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Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck ...) und mehreren Dreiecken besteht. Das Vieleck bildet die Grundfläche (unten das blaue Rechteck) und die Dreiecke die Mantelfläche der Pyramide.

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Berechnungsgrundlagen

Quadratische Pyramide (YouTube)
Berechnung des Volumens (V)
Das Pyramidenvolumen hat 3-mal Platz im Volumen eines Quaders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Um das Pyramidenvolumen (V) zu berechnen, wird die Volumenformel des Quaders "Grundfläche (G) · Höhe (h)" durch drei geteilt.
Berechnung der Oberfläche (O)
Die Oberfläche einer Pyramiden besteht aus den Dreiecken der Mantelfläche und der Grundfläche. Die Grundfläche besteht aus einem Vieleck. Für die Berechnung des Oberflächeninhaltes einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche gilt folgende Formel:

Achtung! Die Höhe der Manteldreiecke unterscheidet sich von der Pyramidenhöhe.

Aufgabe 1: Ziehe an den orangen Gleitern der Grafik und beobachte, wie sich die Pyramide und das Pyramidenetz verändern.

Formeln

Die untere Tabelle gibt an, wie Oberfläche und Volumen der Pyramide berechnet werden. Grundsätzlich gilt:

Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche

Volumen = Grundfläche · Pyramidenhöhe : 3

Generell ist darauf zu achten, dass mit unterschiedlichen Höhenangaben gerechnet wird. Für die Berechnung der Oberfläche wird die Höhe der schrägliegenden Seitendreiecke benötigt (Grafik unten: h a; h b). Für die Berechnung des Volumens wird die Höhe der Pyramide benutzt (Grafik unten: h).

Aufgabe 5: Der folgende Körper besteht aus zwei quadratischen Pyramiden. Trage das Volumen ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Der Körper hat ein Volumen von cm³.

Aufgabe 6: Der folgende Körper besteht aus einer quadratischen Pyramide und einem Quader. Trage das Volumen ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Der Körper hat ein Volumen von cm³.

Aufgabe 7: Aus einem Quader mit einer quadratischen Grundfläche wurde eine Pyramide ausgehöhlt. Trage das Volumen ein. Runde auf eine Nachkommastelle.

Der Körper hat ein Volumen von cm³.

Aufgabe 9: Gestalte mit Hilfe der orangen Gleiter eine quadratische Pyramide mit einem Volumen von cm³. Die roten Linien markieren Höhe und Breite. Sinnvoll einstellbar sind als Breite 4, 8, 12 und 16 cm. Als Höhe sind 3 bis 15 cm möglich.
Keine Kavaliersperspektive Kästchenlänge: 1 cm
Oberfläche

Aufgabe 10: Trage die Grund-, die Mantel- und die Oberfläche der quadratischen Pyramide ein.

Aufgabe 11: Trage Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche der Pyramiden ein.

Versuche: 0

Aufgabe 14: Berechne die fehlenden Werte der quadratischen Pyramiden.
AG: Grundfläche; AM: Mantelfläche; O: Oberfläche
Aufgabe 15: Gestalte mit Hilfe der orangen Gleiter ein Pyramidennetz mit einer Oberfläche von cm².
Kästchenlänge: 1 cm
Gemischte Größen

Aufgabe 16: Trage die fehlenden Größen der quadratischen Pyramiden mit allen Nachkommastellen ein.
AG: Grundfläche; V: Volumen
Aufgabe 17: Trage Volumen und Oberfläche der quadratischen Pyramiden ein. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 18: Trage die fehlenden Größen der Pyramiden ein.

Aufgabe 19: Das Volumen einer quadratischen Pyramide beträgt . Eine Seite der Grundfläche ist lang. Welche Höhe hat die Pyramide?

Die Pyramide hat eine Höhe von cm.

Satz des Pythagoras

Pythagoras in Kegel und Pyramide (YouTube)

Aufgabe 20: Klick unten auf "Auto" und du kannst erkennen, wo in einer Pyramide u.a. rechtwinklige Dreiecke vorhanden sind, deren Seiten durch den Satz des Pythagoras zu ermitteln sind. Mit den Pfeil-Buttons kannst du von Bild zu Bild navigieren.
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Aufgabe 21: Betrachte die beiden Grafiken und finde heraus, welche Größe unten gesucht wird. Trage sie ein.

a = Seitenlänge; h P = Pyramidenhöhe; h D = Höhe des Manteldreiecks

Versuche: 0

Aufgabe 25: Berechne mit den vorhandenen Angaben verschiedener quadratischer Pyramiden die folgenden Größen.

Versuche: 0

Aufgabe 26: Aus einem 20 cm breiten Würfel wird mit 2 cm Kantenabstand auf jeder Seite die Form einer 8 cm tiefen Pyramide ausgehöhlt. Welche Oberfläche hat der so entstandene Körper? Runde das Ergebnis auf ganze Quadratzentimeter.

Der Körper hat eine Oberfläche von cm².

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 27: Trage die Länge der Diagonale (d) und die Pyramidenhöhe (h) ein.

Angaben in cm
Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 28: Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide (inkl. Quader) und des halb so hohen Quaders.

V Pyramide = cm³; V Quader = cm³

Auswertung
Bastelvorlage eines Pyramidenschnitts herunterladen
Versuche: 0

Aufgabe 29: Trage die fehlenden ganzzahligen Werte für die gesuchten Strecken einer quadratischen Pyramide ein. Hier muss der Satz des Pythagoras einige Male angewendet werden.

Hinweis:

Versuche: 0

Aufgabe 30: Im roten Würfel befindet sich ein gelber Oktaeder (Achtflächler), dessen Oberfläche aus gleichseitigen Dreiecken besteht. Die Spitzen des Oktaeders treffen genau die Mitte der Würfelflächen. Der Würfel hat eine Kantenlänge von . Wie groß ist das Volumen und die Oberfläche des gelben Oktaeders? Trage die ganzzahligen Werte ein.

Aufgabe 31: Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante (a) 10 cm und die Höhe (h) 12 cm. In diese Pyramide ist ein Dreieck schräg eingelagert.

Dreieckspunkt A berührt die untere, linke Spitze.

Dreieckspunkt B berührt die Mitte der rechten Grundkante.

Dreieckspunkt C berührt die Mitte der vorderen, rechten Seitenkante.

Trage den Umfang des Dreiecks ein. Runde auf ganze Zentimeter.

Das Dreieck hat einen Umfang von cm.

Auswertung

Versuche: 0

Sachaufgaben

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 33: Die Cheopspyramide hat eine quadratische Grundfläche. Nach ihrer Fertigstellung hatte sie eine Seitenlänge von 440 Königsellen (1 Königselle ≈ 52,3 cm) und eine Höhe von 280 Königsellen. Trage unten das ganzzahlige Volumen der Pyramide in Kubik-Königsellen ein.

Die Pyramide hatte ein Volumen von ,33 Königsellen³.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 34: Moderne Lang-Lkw (Gigaliner) können bis zu 25,25 m lang sein und weisen ein Ladevolumen von 157 m³ auf. Die "Königselle" ist in Aufgabe 26 mit 52,3 cm angegeben. Wie viele Gigaliner wären nötig, um bei diesem Umrechnungswert das Volumen der ursprünglichen Pyramide aus Aufgabe 26 abzutransportieren? Runde auf Hunderter.

Um das Volumen der ursprünglichen Pyramide abzutransportieren, wären Gigaliner notwendig.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 35: Ein Kirchturmdach hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Seiten der Grundfläche haben eine Länge von . Die Pyramidenspitze befindet sich über der Grundfläche. Berechne die Dachfläche des Kirchturms und trage den ganzzahligen Wert deines Ergebnisses ein.

Der Kirchturm hat eine Dachfläche von m²

Aufgabe 36: Eine quadratische Pyramide aus Aluminium (Dichte = 2,7 g/cm³) hat eine Grundseite von und wiegt . Wie hoch ist die Pyramide?

Die Pyramide hat eine Höhe von cm.

Pyramidengrundfläche ist kein Viereck

Aufgabe 38: Bei einem regelmäßigen Tetraeder (Körper aus vier gleichseitigen Dreiecken) ist die Seitenkante (s) lang. Trage unten den ganzzahligen Wert des Oberflächeninhalts ein. Berechne zuerst die Höhe der Dreiecksseite (h s).

O = , cm²

Aufgabe 39: Eine Pyramide hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge (a) von 6 cm. Die Höhe eines Seitendreiecks () beträgt . Wie groß ist die Oberfläche dieser Pyramide? Trage den fehlenden ganzzahligen Wert unten ein.

Die Oberfläche beträgt , cm²

Aufgabe 40: Eine Pyramide besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken (gelb). An jede ihrer Seiten wird passend eine genauso große Pyramide geklebt (rot, grün, pink, blau). Welches Volumen und welchen Oberflächeninhalt hat der so aus 5 Pyramiden neu entstandene, zusammengesetzte Körper, wenn die Seitenkante (s) einer Pyramide 40 cm lang ist? Trage den ganzzahligen Wert ein.

Hilfe: Die Pyramidenhöhe (h) schneidet die Winkelhalbierende der Grundfläche in einem Verhältnis von 2:1 (siehe Grafik).

O = , cm² | V = , cm³

Trigonometrie

Aufgabe 42: Berechne a) das Volumen und b) den Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide mit einer Parallelschnittfläche, die folgende Größen aufweist: und . Runde das Ergebnis auf ganze Kubik- und Quadratzentimeter.

Aufgabe 43: Berechne a) das Volumen und b) den Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide mit einer Diagonalschnittfläche, die folgende Größen aufweist: und . Runde das Ergebnis auf ganze Kubik- und Quadratzentimeter.

Aufgabe 45: Aus einer quadratischen Pappe mit der Seitenlänge wird der Mantel einer quadratischen Pyramide ausgeschnitten. Welches Volumen hat die Pyramide? Runde auf ganze Kubikzentimeter.

Die Pyramide hat ein Volumen von cm³.

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Online Übungen zur Berechnung von Oberfläche und Volumen von Pyramiden

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Grundkante
Grundfläche
Köperhöhe
Seitenfläche
Seitenkante
Seitenhöhe
Spitze

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Ein Körper heißt Pyramide, wenn er von einem Dreieck, Viereck, Fünfeck usw. als Grundfläche und von Dreiecken als Seitenflächen begrenzt wird, die einen Punkt S gemeinsam haben. Der Punkt S ist die Spitze der Pyramide. Der Abstand der Spitze der Pyramide von der Grundfläche heißt Höhe der Pyramide.

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Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche oder Kugelkörper.

Kugelfläche und Kugelkörper

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt ( , , ) und Radius ist die Menge aller Punkte ( , , ), für die

erfüllt ist.

In Vektorschreibweise mit , :

,

,

oder

.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie , andernfalls Kleinkreis.

Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).

Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.

Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.

Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.

Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.

Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein Kreis, ein Punkt oder leer.

Ist der Schnitt ein Kreis, so lässt er sich in Parameterform darstellen: s. Ebene Schnitt eines Ellipsoids.

Allerdings kann eine Kugel auch kompliziertere Flächen in einem Kreis schneiden:

Ein nicht leerer Schnitt einer Kugel mit einer Rotationsfläche, deren Achse durch den Mittelpunkt der Kugel geht, besteht aus Kreisen und/oder Punkten.

Im Bild schneidet eine Kugel einen Zylinder in zwei Kreisen. Wäre der Radius des Zylinders gleich dem Kugelradius, bestünde der Schnitt aus einem Berührkreis. Ein Rotations-Ellipsoid mit demselben Mittelpunkt wie die Kugel und dem Kugelradius als großer Halbachse würde die Kugel in zwei Punkten (Scheiteln) berühren.

Diese Eigenschaft wird in der darstellenden Geometrie zur Konstruktion von Punkten der Schnittkurve von Rotationsflächen verwendet (siehe Hilfskugelverfahren.)

Ist die Kugel in Parameterform

gegeben, so erhält man Clelia-Kurven, wenn man

setzt. Spezialfälle davon sind: vivianische Kurven ( ) und Kugelspiralen ( ).

Die Kurve auf der Erdkugel, welche die Meridiane (Längskreise) immer unter dem gleichen Winkel schneidet, ist eine Loxodrome. Sie schlingt sich spiralartig um die Pole, die ihre beiden asymptotischen Punkte sind, d. h. sie enthält nicht die Pole. Sie ist keine Kugelspirale im obigen Sinne. Es besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen den Winkeln und .

Wird eine Kugel von einer anderen Quadrik (Zylinder, Kegel ...) geschnitten, so entstehen bei geeigneten Radien, Parameter ... Schnittkurven.

Beispiel: Kugel - Zylinder

(s. implizite Kurve, Bild)

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung)

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius und Höhe einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius und Höhe entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

Für einen beliebigen Abstand zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

Radius im Abstand :

Kreisfläche im Abstand :

Volumen der Kugel :

Eine Kugel mit Radius , deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben, wobei die Raumkoordinaten sind.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch

Mit der Funktionaldeterminante

ergibt sich das benötigte Volumenelement als

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel" des Koordinatensystems mittels der Variablen und fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch und . Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: (Stichwort: Flächenelement)

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

Die Gleichung für den Kreis ist

mit Mittelpunkt

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert hat. Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

Ihr Flächeninhalt ist und damit gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.

Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

Begründung

Teilt man eine Kugel auf in:

Schichten mit einer Höhe von jeweils und

„Meridiane", die am Äquator ebenfalls den Abstand zueinander haben

Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich: ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche" und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:
.

Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu .

Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, "Ansicht von oben".

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d. h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt am Äquator beträgt ( wobei gegen strebt, da am Äquator schneller gegen strebt als gegen ).

Da alle Felder also den Inhalt haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: .

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius . Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

( = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen ergibt sich:

Da das Kugelvolumen mit

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

Aus der ersten Guldin'schen Regel

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

Für das Flächenelement auf Flächen = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.

In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung . Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene (Krümmung 0) abgebildet werden kann.

Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen - mit Ausnahme des Äquators.

Durch die stereografische Projektion kann die Kugel - bis auf den „Nordpol" - bijektiv auf die Ebene abgebildet werden. Dadurch kann z. B. der Vier-Farben-Satz auf die Kugel übertragen werden. Durch die umgekehrte Abbildung kann die Ebene bijektiv auf die Kugeloberfläche ohne „Nordpol" abgebildet werden, der „Nordpol" steht dann für den „unendlich fernen Punkt". In der Funktionentheorie wird auf diese Art die komplexe Zahlenebene auf die Kugel übertragen (riemannsche Zahlenkugel), sie ist damit eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht 0.

Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius , Höhe = , siehe Bild) ist . Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

Die Kugel rollt auf einer schiefen Ebene selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere Krafteinwirkung in allen Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in Rillenkugellagern.

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl eine ‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des ‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl (dem Radius) ist. Den Rand der ‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich ist, bezeichnet man als ‑dimensionale Sphäre oder kurz ‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der ‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die ‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von ‑Sphären, wenn sie ‑dimensionale Sphären im ‑dimensionalen Raum meinen.

Das -dimensionale Volumen einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius ist

Hier ist die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den ‑dimensionalen Inhalt der ‑dimensionalen Oberfläche, also der ‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

Für eine Einheitskugel in Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Dimensionen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

2n

2n+1

Volumen

2

...

Oberfläche

2

...

Eine -Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten - Mannigfaltigkeit.

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.

Ist ein metrischer Raum, und , , so nennt man

die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius .[1] Die Menge:

heißt abgeschlossene Kugel.

Manche Autoren schreiben auch für die offenen und für die abgeschlossenen Kugeln.[2] Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind und .

Die dichteste Kugelpackung ist diejenige gegenseitige Anordnung gleich großer Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Der leere Raum zwischen den dichtest gepackten Kugeln nimmt nur etwa 26 % des Gesamtraumes ein, bzw. die Packungsdichte beträgt etwa 74 %:

Diese Anordnung kann auf zweierlei Art beschrieben werden:
Sie besteht aus ebenen Schichten aus sich berührenden Kugeln,

1. von denen jede von sechs benachbarten Kugeln und von je drei Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird, oder

2. von denen jede von vier benachbarten Kugeln und von je vier Kugeln aus der Schicht darüber und aus der darunter berührt wird.

Die erste der beiden Beschreibungen ist die bevorzugt gebrauchte. Die darin enthaltene Schicht wird als hexagonale (regelmäßig sechseckige) Kugel-Schicht, die im zweiten Fall als tetragonale (quadratische) Kugel-Schicht bezeichnet.

Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form". Erst seit dem Aufkommen der Drechseltechniken war sie - zumindest aus Holz oder weichem Stein - nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der Unendlichkeit (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden Kanonen- und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht (siehe auch: Kugel (Heraldik)). Im Bereich der Waffentechnik benutzt man den Begriff Kugel auch heute noch für Büchsenmunition, obwohl diese oft nicht mehr die geometrische Form einer Kugel aufweisen.

Die Erde, der Mond und der Mars haben annähernd die Form einer Kugel.

Die Erde hat den mittleren Durchmesser 12742 km, also den mittleren Radius . Die Masse der Erde beträgt etwa 5,9724 · 10 ²⁴ kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen, die mittlere Dichte und die Oberfläche:

Die Erde hat also im Durchschnitt eine etwa fünfeinhalb Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.

Der Mond hat den mittleren Durchmesser 3474 km, also den mittleren Radius . Die Masse des Mondes beträgt etwa 7,346 · 10 ²² kg. Daraus ergibt sich:

Das ist etwa 2,0 Prozent des Volumens der Erde.

Der Mond hat also im Durchschnitt eine gut 3,3 Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.

Das ist etwa 7,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Der Mars hat den mittleren Durchmesser 6780 km, also den mittleren Radius . Die Masse des Mars beträgt etwa 6,417 · 10 ²³ kg. Daraus ergibt sich:

Das ist etwa 15,1 Prozent des Volumens der Erde.

Der Mars hat also im Durchschnitt eine knapp vier Mal so hohe Dichte wie Wasser unter Standardbedingungen.

Das ist etwa 28,4 Prozent der Oberfläche der Erde.

Ein Fußball ist kugelförmig und hat einen Umfang von etwa 68 Zentimetern, also einen Radius von . Die Masse eines Fußballs beträgt etwa 410 Gramm. Daraus ergibt sich:

Die folgende Tabelle zeigt den Umfang, das Volumen, die Masse und die mittlere Dichte (ungefähre Werte) von verschiedenen Bällen im Vergleich:

Im Roman Kryonium. Die Experimente der Erinnerung von Matthias A. K. Zimmermann steht die Formel zur Berechnung eines Kugelvolumens (4/3 · π · r³) im Zentrum der Geschichte; sie wird dem Leser anschaulich erläutert. Der Roman ist Archimedes gewidmet, der diese Formel hergeleitet hatte. Die Hauptfigur gerät in eine Welt des Vergessens und der Dunkelheit, die sich aus zahlreichen Elementen der Mathematik zusammensetzt. Die Geschichte dreht sich um eine verwunschene 1001-teilige Schneekugelsammlung, welche die geheimnisvollen Vorgänge auf einem Schloss lenkt. In dem Roman lassen sich unterschiedliche Verweise auf die Mathematik finden wie beispielsweise ein Winterwald, der wie ein Möbiusband gekrümmt ist, ein Ungeheuer aus Fraktal, ein Kartesisches Koordinatensystem, Zahlenpalindrome, Lateinische Quadrate, das Dualsystem, Leonhard Euler und Ada Lovelace.

Yann Rocher (Hrsg.): Globes. Architecture et sciences explorent le monde. Norma/Cité de l'architecture, Paris 2017.

Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6.

Fischer/Kaul: Mathematik für Physiker. Springer, 4. Auflage, ISBN 978-3-662-53968-2.

1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9.

2. te:c-science.com: gemeinsame Herleitung der Packungsdichte für kubisch-flächenzentriertes und hexagonal dichtest gepacktes Gitter, gemeinsam

3. Siegfried Wetzel: Dichteste Kugelpackung; 8. Die kristallographischen Elementarzellen und ihre Packungsdichten; getrennte Berechnung für kubisch-flächenzentrierte und hexagonale Elementarzelle

4. Walter Biertümpel & Hanns-Joachim Köhler: Eduard Kettner Jagdwaffenkunde. 4. Auflage. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Duisburg 1984, ISBN 3-923270-02-X.

5. Wolfgang Rausch: Alles über Jagdwaffen in Theorie & Praxis. 4. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-7168-1324-9.

6. Wolfgang Rausch: Alles über Munition für Jagdwaffen in Theorie und Praxis. 1. Auflage. Motorbuch Verlag, Stuttgart 1980, ISBN 3-87943-710-6.

7. Literaturkritik.de Hinweis auf Archimedes von Syrakus

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Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche oder Kugelkörper. Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl ist.

# data[].attributes.body
Die Oberfläche einer Kugel besteht aus einer gekrümmten Fläche. Am besten kannst du sie dir vorstellen, wenn du die Kugel aufschneiden würdest. Stell dir vor, du schneidest die Kugeloberfläche in viele Streifen. Die Oberfläche ist die Fläche, die du berühren kannst, wenn du die Kugel in der Hand hältst.

# data[].attributes.body
Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche)

# data[].attributes.body
Durchmesser
Umfang (u)
Kreisfläche (A)
Oberfläche (O)
Volumen (V)
Radius (r)
Mittelpunkt (M)

# data[].attributes.body
O=Pi*d² bzw. O=4*Pi*r²

# data[].attributes.body
0= G+M
= pi * r²+ pi * r * s

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V (Volumen) = 1/3 • a^2 • h

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Mantelfläche, Spitze, Grundfläche, Höhe, Fußpunkt, Seitenfläche, Grundkante

# data[].attributes.body
G= a²+4*(1/2*a*ha)

# data[].attributes.attachment_link.title
Pyramide, Volumen, Oberfläche, Höhe, Pythagorasrechnungen, etc. | Mathe by Daniel Jung

# data[].attributes.body
Gegeben: h=2cm; Seitenlänge/a= 3cm
Gesucht: Grundfläche;Mantelfläche; Oberfläche

Rechnung: G= a2 ; G= 3^2 ; G=9cm^2
M= a*ha; M=3*2; M=6cm^2
O= G+M; O= 9cm^2+6cm^2; O= 15cm^2
Antwort: Die Oberfläche der Pyramide beträgt 15cm^2

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Kegel, Zylinder, Kugel, Volumen, Oberfläche, Netz, Körper | Mathe by Daniel Jung

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Radius (r)
Höhe (h)
Umfang
Mittelpunkt (M)
Durchmesser
Kugelfläche
Geometrischer Körper

# data[].attributes.body
Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.

# data[].attributes.body
V= 4/3·π·r³

# data[].attributes.body
Eine pyramide ist ein geometrischer Körper.
Sie dienen im alten Ägypten als Begrabnisstätte der Pharaonen.

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https://youtu.be/mZKwaKIDZ-k

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Wie viel gramm Eis befindet sich in der Waffel?

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Wie viel gramm Eis befindet sich in der Waffel?

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Berechne mit der gegebenen Information das Volumen der Kugel

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Berechne mit der gegebenen Information das Volumen der Kugel

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Radius 1cm

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Das Volumen gibt dir an, wie viel Flüssigkeit in eine Kugel passt.
Anhand des Volumens kann man auch den Luftwert herausfinden, der in einen Ball passt.

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Hat mir gefallen: Es wurde sehr schön geschrieben, die Bilder sind sehr gut gewählt. Es wurde flüssig und frei vorgetragen und der Charakter ist auch ziemlich gut also Top.

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Wie viel cm² beträgt der Oberflächeninhalt der Kugel, wenn der Durchmesser 5cm beträgt

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Architektur, als Mathematiker,
--> Für Fassaden oder Innenräume
Bälle wie zum Beispiel ein Fußball
oder die Erde auf der wir leben sind Kugelförmig

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An Alle Gruppen: Sehr gut gemacht! Alle haben sich viel Mühe drum gemacht super!

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1. Was hat PI in der Formeln verloren (wir haben doch hier keinen Kreis...)? Bitte richtige Formel ergänzen!
2. Beispielaufgabe: Welche Form hat die Grundfläche?
--> Welche Formen kann es allgemein geben?
3. Beispielaufgabe: Ist da nicht ein Fehler bei der Mantelfläche? 4*Flächeninhalt vom Dreieck (die Formel ist doch falsch?)
4. Realität: Was hat eine Pyramide als Begräbnisstätte mit dessen Oberflächeninhalt zutun?

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1. Wo ist eure Beispielaufgabe?
2. Findet ihr einen Gebrauch in der Realität (VOLUMEN einer Pyramide)?

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1. Wo ist eure Beispielaufgabe?
2. Ihr habt Beispiele in der Realität genannt, in welchen ein Alltagsgegenstand die Form eines Kegels besitzt. Aber wann muss denn der Oberflächeninhalt eines Kegels berechnet werden?
3. Eine Litfaßsäule ist kein Kegel :) Sondern...??

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1. Wo ist eure Beispielaufgabe?
2. Bezug zur Realität?

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1. Gebrauch im Alltag: runde Fassaden und Innenräume?/ Konkreter: Warum sollte man den Oberflächeninhalt eines Fußballs berechnen?
2. Gibt es auch eine Lösung zur Beispielaufgabe?

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Gibt es auch eine Lösung zur Beispielaufgabe?

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Kegel - Volumen berechnen | geometrische Körper - Mathematik - einfach erklärt | Lehrerschmidt

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Bei vielen Pyramid-förmigen Gegenständen braucht man den Oberflächeninhalt um zum Beispiel den Raum oder Dach auszurechnen oder um es als Bau Anleitung  zu nehmen. Beispiel dafür sind Dächer, Louvre etc. oder auch das obere bei Uhren.

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Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper mit einem n-Eck als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen. Ist die Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck oder ein Rechteck und liegt die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, so ist die Pyramide gerade.