# data[].attributes.body
Il matematico Klein propose un modello di geometria iperbolica in cui gli enti geometrici fondamentali soddisfano tutti gli assiomi della geometria euclidea, tranne quello delle parallele.

# data[].attributes.body
Ecco gli enti geometrici fondamentali rappresentati nel modello di geometria iperbolica di Klein

# data[].attributes.body
Nella geometria iperbolica non esistono triangoli simili: se due triangoli hanno gli angoli uguali, anche loro devono essere necessariamente uguali.

# data[].attributes.body
Nella geometria iperbolica, la formula per calcolare l’area di un triangolo dipende dal valore della somma dei suoi angoli, che è diversa da triangolo a triangolo, ed è sempre minore di 180°.

# data[].attributes.body
Nella geometria euclidea la formula dell’area di qualsiasi triangolo è A=(b×h)/2. La sua valenza universale sta nel fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.

# data[].attributes.body
Preso un foglio su cui disegnare, dalle dimensioni qualsiasi, se r è una retta e P un punto esterno ad essa, si conduca per P la perpendicolare PH alla retta r e, sempre per P, una retta a che forma con PH un angolo che differisce da un angolo retto per "pochissimo". La retta a non incontrerà la retta r sul foglio di lavoro e potrebbe non incontrarla ad una distanza "ragionevolmente vicina"; potrebbe incontrarla invece ad una distanza al di fuori della nostra percezione, o, proprio per questo, non incontrarla affatto.

# data[].attributes.body
In questa ottica Lobacevskij nega nel V postulato l'unicità della retta parallela ad una retta data, con le seguenti considerazioni

# data[].attributes.body
Egli concepisce l'idea che lo spazio fisico reale possa avere alcune caratteristiche diverse da quello euclideo e ritiene che la geometria debba essere fondata non più su enti ideali (punto, retta, piano), bensì su oggetti geometrici più tangibili, per esempio i corpi solidi. Questa fisicità porta a considerare vere solo le affermazioni che possono essere verificate sperimentalmente.

# data[].attributes.body
“I vani sforzi compiuti dai tempi di Euclide, per il corso di duemila anni, mi spinsero a sospettare che nei concetti stessi della geometria non si racchiuda ancora quella verità che si voleva dimostrare, e che può essere controllata, in modo simile alle altre leggi della fisica, soltanto da esperienze, quali, ad esempio, le osservazioni astronomiche.”

# data[].attributes.body
Nel 1829 il matematico russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij scrive nell’introduzione alla sua opera Nuovi principi della geometria

# data[].attributes.body
(Disegni creati con good notes)

# data[].attributes.headline
ok s puo' approfindire un poco di piu'!!

# data[].attributes.subject
ok s puo' approfindire un poco di piu'!!

# data[].attributes.body
Di Greta Sichirollo

# data[].attributes.body
Quindi la geometria iperbolica è ottenuta modificando il V postulato di Euclide.

# data[].attributes.body
Data una retta (qui in blu scuro) ed un punto disgiunti, esistono infinite rette che non incrociano la retta: qui ne sono disegnate tre.

# data[].attributes.body
La differenza principale fra i poligoni iperbolici e i poligoni euclidei sta nella somma degli angoli interni, che in geometria euclidea è
3,14 x (nlati - 2)
mentre in geometria iperbolica è minore e variabile.

# data[].attributes.body
Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henry Poincarè.
Il disco di Poincaré è un disco n-dimensionale, in cui i segmenti sono archi di circonferenza o rette ortogonali. La metrica definita sul disco non è quella euclidea: è definita in modo differente, così che il bordo del disco appare in verità "all'infinito".

# data[].attributes.body
Per questo motivo nella geometria iperbolica esistono le rette.
Infatti le rette sono infinite, ma nella rappresentazione del disco di Poincarè possiamo vedere che il piano è uno spazio limitato. Eppure, a causa della metrica definita sul disco, in realtà è infinito. Infatti un oggetto non arriverà mai al bordo del disco siccome, in prospettiva, più si sposterá più diventerá piccolo.
Grazie a questa caratteristica la geometria iperbolica rispetta il II postulato di Euclide, il quale enuncia che un segmento può essere prolungato indefinitamente.

# data[].attributes.body
Avendo già confrontato il II ed il V postulato di Euclide con la geometria iperbolica adesso andremo a confrontare gli altri tre.

# data[].attributes.body
Tra due punti qualsiasi é possibile tracciare una ed una sola retta.
VALE, infatti

# data[].attributes.body
Dato il centro e il raggio esiste uno ed un solo cerchio.
VALE, infatti

# data[].attributes.body
Tutti gli angoli retti sono uguali
VALE, infatti