# data[].attributes.headline
Exercițiu 1: Determinarea rădăcinilor funcției

# data[].attributes.subject
Exercițiu 1: Determinarea rădăcinilor funcției

# data[].attributes.body
Rezolvă ecuația y = x² - 4x + 3 și determină rădăcinile folosind formula generală a ecuațiilor de gradul II.

# data[].attributes.body
Pentru funcția y = -2x² + 4x + 1, determină punctul de maxim, valorile corespunzătoare și semnificația acestora.

# data[].attributes.body
Scrie domeniul de definiție și imaginea funcției y = 3x² - 6x + 2.

# data[].attributes.headline
Formula ecuației de gradul II pas cu pas

# data[].attributes.subject
Formula ecuației de gradul II pas cu pas

# data[].attributes.body
Acest videoclip detaliază modul corect de aplicare a formulei pentru ecuațiile de gradul II.

# data[].attributes.attachment_link.title
Ecuatia de gradul, formula cu delta (lic_ecuatia2_1)

# data[].attributes.body
Descoperă cum funcțiile de gradul II sunt folosite în viața reală. Verifică acest articol!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Definiţie. Funcţia $$ f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=ax^{2}+bx+c,\; a,b,c\in\mathbf{R},\; a\neq0 $$ se numeşte funcţia de gradul II.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul II este o parabolă.
Dacă a>0 funcţia are un minim, vârful parabolei, V, de coordonate: $$ V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac. $$ Dacă a<0 funcţia are um maxim, vârful parabolei, V, de coordonate: $$ V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac. $$ Problema Se consideră funcţia \(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=mx^{2}-8x-3, m\in \mathbf{R}^{*}.\) Să se determine valorile lui m ştiind că valoarea maximă a funcţiei f este egală cu 5.
Rezolvare Dacă funcţia are valoare maximă atunci m<0 şi valoarea maximă este $$y_{max}=-\frac{\Delta}{4a}\Rightarrow-\frac{(-8)^{2}-4\cdot m\cdot(-3)}{4m}=5\Rightarrow-\frac{64+12m^{(4}}{4m}=5\Rightarrow$$ $$ \Rightarrow-\frac{16+3m}{m}=5\Rightarrow16+3m=-5m\Rightarrow8m=-16\Rightarrow m=-2. $$
Intersecţia cu axele de coordonate:
∩Ox: -dacă Δ≥0, \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\;x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
∩Oy: x=0, y=b.
Problema Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f:R→R, f(x)= -x ²+2x+8 cu axa Ox.
R. Punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele de coordonate sunt x ₁, x ₂, iar distanţa dintre punctele de intersecţie este |x ₂-x ₁|.
Soluţiile ecuaţiei f(x)=0 => -x ²+2x+8=0 $$ \Delta=2^{2}-4\cdot(-1)\cdot8=4+32=36,\; x_{1}=\frac{-2-6}{-2}=4,\; x_{2}=\frac{-2+6}{-2}=2. $$ $$ \left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|2-(-4)\right|=|6|=6. $$
Semnul funcţiei de gradul II (tabelul de semn): Inecuaţia de gradul II
Se numeşte inecuaţie de gradul II o inecuaţie de forma ax ²+bx+c≥0 (≤,0;,>0;,<0).
Rezolvarea inecuaţiei:
1. se rezolvă ecuaţia ataşată, ax ²+bx+c=0;
2. se face tabelul de semn;
3. se ia soluţia din tabelul de semn.
Problema Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia x ²-5x+5≤1.
Rezolvare
Transformăm inecuaţia: x ²-5x+5-1≤0=>x ²-5x+4≤0 şi rezolvăm ecuaţia x ²-5x+4=0.
$$ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9,\; x_{1}=\frac{5-3}{2}=1,\; x_{2}=\frac{5+3}{2}=4 $$ Tabelul de semn: Soluţia este S=[1;4]∩Z={1,2,3,4}.
Relaţiile lui Viéte
Dacă x ₁, x ₂ sunt soluţiile ecuaţiei ax ²+bx+c=0, atunci $$ \begin{cases} S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a;}\\ P=x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=S^{2}-2P\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{S}{P} \end{cases} $$ Problema Să se determine m∈R, ştiind că soluţiile x ₁, x ₂ ale ecuaţiei x ²-(2m+1)x+3m =0 verifică relaţia x ₁+x ₂+x ₁·x ₂=11.
Rezolvare Din relaţiile lui Viéte avem $$ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=2m+1\\ x_{1}\cdot x_{2}=3m \end{cases}\Rightarrow2m+1+3m=11\Rightarrow5m=10\Rightarrow m=2. $$

# data[].attributes.body
Acest site oferă o colecție gratuită de exerciții și materiale printabile despre funcțiile de gradul II.

# data[].attributes.attachment_link.title
Exercitii si probleme rezolvate cu functia de gradul al doilea

# data[].attributes.attachment_link.description
Ultimul capitol al Ghidului | Funcția de gradul al II-lea conține exerciții cu funcții de gradul al II-lea rezolvate complet, de tip Bacalaureat pentru profilele: matematică-informatică, științele nat (…)

# data[].attributes.body
Un videoclip ce explică modul de desenare al graficului unei funcții de gradul II.

# data[].attributes.attachment_link.description
Check out this Presentation designed by Galina Gangan.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Educaplay uses its own and third-party cookies for anonymous analytical purposes, save the preferences you select, personalize the advertising you see based on your browsing habits and for the general operation of the page.

You can accept all cookies by clicking the "Accept" button or configure or reject their use by clicking the "Set up" button.

You can obtain more information and reconfigure your preferences at any time in the Cookies policy

If you are under 14 years old, ask your parent or guardian to read this message before continuing.

# data[].attributes.attachment_link.description
Educaplay uses its own and third-party cookies for anonymous analytical purposes, save the preferences you select, personalize the advertising you see based on your browsing habits and for the general operation of the page. You can accept all cookies by clicking the "Accept" button or configure or reject their use by clicking the "Set up" button.