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Falacias geométricas

Una falacia geométrica es aquella que se obtiene a través de un razonamiento engañoso en el terreno de lo lógico-espacial, brindando obviamente, una demostración falsa. En este sentido, el matemático griego Euclídes enlistó una serie de estos fenómenos en su obra Pseudaria, de las cuales se presentan las más representativas. Cabe mencionar que se pueden llevar a cabo dichos
procedimientos mediante la ayuda de un compás y juego de geometría.

Todos los triángulos son isóceles
Tomamos un triángulo  cualquiera.
Construimos el punto D, punto medio del lado BC, y desde él trazamos el segmento DE, perpendicular a BC. Ahora construimos la bisectriz del ángulo BAC, a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo  es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos  al punto de intersección entre ellas. Trazamos  y  y también  y , perpendiculares a  y a  respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos AFG y AFH son iguales, al tener a AF como lado común y los ángulos FAG y AGF iguales a los ángulos FAH y AHF respectivamente. Por tanto, AH=AG y FH=FG.
Por otra parte, los triángulos  y  son iguales, al ser ,  lado común y los lados del vértice  iguales. De aquí . aquí FB=FC.
Además los triángulos FHB y FGC son rectángulos. Por ello, el cuadrado de FB es igual a la suma de los cuadrados de FH y HB (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de FC es igual a la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero tenemos que FB=FC y FH=FG. Por ello el cuadrado del lado HB es igual al cuadrado de GC. Entonces HB=GC. Como teníamos de antes que AH=AG se cumple que AB=AC, lo que implica que el triángulo ABC es isósceles.
Conclusión: todo triángulo ABC es isóceles.

Dicho razonamiento, evidentemente es falso.

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De la misma manera, otro ejemplo de falacia aritmética es el de suponer que 4 =1. Igualmente, se puede afirmar que dicha conjetura es incorrecta.
Cabe destacar que como se ha apreciado, las falacias aritméticas poseen una gran relación con el álgebra, pues este es el lenguaje que permite analizarlas a profundidad y dar cuenta de su falsedad.

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Falacia aritmética.

Una falacia se puede considerar como aritmética cuando a través de un razonamiento falaz conduce a una demostración incorrecta en el campo de los números y sus operaciones. Puede estar relacionada con las falacias algebraicas, que es la rama de las matemáticas relacionada a la cantidad.

En este primer ejemplo, se trata de demostrar - similar a nuestro ejemplo inicial - que 2=1. Sin embargo, se puede contastar que dicho razonamiento es falaz y en la realidad, no podemos afirmar que 2 es igual a 1.

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Tipos de falacia

Existen diversos tipos de falacias matemáticas que se pueden asemejar a las paradojas, sin embargo, aquí nos centraremos en dos tipos: falacias aritméticas y geométricas.

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Una falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con apariencia de razonamiento correcto. Es un razonamiento engañoso o erróneo (falaz), pero que pretende ser convincente o persuasivo. Todas las falacias son razonamiento que vulneran alguna regla lógica. De modo que en matemáticas, las falacias son razonamientos aparentemente correctos pero que en su desarrollo contienen errores y nos llevan a conclusiones totalmente falsas.

Un ejemplo de lo anterior, es la falacia que consiste en tratar de demostrar mediante un argumento incorrecto que 0=1.