# data[].attributes.headline
Odpowiedz w zeszycie na poniższe pytania. Skorzystaj z dostępnych materiałów.

# data[].attributes.subject
Odpowiedz w zeszycie na poniższe pytania. Skorzystaj z dostępnych materiałów.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Pitagoras (ok. 572 - ok. 487 p.n.e.)

Grecki matematyk i filozof, założyciel tzw. szkoły pitagorejskiej w Krotonie (południe Włoch). W szkolej tej rozważano między innymi takie problemy matematyczne, jak podwojenie sześcianu, trysekcja kąta, kwadratura koła itp. Do klasycznej wiedzy matematycznej przeszło słynne twierdzenie, powszechne zwane twierdzeniem Pitagorasa.

O samym Pitagorasie wiemy niewiele. Prąd filozoficzno-religijny związany z jego imieniem trwał przez dwa wieki i nie sposób ustalić, co on zawdzięcza Pitagorasowi, a co jego uczniom. Dlatego mówić należy raczej o pitagoreizmie.

1. Pitagoreizm.

Terminem pitagoreizm określa się całokształ nauk i koncepcji o charakterze religijnym, etycznym, moralnym, politycznym i estetycznym ukształtowanym na przełomie VI i V wieku p.n.e., którym tradycja starożytna przypisuje pochodzenie od samego Pitagorasa. Ponadto przez termin pitagoreizm rozumie się za Platonem określony model życia we wspólnocie, dla którego wzorem stały się konkretne wspólnoty pitegorejskie, żyjące według ustanowionych przez mistrza norm i reguł.

Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od milczenia.

Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak najprędzej stali się tobie przyjaciółmi.

Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają najdłuższego zastanowienia.

3. Ciekawostki

To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa. Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie, Chinach, Indiach i Babilonii.

Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów twierdzenia Pitagorasa.

4. Twierdzenie Pitagorasaa

Zobacz najciekawsze zadania dotyczące twierdzenia Pitagorasa.

5. Galeria związana tematycznie z Pitagorasem

Bibliografia

Włodzimierz Krysicki: Poczet wielkich matematyków, Wydanie I, Warszawa: Nasza Księgarnia, 1965

Porfiriusz, Jambalich, Anonim: Żywoty Pitagorasa, Wrocław: Epsilon, 1993

# data[].attributes.attachment_link.description
Pitagoras (ok. 572 - ok. 487 p.n.e.) Grecki matematyk i filozof, założyciel tzw. szkoły pitagorejskiej w Krotonie (południe Włoch). W szkolej tej rozważano między innymi takie problemy matematyczne, jak podwojenie sześcianu, trysekcja kąta, kwadratura koła itp. Do klasycznej wiedzy matematycznej przeszło słynne twierdzenie, powszechne zwane twierdzeniem Pitagorasa. O samym Pitagorasie wiemy niewiele.

# data[].attributes.attachment_link.title
Pythagorean Theorem | #aumsum #kids #science #education #children

# data[].attributes.attachment_link.title
Twierdzenie Pitagorasa - wprowadzenie #1 [ Twierdzenie Pitagorasa ]

# data[].attributes.headline
Jeszcze jeden film o twierdzeniu Pitagorasa

# data[].attributes.subject
Jeszcze jeden film o twierdzeniu Pitagorasa

# data[].attributes.headline
Film - zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

# data[].attributes.subject
Film - zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

# data[].attributes.attachment_link.title
Twierdzenie Pitagorasa - Zadania i przykłady - Matfiz24.pl

# data[].attributes.headline
Twierdzenie Pitagorasa z przykładowymi zadaniami

# data[].attributes.subject
Twierdzenie Pitagorasa z przykładowymi zadaniami

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Twierdzenie Pitagorasa najczęściej wykorzystujemy do obliczenia długości trzeciego boku trójkąta prostokątnego, w sytuacji gdy znamy długości dwóch pozostałych boków.

Twierdzenie

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

\[a^2+b^2=c^2\]

Oblicz długość przeciwprostokątnej poniższego trójkąta prostokątnego.

Oznaczamy długość przeciwprostokątnej np. literką \(c\). Układamy równanie z Twierdzenia Pitagorasa: \[4^2 + 3^2 = c^2\] Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} 16 + 9 &= c^2\\[6pt] 25 &= c^2\\[6pt] c^2 &= 25\\[6pt] c &= 5 \end{split}\]

Długość przeciwprostokątnej wynosi \(5\).

Oblicz długość trzeciego boku trójkąta przedstawionego na rysunku.

Oznaczamy długość nieznanej przyprostokątnej np. literką \(x\). Układamy równanie z Twierdzenia Pitagorasa: \[x^2 + 6^2 = 7^2\] Rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} x^2 + 36 &= 49\\[6pt] x^2 &= 49 - 36\\[6pt] x^2 &= 13\\[6pt] x &= \sqrt{13} \end{split}\]

Długość przyprostokątnej wynosi \(\sqrt{13}\).

# data[].attributes.attachment_link.description
Twierdzenie Pitagorasa najczęściej wykorzystujemy do obliczenia długości trzeciego boku trójkąta prostokątnego, w sytuacji gdy znamy długości dwóch pozostałych boków. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. \[a^2+b^2=c^2\] Oblicz długość przeciwprostokątnej poniższego trójkąta prostokątnego. Oznaczamy długość przeciwprostokątnej np. literką \(c\).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Pitagoras to grecki filozof i matematyk, urodzony około r. p.n.e. Założył szkołę filozoficzną, która przekształciła się w związek pitagorejski. Pitagoras i jego uczniowie zajmowali się wieloma dziedzinami wiedzy. Dokonali też wielu odkryć matematycznych, np. udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu. Jako pierwsi wyodrębnili liczby parzyste i nieparzyste, odkryli liczby niewymierne, wprowadzili pojęcie podobieństwa figur. Sformułowali zasady budowy wielościanów foremnych.

Na podstawie wykonanego ćwiczenia możemy stwierdzić, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Odkryta przez nas własność nosi nazwę twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie to można sformułować też inaczej, wykorzystując zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego.

Twierdzenie: Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli i są długościami przyprostokątnych, zaś długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, to zachodzi związek

Przekształć kwadraty zbudowane na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego w równoległoboki. Zauważ, że pola tych równoległoboków są takie same jak pola kwadratów, z których powstały. Otrzymane równoległoboki przekształć w prostokąty.
Przesuń prostokąty, tak aby pokryły w całości kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.
Sformułuj wniosek.

Sprawdź, że dla trójkąta ostrokątnego teza twierdzenia Pitagorasa nie zachodzi.
Elementy kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta ostrokątnego nie mieszczą się w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku.

Można udowodnić, że suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Dla trójkątów ostrokątnych oraz trójkątów rozwartokątnych równość ta nie zachodzi.

Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód twierdzenia Pitagorasa. Dany jest kwadrat A B C D o boku długości a +b. Na bokach kwadratu umieszczone są cztery przystające trójkąty prostokątne o bokach długości a, b i c. Na przeciwprostokątnych tych trójkątów powstał kwadrat o boku c. Pole tego kwadratu jest równe c do potęgi drugiej. W kolejnym kroku, wzdłuż boków kwadratu A B C D, przesuwamy dwa trójkąty prostokątne do pozostałych dwóch trójkątów. Powstały dwa prostokąty o bokach a i b oraz kwadrat o boku b i kwadrat o boku a. Kwadrat o boku c przekształcił się w dwa kwadraty o bokach a i b. Stąd, a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat. Zależność ta wyraża ona własność znaną jako twierdzenie Pitagorasa: Suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego kwadratu.

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano prostokąty.
Zmieniaj wielkość tych prostokątów. Porównuj w każdym przypadku sumę pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych z polem prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Co zauważasz?
W przypadku odpowiednich prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego również spełniony jest związek wynikający z twierdzenia Pitagorasa.
Okazuje się, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy dowolne wielokąty podobne (czyli takie, że jeden z nich jest obrazem drugiego w pewnej skali), to suma tych pól, które są zbudowane na przyprostokątnych, jest równa polu tego wielokąta, który jest zbudowany na przeciwprostokątnej.

Zmieniaj odpowiednio kształt i wielkość wielokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Sprawdź, że dla pól tych wielokątów spełniony jest związek między polami wielokątów, wynikający z twierdzenia Pitagorasa.

# data[].attributes.attachment_link.description
Pitagoras to grecki filozof i matematyk, urodzony około r. p.n.e. Założył szkołę filozoficzną, która przekształciła się w związek pitagorejski. Pitagoras i jego uczniowie zajmowali się wieloma dziedzinami wiedzy. Dokonali też wielu odkryć matematycznych, np. udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu.

# data[].attributes.attachment_link.title
Twierdzenie Pitagorasa - Dowód - Matfiz24.pl.

# data[].attributes.attachment_link.title
Twierdzenie Pitagorasa - dowód Bhaskara, z XII wieku