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Francesco e Halima visitano la nuova casa di Marianna: il palazzo, dalla pianta a triangolo rettangolo, ha per ogni lato un bel giardino di forma quadrata.

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Tre aree diverse tra loro ma con qualcosa in comune: Marianna sta mostrando la propria nuova casa a Francesco e Halima. Il palazzo dove è andata ad abitare ha una pianta a forma di triangolo rettangolo, ed è circondato da tre giardini, uno per ogni lato.
Mentre li ammirava, Halima si è accorta di qualcosa che accomuna i tre giardini: una relazione che lega le tre superfici.
Che cosa ha notato Halima?

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L’importanza del teorema di Pitagora è dovuta al fatto che si può applicare proficuamente per la risoluzione di molti problemi di geometria, non soltanto relativi ai triangoli, ma anche a quelle situazioni in cui da una qualunque figura piana è possibile ottenere un triangolo rettangolo. Disegnando infatti la diagonale di un rettangolo o di un quadrato, tracciando l’altezza di un parallelogrammo o di un trapezio, possiamo ottenere triangoli rettangoli a cui applicare le formule relative al teorema di Pitagora.

Facciamo un esempio partendo da una situazione reale.
Si vuole asfaltare un terrazzo avente la forma di un rettangolo. avente le dimensioni di 6 m e 9 m, e di un trapezio isoscele avente la base minore coincidente con la dimensione maggiore del rettangolo e con l’altezza e la base maggiore lunghe rispettivamente 3 m e 17 m. Se l’asfaltatura costa € 15 al m² calcola il costo per asfaltare il terrazzo. Facendo riferimento alla figura:

1. calcoliamo la misura di ED = (GD - HC) : 2 = [(17 - 9) : 2] m = 4 m;

2. calcoliamo la lunghezza del lato obliquo del trapezio applicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo CDE; CD = √(4²+ 3²) m = √(16 + 9) m = √25 m = 5 m;

3. calcoliamo il perimetro del terrazzo: AB + BC + CD + DG + GH + HA = (9 + 6 + 5 + 17 + 5 + 6) m = 48 m;

4. determiniamo il costo per l ‘asfaltatura del terrazzo: € (48 x 15) = € 720.

Adesso prova tu a risolvere i problemi che ti proponiamo.

1. Le dimensioni di un rettangolo sono rispettivamente 19,5 cm e 26 cm; calcola la lunghezza della diagonale di un quadrato avente il lato uguale alla diagonale del rettangolo.  [130]

2. L’area di un rombo è 5400 cm²; se una diagonale misura 120 cm, calcola il perimetro del rombo.        [300 cm]

3. In un trapezio rettangolo le due basi misurano rispettivamente 18 cm e 28 cm; se l’area è 172,5 cm², calcola il perimetro del trapezio.                [66 cm]

4. In un trapezio isoscele le due basi misurano rispettivamente 36 cm e 78 cm; se ciascuno dei due lati obliqui è uguale ai 5/3 della semidifferenza delle due basi, calcola l’area del trapezio.        [1596 cm²]

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La proprietà pitagorica era nota, per alcuni casi particolari, molto prima di Pitagora. In alcuni documenti antichi infatti si può notare come il metodo della corda con i nodi era utilizzato dal popolo egiziano per costruire angoli retti.
In una tavoletta di argilla babilonese, scoperta nell’antica terra di Babilonia (1800 a.C.), compare un triangolo rettangolo di corda con i lati lunghi rispettivamente 3, 4, e 5 che formano una terna pitagorica primitiva.
Nella tavoletta babilonese, scritta in caratteri cuneiformi, viene proposto un problema che tradotto afferma:
“Un bastone lungo 30 unità è appoggiato ad un muro. In alto scivola di 6 unità. Di quanto il piede del bastone si allontana dalla base del muro?” Sulla tavoletta è descritta la soluzione; vuoi provare a risolvere il problema?                       [18 unità]

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Il teorema di Pitagora e la bilancia a piatti

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Il teorema di Pitagora e la bilancia a piatti

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Si può verificare il teorema di Pitagora anche …… pesando

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La dimostrazione più antica è quella di Euclide

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La dimostrazione più antica è quella di Euclide

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Abbiamo enunciato il teorema di Pitagora. Ora proviamo a dimostrarlo, ovvero a provare che quanto esso afferma è vero, e sempre. Per farlo, usiamo lo stesso procedimento usato quasi 2500 anni fa dal grande matematico greco Euclide.
Disegna passo dopo passo la seguente procedura di risoluzione.

Considera un triangolo rettangolo ABC.

Costruisci sull’ipotenusa il quadrato ACDE e sui cateti i quadrati AFGB e BHJC.

Dobbiamo dimostrare che il quadrato ACDE è equivalente alla somma dei quadrati AFGB e BHJC.

Traccia allora la parallela BK al lato CD passante per il punto B.

Congiungi B con D e A con J.

Ora: i due triangoli ACJ e BCD sono uguali in quanto hanno:
CJ = BC e AC = CD e l’angolo compreso ACJ = BCD, perché sia l’uno che l’altro sono uguali all’angolo BCA più un angolo retto.

L’area del triangolo ACJ è la metà di quella del quadrato BHJC; infatti hanno la stessa base (CJ) e la stessa altezza (AS = BC): quindi il triangolo ha un’area che è la metà di quella del quadrato.

Il triangolo BCD (che è uguale a AJC) ha un’area che è la metà di quella del rettangolo CDKL: anche queste due figure hanno la stessa (CD) e la stessa altezza (LC).

Dunque il rettangolo CDKL ha l’area doppia rispetto a quella del triangolo BCD, mentre il quadrato BHJC ha l’area doppia di quella del triangolo AJC.
Ma i triangoli BCD e AJC sono equivalenti, come abbiamo già visto: dunque l’area del quadrato BHJC è uguale a quella del rettangolo CDKL.

In modo del tutto analogo congiungi B con E e C con F e dopo aver dimostrato che i triangoli CAF e BEA sono uguali, dimostra che il quadrato BAFG ha la stessa area del rettangolo LAEK.

Dunque si conclude che il quadrato CDEA costruito sull’ipotenusa è formato da due parti ciascuna delle quali è equivalente a uno dei quadrati costruiti su uno dei due cateti, perciò lo stesso quadrato CDEA è equivalente alla somma dei quadrati BAFG e BHJC.

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È possibile costruire triangoli rettangoli, e quindi applicare il teorema di Pitagora, partendo da alcuni elementi di una circonferenza come il raggio, il diametro e la corda. È inoltre possibile individuare triangoli rettangoli mediante i segmenti di tangente e di secante ad una circonferenza.
Vediamo la procedura di soluzione con alcuni esempi.

1. La somma e la differenza dei due lati minori di un triangolo inscritto in una semicirconferenza misurano rispettivamente 42 cm e 6 cm; calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Sappiamo che i triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli, pertanto i due lati minori sono i cateti; calcoliamo le loro misure applicando la regola:
(somma - differenza) : 2 = cateto minore; (42 - 6) : 2 = 18 cm;
Calcoliamo il cateto maggiore: 42 - 18 = 24 cm
Applichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo per calcolare l’ipotenusa: i = √18²+ 24² cm = √324 + 576 cm =
√900 cm =  30 cm
Calcoliamo il perimetro e l’area:
2p = (18 + 24 + 30) cm = 72 cm; A = (18 x 24): 2 cm² = 216 cm².

2.  Calcola il perimetro e l’area di un triangolo APO ottenuto congiungendo un punto P esterno alla circonferenza con il punto di tangenza A e il centro O, sapendo che il diametro della circonferenza e il segmento di tangenza misurano rispettivamente 144 cm e 96 cm.
Sappiamo che il triangolo APO è rettangolo in quanto l’angolo formato dal segmento di tangenza con il raggio della circonferenza è retto.
La prima operazione da fare è quella di calcolare il raggio della circonferenza: r = d : 2 = (144 : 2) cm = 72 cm.
Applichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo APO per calcolare la lunghezza del punto P dal centro della circonferenza O, ovvero l’ipotenusa del triangolo rettangolo.
PO = √72² + 96² cm= √5184 + 9216 = cm = √14 400 cm = 120 cm.
Calcoliamo il perimetro e l’area del triangolo APO:
2p = PA + AO + OP = (96 + 72 + 120) cm = 312 cm
A = (PA x OA) : 2 = (96 x 72) : 2 = 3456 cm².
Adesso prova tu a risolvere i seguenti problemi.

1. Un triangolo inscritto in una circonferenza ha il lato più lungo coincidente con il diametro che misura 15 cm; se uno degli altri due lati è lungo 12 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.   [36 cm; 54 cm²]

2. Se da un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O, tracciamo il segmento di tangenza e uniamo il centro O con il punto P, otteniamo il triangolo AOP. Spiega perché tale triangolo è rettangolo? Se il raggio misura 30 cm e il segmento di tangenza è lungo 50 cm, quanto è il perimetro? [120 cm]

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Il teorema di Pitagora e le figure curvilinee

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Il teorema di Pitagora e le figure curvilinee

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Ippocrate fu il primo a scoprire che alcune figure curvilinee hanno la stessa area dei poligoni. Questa intuizione ci porta a dimostrare che il teorema di Pitagora è verificato anche con le figure curvilinee.
Consideriamo, per esempio, un triangolo rettangolo avente i cateti e l’ipotenusa lunghi rispettivamente 9 cm, 16 cm e 25 cm.
Se disegniamo sui tre lati del triangolo le semicirconferenze aventi ciascuna il raggio lungo metà del lato corrispondente, otteniamo:
A = 25 π : 2 = 12,5 π
A’ = 9 π : 2 = 4,5 π
A” = 16 π : 2 = 8 π
Che verificano il teorema di Pitagora; infatti A = A’ + A”

Adesso tocca a te:
Verifica il teorema di Pitagora con le figure curvilinee considerando la seguente terna pitagorica:
cateto minore = 9 cm; Cateto maggiore = 80 cm; ipotenusa = 81 cm.

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Una terna pitagorica è costituita da tre numeri tali che la somma dei quadrati dei due numeri minori è uguale al quadrato del numero maggiore.
Per esempio i numeri 6, 8 e 10 rappresentano una terna pitagorica in quanto 6²+ 8² = 10² = 36 + 64 = 100.
Le terne pitagoriche, a partire da quella primitiva, ovvero 3, 4 e 5, sono molto utili in quanto consentono di risolvere più facilmente problemi in cui entrano in gioco i triangoli rettangoli sia in geometria piana che in quella solida.
Adesso prova tu a risolvere i seguenti problemi.

1. Calcola l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che i due cateti misurano rispettivamente 36 cm e 48 cm. [60 cm]

2. Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che uno dei due cateti e l’ipotenusa misurano rispettivamente 13 cm e 85 cm. [182 cm]

3. Calcola l’area di un triangolo rettangolo sapendo che il perimetro è 216 cm, l’ipotenusa misura 90 cm e i due cateti sono uno i 3/4 dell’altro.            [1944 cm²]

Per approfondire l’argomento visiona apri il link “le terne pitagoriche” a pag. 195 del volume di geometria 2 della collana “ELLEQUADRO” e prova a risolvere gli esercizi proposti.

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Il teorema di Pitagora afferma che

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Guarda il video per saperne di più!

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Dal teorema di Pitagora possiamo ricavare le regole che permettono di calcolare la misura di un lato del triangolo rettangolo note le misure degli altri due:

per calcolare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo si estrae la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti;

per calcolare la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si estrae la radice quadrata della differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa ed il quadrato della misura dell’altro cateto.

Osserva lo specchietto in allegato, nel quale sono riportate le formule per il calcolo dei lati del triangolo rettangolo basate sulla relazione pitagorica.

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Per i lavori di ristrutturazione di un'antica villa, a una nota designer di giardini è stata commissionata la realizzazione di un giardino all'italiana, caratterizzato cioè da una precisa suddivisione geometrica degli spazi attraverso siepi, arbusti e cespugli di sempreverdi.
Tre delle aiuole progettate dalla designer avranno la forma di triangoli rettangoli di diverse dimensioni.
Calcola, ricorrendo al teorema di Pitagora, la misura del lato incognito di ciascuna aiuola sapendo che:

l'aiuola di lavanda corrisponde a un triangolo rettangolo avente i cateti di 28 dm e 45 dm;

l'aiuola di osmanto corrisponde a un triangolo rettangolo con ipotenusa e cateto minore che misurano rispettivamente 55 dm e 33 dm;

l'aiuola di pungitopo corrisponde a un triangolo rettangolo con ipotenusa e cateto maggiore che misurano rispettivamente 80 dm 64 dm.

Infine, calcola il perimetro di ciascuna aiuola.

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Nel 1955, in occasione del 25esimo centenario della fondazione della scuola di Pitagora, la Grecia dedicò al celebre Teorema un francobollo commemorativo in cui è illustrato il celebre teorema, con riferimento alla terna pitagorica primitiva 3, 4, e 5. Per dimostrare il teorema, nei quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa, sono stati inseriti rispettivamente 9, 16 e 25 quadratini uguali che verificano la relazione pitagorica: 9 + 16 = 25.

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Il teorema di Pitagora e i triangoli isosceli

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Il teorema di Pitagora e i triangoli isosceli

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In quale caso la relazione del Teorema di Pitagora vale anche considerando le aree dei triangoli isosceli costruiti sui lati del triangolo? Prova a dimostrarlo.

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Nel primo volume di geometria del testo base, abbiamo studiato che il teorema è un’affermazione che si basa su affermazioni precedenti e può essere ricavata come conseguenza da esse. A differenza di assiomi e postulati, che vengono accettati per veri “a priori”, i teoremi devono essere dimostrati; si deve dimostrare cioè che da quanto detto fino a quel momento, si può ricavare una certa nuova regola (il teorema appunto).

Il teorema sicuramente più celebre della geometria, è il teorema di Pitagora, che prende il nome dal geniale matematico greco vissuto nel VI secolo a.C., il quale fu il primo ad enunciarlo.
Esso esprime la relazione tra le misure dei lati di un triangolo rettangolo e afferma:
“In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.
Ciò significa che se di un triangolo rettangolo qualsiasi prendiamo la misura dell’ipotenusa e la eleviamo al quadrato, e poi le le misure dei due cateti, le eleviamo al quadrato, e sommiamo i quadrati tra loro, otteniamo lo stesso risultato. Ovvero: se costruiamo sull’ipotenusa c un quadrato che ha l’ipotenusa stessa per lato, e sui cateti a e b due quadrati che hanno per lati i cateti stessi, l’area c² è equivalente alla somma delle aree di a² e b². Questa relazione è illustrata in figura.
Per saperne di più apri il link “guarda e impara” a pag. 195 del volume di geometria 2 della collana Ellequadro.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sul teorema di Pitagora.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere l'enunciato del teorema di Pitagora; il teorema di Pitagora e i poligoni; il teorema di Pitagora e la circonferenza
Abilità: applicare il teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli, nei poligoni e fra gli elementi della circonferenza
Competenze: applicare il teorema di Pitagora in tutte le figure piane e in situazioni legate alla realtà
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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