ne possono trovare nel meridione d'Italia.

La cupola emisferica (o con sesto rialzato) divenne via via sempre più complessa. A partire dal Rinascimento venne dotata di lanterna e sottostante tamburo per aumentare l'ingresso di luce naturale.

In epoca barocca, oltre ad arricchirsi di oculi a più livelli, potrà avere anche la pianta ellittica.

Queste volte sono definite " estradossate " in virtù del fatto che l'estradosso non è nascosto da una copertura a falde ma è visibile dall'esterno.

3. VOLTA A VELA - Sostanzialmente si tratta di una cupola alla quale sono state eliminate quattro porzioni tramite dei piani verticali seguendo un perimetro quadrato o rettangolare.

Il procedimento geometrico è simile a quello che ha portato alla creazione dei pennacchi ma stavolta non è necessario un ulteriore raccordo tra volta e vano quadrato. Il nome deriva dall'aspetto simile ad un fazzoletto gonfiato dal vento.

4. VOLTA A CROCIERA - Prima di definire le volte composte dobbiamo osservare bene gli elementi che si ottengono sezionando una volta a botte lungo due diagonali: si avranno due "fusi" e due "unghie". Se si uniscono quattro fusi si ottiene una volta a padiglione, con quattro unghie una volta a crociera.

La volta a crociera, conosciuta già in età romana, appare dunque come l' intersezione di due volte a botte uguali e ortogonali.

Si vengono a creare nell'intradosso due spigoli semicircolari che vanno da un angolo a quello opposto.

Questi spigoli possono essere percorsi da una nervatura di rinforzo detta costolone (in questo caso si parla di volta a crociera costolonata).

E, come nel caso della volta a botte, anche la volta a crociera può essere ogivale nel momento in cui le unghie da cui è formata presentano una sezione a sesto acuto. Tipica del gotico, la volta a crociera ogivale in genere ha pianta rettangolare.

In alcuni casi, come nei deambulatori absidali delle chiese gotiche, la volta a crociera può avere un'insolita pianta trapezoidale, pentagonale o triangolare.

Ad ogni modo, qualunque forma abbia, la volta a crociera veniva sempre realizzata partendo dai costoloni, elementi strutturali fondamentali di questa copertura e non semplici decorazioni.

5. VOLTA STELLATA - In epoca gotica, soprattutto nell'architettura d'oltralpe, la volta a crociera assunse forme più complesse di quelle appena viste.

Spesso vennero aggiunti altri costoloni che non avevano il compito di scaricare il peso sui pilastri angolari ma di rinforzare quelli principali creando una sorta di scheletro strutturale.

Questo scheletro, in alcuni casi, può diventare incredibilmente ricco, quasi una ragnatela lapidea magicamente sospesa per aria.

Si ottengono coperture stupefacenti come quelle fotografate da David Stephenson, un vero esperto di volte spettacolari.

6. VOLTA A VENTAGLIO - Anche questa è una variante della volta a crociera nella quale una raggiera di esili nervature si allarga a ventaglio, appunto, dalla cima del pilastro polistilo.

Tipica del Gotico inglese, la volta a ventaglio appare delicata e decorativa come un merletto.

7. VOLTA A PADIGLIONE - Come visto sopra questa volta nasce dall'unione di alcune porzioni della volta a botte, in questo caso i fusi.

Invece che poggiare sui quattro angoli come la volta a crociera, questa copertura poggia su quattro muri perimetrali.

Questo tipo di struttura è usata in genere per stanze e saloni dato che si presta bene ad essere affrescata in maniera pressoché continua. La sezione può anche essere a sesto acuto come nel caso della Mole Antonelliana.

La pianta, oltre che quadrata, può anche diventare poligonale.

In quel caso si generano strutture molto simili alla cupola come quella di Santa Maria del Fiore a Firenze. A pianta ottagonale, è formata da una doppia calotta di otto fusi rinforzati da costoloni verticali e orizzontali.

Nel caso in cui la pianta non sia quadrata ma rettangolare si ottiene una struttura denominata volta a botte con testate di padiglione.

La volta a padiglione, o con testate di padiglione, può essere ribassata e la sua superficie centrale resa orizzontale con un piano che la interseca. Questo tipo di copertura, utilizzata frequentemente perché più adatta alla decorazione con affreschi, è chiamata volta a schifo (sì, avete letto bene, anche se è bellissima è detta a schifo!).

8. VOLTA A BOTTE LUNETTATA - È una volta semicilindrica intersecata da altre volte a botte di diametro minore.

Spesso la volta a botte lunettata è una volta a padiglione con lunette su tutti e quattro i lati. L'esempio più celebre di questo tipo di volta è sicuramente il soffitto della Cappella Sistina.

Anche in questo caso, in base alla struttura e alla dimensione delle unghie, la cupola può apparire stellata o lunettata. Nel caso di chiese gotiche può essere presente mezza volta ad ombrello per la chiusura superiore dell'abside.

10. VOLTA A PARABOLOIDE IPERBOLICO - Copertura di recente invenzione, non ha nulla a che vedere con quelle precedenti. L'utilizzo del calcestruzzo di cemento armato ha permesso, infatti, la realizzazione di volte altrimenti impossibili.

Il paraboloide iperbolico (volta a sezione verticale parabolica ma con andamento longitudinale ad iperbole) è una di queste volte a doppia curvatura dall'aspetto dinamico e contemporaneo.

Naturalmente esistono tanti altri tipi di volta: da quella a cipolla a quella a stalattiti, dalla cupola geodetica alla volta a collo d'oca, ma credo che quelle che ho nominato siano già talmente numerose che rischiereste di fare confusione (e poi sono anche le più diffuse...).

Vogliamo fare adesso un bel ripasso? Sì, lo so, è la sindrome della professoressa che ogni tanto si impossessa di me... Però, se ne avete voglia, ho preparato un piccolo test per vedere se vi riuscite a districare tra volte stellate costolonate e volte a schifo lunettate. Buon lavoro!

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Quando il soffitto è un capolavoro: dieci modelli di volta

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Dopo aver presentato i dieci modelli di arco più diffusi è arrivato il momento di conoscere il meraviglioso mondo delle volte. Le strutture precedenti, come le tholos micenee (ma anche i nuraghi e poi i trulli), apparentemente a volta, erano in realtà pseudo-volte; nel caso specifico pseudo-cupole.

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Contenuti adatti ad alunni con DSA

Prima di ogni esercitazione grafica, ricordatevi sempre di:

Prendere appunti sul quaderno (se può esservi utile scaricate, stampate e incollate sul quaderno la tavola in formato pdf, annotandoci sopra ciò che ritenete importante)

Scrivere sul quaderno due domande sulla tavola, con la relativa risposta

In questa tavola: Composizioni geometriche

Ecco il risultato:

Composizioni geometriche 1

Di seguito, riassumiamo le istruzioni per eseguire la tavola:

Ringrazio la mia cara amica prof.ssa Daria Cartei per i preziosi suggerimenti

Esercitazione tratta da: "TecnoMEDIA PLUS, G. Arduino, Lattes.

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Composizioni geometriche ● 1 | tecnologiaduepuntozero

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Pionieri del riciclo. Primi in Toscana e tra i primi in Italia. Alla Revet di viale America, il progetto di ricerca sull'economia circolare è partito nel 2009. Quattro anni dopo c'è stata l'inaugurazione dell'impianto, con un investimento di oltre 5 milioni di euro. È nata così la Revet Recycling, in cui lavorano una ventina di persone, che si occupa del riciclo delle plastiche miste che derivano da imballaggi post-consumo (plasmix), da scarti industriali e dalla selezione delle plastiche presenti nei Raee (rifiuti da apparecchiature elettriche ed elettroniche). I "ri-prodotti" dell'azienda di Pontedera vanno perfino in Cina: un carico ogni mese prende la via del gigante asiatico, che utilizza la plastica riciclata nell'industria dei cavi leggeri. Ecco come funziona il processo del riciclo. (A cura di Eleonora Giovinazzo)

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Così si ricicla la plastica: il processo visto da vicino alla Revet di Pontedera

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È una carta che elenca dieci princìpi di stile utili a migliorare lo stile e il comportamento di chi sta in Rete.

Il Manifesto della comunicazione non ostile è un impegno di responsabilità condivisa.
Vuole favorire comportamenti rispettosi e civili.
Vuole che la Rete sia un luogo accogliente e sicuro per tutti.

Sono 10 princìpi di stile. Un impegno da assumere.

È nato in Rete e per la Rete.

1. Virtuale è reale

Dico e scrivo in rete solo cose che ho il coraggio di dire di persona.

2. Si è ciò che si comunica

Le parole che scelgo raccontano la persona che sono: mi rappresentano.

3. Le parole danno forma al pensiero

Mi prendo tutto il tempo necessario a esprimere al meglio quel che penso.

4. Prima di parlare bisogna ascoltare

Nessuno ha sempre ragione, neanche io. Ascolto con onestà e apertura.

5. Le parole sono un ponte

Scelgo le parole per comprendere, farmi capire, avvicinarmi agli altri.

1. Le parole hanno conseguenze

So che ogni mia parola può avere conseguenze, piccole o grandi.

2. Condividere è una responsabilità

Condivido testi e immagini solo dopo averli letti, valutati, compresi.

3. Le idee si possono discutere.
Le persone si devono rispettare

Non trasformo chi sostiene opinioni che non condivido in un nemico da annientare.

4. Gli insulti non sono argomenti

Non accetto insulti e aggressività, nemmeno a favore della mia tesi.

5. Anche il silenzio comunica

Quando la scelta migliore è tacere, taccio.

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Le 7 declinazioni

Grazie ad un lavoro di partecipazione collettiva, il Manifesto è stato poi declinato per diversi ambiti: per la politica, per la pubblica amministrazione, per le aziende, per l' infanzia, per lo sport, per la scienza e per l' inclusione.

I libri

Quattro sono i progetti editoriali ispirati al Manifesto: "Parole Ostili", 10 racconti scritti da 10 prestigiosi autori italiani, "Parole appuntite, parole piumate" un libretto di filastrocche per bambini scritto da Anna Sarfatti e illustrato da Nicoletta Costa, "Penso parlo posto" pensato per i ragazzi tra gli 11 e i 16 anni, "Il mio primo telefono" pensato per bambini e genitori che vogliono vivere la Rete con consapevolezza e senza rischi..

I progetti televisivi

Il Manifesto arriva in tv in due occasioni: su SuperTV, canale per bambini edito da De Agostini, grazie al volto e alla voce di Rocco Hunt e su Freesbe e K2, del gruppo Discovery Italia, e all'iniziativa "Oggy prende parola" con protagonista il cartone Oggy e i maledetti scarafaggi.

L'invio a tutte le scuole d'Italia

Il Manifesto è stato distribuito a tutte le scuole d'Italia con circolare ministeriale nella primavera del 2017 e presentato al mondo della scuola attraverso le iniziative dedicate alla formazione didattica, frutto di un protocollo d'intesa con il MIUR.

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Molti degli oggetti che usi quotidianamente sono in metallo oppure hanno parti metalliche. Che caratteristiche hanno i metalli? Da cosa si ricavano? Quali sono i più importanti?

Guarda il breve video del Canale Youtube Tecnologia Duepuntozero che introduce in modo semplice questo tema, oppure leggi l' articolo sottostante.

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Dopo aver visto il video o letto l'articolo, rispondi alle seguenti domande:

1. Cosa sono l'acciaio e la ghisa?

2. Cosa viene introdotto nell'altoforno?

3. Cosa si produce nell'altoforno?

4. Quali sono le proprietà della ghisa?

5. Quali sono le proprietà dell'acciaio?

6. Cos'è uno stabilimento siderurgico a ciclo integrale?

7. Cosa sono gli acciai speciali?

Per migliorarne le proprietà, i metalli vengono combinati insieme ad altri elementi. Le miscele composte da due o più elementi tra cui almeno un metallo sono dette leghe metalliche. Ad esempio:

l'acciaio è una lega ferro-carbonio (metallo + non metallo), ed ha una resistenza meccanica maggiore del ferro, il suo componente principale

l'ottone è una lega rame-zinco (metallo + metallo), ed è più duro del rame, il suo componente principale

1. La parola metallo deriva dal greco μέταλλον (métallon), che significa miniera. Infatti, solo pochi metalli (oro, argento, rame e platino) si trovano in natura nella loro forma metallica. Tutti gli altri, sono mischiati insieme ad altri elementi e si trovano sottoforma di minerali, dai quali dovranno essere estratti. Ad esempio: la magnetite è un minerale del ferro, la bauxite dell'alluminio.

2. Le miniere sono giacimenti da cui è possibile estrarre le rocce metallifere (oppure i combustibili solidi): possono essere giacimenti sotterranei o a cielo aperto.

3. La metallurgia è l'insieme delle tecniche e dei procedimenti necessari all'estrazione dei metalli dai loro minerali e alla loro lavorazione, per ottenere semilavorati (lingotti, lamiere...).

4. La metallurgia del ferro si chiama siderurgia.

5. I metalli ferrosi. La ghisa e l'acciaio.

6. Il ferro è un metallo che ha avuto un ruolo molto importante nello sviluppo industriale ed economico degli ultimi due secoli. I minerali più ricchi di ferro sono la magnetite e l'ematite.

7. Il ferro allo stato puro praticamente non viene utilizzato, mentre sono largamente impiegate le due sue leghe in combinazione con il carbonio:

1. Quello che comunemente chiamiamo ferro, in realtà è un acciaio contenente pochissimo carbonio.

2. Produzione

3. La produzione di queste due leghe inizia nell'altoforno, cioè un forno costituito da una torre che può raggiungere un'altezza anche di 100 m. La struttura del forno è costituita esternamente da una corazza di acciaio speciale, rivestita internamente da mattoni refrattari, cioè capaci di resistere a lungo ad elevate temperature.

4. Le materie prime che vengono inserite nella parte superiore del forno, detta bocca di carico, sono:

Nella parte centrale del forno, detta ventre, si raggiunge la temperatura di 1500°C.
Cosa succede nel ventre?

il ferro si separa dal minerale e si combina insieme al carbonio del combustibile, trasformandosi in ghisa

Le sostanze non ferrose del minerale si combinano con il fondente, andando a formare le scorie, cioè materiali di scarto utilizzati ad esempio nella produzione di cemento a presa rapida.

1. Dalla parte inferiore del forno, esce ghisa greggia, allo stato liquido. Le scorie, più leggere della ghisa, escono dal forno da un foro superiore.

2. Della ghisa greggia prodotta:

Una parte viene colata in lingotti e inviata in fonderia, ovvero allo parte dello stabilimento in cui verrà nuovamente fusa insieme a rottami di acciaio e ghisa per ottenere la ghisa di seconda fusione, usata per produrre oggetti in ghisa. Questa ghisa è detta ghisa da fonderia

L'altra parte viene colata in carri siluro che, muovendosi su rotaia, la trasportano all'acciaieria, cioè alla parte dello stabilimento in cui la ghisa viene trasformata in Questa ghisa è detta ghisa d'affinazione

Vediamo ora cosa succede nell'acciaieria. La trasformazione della ghisa greggia in acciaio (detta affinazione), consiste nella riduzione del carbonio e delle impurità, e nell'aggiunta delle ferroleghe (leghe metalliche del ferro). Questo processo avviene all'interno di grandi forni, detti convertitori, in cui vengono introdotti:

ghisa greggia fusa (proveniente dall'altoforno)

rottami di ferro

1. All'interno di questi forni viene soffiato dall'alto ossigeno puro a forte pressione, che brucia la maggior parte del carbonio disciolto nella ghisa, trasformando la ghisa in acciaio. Si tratta di una reazione molto violenta. Infatti l'acciaio fuoriesce liquido a 1600°C.

2. All'uscita dai forni, l'acciaio viene colato in un recipiente, la siviera, e da qui

in lingottiere, per ottenere lingotti

oppure in una lingottiera con il fondo aperto: in colata continua l'acciaio semi-solido scende dal fondo della lingottiera e viene tagliato alla lunghezza desiderata

1. Quello appena descritto è il processo di produzione dell'acciaio in un impianto siderurgico a ciclo integrale. Si tratta di impianti molto grandi, in cui l'acciaieria fa parte dello stesso stabilimento in cui vi è l'altoforno.

2. L'acciaio può anche essere prodotto in piccole acciaierie. Qui l'acciaio viene prodotto da rottami di ferro, anziché dal minerale. Generalmente si trovano in prossimità di zone altamente industrializzate in cui vi è abbondanza di tali rottami.

3. Utilizzi

4. Dalla colata dell'acciaio, si ottengono semilavorati dai quali si ricavano:

lamiere usate per la fabbricazioni di parti di auto, treni, navi

tubi e travi impiegati nell'edilizia, tondini (cioè barre) per cemento armato

profilati per i binari ferroviari

banda stagnata per la produzione di lattine e bombolette

1. Proprietà

2. Ma quali caratteristiche hanno la ghisa e l'acciaio? Sembra impossibile, ma una piccola differenza in percentuale di carbonio determina nei due materiali proprietà molto diverse:

3. Se entrambi i materiali hanno una buona resistenza alla compressione, l'acciaio ha una buona resistenza a trazione e flessione, al contrario della ghisa.

4. Invece, la ghisa presenta una durezza maggiore rispetto all'acciaio, resiste meglio alla corrosione, ed ha una migliore fusibilità.

5. Infine, l'acciaio è duttile e malleabile, ed è più facilmente saldabile, mentre la ghisa non lo è.

6. Acciai speciali

7. Oltre agli acciai comuni, vi sono gli acciai speciali, che contengono, oltre il ferro e il carbonio, anche altri elementi che gli conferiscono nuove proprietà. Tra questi, ricordiamo gli acciai inossidabili, che contengono cromo e nichel. La loro caratteristica principale è la resistenza alla corrosione, anche se sottoposti agli agenti corrosivi più violenti

8. Vedi anche:

9. Materiali
Proprietà dei materiali (Schema)

10. Proprietà e ciclo di vita dei materiali
Ciclo e Riciclo dei prodotti (Video)

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Metalli. Introduzione. Ghisa e acciaio. | tecnologiaduepuntozero

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Molti degli oggetti che usi quotidianamente sono in metallo oppure hanno parti metalliche. Che caratteristiche hanno i metalli? Da cosa si ricavano? Quali sono i più importanti? Guarda il breve video del Canale Youtube Tecnologia Duepuntozero che introduce in modo semplice questo tema, oppure leggi l' articolo sottostante.

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LABORATORIO: segui le sitruzioni del video . Colora e riporta in pianta anche la proiezione della copertura

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Disegno Tecnico. Capire le Proiezioni Ortogonali, in 6 minuti

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II - Applicazione pratica dello sviluppo dei solidi: calendario

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II - Tav 03 - Sviluppo di un prisma a base pentagonale e di un prisma a base esagonale

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II - Tav 05 - Sviluppo di una piramide a base esagonale e di un tronco di piramide a base quadrata

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SVILUPPO PIRAMIDE PENTAGONALE l= 5 cm , a= 10 cm

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SVILUPPO PIRAMIDE PENTAGONALE l= 5 cm , a= 10 cm

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COSTRUZIONE MODELLINO IN CARTONCINO PIRAMIDE A BASE PENTAGONALE - (1187)

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[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
I 13 poliedri archimedei o semiregolari
Partiamo dai 5 solidi platonici o regolari.

tetraedro

esaedro o cubo

ottaedro

dodecaedro

icosaedro

Tronchiamo i vertici e otteniamo cinque poliedri troncati.

I solidi archimedei sono in tutto 13 e traggono il loro nome da Archimede, che li ha trattati in un'opera ora perduta.
Il troncamento (di Archimede)
Una proprietà dei solidi archimedei: hanno tutti gli spigoli uguali.
I poliedri archimedei ottenuti troncando i poliedri platonici 1. Dal tetraedro all'ottaedro e viceversa

troncare i vertici (TV) -->

troncare di più (TP) -->

2. Dal cubo all'ottaedro e viceversa 3. Dal cubottaedro al rombicubottaedro e viceversa 4. Dal dodecaedro all'icosaedro e viceversa 5. Dall'icosidodecaedro al rombicosidodecaedro e viceversa Altri due poliedri archimedei

cubottaedro

Ogni spigolo è sostituito da 2 triangoli equilateri.

icosidodecaedro

Ogni spigolo è sostituito da 2 triangoli equilateri.

Nome e immagine

Facce

Spigoli

Vertici

Incidenza
dei vertici

cubo troncato
o esaedro troncato

14

8 triangoli
6 ottagoni

36

24

3,8,8

icosidodecaedro

32

20 triangoli
12 pentagoni

60

30

3,5,3,5

rombicubottaedro

26

8 triangoli
18 quadrati

48

24

3,4,4,4

cubottaedro troncato

26

12 quadrati
8 esagoni
6 ottagoni

72

48

4,6,8

rombicosidodecaedro

62

20 triangoli
30 quadrati
12 pentagoni

120

60

3,4,5,4

icosidodecaedro troncato

62

30 quadrati
20 esagoni
12 decagoni

180

120

4,6,10

cubo camuso
cubottaedro camuso
(2 forme chirali)

38

32 triangoli
6 quadrati

60

24

3,3,3,3,4

dodecaedro camuso
icosidodecaedro camuso
(2 forme chirali)

92

80 triangoli
12 pentagoni

150

60

3,3,3,3,5

ottobre 2005
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo

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HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa ] I 13 poliedri archimedei o semiregolari Partiamo dai 5 solidi platonici o regolari. tetraedro esaedro o cubo ottaedro dodecaedro icosaedro Tronchiamo i vertici e otteniamo cinque poliedri troncati. I solidi archimedei sono in tutto 13 e traggono il loro nome da Archimede, che li ha trattati in un'opera ora perduta.

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II - Tav 04 - Sviluppo di una piramide a base quadrata e di una piramide a base pentagonale

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PIRAMIDE a base ESAGONALE costruzione solido 3D tecnologia - how to make a hexagonal pyramid

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📹Sviluppo del tetraedro, dell'ottaedro e dell'icosaedro

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📹Sviluppo del tetraedro, dell'ottaedro e dell'icosaedro

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II - Tav 07 - Sviluppo del tetraedro, dell'ottaedro e dell'icosaedro

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[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

I poliedri regolari sono il punto d'arrivo degli Elementi di Euclide e trovano la loro continuazione nei poliedri tronchi di Archimede.
In questo laboratorio di matematica ricreativa rappresentano invece il punto di partenza per introdurre lo studio della geometria solida in 3° media.

Ecco 5 solidi particolari.
Volete imparare a costruirli con il cartoncino?

tetraedro

esaedro o cubo

ottaedro

dodecaedro

icosaedro

Le fasi della costruzione del cubo
Ciascuna fase richiede e sviluppa abilità specifiche: tagliare, piegare, incollare, risolvere problemi tecnici, essere precisi e avere una certa dose di pazienza.
Si percepiranno con il tatto gli elementi principali dei poliedri: facce, spigoli, vertici.

1. Ritagliare

2. Piegare

3. Incollare

4. Perfezionare i particolari

Ed ecco il risultato finale!

I cinque poliedri platonici in cartoncino

Il linguaggio dei poliedri
Ora è necessario indagare sulle proprietà dei solidi che abbiamo costruito imparando le parole adatte a descrivere gli oggetti e le loro proprietà.

Definizione di poliedro
Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di poligoni piani, detti facce del poliedro.

Definizioni di spigolo e vertice
In un poliedro ogni lato di ciascun poligono che costituisce una faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro.
Ogni vertice di una faccia è vertice di altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro.
Si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo comune.
Due facce adiacenti formano un angolo che si chiama diedro.

Definizioni di poliedro convesso e poliedro concavo
In parole approssimative, un poliedro è concavo se ha delle rientranze, è convesso se non ne ha.
Se vogliamo essere più "matematici", possiamo dire:Un poliedro è convesso se ha le seguenti proprietà:

ogni spigolo è comune esattamente a due facce

il piano di ciascuna faccia lascia tutte le rimanenti facce in uno dei due semispazi che individua.

Altrimenti è concavo.

Definizione di vertice regolare
Consideriamo un vertice V di un poliedro e gli spigoli in esso incidenti; in genere questi spigoli hanno lunghezze diverse e serve denotare con m la minima di esse; prendiamo su ogni spigolo un punto che disti da V una lunghezza uguale a m. Collegando questi punti otteniamo il " poligono associato al vertice": se questo poligono è regolare si dice che V è un vertice regolare.

Ad esempio, nella figura qui sopra, V è un vertice regolare perché, presi VA = VB = VC, si ha che ABC è un poligono regolare (triangolo equilatero)

Definizione di poliedro regolare
Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e uguali e i cui vertici sono tutti dotati di poligoni associati uguali e regolari, non necessariamente convessi.
Esistono 5 poliedri regolari convessi e 4 poliedri regolari concavi.

I solidi platonici
I solidi platonici, sono poliedri convessi le cui facce sono poligoni convessi, regolari e uguali.
Esistono esattamente 5 poliedri di questo tipo: il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.
Le costruzioni dei cinque poliedri regolari sono dimostrate nel libro 13° e ultimo degli Elementi di Euclide.

Le proprietà principali dei solidi platonici
I solidi platonici hanno le seguenti proprietà:

le facce sono tutte poligoni regolari uguali;

i vertici giacciono tutti su una sfera;

gli angoli diedri sono tutti uguali;

tutti i vertici sono circondati dallo stesso numero di facce.

Contiamo le facce, gli spigoli e i vertici

Solido facce (F)spigoli (S)vertici (V)

tetraedro

4

6

4

cubo

6

12

8

ottaedro

8

12

6

dodecaedro

12

30

20

icosaedro

20

30

12

La formula di Eulero
Osservando i dati della tabella, si ricava facilmente la seguente relazione:
V = S - F + 2
che è detta formula di Eulero, dal nome Leonard Euler, il grande matematico svizzero del 1700.

Più in generale, la formula di Eulero afferma che per l'intera classe dei poliedri convessi, ma anche per la più vasta gamma dei poliedri a superficie semplicemente connessa (detto banalmente, quei poliedri che non presentano "buchi" o "manici"), vale l'uguaglianza:
F - S + V = 2
Un metodo semplice per contare e calcolare facce, spigoli e vertici

icosaedro

un possibile sviluppo sul piano dell'icosaedro

Consideriamo ad esempio l'icosaedro. Non è facile contare le facce, gli spigoli e i vertici direttamente sul solido. Si corre il rischio di perdere il conto o di dimenticare qualche elemento.
Se invece osserviamo lo sviluppo sul piano possiamo seguire tre fasi.

Prima fase: contare le facce.
Nel nostro caso sono 20 triangoli;

Seconda fase: calcolare il numero degli spigoli.
Calcoliamo il numero totale dei lati di 20 triangoli: 20*3 = 60 lati
Osserviamo che in ogni spigolo vengono a coincidere 2 lati, perciò gli spigoli sono 60/2 = 30.
In generale: num. spigoli = num. lati/2.

Terza fase: calcolare il numeri dei vertici.
Si applica la formula di Eulero:
V = S - F + 2

Una curiosità: i prefissi dei nomi dei poliedri
num. facce prefisso num. facce prefisso

Le idee di Platone sui cinque poliedri regolari
Il filosofo greco Platone utilizzò i 5 poliedri regolari convessi nel suo libro intitolato Timeo, del 350 a.C., per spiegare il mondo naturale. Per questo essi sono anche chiamati figure cosmiche.
Platone associò quattro poliedri a quelli che al suo tempo erano ritenuti i quattro elementi fondamentali della natura, acqua, aria, terra, fuoco:

l'icosaedro all'acqua;

l'ottaedro all'aria;

il cubo alla terra;

il tetraedro al fuoco.

Il suo solido preferito era il dodecaedro del qual scrisse: "Restava una quinta combinazione e il Demiurgo (Dio) se ne giovò per decorare l'universo. "

La scoperta di questa figura risale almeno al VI sec. a. C., poiché oggetti a forma di dodecaedro appartenenti a quel periodo, sono stati rinvenuti in vari siti archeologici; i cristalli di pirite, che hanno forma dodecaedrica quasi perfetta, che si potevano rinvenire facilmente in molte zone della Magna Grecia, possono essere stati la fonte di ispirazione.

Cristalli di pirite (ferro) in forma cubica

Cristalli di pirite (ferro) in forma dodecaedrica

Griglie per la costruzione dei 5 poliedri regolari
Suggerimenti per l'uso (testati con Internet Explorer);
Salvate questa pagina sul vostro computer e scollegatevi da internet.
A questo punto avete varie scelte, ad esempio:
1) stampate la pagina, ritagliate le figure e fotocopiatele ingrandite su cartoncino colorato; ingranditele in modo che ciascuna occupi interamente un foglio di formato A4; io ho usato cartoncino per fotocopie da 140 gr;
Attenzione: se nella stampa le immagini risultano tagliate, cliccate su File-Imposta pagina e impostate Orientamento Orizzontale.

2) fate una copia e incolla su Word (o altro elaboratore testi) e ingranditele in modo che occupino l'intera pagina; quindi stampatele su cartoncino colorato, meglio se con stampante laser;
settembre 2005
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo

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HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa ] I poliedri regolari sono il punto d'arrivo degli Elementi di Euclide e trovano la loro continuazione nei poliedri tronchi di Archimede. In questo laboratorio di matematica ricreativa rappresentano invece il punto di partenza per introdurre lo studio della geometria solida in 3° media.

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II - Tav 06 - Sviluppo di un tronco di piramide a base pentagonale ed a base esagonale

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Sviluppo di un ottaedro e solido 3D - Tecnologia scuola media- how to make an octahedron

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Icosaedro costruzione, sviluppo, solido 3d - tecnologia scuola media - how to make an icosahedron

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sviluppo di un parallelepipedo classi seconde

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realizzazione del modello in cartoncino di un parallelepipedo

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realizzazione del modello in cartoncino di un cubo

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LABORATORIO:SOLIDI IN CARTONCINO

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di A. Giannotta, P. Vergallo

" ... alla terra diamo la figura cubica; perché delle quattro specie la terra è la più immobile, e dei corpi il più plasmabile... e poi all'acqua la forma meno mobile delle altre (icosaedro), al fuoco la più mobile (tetraedro), e all'aria l'intermedia (ottaedro): e così il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, e l'intermedio all'aria, e inoltre il più acuto al fuoco, il secondo per acutezza all'aria, e il terzo all'acqua... Restava una quinta combinazione e il Demiurgo se ne giovò per decorare l'universo (dodecaedro) "

Con queste parole Platone descrive la composizione della natura che ci circonda restituendo alla geometria una visione armonica ed un posto privilegiato nella costruzione del Cosmo. Per il Demiurgo di Platone ogni elemento assume una particolare forma geometrica ed ogni cosa segue una regola matematica: tutto è in melodica sinfonia.
Il cubo, l'icosaedro, l'ottaedro, il tetraedro e il dodecaedro vengono qui presentate come le pietre costitutive della nostra realtà e meritano, quindi, un maggiore approfondimento. Gli studi sui poliedri regolari vennero avviati dalla scuola Pitagorica (di cui Platone fu allievo) e la scoperta delle principali proprietà matematiche si devono anche al matematico Teeteo che scrisse contemporaneamente alla stesura del Timeo di Platone.

Formalmente, un solido platonico è denominato in matematica poliedro regola re. La definizione tecnica di poliedro risulta un po' astrusa, ma con qualche semplice riflessione si può facilmente comprendere di cosa stiamo parlando.

Chiamiamo poliedro tridimensionale un sistema finito di poligoni giacenti su
piani distinti, posti in modo tale che in ogni spigolo si incontrino esattamente
due facce e che sia possibile passare da uno di tali poligoni a qualunque altro
esclusivamente oltrepassando spigoli

Intuitivamente, immaginiamo di prendere un insieme di poligoni e di posizionarli in modo tale che due di questi non si trovino mai sullo stesso piano. In seguito "avviciniamoli" e "uniamoli" facendo coincidere esattamente due spigoli (non di più e non di meno) di due poligoni differenti senza mai "tagliare" poligoni tra loro. Questo è un poliedro.
Possiamo davvero sbizzarrirci nel presentare esempi di poliedri, tanto in natura quanto in architettura o negli oggetti che troviamo quotidianamente intorno a noi. Sono poliedri i grattacieli, le pietre squadrate, i contenitori e le scatole delle più disparate forme.

Per il caso specifico di solidi platonici, però, ci limitiamo nello scegliere solo poligoni regolari (con i lati uguali e gli angoli congruenti tra loro). In tal caso, poliedri come una domus romana (con il tipico patio centrale) sicuramente non è regolare poichè composto da rettagoli, o ancora, per lo stesso motivo, non lo è un grattacielo.
D'altro canto, il cubo è sicuramente un esempio di poliedro regolare.

Le origini di questa particolare famiglia di solidi sono molto antiche, infatti, vanno ricercate nella Grecia del IV secolo a.C. . Essi vengono definiti "platonici" in onore del filosofo e matematico Platone in quanto fu il primo a produrre una testimonianza scritta di tali solidi, nel dialogo denominato "Timeo", di cui abbiamo letto uno straflcio poco fa.

L'idea di totale perfezione e armonia che suscitano i poliedri regolari ha scaturito un forte interesse, nel corso degli anni, da parte di molti artisti più o meno famosi.
I solidi Platonici occupano un posto privilegiato nell'arte rinascimentale, colpa forse dell'avvicinamento degli artisti allo studio della geometria, per introdurre concetti come la prospettiva, la luce e le proporzioni.
Fu Piero della Francesca nel trattato " De quinque corporibus regularibus" ad affermare in modo non matem atico ma "artistico" che la realtà è costituita da oggetti di ogni forma ma, ognuno di essi, può essere ricondotto ad uno dei cinque poliedri regolari. Il testo fu tradotto in volgare da Fra Luca Pacioli con il titolo " Divina Proporzione" dove vennero inseriti i dipinti e raffiguravano i solidi platonici di Leonardo Da Vinci, il quale si occupò personalmente di studiarne le peculiarità. Ritroviamo i poliedri regolari anche molti anni più tardi nell' " Ultima cena" di Salvador Dalì, che si svolge interamente all'interno di un dodecaedro. Più recentemente incontriamo Lucio Zafferano che minuziosamente ha posto i solidi platonici al centro di ogni sua opera, tra queste è interessante ricordare " Monumento a Keplero' '.

Una delle motivazioni che ha reso i solidi platonici fonte di ispirazione per molti artisti nel corso dei secoli è sicuramente stata la ricchezza di proprietà geometriche di questi particolari poliedri, che hanno giocato un ruolo primario di "venerazione" sia dal punto di vista matematico che dal punto di vista più profondamente esoterico. Il legame che lo stesso Platone aveva riscontrato tra la natura e i poliedri regolari ha continuato a sviluppare nel tempo un'idea mistica del concetto di solido platonico: analogamente agli elementi che formano la natura, anche questi poliedri sono strettamente legati tra loro e, ancor più misteriosamente, sono gli unici possibili.

In effetti, proprietà come la dualità e l' esistenza di solo cinque tipi di solidi platonici hanno permesso a quest'aura divina di presentarsi come intrinseca in essi, come se il tetraedro, l'ottaedro, l'icosaedro, il dodecaedro e il cubo avessero effettivamente un'origine ultraterrena.
La dualità, in particolare, è una caratteristica di tutti i poliedri (anche se composti da poligoni irregolari), ma assume un aspetto più interessante se applicata a poliedri regolari.
Prima di analizzare la dualità nei solidi platonici cerchiamo di dare una breve definizione:
Dato un generico poliedro P, sappiamo che esso ha un determinato numero di vertici, spigoli e facce, definiamo, quindi, duale di P un poliedro avente:

1. Vertici: i baricentri delle facce di P;

2. Spigoli: i segmenti che uniscono i baricentri delle facce di P;

3. In modo molto più semplice e intuitivo possiamo definire duale del poliedro P come il poliedro ottenuto scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di P.

Naturalmente si può notare che il duale del duale P è P stesso.
Se proviamo a trovare il duale di un solido platonico possiamo osservare che esso è ancora un solido platonico infatti:

1. Il duale del cubo è l'ottaedro e viceversa, infatti il cubo ha 6 facce ed 8 vertici mentre l'ottaedro ha 8 facce e 6 vertici;

2. Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro e viceversa, infatti l'icosaedro ha 20 facce e 12 vertici mentre il dodecaedro ha 12 facce e 20 vertici;

3. Il duale del tetraedro è ancora un tetraedro poiché esso ha 4 facce e 4 vertici e quindi scambiando si ha ancora un tetraedro. Poiché ha questa particolare caratteristica esso è detto autoscale.

Allo stesso modo si può costruire il duale di un solido platonico congiungendo i baricentri di tutte le facce. Essendo queste uguali tra loro, il solido che generano sarà ancora composto da poligoni tutti della stessa forma (regolare).

Guardando con gli occhi di un chimico, i solidi platonici sono particolari configurazioni nello spazio degli atomi di una specifica molecola.
Ad esempio, il metano si può rappresentare graficamente tramite un tetraedro. In effetti, la sua composizione atomica è identificato dalla formula $$CH_4$$ ed è, pertanto, composto da quattro atomi di idrogeno posizionati in maniera equidistante da un atomo di carbonio al centro. Geometricamente si ha un assetto di tipo tetraedrico, come nell'immagine:

Un altro caso emblematico è quello dell'esafluoruro di zolfo, avente formula bruta $$SF_6$$ e forma ottaedrica, come nell'immagine:
In questa molecola è chiaro come l'unico atomo di zolfo si debba posizionare al centro di una struttura avente sei vertici nei 6 atomi di fluoro posizionati da esso in maniera equidistante. L'unico poliedro di questa tipologia è regolare ed è l'ottaedro.

La motivazione chimica per cui gli atomi si dispongono in questa maniera la si ritrova nella presenza di cariche negative presenti sugli atomi ai vertici che si respingono tra loro, secondo un processo detto ingombro sterico. La posizione scelta è la più lontana possibile, vincolata però dal legame con l'atomo interno. In tal caso i vertici sono tutti giacenti su di una sfera avente raggio la distanza di un vertice dall'atomo centrale e centro in quest'ultimo.

Quando Platone parlò di poliedri regolari ne scelse esclusivamente cinque, identificandoli come già visto con cinque elementi presenti in natura. Per anni ci si chiese se questi fossero gli unici solidi plationici possibili o ve ne fossero degli altri.
Pensandoci, a prima impressione, non sembra ci sia alcuna motivazione per cui un poliedro regolare costruito come nella definizione debba essere esclusivamente tra uno di questi cinque. Eppure, tentandoci, si può osservare che la costruzione di un solido platonico "ulteriore" risulta un'ardua impresa.
La questione è: siamo noi incapaci di trovarne degli altri o questi non esistono?
La natura vuole, in realtà, che Platone non si sbagliasse e che, per fortuna, vi sono solo cinque poliedri che soddisfano la definizione di solido platonico. In termini più mistici, possiamo assicurarci che non esistono altri elementi naturali che non conoscimento o almeno questi non saranno solidi platonici.

Dimostrazione unicità

(La lettura di questa sezione risulta unappendice più tecnica ma facilemnte comprensibile anche ad un pubblico non esperto)

Consideriamo, allora, un poliedro regolare $$P$$. Per definizione esso è composto da un numero $$F$$ di poligoni regolari, da un numero $$V$$ di vertici e da $$S$$ spigoli. Ad esempio, un tetraedro ha 4 facce ($$F$$=$$4$$), 4 vertici ($$V$$=$$4$$) e 6 spigoli ($$S$$=$$6$$).
Non è difficile convincersi del fatto che se $$P$$ è un poliedro regolare, su ogni vertice $$V$$ giunge sempre lo stesso numero di spigoli. Chiamiamo questo numero $$n$$. Allo stesso modo, ogni faccia ha lo stesso numero $$r$$ di lati (che è proprio il numero di lati del poligono regolare scelto). Ad esempio, nel caso del tetraedro ogni faccia ha 3 lati e ogni vertice ha 3 spigoli. Ricordando, infine, che ogni lato ha 2 vertici e che ogni spigolo ha 2 facce si ha:

$$V\cdot n=2S \quad \Rightarrow \quad V=\frac{2S}{n}$$
$$F\cdot r=2S\quad \Rightarrow \quad F=\frac{2S}{r}$$

Per i poliedri regolari vale poi la Formula di Eulero: $$F+V=S+2$$ anche nota con la formula "Fatti Vedere Sabato alle 2". Quindi sostituendo quanto trovato prima $$\frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}=S+2$$ e dividendo per $$\frac{S}{2}$$ si ha la formula: $$\frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{r}$$
Per il loro significato geometrico vale sicuramente che $$r\geq 3$$ e $$n\geq 3$$ ma anche che essi non possono entrambi essere maggiori di 4. Se così fosse:

$$r\geq 4 \quad n\geq 4 \Rightarrow \frac{1}{r}\leq \frac{1}{4} \quad \frac{1}{n}\leq \frac{1}{4}$$

e quindi

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{r}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0$$

da cui si avrebbe un numero di spigoli $$S$$ negativo.

Ne deduciamo che o $$r=3$$ oppure $$n=3$$.

Se $$r=3$$ allora

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6-n}{6n}>0$$

e quindi $$6-n>0$$, cioè $$n=3, ,4, 5$$ e analogamente per $$n=3$$ $$r=3,4,5$$
Dalle varie combinazioni si hanno cinque casi differenti:

$$(3,3)\quad (3,4)\quad (3,5)\quad (4,3)\quad (5,3)$$

Ricordando che $$r$$ è il numero di lati per faccia e $$n$$ il numero di spigoli per vertice si hanno i cinque solidi platonici:

1. $$r=3$$ e $$n=3$$ è il caso del tetraedro;

2. $$r=3$$ e $$n=4$$ è il caso del cubo;

3. $$r=3$$ e $$n=5$$ è il caso del dodecaedro;

4. $$r=4$$ e $$n=3$$ è il caso dell'ottaedro;

5. $$r=5$$ e $$n=3$$ è il caso dell'icosaedro.

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Terra, Fuoco, Acqua, Aria e.. i solidi di Platone.

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" ... alla terra diamo la figura cubica; perché delle quattro specie la terra è la più immobile, e dei corpi il più plasmabile... e poi all'acqua la forma meno mobile delle altre (icosaedro), al fuoco la più mobile (tetraedro), e all'aria l'intermedia (ottaedro): e così il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, e l'intermedio all'aria, e inoltre il più acuto al fuoco, il secondo per acutezza all'aria, e il terzo all'acqua...

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IL PRESEPE CON LA PIXEL ART

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Metodo di studio. Impariamo a schematizzare... il legno