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Introduzione al Laboratorio

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Rai Scuola - I pitagorici e la scoperta dei numeri irrazionali

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I pitagorici e la scoperta dei numeri irrazionali: La scuola pitagorica e l'irrazionalità di radice 2

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Chiara Crottogini cerca informazioni su Ippaso di Metaponto e la Scuola Pitagorica

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Chiara Crottogini cerca informazioni su Ippaso di Metaponto e la Scuola Pitagorica

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Presentazione dello studente Mattia Bellomi

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Presentazione dello studente Mattia Bellomi

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Ippaso di Mataponto

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Studentesse: Cerri Arianna e Copes Sara

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"LE CIFRE SIGNIFICATIVE" - Scheda di lavoro
Collaborano Caterina Fanetti, Maresti Alessia, Marina Rossi

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Collaborano Geronimi Chiara e Hu YinYu

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Collaborano Mainetti Camilla, Balestrini Elisa, Vanossi Debora

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Collaborano Bonanomi Alessia e Badorini Stefania

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Utilizziamo anche il nostro libro di testo

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Utilizziamo anche il nostro libro di testo

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3 I numeri irrazionali Da quanto abbiamo visto, è evidente la necessità di ampliare l'insieme dei numeri razionali considerando, oltre a essi, i numeri p ffiffiffi p irraziona- ffiffiffi p ffiffiffi li, ossia quei numeri che, come 2, 3, 5, ..., non possono essere espressi da frazioni. I numeri irrazionali sono molto frequenti anche in geometria perché esprimono le misure delle lunghezze di molti segmenti rispetto a una prefissata unità di misura. RICORDA! n Numeri razionali Sono i numeri che si possono esprimere mediante frazioni. n Numeri irrazionali Sono i numeri che non si possono esprimere mediante frazioni. Ad esempio, la misura d in centimetri della diagonale di un quadrato il cui lato è 1cm(FIGURA 2) è, per il teorema di Pitagora, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ 1 2 þ 1 2 p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 1 þ 1 ¼ ffiffiffi p 2 La misura h in centimetri dell'altezza di un triangolo equilatero il cui lato è 2cm(FIGURA 3) è, sempre per il teorema di Pitagora, h ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 1 2 p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 4 1 ¼ ffiffiffi p 3 FIGURA 2 FIGURA 3 p ffiffiffi p ffiffiffi p ffiffiffi Oltre ai numeri irrazionali come 2, 3, 5, ..., in matematica si incontrano anche numeri irrazionali che non provengono da un'estrazione di radice. Ad esempio, è irrazionale il numero ("pi greco"), ottenuto come rapporto tra la misura di una generica circonferenza e quella del suo diametro (FIGURA 4): ¼ 3;141592654::: 4 L'insieme R dei numeri reali DEFINIZIONE INSIEME DEI NUMERI REALI L'insieme costituito dai numeri razionali e dai numeri irrazionali è detto insieme dei numeri reali. INUMERI L'insieme dei numeri reali (FIGURA 5) si indica con R. Tutti gli insiemi numerici finora incontrati sono sottoinsiemi di R. FIGURA 4 FIGURA 5 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi - & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 169 U4. NUMERI REALI

In FIGURA 6 la parte di R colorata in rosa rappresenta l'insieme differenza R Q dei numeri reali che non sono razionali, cioè l'insieme dei numeri irrazionali. Si potrebbe dimostrare che tutte le proprietà delle operazioni che sono valide in Q sono valide anche in R. In seguito impareremo a operare anche con i numeri irrazionali. FIGURA 6 5 Rappresentazione decimale dei numeri irrazionali Sappiamo che i numeri razionali possono essere rappresentati in forma decimale. Vediamo ora come sia possibile rappresentare pffiffiffiin tale forma anche un numero irrazionale. Fissiamo l'attenzione su 2 e cerchiamo di determinarne, una per una, le cifre decimali senza ricorrere a una calcolatrice scientifica. n Poiché si ha 1 2 ¼ 1 < 2e22 pffiffiffi ¼ 4 > 2, possiamo dire che 1 è un'approssimazione per difetto di 2 e 2 ne è un'approssimazione per eccesso, ossia che è 1 < ffiffiffi p 2 < 2 Perciò possiamo scrivere pffiffiffi 2 ¼ 1;::: dove i puntini di sospensione stanno a indicare cifre decimali che si devono ancora determinare. n Consideriamo ora i numeri decimali dotati di una cifra dopo la virgola, compresi tra 1 e 2, e confrontiamo i loro quadrati con il numero 2. Si ha 1;1 2 ¼ 1; 21 < 2 1;2 2 ¼ 1;44 < 2 1;3 2 ¼ 1;69 < 2 1;4 2 ¼ 1;96 < 2 1;5 2 ¼ 2;25 > 2 pffiffiffi Possiamo allora affermare che 1,4 è un'approssimazione per difetto di 2 e1;5 neèun'approssimazione per eccesso, ossia che 1;4 < ffiffiffi p 2 < 1;5 Perciò possiamo scrivere pffiffiffi 2 ¼ 1;4::: n Se ora confrontiamo con 2 i quadrati dei numeri decimali con due cifre dopo la virgola compresi tra 1;4 e1;5, troviamo che 1;41 2 ¼ 1;9881 < 2 1;42 2 ¼ 2;0164 > 2 p ffiffiffi Perciò 1,41 e 1,42 sono approssimazioni, rispettivamente per difetto e per eccesso, di 2: 1;41 < ffiffiffi p 2 < 1;42 e quindi pffiffiffi 2 ¼ 1;41::: Il procedimento descritto può proseguire fino a determinare il numero di cifre decimali che si vuole, ma non può avere termine e non può neppure generare un numero periodico. Infatti i numeri decimali 170 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi - & 2010 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

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3 I numeri irrazionali Da quanto abbiamo visto, è evidente la necessità di ampliare l'insieme dei numeri razionali considerando, oltre a essi, i numeri p ffiffiffi p irraziona- ffiffiffi p ffiffiffi li, ossia quei numeri che, come 2, 3, 5, ..., non possono essere espressi da frazioni.

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Folladori Giovanna ci sostiene ricercando nel web

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Folladori Giovanna ci sostiene ricercando nel web

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"Lo sviluppo dell'aeroporto" - Scheda di lavoro
Collaborano Badorini Stefania e Lucchinetti Asia

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Rappresentazione sulla retta degli insiemi numerici

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Rappresentazione sulla retta degli insiemi numerici

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"Discreto" e "continuo" a confronto

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L'Hotel di Hilbert