# data[].attributes.headline
Коваль Александр8г :Теорема Виета

# data[].attributes.subject
Коваль Александр8г :Теорема Виета

# data[].attributes.body
Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа 10

Реферат на тему:
«Теорема Виета»

Выполнил :
Ученик 8 «Г» класса
Коваль Александр

Усть-Кут
2019 г.

Биография Франсуа Виет

Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт, во французской провинции Пуату — Шарант. Отец Франсуа — прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье (как и его родственник, Барнабе Бриссон), где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу.
Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году. В 1571 году переехал в Париж, увлечение его математикой и известность Виета среди учёных Европы продолжали расти.
Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии[7].
Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет отстранён от дел (1584—1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.
При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное своё сочинение — «Введение в аналитическое искусство» (1591) — он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) голландским математиком Ф. ван Схотеном.

Теорема Виета.

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q
Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 * 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.
Обратная Теорема Виета. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = – p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px + q = 0.
Теорема Виета применяется для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений. Это сокращает время и упрощает решение системы.
Рассмотрим систему уравнений
{x+y=5,x⋅y=6.
{x+y=5,x⋅y=6.
Если допустить, что x и y – корни некоторого приведенного квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем
{x=3,y=2.
{x=3,y=2.
и
{x=2,y=3.
{x=2,y=3.

# data[].attributes.headline
Сделал сие чудо Мара

# data[].attributes.body
Сделал сие чудо Марат Минигалиев.

# data[].attributes.headline
Никита Лычёв

# data[].attributes.subject
Никита Лычёв

# data[].attributes.body
8В

# data[].attributes.attachment_link.title
Реферат по теореме виета (2)

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Виета Бадиковой Дарьи

# data[].attributes.headline
 Муниципальное образ

# data[].attributes.body
Муниципальное образовательное учереждение средняя общеобразовательная школа №10

Реферат на тему "Теорема Виета"

Выполнила: ученица "г" класса Павлова Ульяна

Проверила: Лесотова Вероника Викторовна

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин. Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c =0, где х – переменная, а, b, c – некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета является одной из самых знаменитых теорем школьного курса математики. А его имя занимает достойное место среди имен великих математиков.Теорема Виета во многом облегчает процесс решения огромного количества математических задач, которые в итоге сводятся к решению квадратного уравнения:ax2+bx+c=0, где а≠0.

Это стандартный вид квадратного уравнения. В большинстве случаев квадратное уравнение имеет такие коэффициенты a, b, и с, которые можно легко упростить, разделив их на а.

Основным смыслом теоремы является то, что значения корней приведенного кв.уравнения можно легко определить устно, зная основное соотношение теоремы: сумма корней равна числу, противоположному второму коэфициенту (т.е. –p); произведение равно третьему коэффициенту (т.е. q).

Решение большинства задач в школьном курсе математики сводится к простым парам чисел, которые легко находятся при владении минимальными навыками устных вычислений. И это не должно вызывать никаких проблем. Существующая обратная теорема Виета позволяет по имеющейся паре чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, легко восстановить его коэффициенты и запись в стандартном виде.

# data[].attributes.headline
Муниципальное образо

# data[].attributes.body
Муниципальное образовательное учереждение средняя общеобразовательная школа №10

Реферат на тему "Теорема Виета"

1. Выполнила: ученица «г» класса Павлова Ульяна

Проверила: Лесотова Вероника Викторовна

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин. Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c =0, где х – переменная, а, b, c – некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета является одной из самых знаменитых теорем школьного курса математики. А его имя занимает достойное место среди имен великих математиков.Теорема Виета во многом облегчает процесс решения огромного количества математических задач, которые в итоге сводятся к решению квадратного уравнения:ax2+bx+c=0, где а≠0.

Это стандартный вид квадратного уравнения. В большинстве случаев квадратное уравнение имеет такие коэффициенты a, b, и с, которые можно легко упростить, разделив их на а.

Основным смыслом теоремы является то, что значения корней приведенного кв.уравнения можно легко определить устно, зная основное соотношение теоремы: сумма корней равна числу, противоположному второму коэфициенту (т.е. –p); произведение равно третьему коэффициенту (т.е. q).

Решение большинства задач в школьном курсе математики сводится к простым парам чисел, которые легко находятся при владении минимальныхнавыками устных вычислений. И это не должно вызывать никаких проблем. Существующая обратная теорема Виета позволяет по имеющейся паре чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, легко восстановить его коэффициенты и запись в стандартном виде.

# data[].attributes.headline
Теорема Виета 

# data[].attributes.subject
Теорема Виета 

# data[].attributes.body
Обухова Арина 8«В»

# data[].attributes.attachment_link.title
теорема Виета

# data[].attributes.headline
Красноштанов Сергей 

# data[].attributes.body
Красноштанов Сергей 8В

# data[].attributes.attachment_link.title
Теормеа Виета

# data[].attributes.headline
Татьяна Бровкина, 8Г.Теорема Виета.

# data[].attributes.subject
Татьяна Бровкина, 8Г.Теорема Виета.

# data[].attributes.body
По сути, формулы Виета – это связывающие коэффициенты многочлена и его корни.  Этими формулами удобно пользоваться для решения множества примеров и нахождения корней многочлена, а также для проверки правильности решений этих примеров.

Квадратное уравнение x ² + bx + c = 0 называется приведенным. Стоит обратить внимание, что коэффициент при x 2  равен 1. Ничего другого на коэффициенты не накладывается.

Примеры приведённых уравнений:

1) 1. x ² + 6x + 14 = 0

2) 2. x ² − 7x + 9 = 0

3) 2x ² − 5x + 7 = 0 – а это уже не приведённое, т.к. коэффициент при x 2 равен 2.

Любое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить все числа на a. Так можно поступить всегда, потому что из определения квадратного уравнения следует a ≠ 0.

Но стоит учесть, что такие преобразования не всегда полезны для отыскания корней, т.к. сначала нужно убедиться, что в итоге все коэффициенты будут целочислёнными.

Вот несколько примеров:

1) 2x ² + 7x − 11 = 0;

2) −4x ² + 32x + 16 = 0;

3) 3x ² − 12x + 18 = 0;

Чтобы решить эти уравнения, достаточно всё разделить на общий множитель, т.е.:

1) Разделить на 2;

2) Разделить на -4;

3) Разделить на 3. Здесь мы наблюдаем и дробные числа.

Приведённые квадратные уравнения могут содержать как дробные, так и целые числа.

Теперь перейдём к основной теореме Виета.

Рассмотрим квадратное уравнение x ² + bx + c = 0. Допустим, что в этом уравнении содержатся корни x ₁ и x ₂. Исходя из этого, можно верить следующим утверждениям:

1) x ₁ + x ₂ = −b. Т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком

2) x ₁ · x ₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Приведём один пример:

x ² − 9x + 20 = 0

⇒ x ₁ + x ₂ = − (−9) = 9;

x₁ · x ₂ = 20; корни: x₁ = 4; x ₂ = 5.

Теорема Виета может дать дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. Возможно, впервые увидев эти уравнения, это может показаться сложным, но со временем после небольших тренировок можно будет научиться решать их в два счёта.

Приведём ещё один пример:

x ² − 12x + 27 = 0.

Это приведённое уравнение, т.к. коэффициент при x 2  равен 0.

Решим его по теореме Виета:

x ₁ + x ₂ = −(−12) = 12;

x₁ · x ₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9.

Из приведённых примеров видно, что эта теорема значительно упрощает решение таких примеров. Минимум решений и усилий.

Во всех размышлениях нужно исходить из двух предположений:

1) Квадратное уравнение является приведённым, т.е. коэффициент при x ² равен 1.

2) Уравнение имеет два разных корня. Если смотреть с точки зрения алгебры, то в этом случае дискриминант D > 0 - по сути, изначально можно предполагать, что это неравенство верно.

# data[].attributes.headline
Теорема Виета

# data[].attributes.subject
Теорема Виета

# data[].attributes.body
Пшеничный Н

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Виета

# data[].attributes.headline
Теорема Виета8 "

# data[].attributes.body
Теорема Виета
8 "В" Иванова Ан

# data[].attributes.attachment_link.title
теорема виета

# data[].attributes.headline
ПОНОМАРЁВА ДИАНА 8в :ТЕОРЕМА ВИЕТА.

# data[].attributes.subject
ПОНОМАРЁВА ДИАНА 8в :ТЕОРЕМА ВИЕТА.

# data[].attributes.body
Теорема Виета!

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

Квадратное уравнение вида x ² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x ² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

1. x ² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;

2. x ² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;

3. 2x ² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x ² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1. 3x ² − 12x + 18 = 0;

2. −4x ² + 32x + 16 = 0;

3. 1,5x ² + 7,5x + 3 = 0;

4. 2x ² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x ². Получим:

1. 3x ² − 12x + 18 = 0 ⇒ x ² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;

2. −4x ² + 32x + 16 = 0 ⇒ x ² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;

3. 1,5x ² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x ² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;

4. 2x ² + 7x − 11 = 0 ⇒ x ² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x ² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x ₁ и x ₂. В этом случае верны следующие утверждения:

1. x ₁ + x ₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x,взятому с противоположным знаком;

2. x ₁ · x ₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

1. x ² − 9x + 20 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = − (−9) = 9; x ₁ · x ₂ = 20; корни: x ₁ = 4; x ₂ = 5;

2. x ² + 2x − 15 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = −2; x ₁ · x ₂ = −15; корни: x ₁ = 3; x ₂ = −5;

3. x ² + 5x + 4 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = −5; x ₁ · x ₂ = 4; корни: x ₁ = −1; x ₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1. x ² − 9x + 14 = 0;

2. x ² − 12x + 27 = 0;

3. 3x ² + 33x + 30 = 0;

4. −7x ² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x ² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x ₁ + x ₂ = −(−9) = 9; x ₁ · x ₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;

2. x ² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −(−12) = 12; x ₁ · x ₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;

3. 3x ² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x ² + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −11; x ₁ · x ₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;

4. −7x ² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x ² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x ² − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −(−11) = 11; x ₁ · x ₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x ²равен 1;

2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x ² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;

2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;

3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;

4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x ² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x ² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x ₁ + x ₂ = −(−7) = 7; x ₁ · x ₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x ² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x ² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x ² − 1,6x + 0,48 = 0 —уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x ² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x ₁ = 1,2; x ₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x ² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x ² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x ₁ + x ₂ = −5;x ₁ · x ₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35².Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x ₁ = 15; x ₂ = −20.

# data[].attributes.headline
Теорема Виета

# data[].attributes.subject
Теорема Виета

# data[].attributes.body
Карасёва Полина 8 "

# data[].attributes.attachment_link.title
теорема виета

# data[].attributes.headline
Рыбкина Настя 8Г Теорема Виета.

# data[].attributes.subject
Рыбкина Настя 8Г Теорема Виета.

# data[].attributes.body
В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x ² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x ² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

1. x ² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;

2. x ² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;

3. 2x ² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x ² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1. 3x ² − 12x + 18 = 0;

2. −4x ² + 32x + 16 = 0;

3. 1,5x ² + 7,5x + 3 = 0;

4. 2x ² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x ². Получим:

1. 3x ² − 12x + 18 = 0 ⇒ x ² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;

2. −4x ² + 32x + 16 = 0 ⇒ x ² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;

3. 1,5x ² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x ² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;

4. 2x ² + 7x − 11 = 0 ⇒ x ² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x ² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x ₁ и x ₂. В этом случае верны следующие утверждения:

1. x ₁ + x ₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x,взятому с противоположным знаком;

2. x ₁ · x ₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

1. x ² − 9x + 20 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = − (−9) = 9; x ₁ · x ₂ = 20; корни: x ₁ = 4; x ₂ = 5;

2. x ² + 2x − 15 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = −2; x ₁ · x ₂ = −15; корни: x ₁ = 3; x ₂ = −5;

3. x ² + 5x + 4 = 0 ⇒ x ₁ + x ₂ = −5; x ₁ · x ₂ = 4; корни: x ₁ = −1; x ₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1. x ² − 9x + 14 = 0;

2. x ² − 12x + 27 = 0;

3. 3x ² + 33x + 30 = 0;

4. −7x ² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x ² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x ₁ + x ₂ = −(−9) = 9; x ₁ · x ₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;

2. x ² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
По теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −(−12) = 12; x ₁ · x ₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;

3. 3x ² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x ² + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −11; x ₁ · x ₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;

4. −7x ² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x ² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x ² − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x ₁ + x ₂ = −(−11) = 11; x ₁ · x ₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x ² равен 1;

2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x ² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;

2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;

3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;

4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x ² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x ² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x ₁ + x ₂ = −(−7) = 7; x ₁ · x ₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x ² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x ² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x ² − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x ² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x ₁ = 1,2; x ₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x ² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x ² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x ₁ + x ₂ = −5;x ₁ · x ₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) =1225 = 35². Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x ₁ = 15; x ₂ = −20.

# data[].attributes.headline
Теорема Виета 

# data[].attributes.subject
Теорема Виета 

# data[].attributes.body
8 класс Ивлева Алина

# data[].attributes.attachment_link.title
Виет матеша 8 класс

# data[].attributes.headline
Муниципальное образо

# data[].attributes.body
Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №10

Реферат на тему
«Теорема Виета»

Выполнила: Козлова Олеся 8 «В» класс

Теорема Виета во многом облегчает процесс решения огромного количества математических задач, которые в итоге сводятся к решению квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0, где а≠0.

Это стандартный вид квадратного уравнения. В большинстве случаев квадратное уравнение имеет такие коэффициенты a, b, и с, которые можно легко упростить, разделив их на а. В этом случае мы придем к виду квадратного уравнения, называемому приведенным (когда первый коэффициент уравнения равен 1):

x2+px+q=0

Именно для такого вида уравнений и удобна в использовании теорема Виета. Основным смыслом теоремы является то, что значения корней приведенного кв.уравнения можно легко определить устно, зная основное соотношение теоремы:

сумма корней равна числу, противоположному второму коэфициенту (т.е. –p);

произведение равно третьему коэффициенту (т.е. q).
А именно, x1+x2= -p и x1*x2= q.

Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин.
Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета. Она имеет большой прикладное значение, и ее применение дает возможность быстрого решения уравнений более высоко порядка.

# data[].attributes.headline
Теорема Виета     Франсуа Виет родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт, во французской провинции Пуату — Шарант. Отец Франсуа — прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье , где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу. Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Формулы Виета - фомулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.  x2 + px + q = 0                  Выполнила: Наумова Елена 8 В

# data[].attributes.subject
Теорема Виета     Франсуа Виет родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт, во французской провинции Пуату — Шарант. Отец Франсуа — прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье , где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу. Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Формулы Виета - фомулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.  x2 + px + q = 0                  Выполнила: Наумова Елена 8 В

# data[].attributes.body
Челнокова Д

# data[].attributes.headline
Теорема Виета

# data[].attributes.body
Теорема Виета
Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготьер
(фр. François Viète, seigneur de la Bigotière; 1540 — 23 февраля[6] 1603) — французский математик, основоположник символической алгебры. Свои труды подписывал латинизированным именем «Франциск Виета» (Franciscus Vieta), поэтому иногда его называют «Виета». По образованию и основной профессии — юрист
Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт, во французской провинции Пуату — Шарант. Отец Франсуа — прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье (как и его родственник, Барнабе Бриссон), где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу.
Обратная теорема Виета:Если числа m и n
таковы,что их сумма равна p, а произведение равняется q,то эти числа являются корнями уравнения x^2+px+q=0.
При жизни Виета была издана только часть нынешних его трудов.Главное своё сочинение — «Введение в аналитическое искусство» (1591) — он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) голландским математиком Ф. ван Схотеном.

Выполнил:
Евгений Байсаров 8В

# data[].attributes.headline
Теорема Виета

# data[].attributes.subject
Теорема Виета

# data[].attributes.body
Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату - Шарант. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем - в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). В это время Виет пробудил в себе интерес к математике. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Выводы о корнях квадратного уравнения он сформулировал в виде теоремы и доказал её. Теорем: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Обратная теореме Виета: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2+px+q=0. При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное своё сочинение — «Введение в аналитическое искусство» (1591) — он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) голландским математиком Ф. Ван Схотеном.

Выполнил: Халтурин Игорь 8В

# data[].attributes.headline
Муниципальное образо

# data[].attributes.body
Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №10

РЕФЕРАТ
«ТЕОРЕМА ВИЕТА»

Выполнил: Калитько Егор

ученик  8 «В»

Проверил: Лесотова Вероника Викторовна

Учитель математики

Усть-Кут

2019

Содержание

Введение. 3
Биография. 4

Формулы Виета. 5
Литература. 6

Введение

Франсуа Виет – великий французский математик. Он положил начало алгебре как науке о преобразовании выражений и решении уравнений в общем виде. Виет был первым, кто ввел буквенное обозначение как неизвестных, так и данных величин. Он внедрил в науку мысль о том, что алгебраические преобразования можно выполнять не только над значениями, но и над символами, и фактически создал понятие математической формулы как таковой. Благодаря этому открытию, Виет внес огромный вклад в создание буквенной алгебры. Таким образом, именно он подготовил почву для открытий Декарта, Ферма и Ньютона. Сегодня мы рассмотрим биографию и интересные факты из жизни Франсуа Виета.

Биография

Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт, во французской провинции Пуату — Шарант. Отец Франсуа — прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье , где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу.

Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году. В 1571 году переехал в Париж, увлечение его математикой и известность Виета среди учёных Европы продолжали расти.

Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии.

Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет отстранён от дел (1584—1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков .Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.

При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное своё сочинение — «Введение в аналитическое искусство» (1591) — он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) голландским математиком Ф. ван Схотеном.

Формулы Виета

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Если C1,С2,….,С3- корни многочлена

+++…+, то коэффициенты

,…, выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:

=-(++….+)

=++….+++…..+

=-(++…..+)

=(…+…+...+…)

=…

Иначе говоря, равно сумме всех возможных произведений из  k корней.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

+++….+,

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на .

В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

=,k=1,2…n.

Литература

1. https://www.syl.ru/article/293174/fransua-viet-biografiya-foto-i-interesnyie-faktyi

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Формулы_Виета

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Виет,_Франсуа

# data[].attributes.headline
Данил Омолоев 8В Теорема Виета.

# data[].attributes.subject
Данил Омолоев 8В Теорема Виета.

# data[].attributes.body
По определению Теорема Виета это-формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни. Как понял я это- теорема которая намного проще показывает X1 и X2.Сумма корней приведенного квадратов  x2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту P C противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. И так же как и во многих других теоремах существует обратная теорема Виета, но это уже другое.

т. е. x1 + x2 = – p и x1 x2 = q
С помощью теоремы Виета, зная один корень квадратного уравнения, например, x1, мы легко найдем второй из соотношения x1 + x2 = –p (или из соотношения x1 x2 = q). Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

x ₁+x ₂=-b/a;  x ₁∙x ₂=c/a.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

x ₁+x ₂=-b/a;  x ₁∙x ₂=c/a.

x ₁ + x ₂ = -p,   x ₁ · x ₂ = q