# data[].attributes.attachment_link.description
Platonska kroppar är konvexa tredimensionella geometriska kroppar ( polyedrar) med likformiga polygoner som sidor. I varje hörn möts lika många sidor. Euklides bevisade att det bara finns fem stycken sådana kroppar.

# data[].attributes.body
Genomgång av och exempel på hur man beräknar volymen av några geometriska figurer. (OBS! Vi använder stora B istället för stora A)

# data[].attributes.attachment_link.description
Genomgång av och exempel på hur man beräknar volymen av några geometriska figurer.

# data[].attributes.body
Här får du en genomgång om hur du

omvandlar mellan volymenheter

# data[].attributes.body
Formelsamling i geometri

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Polyhedra are beautiful 3-D geometrical figures that have fascinated philosophers, mathematicians and artists for millennia. On this site are a few hundred paper models available for free.
Make the models yourself.
Click on a picture to go to a page with a net of the model.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
compound of truncated dodecahedron and pentakisdodecahedron

# data[].attributes.attachment_link.description
Polyhedra are beautiful 3-D geometrical figures that have fascinated philosophers, mathematicians and artists for millennia. On this site are a few hundred paper models available for free. Make the models yourself.Click on a picture to go to a page with a net of the model.

# data[].attributes.attachment_link.description
En interaktiv matematikövning. Omkrets och area. Rektanglar, parallellogram, trianglar och cirklar.

# data[].attributes.body
Här hittar du förklaringar och formler till geometriska kroppar.

# data[].attributes.body
Välj övning 2

# data[].attributes.body
Läs om enheter. Kan du omvandla mellan

cm ³ och dm ³

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Vi kommer i det här avsnittet att repetera hur vi använder oss av enheter (längd, vikt och volym) och skala (förminskning och förstoring).

Enheter för vikt

När vi anger vikt utgår vi från grundenheten kilogram, vilket förkortas kg.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan några olika vanligt förekommande viktenheter.
Skriv dessa vikter i gram (g)
$$a)\,\,4,3\,hg$$

$$b)\,\,26,1\,kg $$

$$c)\,\,0,07\,ton$$
Lösningsförslag:
a)

1 hg är lika med hundra gram:

$$ 1\,hg=100\,g$$

Därför måste 4,3 hg vara lika med 430 g:

$$ 4,3\,hg=4,3\cdot 100\,g=430\,g$$

b)

1 kg är lika med tusen gram:

$$ 1\,kg=1\,000\,g$$

Därför måste 26,1 kg vara lika med 26 100 g:

$$ 26,1\,kg=26,1\cdot 1\,000\,g=26\,100\,g$$

c)

Den här vikten i ton gör vi om till enheten gram i två steg: först omvandlar vi vikten från ton till kg, och sedan från kg till gram.

1 ton är lika med tusen kg:

$$ 1\,ton=1\,000\,kg$$

Därför måste 0,07 ton vara lika med 70 kg:

$$ 0,07\,ton=0,07\cdot 1\,000\,kg=70\,kg$$

När vikten nu är skriven i kg är det lätt att omvandla den till gram, eftersom 1 kg är lika med tusen gram:

$$ 1\,kg=1\,000\,g$$

Därför måste 70 kg vara lika med 70 000 g:

$$ 70\,kg=70\cdot 1\,000\,g=70\,000\,g$$

Enheter för volym

När vi anger volym utgår vi ofta från enheten liter, vilken förkortas som l.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan olika vanligt förekommande volymenheter.
Skriv dessa volymer i deciliter (dl)
$$a)\,\,13,4\,l$$

$$b)\,\,32\,ml $$

a)

1 liter är lika med tio deciliter:

$$ 1\,l=10\,dl$$

Därför måste 13,4 l vara lika med 134 dl:

$$ 13,4\,l=13,4\cdot 10\,dl=134\,dl$$

b)

1 milliliter är lika med en hundradels deciliter:

$$ 1\,ml=0,01\,dl$$

Därför måste 32 ml vara lika med 0,32 dl:

$$ 32\,ml=32\cdot 0,01\,dl=0,32\,dl$$

Enheter för längd

När vi anger längd utgår vi från grundenheten meter, vilken förkortas som m.

I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan olika vanligt förekommande längdenheter.
Skriv dessa längder i centimeter (cm)
$$a)\,\,0,54\,m$$

$$b)\,\,3,9\,mm$$
Lösningsförslag
a)

1 meter är lika med hundra centimeter:

$$ 1\,m=100\,cm$$

Därför måste 0,54 m vara lika med 54 cm:

$$ 0,54\,m=0,54\cdot 100\,cm=54\,cm$$

b)

1 millimeter är lika med en tiondels centimeter:

$$ 1\,mm=0,1\,cm$$

Därför måste 3,9 mm vara lika med 0,39 cm:

$$ 3,9\,mm=3,9\cdot 0,1\,cm=0,39\,cm$$

Skala

När vi ska avbilda någonting på papper, till exempel en penna, kan vi ibland göra det i samma storlek som föremålet har i verkligheten. Om pennan är 15 cm lång i verkligheten så kan vi låta avbildningen på pappret även den bli 15 cm lång. När vi avbildar något i samma storlek som det har i verkligheten, då säger vi att avbildningen är gjord i naturlig storlek.

Vi kan också vilja avbilda någonting i en annan storlek än det har i verkligheten. När vi gör det säger vi att vi avbildar i skala.

Så gör vi till exempel om vi ritar en karta - avstånden i verkligheten är då för stora för att vi ska kunna avbilda dem i naturlig storlek. Därför kan vi göra en förminskning av avstånden. Vi kan till exempel vilja att 1 meter i verkligheten avbildas som 1 centimeter på kartan. Denna förminskning, från 1 meter i verkligheten till 1 cm på kartan, skriver vi som 1:100. Skalan 1:100 betyder alltså att 1 cm på kartan motsvarar 100 cm i verkligheten.

Om vi vill avbilda något litet kan vi istället vilja göra en förstoring, vilket innebär att föremålet på bilden blir större än vad föremålet är i verkligheten. En myra som är 10 mm i verkligheten kan vi vilja avbilda med längden 50 mm, så att det är lättare att se detaljer. När vi gör denna förstoring anger vi skalan som 5:1, eftersom 5 cm på bilden motsvarar 1 cm i verkligheten.
Avstånd mellan bergstoppar
På en välgjord orienteringskarta anges skalan som 1:15 000. Du mäter upp avståndet 5 cm på kartan mellan två bergstoppar.

Hur långt är avståndet mellan de två bergstopparna i verkligheten? Svara i lämplig enhet.
Lösningsförslag:
Eftersom skalan är 1:15 000 motsvarar 1 cm på kartan 15 000 cm i verkligheten. Därför kan vi beräkna hur mycket 5 cm på kartan är i verkligheten så här:

$$ 5\cdot 15\,000\,cm=75\,000\,cm=750\,m$$

Nu har vi alltså kommit fram till att 5 cm på orienteringskartan motsvarar 750 meter i verkligheten, vilket är avståndet mellan de två bergstopparna.
Förstoringsglas
Du har ett förstoringsglas som kan förstora det du tittar på med skalan 4:1. Med hjälp av detta förstoringsglas vill du titta på en insekt som är 3 mm lång.

Hur stor kan avbildning av insekten bli som mest när du ser den genom förstoringsglaset?
Lösningsförslag:
Förstoringsglasets största förstoring är 4:1. Det innebär att en insekt som är 3 mm lång i verkligheten kan avbildas som 4 gånger så lång med hjälp av förstoringsglaset. Därför kan avbildningen bli 12 mm lång:

$$ 4\cdot 3\,mm=12\,mm$$

Videolektioner

I den här videon går vi igenom enheter.

I den här videon går vi igenom skala.

# data[].attributes.attachment_link.title
Enheter och skala (Årskurs 8, Geometri och enheter) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
Vi kommer i det här avsnittet att repetera hur vi använder oss av enheter (längd, vikt och volym) och skala (förminskning och förstoring). När vi anger vikt utgår vi från grundenheten kilogram, vilket förkortas kg. I tabellen här nedanför kan du se hur vi omvandlar mellan några olika vanligt förekommande viktenheter.

# data[].attributes.body
Genomgång med text och videoklipp om cirklar

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det här avsnittet ska vi gå igenom en annan viktig typ av geometrisk figur, nämligen cirklar. Vi kommer bland annat att lära oss hur vi kan beskriva en cirkel, vad talet pi är för något och hur vi beräknar en cirkels omkrets och area.

Radie och diameter

En cirkel är en rund geometrisk figur som utgår från en medelpunkt. På ett visst avstånd från medelpunkten finns vad som ibland kallas cirkelns periferi, vilket är den rundade kurva som bildar själva cirkelns form. Avståndet från medelpunkten till periferin kallas cirkelns radie ( r) och är lika stort oavsett vilken punkt på periferin vi väljer.

Om vi har en rät linje som går mellan två punkter på en cirkels periferi och som passar genom medelpunkten, så kallar vi den sträckan cirkelns diameter ( d).

I figuren här nedanför är både radien r och diametern d markerade.

En cirkels diameter är alltid dubbelt så lång som cirkelns radie:

$$ d=2r$$

Cirklars omkrets och talet pi (π)

När vi undersökte omkretsen för fyrhörningar och trianglar, kom vi fram till att dessa figurers omkrets är lika med summan av sidornas längd.

Men när vi studerar cirklar är det inte lika enkelt att beräkna omkretsen. Om vi mäter olika cirklars omkrets och diametrar, så märker vi snart att vi får samma kvot varje gång när vi dividerar en cirkels omkrets, O, och cirkelns diameter, d.

Den här kvoten är densamma för alla cirklar och har det ungefärliga värdet 3,14159265, när vi avrundar värdet till åtta decimaler. Det här talet är mycket viktigt inom matematiken och kallas för talet pi, efter den grekiska bokstaven π. Kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter är alltså

$$ \frac{cirkelns\,omkrets}{cirkelns\,diameter}=\pi\approx3,14$$

Med hjälp av definitionen av talet π kan vi skriva en formel för en cirkels omkrets, O:

$$omkretsen=\pi\cdot diametern$$

$$O=\pi\cdot d$$

Eftersom en cirkels diameter d alltid är dubbelt så lång som cirkelns radie r, kan vi även skriva formeln för cirkelns omkrets med hjälp av radien, så här:

$$omkretsen=2\cdot\pi\cdot radien$$

$$O=2\pi r$$
Hur stor är diametern och omkretsen?
En cirkel har radien 4 cm.

Beräkna cirkelns diameter och omkrets. Avrunda till en decimal.
Lösningsförslag:
En cirkels diameter är dubbelt så stor som dess radie. Därför är cirkelns diameter 8 cm.

Vi beräknar nu cirkelns omkrets enligt formeln:

$$ O=\pi\cdot d=\pi\cdot 8\,cm=8\pi\,cm\approx 25,1\,cm$$

Diametern är alltså 8 cm och omkretsen är ungefär 25,1 cm.

Cirklars area

Vi ska nu lära oss hur vi beräknar en cirkels area.

Om vi har en cirkel med radien r och placerar den inuti en kvadrat, så får vi en figur som ser ut så här:

Beräknar vi kvadratens area, så vet vi från avsnittet om fyrhörningar att den blir följande:

$$ {A}_{kvadrat}=sidan\cdot sidan=2r\cdot 2r=4\cdot r\cdot r=4r^2$$

Vi kan se det som att den här kvadraten består av fyra jämnstora små kvadrater med sidan r. Som vi ser i figuren måste cirkelns area vara mindre än den stora kvadratens area.

I själva verket är cirkelns area lite drygt tre gånger så stor som arean av de små kvadraterna, som vi markerade i figuren. Närmare bestämt är cirkelns area π gånger större än de små kvadraternas area:

$$ {A}_{cirkel}=\pi\cdot r\cdot r=\pi {r}^{2}$$

Den här formeln för en cirkels area kan vi använda för alla cirklar. Eftersom talet π alltid har samma värde (det är en konstant), beror en cirkels area bara på cirkelns radie.
Cirkelns area
En cirkel har radien 4 cm.

Beräkna cirkelns area. Avrunda till en decimal.
Lösningsförslag:
Vi använder oss av formeln för en cirkels area:

$$ A=\pi\cdot {r}^{2}=\pi\cdot {4}^{2}\,{cm}^{2}=16\pi\,{cm}^{2}\approx 50,3\,{cm}^{2}$$

Cirkelns area är alltså ungefär 50,3 cm ².

Cirkelsektor

I årskurs 7 kom vi i avsnittet om vinklar fram till att ett helt varv motsvarar 360°.

Ibland kan vi vilja undersöka delar av en hel cirkel i form av "tårtbitar", så som vi visar i figuren här nedanför:

Denna typ av "tårtbitsformad" del av en cirkel kallar vi en cirkelsektor. Hur stor en cirkelsektor är beror på vinkeln i mitten av cirkeln, som vi kallar medelpunktsvinkeln.

Vi kan skriva en formel för en cirkelsektors area, där medelpunktsvinkeln betecknas v, så här:

$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{v}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}$$

Om vi till exempel vill beräkna arean av en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90°, så får vi denna area med hjälp av formeln:

$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{{90}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}=\frac{1}{4}\cdot\pi {r}^{2}$$

Vad vi kom fram till här är att en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90° har en area som är en fjärdedel så stor som hela cirkelns area. Det här hade vi även kunnat komma fram till genom att 90° är samma sak som ett fjärdedels varv.
Hur stor är arean?
En cirkel har radien 10 cm. I cirkeln finns en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln 60°.

Beräkna cirkelsektorns area. Avrunda till en decimal.

Hur stor andel av hela cirkelns area utgör cirkelsektorns area?
Lösningsförslag:
Vi känner till både cirkelns radie och cirkelsektorns medelpunktsvinkel. Därför kan vi beräkna områdets area genom att använda oss av formeln för en cirkelsektors area:

$${A}_{cirkelsektor}={\color{Blue}{ \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}}} \cdot {\color{Red} {\pi \cdot 10^{2}}}\,{cm}^{2}= $$

$$={\color{Blue}{ \frac{1}{6}}}\cdot {\color{Red} {100\cdot\pi}}\,{cm}^{2}\approx52,3\,{cm}^{2}$$

Cirkelsektorns area är alltså ungefär 52,3 cm ².

Medelpunktsvinkeln 60° utgör en sjättedel av ett helt varv (360°). Det innebär också att vår cirkelsektors area utgör andelen en sjättedel av den hela cirkelns area.

Videolektion

# data[].attributes.attachment_link.title
Cirklar (Årskurs 8, Geometri och enheter) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det här avsnittet ska vi gå igenom en annan viktig typ av geometrisk figur, nämligen cirklar. Vi kommer bland annat att lära oss hur vi kan beskriva en cirkel, vad talet pi är för något och hur vi beräknar en cirkels omkrets och area.

# data[].attributes.body
Genomgång om omkrets

# data[].attributes.attachment_link.description
mystudyweb är en nyskapande tjänst för läxhjälp som leverar resultat. Alla lektioner och övningar är skapade av erfarna och skickliga lärare

# data[].attributes.body
Välj geometri och träna valfria övningar

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ledstjärnan för Skolresurs är intresset för matematik, naturvetenskap och teknik. Vårt mål är att sprida intresset s peciellt bland barn och unga , särskilt genom . Dessa ämnesområden öppnar dörrar till fortsatta studier och en intressant yrkeskarriär. Dessutom behöv s de i vardagen och bidrar till att förstå samhället ru riktad verksamhet och genom lärarfortbildning nt omkring oss.

I nom Skolresurs verkar två större projekthelheter, Resurscenter för matematik, naturvetenskap och teknik i skolan och LUMA-center Åbo Akademi, samt en del mindre projekt med andra finansiärer.

Skolresurs erbjuder ett brett utbud av fortbildning för alla stadier. Utbildarna är pedagoger med lång erfarenhet av att vara på fältet och kunnande inom aktuell forskning. Välkommen att bekanta dig med utbudet !

Skolresurs är placerad vid Centret för livslångt lärande vid Åbo Akademi (CLL) i Åbo .

Skolresurs producerar mycket material för allt från småbarnspedagogiken till andra stadiet. Materialet har samlats i Skolresurs materialbank. Kolla också Skolresurs Youtube, Facebook och .

# data[].attributes.attachment_link.description
Ledstjärnan för Skolresurs är intresset för matematik, naturvetenskap och teknik. Vårt mål är att sprida intresset s peciellt bland barn och unga , särskilt genom . Dessa ämnesområden öppnar dörrar till fortsatta studier och en intressant yrkeskarriär. Dessutom behöv s de i vardagen och bidrar till att förstå samhället ru riktad verksamhet och genom lärarfortbildning nt omkring oss.