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목표가 점차 구체적으로 그려지는 것이 느껴지시나요?
가장 중요한 것은 이 목표의 주체가 학생이라는 사실입니다.
지식을 구성하는 것은 학생개개인의 몫입니다. 교사의 역할은 그러한 구성이 가능하도록 학생들에게 적절한 경험을 제공하는 것입니다. 선생님이 작성하신 성취기준들이 학생들에게 달성되려면 학생들은 수업시간에 무엇을 경험해야 할까요?
앞선 고민을 통해 몇 몇 경험들이 떠올랐을 것이고, 전체 단원 수업 흐름을 생각하며 추가적인 경험들을 구성해보시기 바랍니다. 그리고 가장 최선의 방법으로 경험의 순서를 배치해 보시길 바랍니다.
이 때, 교사가 아닌 학생의 입장에서 무엇을 해야 하는지 작성해주세요.
다시 한 번 강조드립니다. 수업에서 학생에게 어떤 경험이 필요한지 고민해 보시기 바랍니다.

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"집합" 성취기준에 대한 재해석을 돕기 위해 아래의 질문들에 답해보면서 성취기준을 도달한다는 것은 무슨 의미이고, 도달하게 만들기 위해 학생들은 무엇을 경험해야 할지 생각해보시기 바랍니다.

1. 집합을 배우는 이유는 무엇이라고 생각하시나요? 집합을 학습하는 과정에서 학생들에게 기대되는 성장이 있나요?
2. 집합을 이해한다는 것은 어떤의미인가요? 이해한 학생들은 어떤 상태가 되는 건가요? 그러한 상태는 어떤 경험들을 통해 도달할 가능성이 생기나요?
3. 집합사이의 포함관계를 아는 것은 왜 중요한 일인가요?
4. 중학교 때 수를 확장하고 새로운 수에 대한 연산을 배웠던 것과 유사하지만, 수가 아닌 대상에 대한 연산을 다루는 점이 특이합니다. 학생들에게는 이러한 간극이 더욱 크게 느껴질 수도 있을 듯 합니다. 어떤 경험이 학생들에게 수가 아닌 대상에 대한 연산의 필요성을 느낄 수 있게 만들까요?
5. 집합을 이해하고 연산을 할 수 있게되는 진짜 의미를 생각해보시고, 그러한 상황에 도달하게 만들기 위해 필요한 학생들의 경험은 무엇일지 고민해보세요.

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"명제" 성취기준에 대한 재해석을 돕기 위해 아래의 질문들에 답해보면서 성취기준을 도달한다는 것은 무슨 의미이고, 도달하게 만들기 위해 학생들은 무엇을 경험해야 할지 생각해보시기 바랍니다.

1. 조건과 명제가 먼저 정의되었을까요? 아니면 가설과 추측들을 탐구하는 과정에서 수학적 대상으로 삼기위해 가설이나 추측의 범위를 좁힌 것일까요? 개인적으로 후자라고 생각되기에 명제를 정의하고 분류하는 일이 명제를 처음 접하는 학생들에게 의미있게 와닿지 못할 것 같습니다.  명제 단워에는 명제,조건,모든,어떤,역,대우,충분조건,필요조건 등 여러 용어가 나옵니다. 각 용어들이 왜 배워야 하는지, 수학자들은 왜 이런 용어들이 필요해졌는지 등을 한 번 고민해보면서, 학생들에게 어떤 경험을 제공하는 것이 좋을지 생각해 보시기 바랍니다.
2. 증명은 집합을 도구로 사용하고 있습니다. 집합의 성취기준과 분리하지 말고 통합적으로 생각하면서, 증명 방법을 이해하는 것의 의미에 대해 다시 한 번 생각해 보시길 바랍니다. 그리고 그러한 이해를 위해 학생들에게 필요한 경험은 무엇인지 함께 고민해보세요.
3. 필요조건과 충분조건을 구분하는 것은 왜 중요한 일인가요? 이를 판별할때 집합의 포함관계로 파악하는 것이 학생들에게는 자연스럽게 연계될 수 있나요? 이러한 문턱을 넘기 위해 학생들에게는 어떤 경험이 필요한가요?
4. 대우나 귀류법을 사용해야 하는 이유는 무엇인가요? 학생들이 대우나 귀류법을 어떻게 인식하기를 바라시나요? 그렇게 되기 위해 학생들에게는 어떤 경험이 필요한가요?
5. 절대부등식은 왜 배우는 건가요? 교과서에 제시된 증명 문제들은 어떻게 만들어 진건가요? 그러한 절대부등식이 필요했던 상황은 무엇일까요?

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앞선 질문이 교사의 목표와 관련되었다면 좀 더 범위를 좁혀서 단원의 목표를 고민해보도록 하겠습니다.
집합과 명제 단원은 1.집합, 2.명제로 이루어져 있습니다.
다음 질문들을 생각해보며, 집합과 명제를 수업하는 진짜 목표가 무엇인지에 대해 답을 내려보시기 바랍니다.

1. 집합과 명제를 하나의 단원으로 묶어 놓은 이유는 무엇이라 생각하시나요? 이렇게 묶은 교육과정은 궁긍적으로 무엇을 목표로 하는 것인가요?
2. 그러한 목표를 이루기에 현재 교과서의 흐름은 어떠한가요? 그리고 왜 그렇게 생각하고, 변화가 필요하다면 어떤 변화가 요구되나요?
3. 학생들이 집합과 명제를 잘 배웠다는 것은 어떤 상태를 의미하나요?
4. 그러한 상태에 도달하게 하기 위해 학생들에게 필요한 경험은 무엇이라고 생각하나요? 도달을 보장하는 것이 아닌, 도달 가능성을 높이기 위해 필요한 경험을 떠올려 보세요.
5. 위의 질문 및 답변을 적으며 들었던 추가적인 생각들을 바탕으로 해당 단원의 목표를 다시 적어보시기 바랍니다.

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1. 차례대로 질문에 답해보세요.

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1. 차례대로 질문에 답해보세요.

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선생님들의 수업 재구성을 돕기 위해 마련된 질문들 입니다. 질문에 대한 답을 하면서 수업 재구성에 대한 아이디어를 얻어보세요.

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선생님은 왜 수학을 학생들에게 가르치시나요? 단순히 직업이라서, 돈을 벌기 위해서라면 아마 이 곳을 찾지 않으셨으리라 생각합니다. 선생님이 이상적으로 생각하는 수학시간에 학생들의 모습을 떠올려 보세요. 그리고 그러한 이상이 실현되었을 때, 학생들의 모습을 상상해보세요. 그리고 그 과정을 통해 학생들은 어떤 성장을 이루게 되는지, 선생님께서 궁긍적으로 수학 수업을 통해 학생들에게 어떤 변화가 있기를 기대하시는지 생각해 보시길 바랍니다.

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2. 읽고 질문해주세요.

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2. 읽고 질문해주세요.

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묻고 답하는 과정에서 생각이 명료해집니다. 스스로 자신의 답변에 대한 질문, 다른 사람들의 생각에 대해서도 질문해보세요. 질문과 답변의 과정이 수업에 대한 성찰할 수 있는 기회를 제공합니다.

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3. 좋아요를 눌러 주세요.

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3. 좋아요를 눌러 주세요.

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공감되거나 여러 선생님들에게 공유되길 바라는 생각들은 좋아요를 눌러주세요. 좀 더 상단에 위치하여 많은 분들이 쉽게 읽을 수 있도록 재배치하도록 하겠습니다.

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내가 기대하는 수학수업

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내가 기대하는 수학수업

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학생들이 수학을 배우는 이유. 이상적인 수학시간의 학생들의 모습.
아직 삶을 충분히 오래 살았다고 하기는 어렵지만 세상을 살다 보면 여러 가지 요소가 복합적으로 작용하는 문제를 만나게 됩니다. 처음에 봤을 때는 너무 막막하고 당황스럽기만한 상황들이 만들어지고는 하는데 그런 상황에서 용기있게 또 차분히 문제를 풀어나가는 일이 중요하다고 생각합니다.
학생들이 수학을 배우는 이유는 삶을 풀어나가는 방식에 대해서 배우는 것이 아닐까 싶습니다. 누구에게나 어려울 수 있고 당황스러운 비정형화된 문제를 도전해보겠다는 용기와 의지를 기르고, 실제 문제를 접근하기 위해서 자신이 알고 있는 방법에 기초해서 다양한 시도를 해보고 알고 있는 것에서 시작해서 문제를 해결까지 그 과정에 대한 연습과 습득이 아닐까 생각해봅니다.
충분히 이해되고 어떤 과정에서 그렇게 되었는지 안다면 조금 더 쉽게 접근할 수 있고 장기적 기억 및 메커니즘을 갖게 되어서 그 다음 번에도 비슷한 문제를 부딪친다면 이전 해결 방법을 꺼내어 비교하며 다시 해결하거나 수정하여 도전할 것입니다.
이상적인 수학 수업이라면 꼭 실생활 문제가 아니더라도 아이들이 저러한 역량 및 과정에 대해서 습득할 수 있도록 충분히 복합적인 요소가 반영되어 있는 문제를 제공하고 그 문제를 해결하기 위해서 도전하는 모습을 발견할 수 있는 수업일 것입니다.
혼자서 해결하는 것이 어렵기에 비슷한 수준의 또래와 아는 것에 대해서 서로 이야기를 나누는 과정에서 자신이 알고 있는 것과 모르는 것에 대해서 보게 되고 모르는 부분에 대해서 유추하고 추측하여 아는 것과 모르는 것을 연결하려고 할 것입니다.

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1. 집합과 명제를 하나의 단원으로 묶어 놓은 이유는 무엇이라 생각하시나요? 이렇게 묶은 교육과정은 궁긍적으로 무엇을 목표로 하는 것인가요?
- 명제에 관한 논리적 증명을 진리집합을 통해서 설명하고, 증명법을 익히는 단원이다.
진리집합의 대소관계에 관해 이해하기 위해 집합 단원이 먼저 위치해있으며 이 집합 단원은 바로 다음 단원인 함수에서 집합의 원소 사이 대응 관계로 정의되는데 기반이 되기도 한다. 역함수, 일대일 대응을 이야기 하기 위해서는 필수적이라 할 수 있다.
집합은 또한 막연한 표현이나 모호할 수 있는 원소들의 모임 대신 어떠한 원소들의 모임인지 모두가 이해할 수 있는 표현에 대해 알게 된다.

2. 그러한 목표를 이루기에 현재 교과서의 흐름은 어떠한가요? 그리고 왜 그렇게 생각하고, 변화가 필요하다면 어떤 변화가 요구되나요?
- 수학 교과서의 2학기 흐름은 집합과 명제-함수-경우의 수 순서대로 되어있다.
집합과 명제단원은
첫번째 중단원에서 집합과 원소, 집합 사이의 포함관계, 합집합, 교집합,여집합, 차집합과 합집의 원소 개수, 드모르간의 법칙을 배운다
두번째 중단원에서는 명제와 조건, 명제의 참,거짓과 진리집합, 명제의 역과 대우, 충분조건과 필요조건, 증명(대우를 이용한 증명, 귀류법, 절대부등식 증명)으로 구성되어있다.

3. 학생들이 집합과 명제를 잘 배웠다는 것은 어떤 상태를 의미하나요?
- 어떠한 명제가 주어져있을 때 가정과 결론으로 구별할 수 있으며 각 가정과 결론을 참이 되게 하는 진리집합을 표현하고 그 대소관계에 이용하여 참, 거짓을 판단할 수 있다.
- 참과 거짓인지 알지 못하는 명제를 만났을 때 그 내용이 참인지 거짓일지 추측해보는 기회를 가지고 (몇 가지 사례를 통해서 추측..? 논리적 사고에 의해 추측..?)
거짓이라면 어떠한 반례가 있을지 생각해보고
왜 반례를 찾는 것인지에 대해서 생각해볼 수 있다.
참이라고 판단한다면 어떻게 참인지 보여줄 수 있을지 그 방법을 골라서 증명하는 것이다.

4. 그러한 상태에 도달하게 하기 위해 학생들에게 필요한 경험은 무엇이라고 생각하나요? 도달을 보장하는 것이 아닌, 도달 가능성을 높이기 위해 필요한 경험을 떠올려 보세요.
-

5. 위의 질문 및 답변을 적으며 들었던 추가적인 생각들을 바탕으로 해당 단원의 목표를 다시 적어보시기 바랍니다.

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󰊱 집합

[10수학03-01]집합의 개념을 이해하고, 집합을 표현할 수 있다.

[10수학03-02]두 집합 사이의 포함 관계를 이해한다.

[10수학03-03]집합의 연산을 할 수 있다.

󰊲 명제

[10수학03-04]명제와 조건의 뜻을 알고, ‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제를 이해한다.

[10수학03-05]명제의 역과 대우를 이해한다.

[10수학03-06]충분조건과 필요조건을 이해하고 구별할 수 있다.

[10수학03-07]대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해한다.

[10수학03-08]절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.