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GEEKIE ONE - CAP. 05 - pág. 09

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Fatorar uma expressão algébrica ou um polinômio significa transformar a expressão algébrica ou o polinômio, num produto de fatores irredutíveis. Assim, por exemplo, cada uma das identidades abaixo pode ser analisada sob dois aspectos distintos:

a) da esquerda para a direita, efetuamos a multiplicação indicada no 1º membro;

b) da direita para a esquerda, foi feita a fatoração da expressão que aparece no 2º membro, ou seja, ela foi transformada em um produto de fatores de grau menor.

Nesse sentido, podemos dizer, de modo geral, que fatorar é o "caminho inverso" de multiplicar.

Em seguida, vamos apresentar os principais casos de fatoração.
1º caso: colocar fator comum em evidência
Este caso se baseia na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração:

ab + ac - ad = a . (b + c - d)

Dizemos que o fator a, comum a todos os termos do 1º membro, foi colocado em evidência.

De maneira geral, ao fatorar um polinômio, colocamos em evidência o máximo divisor comum (MDC) de seus termos e, em seguida, dividimos cada termo por esse MDC.

Exemplos:

1. Fatore a expressão 5x + 5y - 5z.

Nesse caso, é fácil identificar o fator em comum: 5. Como estamos fazendo o processo inverso da propriedade distributiva da multiplicação, podemos dividir cada termo pelo fator comum para encontrar a forma fatorada:

Observe que 3.x ³.y ² é o fator comum. Colocando-o em evidência, temos:

Observe que 7.a.b ² é o fator comum . Colocando-o em evidência, temos:
2º caso: Agrupamento
Este caso se aplica quando:

a) não existe um fator comum para todas as parcelas;

b) partes da expressão (grupos) possuem fator comum.

Nesse caso, formamos dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em evidência um fator comum a todos os grupos.

Exemplos:

1. Fatore a expressão x ² + ax + bx + ab

Portanto: x ² + ax + bx + ab = (x + a) . (x + b)

2. Fatore a expressão 2ax ² + 3axy - 2bxy - 3by ²

Portanto: 2ax ² + 3axy - 2bxy - 3by 2 = (2x + 3y) . ( ax - by)

3. Fatore a expressão axy + bcxy - az - bcz - a - bc

Portanto: 2ax ² + 3axy - 2bxy - 3by 2 = (a + bc) . ( xy -z - 1)
3º caso: Diferença de quadrados
A partir da propriedade simétrica da igualdade (se a = b, então b = a), pode-se dizer que:

Observando que, esse binômio é composto pela diferença do quadrado de dois termos, podemos fatorá-lo facilmente, escrevendo-o como produto da soma pela diferença desses termos.

Exemplos:

1. Fatore a expressão x ² - 16

2. Fatore a expressão 16x ⁴ - 25b ²

3. Fatore a expressão
4º caso: Trinômio quadrado perfeito
Todo polinômio com três termos que apresenta dois monômios quadrados perfeitos (a ² e b ²), cujo terceiro termo é igual a duas vezes o produto das bases desses monômios quadrados perfeitos, em módulo ( 2ab), é um trinômio quadrado perfeito, isto é, pode ser reduzido a uma das seguintes formas:

Exemplos:

1. Verifique se o trinômio x ² + 4x + 4 a seguir são quadrados perfeitos e, caso sejam, fatore-os.

Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, temos:

Como 2ab é igual ao termo 4x, o trinômio é quadrado perfeito:

2ab = 2 . x . 2 = 4x (logo, x ² + 4x + 4 é quadrado perfeito)

Fatorando o trinômio, temos: x ² + 4x + 4 = (x + 2) 2

2. Verifique se o trinômio 4x ² - 20x + 5 ² a seguir são quadrados perfeitos e, caso sejam, fatore-os.

Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, temos:

Como 2ab é igual ao termo 20x, o trinômio é quadrado perfeito e sua forma fatorada é:
5º caso: Trinômio do segundo grau
Mesmo um trinômio não sendo quadrado perfeito, é possível fatorá-lo. Para isso, basta associá-lo a uma equação do 2º grau e conhecer suas raízes. Para um trinômio do tipo ax ² + bx + c (a ≠ 0), a equação associada a ele é ax ² + bx + c = 0 (a ≠ 0), na qual suas raízes x ₁ e x ₂ satisfazem as relações:

e

A forma fatorada do trinômio do segundo grau, usando as raízes x ₁ e x ₂ , é o produto do coeficiente a por dois fatores de 1º grau

Exemplos:

1. Fatore: x ² - 5x + 6 (a = 1, b = -5, c = 6)

Calculando as raízes: Δ = b ² - 4.a.c= (-5) ² - 4.(1).(6) = 25 - 24 = 1

Como x ₁ = 2 e x 2 = 3 e a = 1, a forma fatorada do trinômio é: x ² - 5x + 6 = 1 (x -2).(x -3)

2. Fatore: 3x ² - 2x - 1 (a = 3, b = -2, c = -1)

Calculando as raízes: Δ = b ² - 4.a.c= (-2) ² - 4.(3).(-1) = 4 + 12 = 16

Como e x 2 = 1 e a = 3, a forma fatorada do trinômio é:

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 3. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. IEZZI, G.. Fundamentos De Matemática Elementar . Volume 6. 7ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.

3. NETO, Antônio C. Muniz. Tópicos de Matemática Elementar, volume 1: Números Reais. Rio de Janeiro, Editora SBM, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/fatoracao/

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Fatorar uma expressão algébrica ou um polinômio significa transformar a expressão algébrica ou o polinômio, num produto de fatores irredutíveis. Assim, por exemplo, cada uma das identidades abaixo pode ser analisada sob dois aspectos distintos: a) da esquerda para a direita, efetuamos a multiplicação indicada no 1º membro; b) da direita para a esquerda, foi feita a fatoração da expressão que aparece no 2º membro, ou seja, ela foi transformada em um produto de fatores de grau menor.

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x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc A memorizao destas frmulas fcil e til para agilizar clculos. Observe que existe uma clara lei de formao, a qual facilita a memorizao.

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FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS -Expressões Algébricas - Professora Angela

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Quem está estudando para os vestibulares ou para o Enem terá que lidar, em algum momento, com a Matemática. Agradável para uns, temida por muitos, essa área do conhecimento é cheia de desafios!

A álgebra, por exemplo, costuma confundir a cabeça de muita gente que não tem tanta facilidade com esse tipo de assunto. A generalização que essa parte da matemática traz para a aritmética, com suas variáveis, expressões e fórmulas, pode amedrontar muita gente! Mas é tudo uma questão de entender e conhecer cada um dos conceitos.

Os polinômios, por exemplo, são expressões fundamentais para essa área da matemática e não precisam ser um bicho de sete cabeças! Neste post, vamos falar tudo sobre eles. Confira!

O que são polinômios?

Polinômios, como o próprio nome já sugere, são expressões algébricas decorrentes da adição de monômios. Estes são constituídos tanto por números já conhecidos quanto por variáveis desconhecidas.

Nos polinômios, os números correspondem aos coeficientes da expressão e as letras representam as variáveis, com valores desconhecidos até então. Abaixo, alguns exemplos:

O que são monômios?

Já os monômios são resultantes da multiplicação entre números conhecidos e as variáveis representadas por letras. Entretanto, as divisões por variáveis não são consideradas monômios, mas sim frações algébricas. Abaixo, exemplos de monômios:

Binômios

Os binômios são aqueles polinômios que possuem apenas dois monômios, separados por uma operação de adição ou subtração. Exemplificando:

Trinômios

Por fim, os trinômios são os polinômios que têm em sua expressão a aparição de três monômios (ou termos), separados pela expressão de soma ou subtração, como podemos ver abaixo:

Grau dos polinômios

Os polinômios possuem diferentes graus, podendo ser reconhecidos por meio dos expoentes apontados em suas variáveis literais. Para encontrar o grau de um polinômio, deve-se somar os expoentes das letras de cada termo. A maior soma corresponderá ao grau do polinômio em questão. Veja nos exemplos abaixo:

3x³ + y

Na expressão acima, o primeiro termo do polinômio (que, neste caso, é um binômio) tem expoente equivalente a 3. O segundo termo tem expoente de 1. Como 3 é maior que 1, dizemos que o polinômio em questão tem grau 3.

3x²y + 5x³y³ - xy²

Na soma dos expoentes de cada termo, temos:

3x²y, somando 2 + 1, temos 3;

5x³y³, somando 3 + 3, temos 6;

xy², somando 1 + 2, temos 3.

Como a soma dos expoentes é maior no segundo termo do polinômio, seu grau é 6.

Operações com polinômios

Ao tratarmos de polinômios, podemos aplicar diversas operações, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição com polinômios

A operação de adição de polinômios deve ser feita por meio da soma dos coeficientes de termos semelhantes, ou seja, daqueles com mesma parte literal, conforme o exemplo abaixo:

Como podemos observar acima, os termos semelhantes são colocados lado a lado e a soma dos termos é feita sequencialmente. Abaixo, mais um exemplo:

Subtração com polinômios

A subtração entre polinômios envolve uma propriedade da multiplicação, chamada de distributiva, modificando todos os sinais do segundo polinômio da operação. Apenas após a realização dessa troca de sinais é que é possível dar sequência ao processo de subtração. Veja no exemplo:

(4x ² - 5ky + 6k) - (3x - 8k)

4x ² - 5xk + 6k - 3xk + 8k

4x ² - 8xk + 14k

Como é possível ver no exemplo acima, mais simplificado, o segundo polinômio tem seus sinais completamente invertidos. Abaixo, uma operação mais complexa:

Se observarmos atentamente, a operação de subtração consiste apenas na inversão do sinal entre os polinômios, de modo que, após o processo, segue normalmente, assim como se dá nas operações de adição.

Multiplicação com polinômios

A multiplicação de polinômios leva completamente em conta a propriedade distributiva dos polinômios, popularmente conhecida como " chuveirinho". Para utilizar esse recurso, é só multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo polinômio, sempre levando em consideração os sinais de cada resultado. Veja abaixo, no exemplo:

(3x ² - 5x + 8) . (-2x + 1)

Observe que, na multiplicação de variáveis (letras) iguais, repete-se e soma-se cada um dos expoentes. Abaixo, mais um exemplo:

(2x + a) . (2x -4a)

2x . 2x - 2x . 4a + a . 2x - a . 4a

4x² - 6xa - 4ª²

Divisão com polinômios

Na divisão de polinômios, é utilizado o chamado método chave, da mesma maneira que fazemos com números inteiros. Veja abaixo o exemplo:

Na divisão de P(x) = x³ + 7x² + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, o primeiro é o dividendo e o segundo é o divisor, sendo o Q(x) o quociente. O primeiro passo é buscar um monômio que, se for multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, apresente o termo de grau mais alto do dividendo. Para a operação acima, esse monômio é x².

Após encontrá-lo, multiplique-o pelo divisor, colocando o resultado sob o dividendo, assim como fazemos para a divisão de números inteiros. Ou seja:

x³ + 7x² + 15x + 9 : x + 1 = x²

x² . (x + 1) à x³ + x²

O resultado dessa multiplicação é, então, subtraído do dividendo, de modo que os sinais devem ser trocados. Assim:

x³ + 7x² + 15x + 9 - x³ - x²

Aqui, o resultado fica em 0 + 6x² +15x + 9, pois devemos "descer" na operação todos os termos que não foram subtraídos dessa vez. Agora, o procedimento é repetido até que o resto tenha menor grau que o divisor. Então, na sequência dessa operação, temos como resultado x² + 6x + 9.

Fatoração com polinômios

Fatoração é um processo matemático que busca representar números ou expressões como produtos de fatores. Quando escrevemos um polinômio como o resultado da multiplicação de outros polinômios, geralmente conseguimos expressar esse resultado de maneira mais simplificada.

Existem alguns tipos de fatoração de polinômios, que explicaremos a seguir.

Fator comum em evidência

Esse tipo de fatoração é usado quando existe um fator recorrente em todos os termos do polinômio. Pode conter números e letras, sendo assim colocado à frente dos parênteses. Dentro desses parênteses, fica o resultado da divisão de cada termo pelo fator comum.

Assim, o "passo a passo" desse tipo de fatoração se dá em 3 etapas, sendo:

1. Identificar algum número que divida todos os coeficientes do polinômio e as letras que se repetem em cada um dos termos;

2. Colocar os fatores comuns, sejam eles números ou letras, na frente dos parênteses, em evidência;

3. Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator identificado do polinômio pelo que está na frente dos parênteses. Para letras, utiliza-se a regra da divisão de potências que possuem mesma base.

Veja, abaixo, um exemplo:

Como expressar a forma fatorada de 12x + 6y - 9z?

Primeiramente, identificamos que todos os coeficientes podem ser divididos por 3 e que não há nenhuma letra repetida. Na sequência, coloca-se 3 na frente dos parênteses, dividindo todos os termos por esse número e colocando o resultado da operação dentro dos parênteses. Assim, temos que:

12x + 6y - 9z = 3(4x +2y - 3z)

Como fatorar o polinômio 2a²b + 3a³c - a⁴?

Na primeira etapa, verificamos que não há nenhum número que seja capaz de dividir, ao mesmo tempo, 2, 3 e 1. Assim, nenhum número é colocado à frente dos parênteses.

Na sequência, podemos perceber que a letra " a " se repete em cada um dos termos do polinômio. Portanto, o fator comum será a², já que este é o menor expoente de "a" no polinômio. Assim, dividimos cada termo do polinômio por a², tendo como:

Por fim, coloca-se a² na frente dos parênteses e o resultado da divisão dentro deles, tendo como resultado da fatoração:

Agrupamento

Outra forma de realizar uma fatoração de polinômios é o agrupamento, utilizado quando não há um fator que se repita em cada termo. Para tanto, precisamos identificar termos que podem se agrupar por fatores comuns. Aqui, colocam-se esses fatores comuns de cada agrupamento em evidência, como no exemplo abaixo:

Fatorar mx + 3nx + my + 3ny

Observando, temos que "mx" e "3nx" têm "x" como fator comum. Já "my" e "3ny" têm "y", da mesma forma. Colocando-os em evidência, temos:

x(m + 3n) + y(m + 3n).

Agora, (m + 3n) está presente em ambos os termos, de modo que podemos repetir o processo e colocar novamente em evidência. Assim, o resultado é:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) . (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Dessa forma, a fatoração de um trinômio quadrado perfeito se dá como:

Para descobrir se o polinômio em questão é um trinômio quadrado perfeito, calculamos a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado, multiplicamos os resultados por 2 e comparamos o valor encontrado com o termo que não está ao quadrado. Se for igual, temos um trinômio quadrado perfeito. Veja melhor no exemplo abaixo:

Fatorando x² + 6x + 9

Testando a expressão, temos que:

√x² = x e

√9 = 3

Multiplicando os valores encontrados por 2, temos que 2 . 3 . x = 6x. Já que o resultado (6x) é igual ao termo que não está ao quadrado (6x), este é um trinômio quadrado perfeito. Dessa forma, a fatoração é:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Diferença de dois quadrados

Quando o polinômio é do tipo a² - b², usamos o produto notável da soma pela diferença, de modo que a fatoração desse tipo de expressão se dá como:

a² - b² = (a + b) . (a - b)

Para realizar a fatoração, calculamos a raiz quadrada de cada um dos termos. Depois disso, escrevemos o produto da soma dos resultados pela diferença entre eles. Veja no exemplo:

Fatore 9x² - 25

O primeiro passo é encontrar a raiz quadrada dos termos:

√25 = 5

Agora, escrevemos os resultados como produto da soma pela diferença:

9x ² - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo perfeito

Por fim, temos a fatoração de polinômios do cubo perfeito. São os polinômios do tipo a ³ + 3a ²b + 3ab ² + b ³ e a ³ - 3a ²b + 3ab ² - b ³, resultados dos produtos notáveis de tipo (a + b)³ e (a - b)³. Assim, fazemos a fatoração do cubo perfeito como:

A fatoração deste tipo de polinômio se dá pelo cálculo da raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, conferimos se o polinômio se encaixa como cubo perfeito. Em caso positivo, elevamos ao cubo o resultado das somas ou subtrações dos valores de cada raiz cúbica encontrada. Veja abaixo, no exemplo:

Fatore x³ + 6x² + 12x + 8

Primeiro, calcula-se a raiz cúbica de termos ao cubo:

Para confirmar se é um cubo perfeito:

Já que os resultados encontrados na confirmação são iguais aos termos do polinômio, significa que este é um cubo perfeito. Dessa maneira, a fatoração segue assim:

Para se acostumar com as operações e os exercícios de polinômios, a melhor maneira é treinar! Observe as formas de fatoração e pratique muito com exercícios!

Curtiu este post? Então aproveite também para acessar nossa base de exercícios de polinômios e nosso guia completo sobre as equações de 3º grau! Não deixe de conferir também nosso post onde falamos sobre os assuntos que mais caem na prova de Matemática do Enem!

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Polinômios: o que são, operações e fatoração! - Blog do Stoodi

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Quem está estudando para os vestibulares ou para o Enem terá que lidar, em algum momento, com a Matemática . Agradável para uns, temida por muitos, essa área do conhecimento é cheia de desafios! A álgebra , por exemplo, costuma confundir a cabeça de muita gente que não tem tanta facilidade com esse tipo de assunto.

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Professora de Matemática e Física

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.

Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.

Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

Fator Comum em Evidência

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.

Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.

Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Na prática, vamos fazer os seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplos
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.

Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o , que é o menor expoente do a na expressão.

Dividimos cada termo do polinômio por a²:

Colocamos o a² na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.

Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.

Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo
Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

Colocando esses fatores em evidência:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômios são polinômios com 3 termos.

Os trinômios quadrados perfeitos a ² + 2ab + b ² e a ² - 2ab + b ² resultam do produto notável do tipo (a + b) ² e (a - b) ².

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a² + 2ab + b² = (a + b)² (quadrado da soma de dois termos)

a² - 2ab + b² = (a - b)² (quadrado da diferença de dois termos)

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
2º) Multiplicar os valores encontrados por 2.
3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.
Exemplos
a) Fatorar o polinômio x ² + 6x + 9

Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.

Assim, a fatoração será:

b) Fatorar o polinômio x ² - 8xy + 9y ²

Testando se é trinômio quadrado perfeito:

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

Diferença de Dois Quadrados

Para fatorar polinômios do tipo a ² - b ² usamos o produto notável da soma pela diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a² - b² = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.

Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Exemplo
Fatorar o binômio 9x ² - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x ² = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x ² - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo Perfeito

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³ a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.

Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.

Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.
Exemplos
a) Fatorar o polinômio x ³ + 6x ² + 12x + 8

Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

Depois, confirmar se é cubo perfeito:

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

b) Fatorar o polinômio a ³ - 9a ² + 27a - 27

Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

Depois confirmar se é cubo perfeito:

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

Leia também:

Exercícios Resolvidos

Fatore os seguintes polinômios:

# data[].attributes.attachment_link.title
Fatoração de Polinômios: tipos, exemplos e exercícios

# data[].attributes.attachment_link.description
Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. Confira abaixo os tipos de fatoração de...