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Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...

... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...

... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

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Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).

Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).

Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).

Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):

Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.

Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

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El álgebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números. Esta clase de lenguaje fue introducida por primera vez por el matemático francés François Vieth, quien es considerado el padre del álgebra expresada en palabras.

Características:

PRECISIÓN, ya que es mucho más concreto que el lenguaje numérico.

Permite EXPRESAR números desconocidos y realizar operaciones matemáticas con ellos.

ADMITE la expresión de relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

Se pueden MANIPULAR cantidades desconocidas con símbolos sencillos de escribir, permitiendo la simplificación de teoremas, formulación de ecuaciones.

Ejemplo:

Dos veces la suma de un número más 4: 2 (x + 4)

Dos números, uno el triple del otro: x, 3x

Dos números cuya razón es 2/3: 2x/3x = 2/3 ⇒ 2x, 3x

EL lenguaje algebraico siempre será esencial en las matemáticas, debido a la compresión que lleva, el planteamiento y finalmente la expresión que se desea obtener.

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Método de sustitución

Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes 1 o -1.

Despejamos la y de la primera ecuación: y=7-2x

Sustituimos en la otra ecuaciñon:3x-2(7-2x)=21

Resolvemos la ecuación resultante:

3x-14+4x=21

7x=35

x= 5

Para averiguar el valor de y sustituimos el valor de x=5 en la expresión obtenida el paso 1

y= 7-2 y=-3

Método de igualación

Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones

x=\dfrac{3y-2}{4}

x=\dfrac{9-2y}{5}

Igualamos las dos expresiones anteriores

Resolvemos la ecuación resultante

15y-10=36-8y

23y=46

y=2

Para calcular el valor de x sustituimos y=2 en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1

Método de reducción

Combinación lineal de ecuaciones: se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.

El método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema.

Vamos a eliminar la x. Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:

Sumando ambas ecuaciones desapañen las x y nos queda

23y=-23

y=-1

Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda

2x +5

2x=2

x= 1

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La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b ".

Según los valores particulares de a y de b, puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es negativa.

La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que a = b pero no ambos.

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >,<,≥ o ≤.

Ejemplos de desigualdades:

1) 4 > 3

2) a < 10

3) b ≥ 5

4) 1

2

x ≤

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:

• Todo número positivo es mayor que cero

• Todo número negativo es menor que cero

• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto

• Si a > b entonces b < a .

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x 2

• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x .

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Ecuaciones de primer grado con una incógnita:

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Ecuaciones de primer grado con una incógnita:

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Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

a)      Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.

b)      Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los paréntesis y los signos de agrupación.

c)      Se suprimen los denominadores, sí los hay.

d)      Se trasponen y reducen términos.

e)      Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.

f)        Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo

Resolver la ecuación

Solución: Trasponemos el término  al primer miembro

A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.

5 +x -5 = 7 -5

x = 2

Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.

5 +4(2) = 3(2) +7

5 +8 = 6 +7

13 = 13, tal como queríamos comprobar

Ejemplo

Resolver la ecuación                  2(x+1) +3(x-2) = x +3

Solución:

Se suprimen los paréntesis              2x +2+3x-6= x +3

Trasponemos la x:                           5x -4 –x = x –x +3

O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4

O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4: Es decir x = 7/4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.

Ejemplo

Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3

Solución

1.- La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3

2.- Resta 7 de ambos lados.

3.- Resta 9x de ambos lados

Puesto que –x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solución es 4

Comprobación

Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la solución:

1)      La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.

2)      La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.

3)      La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.

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Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al sumar dos o más monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomios; si tiene cuatro cuatrinomio etc. Se nombran con letras mayúsculas, seguidas de unos paréntesis que contienen las letras de la parte literal, separadas por comas: P(x), Q(x,y),...

Un polinomio se dice que es nulo si todos los monomios que lo componen tienen coeficiente cero.

Un polinomio está dado en forma reducida si en su expresión no aparecen monomios semejantes, ni nulos.

Se llama grado de un polinomio no nulo, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida. Un polinomio nulo tiene grado cero.

Si en un polinomio se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico del polinomio para los valores de las letras dados.

Un número se dice que es una raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para dicho número es cero.

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Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.

axn : bxm = (a : b)xn − m

Cociente

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Fracción algebraica

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Un monomio es una expresión que consiste de un número, una variable, o el producto de números y variables. Expresiones como 2, z, y 42p3y son monomios, mientras que aquellas con más de un término, como 2 + z, no lo son. Cuando los monomios incluyen un número y una variable, el número es llamado coeficiente. Por ejemplo, en el monomio 8x2, 8 es el coeficiente. Las variables en un monomio pueden tener números enteros como exponentes, pero no exponentes negativos. Así como los números pueden ser multiplicados y divididos, los monomios con variables también pueden ser multiplicados y divididos siguiendo las mismas reglas.

Empecemos por multiplicar un monomio simple. Considera un cuadrado con longitud 2x. Para encontrar el área de este cuadrado, multiplicamos la longitud por sí misma, es decir, la longitud al cuadrado.

Área del cuadrado = (2x)(2x) =

El área, 4x2, es el producto de un número (4) y una variable con un número entero como exponente (x2). En otras palabras, es también un monomio. Entonces el resultado de multiplicar dos monomios es — ¡otro monomio!

Intentemos otro problema un poco más complicado. Encontremos el área de un círculo con radio 2xy. La fórmula del área de un círculo es A = pr2, donde A= área y r = radio. Para encontrar el área de un círculo con radio 2xy, primero necesitamos elevar al cuadrado el radio, y luego multiplicarlo por p. Entonces el área de un círculo con radio 2xy es 4px2y2. Este es un monomio con un coeficiente. Cuando multipliques monomios, multiplica los coeficientes, y luego multiplica las variables. Si dos variables tienen la misma base, suma los exponentes.