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Boletín de repaso del tema de álgebra (lenguaje algebraico, operaciones con polinomios y productos notables)

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Para profundizar en el apasionante mundo de los productos notables aquí tienes una presentación con las demostraciones de las fórmulas.

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Presentacion útil para docentes para explicar de una forma mas activa el desarrollo de los productos notables. Considerado aplicacion de las tics en clase.

1. 1. CONCEPTO: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas. Su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación o no verificar con la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Términos: *De 1 término ; ej: 2x , 4xyw. Se llama Monomio *De 2 términos ; ej: x+y , 7xy-1. Se llama Binomio *De 3 términos ; ej: x+y+z , 2x+5y+3z. Trinomio *De 4 términos o más ; ej: 3+y+z+w , xy+xz+xw-9y. Se llama Polinomio

2. 2. SON PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO AL CUADRADO BINOMIO AL CUBO TRINOMIO AL CUADRADO PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES PRODUCTO DE LA FORMA (x+a).(x+b) TRIANGULO DE PASCAL NAVEGA EN CUALQUIERA

3. 3. Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3 AL INICIO Cuadrado de la diferencia de dos términos.

4. 4. a a b b Conclusión: Encontrando las áreas de las figuras geométricas, se puede leer el cuadrado de la suma de dos términos (a2 + 2ab + b2 ). REGRESAR

5. 5. 2 a a b b 1 Lectura: "El primero al cuadrado mas dos veces el primero por el segundo mas el segundo al cuadrado"

6. 6. a + b a + b a2 + ab ab + b2 a2 + 2ab + b2 Mira de fácil que se hace

7. 7. Demostración 1 Demostración 2

8. 8. a-b b b b.(a - b) b2 a a2 a-b (a - b)2 a.b (a - b)2 = a2 - [b.(a-b)+ab] a2 - [ab-b2+ab] a2 - [ab+ab-b2] a2 - ab - ab+b2 a2 - 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Lectura: "El primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo mas el segundo al cuadrado"

9. 9. a - b a - b a2 - ab - ab + b2 a2 - 2ab + b2

10. 10. Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3

11. 11. a b a a a a a b b b b b 풂ퟑ 풂ퟐ풃 풂ퟐ풃 풂ퟐ풃 풂풃ퟐ 풂풃ퟐ 풃ퟑ Conclusión: Encontrando el volumen de cada cubo formado, se puede ver la lectura de un binomio al cubo.

12. 12. a b a a a a a b b b b b 풂ퟑ 풂ퟐ풃 풂ퟐ풃 풂ퟐ풃 풂풃ퟐ Se lee: "El primero al cubo, mas tres veces el primero al cuadrado por el segundo, mas tres veces el primero por el segundo al cuadrado, mas le segundo al cubo. 풂ퟑ +3풂ퟐ풃 + ퟑ풂풃ퟐ + 풃ퟑ 풃ퟑ 풂풃ퟐ

13. 13. a + b a + b a2 + ab ab + b2 a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab+ b2 a + b a3 + 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 + b3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

14. 14. Que divertido es este producto notable, ponle cuidado. Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3

15. 15. a a b c c b 풂ퟐ 풃ퟐ 풄ퟐ ab ab ac ac bc bc Conclusión: Al sacar el área de cada cuadrilátero, se puede observar la lectura de un trinomio al cuadrado.

16. 16. a a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a b c c b ab ab ac ac bc bc Se lee: "El primero al cuadrado, mas el segundo al cuadrado, mas el tercero al cuadrado, mas dos veces el primero por el segundo, mas dos veces el primero por el tercero, mas dos veces el segundo por el tercero".

17. 17. (a + b + c)2 = a + b + c a + b + c a2 + ab + ac + c2 ab +b2 + ac +bc +bc a2 + 2ab + 2ac +b2 +2bc + c2 Ordenando: a2+b2 + c2 + 2ab + 2ac +2bc

18. 18. Demostración 1 Demostración 2 No necesita ser un genio para resolver esto.

19. 20. a + b (a + b) a - b .(a - b)= a2 + ab - ab - b2 a2 - b2 Es muy fácil comprobarlo, solo hay que multiplicar Es verdad

20. 21. Dependiendo de los signos que tengan se harán las operaciones Demostración 1 Demostración 2 Demostración 3

21. 22. x b ax x2 bx ab x a Si encontramos el área a estos cuadriláteros y luego los sumamos, sacando el factor común que hay en dos de ellos, se puede ver esta lectura: x2 + (a+b)x + ab

22. 23. x b ax x2 bx ab x2 + ax + bx + ab x2 + (a+b)x + ab x a

23. 24. (x + a).(x + b) = x + a x + b x2 +xa + xb + ab x2 + xa + xb + ab Factorizando los dos del medio x2 + (a +b)x + ab

24. 25. Es un arreglo de números que permite hallar los coeficientes de expresiones de la forma (a+b)n , donde n es un número natural. En el triangulo de Pascal, cada fila comienza y termina en 1. El resto de valores se obtienen de la suma de los dos números que se encuentran exactamente sobre él, ubicados en la fila inmediatamente superior.

25. 26. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 (a + b)2 1 5 10 10 5 1 (a + b)3 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 (a + b)4 (a + b)5 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 (a + b)6 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 (a + b)7 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 (a + b)8 (a + b)9 (a + b)10

26. 27. Hallar el producto notable de (2a + b)6 -Primero se escribe los coeficientes del nuevo polinomio, sacados del triangulo de Pascal, todos separados con un signo mas (+), si el signo del binomio es mas (+). Asi: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 -Segundo se escribe la parte literal, colocando el primer termino con sus exponentes en orden descendente, y el segundo termino con sus exponentes en orden ascendente. Así: (2a + b)6 =1(2a)6 + 6(2a)5 b +15(2a)4 b2 + 20(2a)3 b3 + 15(2a)2 b4 + 6(2a) b5 + 1b6

27. 28. -Tercero se hacen las operaciones indicadas. Asi: Primero potencias. (2a + b)6 = 64a6 + 6.32a5b +15.16a4b2 + 20.8a3b3 + 15.4a2 b4 + 6.2ab5 + b6 (2a + b)6 = 64a6 + 192a5b +240a4b2 + 160a3b3 + 60a2 b4 + 12ab5 + b6 Luego multiplicaciones.

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Productos notables, Demostraciones de cada uno.

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Published on Presentacion útil para docentes para explicar de una forma mas activa el desarrollo de los productos notables. Considerado aplicacion de las tics en clase. 1. CONCEPTO: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas.

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Si te consideras un apasionado de las mates y quieres saber algo más de los productos o identidades notables aquí tienes un ejemplo.

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Imagen con las fórmulas de las 3 identidades notables.
Hay que sabérsela eh, no vale copiar!

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Desde ejemplos sencillos a ejercicios más complejos por si quieres profundizar un poco más. Al final de la página hay enlaces a ejercicios interactivos.

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En este artículo explicamos los productos notables más comúnes acompañados de ejemplos puntuales para profundizar en la teoría.

¿Qué son los productos notables? Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente aparición en matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a "multiplicación" y notable, que hace referencia a su "destacada" aparición.

Así bien, una vez aprendido dichos productos notables, no habrá necesidad de comprobar dicha multiplicación mecánicamente, es decir, solo debemos seguir las reglas aprendidas con anterioridad que caracterizan a cada producto notable.

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado

Repasa las identidades notables con un profesor de matematicas.

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia

1

Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda

2

Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Recomendamos aprenderte esta fórmula.

Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo

1

Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda

2

Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda

Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:

3

Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:

4

Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

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Suma de cubos

Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será factorizarlas, es decir, las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.

La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos

Factorizar la expresión siguiente:

Primero, miramos como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:

Desarollando, tenemos:

Diferencia de cubos

La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos

Factorizar la expresión siguiente:

Igual que anteriormente, es importante mirar, en primer lugar, como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:

Desarollando, tenemos:

Producto de dos binomios que tienen un término común

Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:

Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común

Desarollar la expresión siguiente:

No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a los signos, simplemente operamos paso a paso.

Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la segunda de esta manera:

Recomendamos guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un - o al revés. En este caso, no hay ningún cambio de signo.
Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables Desarrolla los binomios al cuadrado.
1

2

3

4
Desarrolla los binomios al cubo.
1

2

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Desarrolla las sumas por diferencias
1

2

3

4

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En este articulo se presentan las fórmulas y ejemplos de productos notables con polinomios y sus diversas formas, con binomios y trinomios.

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JUEGO DE BINGO DE LAS IDENTIDADES NOTABLES

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JUEGO DE BINGO DE LAS IDENTIDADES NOTABLES

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Juego que permite descargar unas tarjetas con distintas identidades notables para ir tachando a medida que salen en pantalla con el juego.

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JUEGO CADENA DE DOMINÓS DE LAS IDENTIDADES NOTABLES

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JUEGO CADENA DE DOMINÓS DE LAS IDENTIDADES NOTABLES

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Juego clásico de dominó adaptado a las identidades notables que permite el juego individual y en parejas. Recortando las fichas deberás emparejarlas con expresiones análogas.

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VÍDEO CON EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE LOS TRES PRODUCTOS NOTABLES

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VÍDEO CON EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE LOS TRES PRODUCTOS NOTABLES

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Susi profe resuelve una serie de ejercicios concretos de aplicación de las tres identidades notables.

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IDENTIDADES NOTABLES ❎ Binomio al CUADRADO y Suma por Diferencia

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Explicación y ejemplos sencillos del tercer producto notable (suma por diferencia)

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BINOMIOS CONJUGADOS Super Facil -  Para principiantes

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Explicación y ejemplos de las dos primeras identidades notables, el cuadrado de la suma y el cuadrado de la resta.

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Ejercicio interactivo que permite visualizar la demostración gráfica de los productos notables y algún otro producto de binomios.

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Ficha online de Aplicación de casos para Tercero de Secundaria. Puedes hacer los ejercicios online o descargar la ficha como pdf.

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Test interactivos que te permitirán poner a prueba tu destreza con los productos notables.

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Created with Hot Potatoes by Half-Baked Software, registered to JOSÉ ANTONIO ORTEGA.

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Ejercicios interactivos con autocorrección de los tres productos notables.

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