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Lösung für die Zusatzaufgabe - ungerade Zahlen

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Lösung für die Zusatzaufgabe - ungerade Zahlen

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Als Regel für die ungerade Zahlen haben wir herausgefunden, dass jede ungerade Zahl einer mehr als ein Vielfaches von 8 ist, der Beweis dafür ist relativ ähnlich wie der zu den ungeraden Zahlen.

Wir wissen bereits, wie wir ungerade Zahlen darstellen können und beginnen damit diese ungerade Zahl zu quadrieren:
(2\cdot n + 1)^2 = (2\cdot n + 1)\cdot (2\cdot n + 1) = 4\cdot n^2 + 4\cdot n + 1 =
Hier können wir noch ausklammern und erhalten für das Quadrat einer ungeraden Zahl, dass sie einen mehr als ein Vielfaches von 4 ist:
4\cdot(n^2+n) + 1
Doch damit geben wir uns noch nicht zufrieden.
Wir haben nämlich gesehen, dass es sogar durch 8 teilbar ist, das liegt daran, dass
n^2 + n
immer gerade ist, also ein Vielfaches von 2, dadurch ist das gesamt durch 8 teilbar.

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Lösung für die Zusatzaufgabe - gerade Zahlen

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Lösung für die Zusatzaufgabe - gerade Zahlen

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Wir haben als Regel gefunden, dass die Quadrate von geraden Zahlen immer durch 4 teilbar sind, doch warum ist das so?
Wir haben verschiedene Möglichkeiten dies zu beweisen, eine schöne grafische Methode findet ihr unter der Lösung als Padlet.

Wer es lieber mathematisch möchte, der muss damit starten, wie wir gerade und ungerade Zahlen separieren bzw. darstellen können: Eine gerade Zahl ist immer ein Vielfaches von 2, also können wir jede gerade Zahl durch
2\cdot n
und jede ungerade Zahl durch
2\cdot n + 1
darstellen, dabei ist n eine ganze Zahl.
wenn wir nun unsere gerade Zahl quadrieren erhalten wir:
(2\cdot n)^2 = 2^2\cdot n^2 = 4 \cdot n^2
Wir sehen also, dass unser Ergebnis ein Vielfaches von 4 ist, daher sind gerade Quadrate auch immer durch 4 teilbar.

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Wenn du glaubst alles richtig verstanden zu haben, so kannst du jetzt zum zweiten Teil übergehen, erfrage dafür das Passwort bei deiner Raumaufsicht

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Ziehe die grüne Karte zur Seite um Tipps zu sehen

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Die ungeraden Quadratzahlen liegen alle in der 2. Zeile, über die Teilbarkeit in der 2. Zeile können wir nichts direkt aussagen, doch aus Aufgabe 3 wissen wir bereits, dass jede Zahl aus der 1. Zeile durch 8 teilbar ist.
Was können wir nun über die Beziehung einer Zahl der 2. Zeile zu der darüberliegende Zahl in der 1. Zeile aussagen?

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Was können wir über die Teilbarkeit der Zahlen in der 1. und 5. Zeile aussagen?

=> Die geraden Quadratzahlen liegen alle entweder in der 1. oder der 5. Zeile

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Aufgabe 1:
Ziehe die rosa Kästchen über die geraden Quadratzahlen in der Tabelle

Aufgabe 2:
Ziehe die blauen Kästchen über die ungeraden Quadratzahlen in der Tabelle

Aufgabe 3:
Wenn wir nun die Tabelle betrachten, was können wir über die Teilbarkeit der geraden Quadratzahlen (rosa) aussagen?

Aufgabe 4:
Was können wir über die Teilbarkeit der ungeraden Quadratzahlen (blau) aussagen?

Aufgabe 5:
Formuliere für dich zwei Regeln zu der Teilbarkeit von den Quadratzahlen (gerade und ungerade)

Aufgabe 6:
Teste deine Regeln für die Quadrate von mindestens 3 Zahlen über 20

Zusatzaufgabe:
Probiere dich nun an einem Beweis und erläutere warum die von dir aufgestellten Regeln richtig sind.