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Cours sur le ensembles de nombres (avec compléments)

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Cours sur le ensembles de nombres (avec compléments)

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Il s'agit là d'un cours bien plus étoffé que celui vu en classe ; on y parle par exemple de nombres premiers... Utile pour les élèves qui souhaitent approfondir.

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Revenez régulièrement vous entrainer sur ce site !

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Des cours de maths et des activités à télécharger, des videos, des dossiers d'histoire, des curiosités sur les mathématiques, des jeux, des travaux d'élèves...

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Remarque : dans son raisonnement, Yvan Monka utilise le critère de divisibilité par 3 pour conclure... Qu'en pensez-vous ?

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DEMONSTRATION : 1/3 n'est pas décimal - Seconde

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D'autres vidéos sur les ensembles de nombres sur le site "jaicompris"

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D'autres vidéos sur les ensembles de nombres sur le site "jaicompris"

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Pour approfondissement...

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En construction

En construction

♦ Cours : connaitre les ensembles de nombres

Entiers naturels

Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à 0.
L'ensemble des entiers naturels est noté $\pmb{\mathbb{N}}$

$\pmb{\mathbb{N}}=\{0,1,2,....\}$

3 est un entier naturel

Car 3 est un entier supérieur à 0.

$\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"

On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{N}}$
-3 n'est pas un entier naturel

-3 est un entier mais n'est pas positif.
Donc -3 n'est pas un entier naturel.

$\boldsymbol{\notin}$ signifie "n'appartient pas"

On peut écrire $\pmb{-3\notin\mathbb{N}}$

♦ Cours : Savoir démontrer qu'un nombre est décimal ♦ Cours : Savoir démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel

Entiers relatifs

Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.
L'ensemble des entiers relatifs est noté $\pmb{\mathbb{Z}}$

$\pmb{\mathbb{Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,....\}$

3 est un entier relatif
On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{Z}}$

-3 est un entier relatif
On peut écrire $\pmb{-3\in\mathbb{Z}}$

0,5 n'est pas un entier relatif
On peut écrire $\pmb{0,5\notin\mathbb{Z}}$

Nombres décimaux

Un nombre décimal est nombre qui peut s'écrire
avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule.
$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire $\boldsymbol{\displaystyle\frac a{10^n}}$

avec $a$ entier relatif
$n$ entier naturel

L'ensemble des décimaux est noté $\pmb{\mathbb{D}}$

2,23 est un nombre décimal
On peut écrire $\pmb{2,23\in\mathbb{D}}$

3 est un nombre décimal
On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{D}}$

$\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal
On peut écrire $\pmb{\displaystyle\frac 13\notin\mathbb{D}}$

Nombres rationnels

Un nombre rationnel est nombre qui peut s'écrire
sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$

où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

$q$ est non nul,
car il est au dénominateur.

L'ensemble des rationnels est noté $\pmb{\mathbb{Q}}$

3 est un nombre rationnel
On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{Q}}$

2,23 est un nombre rationnel
On peut écrire $\pmb{2,23\in\mathbb{Q}}$

$\displaystyle -\frac 53$ est un nombre rationnel
On peut écrire $\displaystyle\pmb{-\frac 53\in\mathbb{Q}}$

$\sqrt 2$ n' est pas un nombre rationnel

Nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel,
c'est à dire qui ne peut pas s'écrire sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$

où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

Irrationnels classiques:
$\boldsymbol{\sqrt 2}$
$\boldsymbol{\pi}$

Nombres réels

On considère une droite munie d'un repère.
Un nombre est réel s'il correspond à l'abscisse d'un point de cette droite.
L'ensemble des nombres réels est noté $\pmb{\mathbb{R}}$

2 est un nombre réel
On peut écrire $\pmb{2\in\mathbb{R}}$

-1,2 est un nombre réel
On peut écrire $\pmb{-1,2\in\mathbb{R}}$

$\displaystyle \frac 53$ est un nombre réel
On peut écrire $\displaystyle\pmb{\frac 53\in\mathbb{R}}$

$\sqrt 2$ et $\pi$ sont des nombres réels

En fait tous les nombres que vous connaissez en seconde,
correspondent tous à des points de la droite. Et donc sont réels.
Donc tous les nombres que vous connaissez en seconde sont réels.

Pourtant vous verrez plus tard que les points à l'exterieur de la droite
correspondent aussi à des nombres mais qui ne sont pas réels et qu'on appelle
nombres complexes

Schéma à connaitre

Nature d'un nombre

Donner la nature d'un nombre
c'est dire le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.

Exemple: Donner la nature de $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6$

$\require{cancel} \displaystyle\frac{\sqrt{225}}6=\frac {15}6=\frac{\cancel{3} \times 5}{\cancel{3} \times 2}=\frac 52=2,5$
Donc $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6\in \mathbb{D}$

Autrement dit
$\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6$ est un nombre décimal.

Ne pas confondre $\boldsymbol\in$ et $\boldsymbol\subset$

* Pour dire qu'un élèment $a$ appartient à un ensemble ${\rm A}$
on écrit: $\boldsymbol{a\in {\rm A}}$

Pour dire qu'un ensemble ${\rm A}$ est inclus dans un ensemble ${\rm B}$
on écrit: $\boldsymbol{\rm A\subset B}$

Méthodes

* Montrer qu'un nombre est décimal

Méthode 1: Montrer qu'il peut s'écrire avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule

Par exemple:
2,25 est un nombre décimal
car il y a un nombre fini de chiffre derrière la virgule

Méthode 2: Montrer qu'il peut s'écrire sous la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$

avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel.

Par exemple:
2,25 est un nombre décimal
car $\displaystyle 2,25=\frac {225}{100}=\frac {225}{10^2}$

C'est bien de la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$
avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel.

* Montrer qu'un nombre n'est pas décimal

Méthode: Montrer qu'il ne peut pas s'écrire $\displaystyle\frac a{10^n}$

On utilise souvent un raisonnement par l'absurde:
On suppose que le nombre peut s'écrire sous la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$
Puis on montre que l'on aboutit à une contradiction

Pour cela, on utilise souvent la décomposition en facteur premier.

$\displaystyle \frac 13$ n'est pas décimal

Piège avec les décimaux

Si le nombre est écrit avec un nombre de chiffres derrière la virgule
* fini $\Rightarrow$ Le nombre est décimal

Par exemple,
132,25
Il y a 2 chiffres après la virgule
Le nombre de chiffre derrière la virgule est donc fini
Donc 132,25 est un nombre décimal.

* infini $\Rightarrow$ Le nombre peut être décimal ou pas

0,333... n'est pas un nombre décimal
0,999... est un nombre décimal

Car on démontre que:
0,999...=1
Or 1 est un entier, donc un décimal!

Voir la vidéo:
$0,999..=1$

Exercices 1:

Tableau à compléter

Sans utiliser de calculatrice, compléter le tableau par OUI ou NON:

Exercices 2:

Placer

Placer les nombres suivants sur le schéma, sans utiliser de calculatrice:
$\displaystyle\frac{-84}{14}$ $\displaystyle\frac{-15\sqrt{2}}{\sqrt 8}$ $5,1$ $10^3$ $\displaystyle\frac{1,26}{18}$ $\displaystyle\frac 1{18}$

Exercices 3:

Ensemble

Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$...

Exercices 4:

Nature d'un nombre

Sans calculatrice, donner la nature des nombres suivants:
$-5,6$ $\displaystyle\frac 34$ $\displaystyle\frac 43$ $\displaystyle\frac 25$ $\displaystyle\sqrt {6,25}$

Exercices 5:

Nature d'un nombre - seconde

1. $\displaystyle \frac {784}3$ appartient-il à $\mathbb{N}$?

2. $\displaystyle\frac 5{1+\frac 23}$ est-il décimal?

Critère de divisibilité - Arithmétique - Seconde Maths

Exercices 6:

Dans chacun des cas suivants, déterminer les chiffres a, b, c :
1) 23a4 est divisible par 3
2) 23a4 est divisible par 3 mais pas par 9.
3) 23b5c est divisible par 3 et par 5.

Exercices 7:

Démontrer que un tiers $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal - Démonstration cours seconde - Difficile

1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.

2. Démontrer que $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).

Exercices 8:

Démontrer que un tiers $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal - Démonstration cours seconde - Difficile

1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.

2. Démontrer que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).

Exercices 9:

Démonstration cours de seconde

1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.

2. Démontrer que $\displaystyle\frac {13}{80}$ est un nombre décimal.

3. Démontrer que $\displaystyle\frac {17}{26}$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).

Exercices 10:

Démonstration cours de seconde

L'objectif de cet exercice est de démontrer que $0,999....=1$.
Notons $x=0,99....$.

1. Calculer $10x$.
(On admettra quemultiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.)

2. Conclure.

Exercices 11:

Démonstration cours seconde - nombre pair - impair - Logique

Démontrer que si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair
(Penser à utiliser la contraposé)

Exercices 12:

Démonstration cours seconde - racine de 2 irrationnel

On rappelle le résultat suivant: Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.

1. Rappeler la définition d'un nombre rationnel.

2. Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
(On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde).

Exercices 13:

Arithmétique - rationnel et irrationnel - seconde Spé Maths

Sachant que $\pi$ est irrationnel, démontrer que $\displaystyle\frac 3\pi$ et $\sqrt \pi$ sont irrationnels.

Exercices 14:

Somme d'un rationnel et d'un irrationnel

1) Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel
2) La somme de deux irrationnels est un irrationnel?
3) Que peut-on dire de $\pi +1$ ?

Exercices 15:

Développement décimal illimité

L'objectif est de deviner une propriété des nombres qui ont un développement décimal périodique.

1. Soit $x=2,111....$

2. Calculer $10x$.
On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.

3. En déduire que l'on peut écrire $2,111...$ sous la forme d'une fraction de 2 entiers.

2. Adapter la méthode à $x=2,232323...$.

3. Adapter la méthode à $x=5,23569569...$

4. Quelle propriété peut-on conjecturer?

Exercices 16:

Construire un rationnel à la règle et au compas

Sur une droite graduée, construire $\displaystyle\frac 13$, puis $\displaystyle\frac 47$.

Exercices 17:

Construire un irrationnel à la règle et au compas - racine de 2

Sur une droite graduée, construire $\sqrt 2$, puis $\sqrt 3$.

Exercices 18:

Algorithmique - approximation de pi

On cherche parmi les fractions ayant un numérateur et un dénominateur à un ou deux chiffres, celle qui soit la meilleure approximation de $\pi$.
Écrire un programme en Python pour résoudre ce problème.

Exercices 19:

Algorithmique - programme python - Simplifier une fraction

Ecrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.

Exercices 20:

Algorithmique - Piège très classique - Python et les décimaux

1. Que va afficher le programme en python ci-dessous:
if 0.1+0.2==0.3:
print("titi")
else:
print("toto")

2. Tester le programme sur ordinateur. Expliquer.

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Ensemble de nombres - Entiers naturels relatifs décimaux rationnels réels

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En construction En construction ♦ Cours : connaitre les ensembles de nombres Entiers naturels Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à 0. L'ensemble des entiers naturels est noté $\pmb{\mathbb{N}}$ $\pmb{\mathbb{N}}=\{0,1,2,....\}$ 3 est un entier naturel Car 3 est un entier supérieur à 0.

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Pour apprendre les bases de la programmation.

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Faire des maths, c'est apprendre ? C'est comprendre ?
Non, c'est autre chose ! Et c'est expliqué sur ce document !

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Les maths, ce ne sont pas que des calculs. Il faut aussi apprendre à rédiger pour se faire comprendre !

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Voici la liste complète. Faites de bons choix !

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Cinq parcours différents se présentent à vous !

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Le site de la spécialité maths avec toutes les infos !

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En juin 2021, nous assisterons au nouveau baccalauréat ! Mais cette réforme commencera bien avant ! En effet, elle s'accompagne d'une restructuration du lycée général et technique avec, notamment, la disparition des filières d'enseignement général (S, ES, L) au profit de spécialités. Ces spécialités seront à choisir (en complément d'un tronc commun) dès la classe de première, lors de la rentrée 2019. Les élèves choisiront alors trois spécialités de 4 heures hebdomadaires en première et en conserveront deux de 6 heures pour la classe de terminale :

Parallèlement, les élèves pourront suivre également des enseignements facultatifs :

Voir la plaquette intégrale

Par exemple, des élèves qui abandonnent la spécialité maths entre la première et la terminale mais qui souhaitent cependant maîtriser des bases minimales pour leur cursus post-bac pourront prendre l'enseignement facultatif " mathématiques complémentaires ".

Le baccalauréat 2021 et plus exactement son évaluation s'organisera autour de deux grands axes :

le contrôle continu (40 % de la note finale) organisé par les établissements et portant principalement sur les matières du tronc commun (mais pas que...) ;

les épreuves finales (60 % de la note finale) constituées de sujets nationaux et portant sur les spécialités et quelques autres épreuves traditionnelles ou innovantes...

Détaillons le contenu de ces deux composantes :

Les 40 % de contrôle continu se ventileront en 10 % + 30 % :

10 % définis par rapport aux notes obtenues sur les bulletins scolaires en 1re et en Tle, ceci pour toutes les disciplines (spécialités comprises)

30 % définis par rapport aux ECCC (épreuves communes de contrôle continu). Ces épreuves communes se déroulent en 3 temps et principalement sur les matières du tronc commun (sauf français) :

une ECCC en fin de 2e trimestre de première ;

une ECCC en fin de 3e trimestre de première ;

une ECCC en fin de 2e trimestre de terminale.

Les 60 % d'épreuves finales sont constituées de 4 catégories d'épreuves (en fait 6 épreuves au total) :

les épreuves anticipées de français (EAF) avec un écrit et un oral qui se déroulent en fin de première ;

les épreuves écrites dans les 2 enseignements de spécialités conservés en terminale. Ces épreuves auront lieu en début de troisième trimestre de terminale, au retour des vacances de printemps (mois d'avril/mai) ;

une épreuve écrite de philosophie en juin ;

un grand oral final (que les élèves auront travaillé sur 2 années) en juin. Ce grand oral s'articulera autour des spécialités choisies.

Pour le contrôle continu, toutes les disciplines ont un poids égal. Ce n'est pas le cas des épreuves finales qui seront coefficientées.

Voir le résumé de cette réforme faite par le ministre lui-même :

Sur ce site, vous trouverez toutes les actualités concernant ces réformes, en rapport avec les mathématiques.

Nous attendons avec impatience la publication des programmes de mathématiques pour les 4 dispositifs suivants : (pour les élèves ayant pris la spécialité maths et qui ont besoin de compléments pour leurs études supérieures : CPGE scientifiques, écoles d'ingénieurs etc.)
- spécialité maths en classe de première (4 h)
- spécialité maths en classe de terminale (6 h)
- enseignement facultatif " mathématiques complémentaires " en classe de terminale (3 h / semaine) (pour les élèves n'ayant pas pris la spécialité maths mais ayant besoin de bases)
- enseignement facultatif " mathématiques expertes " en classe de terminale (3 h / semaine)

Autre vidéo (parue le 11 janvier 2019) de C. Villani et du ministre sur la spécialité mathématiques :

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Spécialité-Maths - Le site de la spécialité maths

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En juin 2021, nous assisterons au nouveau baccalauréat ! Mais cette réforme commencera bien avant ! En effet, elle s'accompagne d'une restructuration du lycée général et technique avec, notamment, la disparition des filières d'enseignement général (S, ES, L) au profit de spécialités.

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Remise à niveau sur le calcul algébrique de base

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Remise à niveau sur le calcul algébrique de base

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Distributivité, identités remarquables, équations et inéquations du second degré...
Vous ne comprenez rien aux maths en ce début d'année ? Ce document est pour vous !

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Encore des petits exercices d'entrainement !

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Pour s'entraîner sur les fonctions (et avec le corrigé)

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Corrigé de l'exercice 3 du DS d'entrainement

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Corrigé de l'exercice 3 du DS d'entrainement

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Voici le corrigé de l'exercice 3 que l'on n'a pas eu le temps de finir en classe.