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* Diego Morocho.
*Alexis Montaño

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                                                  Ejemplo 1:

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                                                  Ejemplo 1:

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Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad 2n > n2 + 4n + 5.

Al examinar los valores de n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 nos damos cuenta que la desigualdad es incorrecta, pero si es verdadera para n = 7, por lo que podemos intentar demostrar por el método de Induccion Incompleta que para todos los valores de n ≥ 7, la desigualdad es verdadera.
Paso 1.- Si n = 7, obtenemos 27 = 128 > 72 + 4 · 7 + 5 = 82 o sea, cuando n = 7 la desigualdad es correcta.
Paso 2.- ( Hipótesis Inductiva) Se supone que la desigualdad es verdadera para un cierto valor de n = k, o sea, 2k > k2 + 4k + 5.
Paso 3.- Finalmente a partir de la hipótesis inductiva, se desea probar la Tesis dada por 2(k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5. Al multiplicar la desigualdad dada en la hipótesis inductica por 2, obtenemos 2(k+1) > 2k2 + 8k + 10 Transformando el segundo miembro de esta desigualdad obtenemos 2(k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 + k2 + 2k Teniendo en cuenta que k2 + 2k > 0 para todo k ≥ 7, podemos deducir que 2(k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5, obteniendo lo que se requeria demostrar (Tesis).

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                                             Ejemplo 2:

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                                             Ejemplo 2:

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Probar que ∀n ∈ N : 1·3+2·4+3·5+...+n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6
Solución: Sea p(n) : 1 · 3+2 · 4+3 · 5 + ... + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7)/6
Entonces p(1): 1 · 3 = 1(1 + 1)(2 · 1 + 7)/6=2 · 9/6=3, lo que prueba que p(1) es verdadera.
Hipótesis inductiva:  1 · 3+2 · 4+3 · 5 + ... + k(k + 2) = k(k + 1)(2k + 7)/6. ( Suponemos que p(n) es verdadera )
Tesis: 1 · 3+2 · 4+3 · 5 + ... + k(k + 2) + (k + 1)(k + 3) = (k + 1)(k + 2)(2k + 9)/6. ( Queremos probar que p(k+1) es verdadera).
Tenemos: 1 · 3+2 · 4+3 · 5 +...+k(k +2) + (k + 1)(k + 3) = k(k + 1)(2k + 7)/6+(k + 1)(k + 3) = (k + 1) 6 (k(2k + 7) + 6(k + 3)) = (k + 1)(2k2 + 13k + 18)/6=(k + 1)(2k + 9)(k + 2)/6 lo que prueba que p(k + 1) es verdadera.
Luego, la formula 1 · 3+2 · 4+3 · 5 + ... + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7)/6 es verdadera para todo n ∈ N.

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                                            Ejemplo 3:

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                                            Ejemplo 3:

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Pruebe que la fórmula 1 · 2+2 · 3+3 · 4 + ... + n · (n + 1) = n(n + 1)(n + 2) /3 es válida para todo natural n.
Demostración. Sea p(n), 1 · 2+2 · 3+3 · 4 + ... + n ·(n + 1) = n(n+1)(n+2)/3 .
Entonces p(1), 1 · 2 = 1·2·3 /3 = 2 es verdadera.
Hipótesis Inductiva: p(k) verdadera, es decir 1 · 2+2 · 3+3 · 4 + ... + k · (k + 1) = k(k + 1)(k + 2)/3
Tesis: Por demostrar p(k + 1), es decir 1 · 2+2 · 3+3 · 4 + ... + k · (k + 1) + (k + 1) · (k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3) /3.
Sumando (k + 1)·(k + 2) a ambos lados a la igualdad de la hipótesis inductiva se obtiene:
1 · 2+2 · 3+3 · 4 +...+k·(k + 1) + (k + 1)·(k + 2) = k(k + 1)(k + 2)/ 3 + (k + 1)·(k + 2)
luego sólo resta probar que:
k(k + 1)(k + 2) /3 + (k + 1) · (k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)/ 3
Factorizando por (k +1)(k +2), se tiene (k +1)(k +2)(1+ k 3 ) = (k+1)(k+2)(k+3) /3 , que es justamente la tesis deseada y lo que prueba que p(n) es verdadera para todo natural n.

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Fotográfias del Grupo:

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                                                                                                   Principio de inducción Matemática

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                                                                                                   Principio de inducción Matemática

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Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones :
Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.
Paso 2.- Hipótesis de Inducción . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un número natural cualesquiera.
Paso 3.- Tésis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, p(k) verdadera ⇒ p(k + 1) verdadera.
La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3.
Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto Dominío”. Si imaginamos una fila infinita de fichas de dominío: dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente , entonces si el volteamiento de la primera ficha provoca el volteamiento de la segunda ficha, por el Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada.
Existen dos variantes útiles sobre el Principio de Inducción Matemática que deben ser considerados . En la primera variante, la proposición por demostrar involucra los naturales no menores a un natural fijo n0, en este caso el Principio de Inducción quedaria como sigue:
Si p(n) es verdadera para n0 y si p(m + 1) es verdadera para todo natural m ≥ n0 para la cual p(m) es verdadera, entonces p(n) es verdadera para todo natural n ≥ n0.
La segunda variante se aplica de preferencia en el caso cuando p(m + 1) no puede ser fácilmente deducible de p(m), pero su válidez depende de p(k) para cualquier k  < m.  Si p(1) es verdadera y si p(m + 1) es verdadera para todo m ≥ 1  para la cual todas las proposiciones p(1), p(2), p(3), ..., p(m) son verdaderas , entonces p(n) es verdadera para n ≥ 1. Para ilustrar el uso de estas variantes, consideremos los siguientes ejemplos.

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3. Aplica los elementos del principio de inducción (Proposición, Hipótesis inductiva y Tesis inductiva) en la comprobacion de una afirmación matemática.

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3. Aplica los elementos del principio de inducción (Proposición, Hipótesis inductiva y Tesis inductiva) en la comprobacion de una afirmación matemática.

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                                                                                                EJEMPLOS DE REGLAS DE INFERENCIA:

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                                                                                                EJEMPLOS DE REGLAS DE INFERENCIA:

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Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir?

Si llueve hay nubes.
Hay nubes.
- - - - - - - - - - - - -
Si haces la tarea te llevo al cine.
Lo vimos en el cine.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que hizo la tarea.
Analicemos los casos simbólicamente, en el primero:

p: llueve
q: hay nubes

con símbolos queda:

p → q
q
- - - - - -

En el segundo caso

p: hacer la tarea
q: llevarlo al cine
- - - - - - - - - -

con símbolos:

p → q
q
- - - - - -

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que en uno sí y en el otro no.

La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida. A continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no.

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                                                                       Obtención de conclusiones a partir de premisas dadas:

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                                                                       Obtención de conclusiones a partir de premisas dadas:

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Se denomina premisa a una proposición verdadera o que se supone que es verdadera. Se llama conclusión a la proposición que debe deducirse y que debe ser verdadera.

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             Regla de unión o adjunción –RU

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             Regla de unión o adjunción –RU

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Esta regla establece que dada una premisa verdadera como antecedente de dos condicionales verdaderos, entonces se puede concluir la conjunción de los consecuentes. Simbólicamente,

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Esta regla indica que si se tiene una disyunción de una premisa consigo misma, se puede inferir la premisa dada. Simbólicamente,

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      Regla del dilema constructivo –RDC

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      Regla del dilema constructivo –RDC

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Esta regla señala que si se tienen dos condicionales y la disyunción de los antecedentes entonces se puede concluir la disyunción de sus consecuentes. Simbólicamente,

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Esta regla indica que si se tienen dos condicionales tales que el antecedente del segundo es el consecuente del primero, entonces se puede inferir como conclusión un condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo. Simbólicamente,

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De esta regla se puede determinar que de una premisa se puede deducir como conclusión la disyunción de la premisa con otra cualquiera. Simbólicamente,

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Esta regla establece que de la conjunción de premisas se puede inferir una de ellas. Simbólicamente,

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Esta regla indica que si una disyunción de premisas es cierta y una de sus premisas es falsa, entonces la otra premisa es necesariamente verdadera. Simbólicamente,

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Esta regla señala que si la implicación de premisas es verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente es necesariamente falso. Simbólicamente,

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Esta regla establece que si la implicación de premisas y su antecedente son verdaderos, su consecuente es necesariamente verdadero. Simbólicamente,

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                                                    Abductiva

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                                                    Abductiva

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es semejante a la deductuva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

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          Transductiva (de particular a particular o de general a general) 

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          Transductiva (de particular a particular o de general a general) 

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Con el mismo caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

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                                 Deductiva (de lo general a lo particular)

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                                 Deductiva (de lo general a lo particular)

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Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso se encuentran MPP: Modus PonendoPonens y MTT: Modus TollendoTollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

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                                   Inductiva (de lo particular a lo general)

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                                   Inductiva (de lo particular a lo general)

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Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluímos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sóla mentira.

Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.

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                                                                                                                                                                      Inferencia:

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                                                                                                                                                                      Inferencia:

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La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas. En lógica, especialmente en lógica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión. Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

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2. Aplicar las reglas de inferencia lógica matemática en la obtención de conclusiones a partir de premisas dadas.

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2. Aplicar las reglas de inferencia lógica matemática en la obtención de conclusiones a partir de premisas dadas.

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Demostraciones Matemáticas

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                                     Teorema:

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                                     Teorema:

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Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.

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                                    Tesis:

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                                    Tesis:

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Es aquello que se deduce; el punto de llegada; lo que se cumplirá. Lo que quiere probarse que también es cierto.

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                                      Hipótesis:

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                                      Hipótesis:

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Es una proposición de la que se parte para comprobar la veracidad de una tesis mediante argumentos válidos.

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                                       Corolario:

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                                       Corolario:

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Son aquellas proposiciones que se siguen directamente de un axioma o de un teorema. Por ejemplo, se sigue del axioma “hay sólo una recta que pasa por dos puntos” que “dos rectas se pueden intersecar en a lo más un punto”.

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                                        Lema:

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                                        Lema:

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Es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general. El término proviene del griego λήμμα, que significa cualquier cosa que es recibida, tal como un regalo, una dádiva o un soborno.

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                                         Axioma:

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                                         Axioma:

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Es una proposición que, por el grado de evidencia y de certeza que exhibe, es admitida sin demostración.  Una demostración o prueba en un sistema axiomático es una secuencia finita de fórmulas bien formados donde cada uno de ellos es o bien un axioma o una fórmula obtenida como consecuencia de algunas de las reglas de deducción. El último enunciado de una demostración es llamado teorema o también fórmula derivada.

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1. Definiciones básicas (Axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.

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1. Definiciones básicas (Axioma, lema, corolario, hipótesis, tesis, teorema) utilizadas en las demostraciones matemáticas.