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Área entre una curva y el eje x: área negativa (video) | Khan Academy

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Con las integrales, puede ser útil introducir la noción de ”área negativa”. ¡Averigua por qué!

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Recursos educativos (Test): Área entre dos curvas (aplicaciones de integral - área entre curvas) - A continuación se presenta una serie de problemas relacionados con el cálculo de área entre dos curvas.

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En la esta página encontrarás el tema métodos de integración, con videos, ejercicios y la técnica correcta para resolver un sin fin de ejercicios.

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Realiza el siguiente quizz en la plataforma Quizziz y mejora tus habilidades matemáticas

https://quizizz.com/join?gc=41797085

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Visualiza a manera de introducción el siguiente video y anota en tu cuaderno lo más importante de este.

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Ups. Algo salió mal. Por favor inténtalo otra vez. | Khan Academy

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Visualiza el siguiente recurso el cual te dará información sobre lo que es una integral inmediata directa y algunos ejemplos de solución de estas.

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Las integrales inmediatas o directas son las integrales que no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Por ejemplo, la integral de 2x es donde C es la constante de integración.

A veces, el integrando es una función multiplicada por su derivada. En este caso, la integral es la propia función:

No olvidéis escribir siempre la constante de integración C.

Veamos algunos ejemplos de integrales inmediatas.

Integral 1

Integral de la potencia x a la quinta:

Aplicaremos la propiedad "una constante puede entrar o salir de la integral".

Sólo falta un 6 multiplicando para tener la derivada de . Multiplicamos y dividimos por 6 la integral para introducir un 6 en la integral:

Integral 2

Integral de una función racional:

Normalmente, las integrales inmediatas de funciones racionales son la derivada de un logaritmo. Si no es así, tendremos que aplicar otros métodos para integrales de funciones racionales.

El integrando será la derivada de un logaritmo si conseguimos escribir el numerador como la derivada del denominador. Para ello, en esta integral, debemos cambiar el 2 por un 3:

Integral 3

Integral de un cociente con una raíz cuadrada en el denominador:

Vamos a escribir la raíz cuadrada en forma de potencia. De este modo, aplicando las propiedades de las potencias, el integrando será muy simple (una potencia).
Más integrales resueltas:

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Las integrales inmediatas o directas son las integrales que no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Por ejemplo, la integral de 2x es donde C es la constante de integración. A veces, el integrando es una función multiplicada por su derivada.

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Juega y mejora tus habilidades en la solución de integrales definidas inmediatas

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1) ¿Qué es cálculo integral? a) Son ecuaciones algebraicas. b) Estudia el límite del incremento de la función entre el incremento. c) Es la pendiente. d) Estudia el proceso de integración o antiderivación. e) Estudia dos funciones. f) Estudia el valor de x. 2) ¿Qué es la integral? a) Es la aplicación de la física. b) Es la operación inversa a la diferencial de una función. c) Es la variable de 0. d) Una función consecutiva. e) U= n f) Sustitución de tangente. 3) Aplicaciones del cálculo integral a) Áreas entre curvas, ingenierías, volúmenes, economía, etc. b) Matemáticas y Fisica. c) Longitud de arco d) Probabilidad e) En procesos de infinitos f) Espacios abstractos 4) K dx= Kx + C a) La integral de una constante es 0. b) Es la constante de una función indefinida. c) La integral de k por la derivada de x es igual a la constante de x+C. d) Constante e) Integral del producto f) Regla de cadena 5) La integral de ∫4x dx a) 2x b) x² c) 2x³ d) 6x e) x³ f) 2x² 6) La integral de ∫3x² dx a) 3x b) x³ c) 3x³ d) 2x e) 7x+C f) -x³ 7) La integral de ∫8x+3dx a) 4x²+3x b) 2x²+x+C c) 6x³+C d) 4x+3x+C e) x²+3x+C f) 4x²+3x+C 8) La integral de ∫x² a) 2 b) -2x c) x d) x/x² e) x³/3 f) 2x 9) Padre del cálculo integral a) Leibniz. b) Arquímedes c) Isaac Newton y Lewis. d) Albert Einstein. e) Carl Gauss. f) Daniel Bernoulli. 10) Tipos de integrales a) Indefinidas y Definidas b) Congruentes y Ordenadas c) Abscisas y Limitadas d) Definidas e) Derivadas f) Absolutas y Cuadráticas

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1) ¿Qué es cálculo integral? a) Son ecuaciones algebraicas. b) Estudia el límite del incremento de la función entre el incremento. c) Es la pendiente. d) Estudia el proceso de integración o antiderivación. e) Estudia dos funciones. f) Estudia el valor de x. 2) ¿Qué es la integral?

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Visualiza el siguiente video con los conceptos básicos de lo que es la integral definida

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ACTUALIZACIÓN FEBRERO 2021

ACTUALIZACIÓN FEBRERO 2021

Para trabajar funciones y sus respectivas gráficas remítase a:

Matemáticas Generales, En el Capítulo 4 de Funciones, donde encuentra un documento con el que puede repasar los conceptos de interceptos con los ejes coordenados, intervalos de negatividad y positividad etc.Aquí.

En el Capítulo 4 de Aplicaciones de la derivada, puede encontrar la metodología que refuerza el tema de gráficas de funciones, como determinar las coordenadas de los puntos extremos (máximos y mínimos), crecimiento, decrecimiento de funciones, concavidad y puntos de inflexión. Cálculo 1. Aquí.

Ejercicio: Hallar el área bajo la curva 𝑓(𝑥) en el intervalo [1,6], mediante 5 rectángulos igualmente espaciados. (𝒏 = 𝟓).

Hallar el valor de la siguiente integral, mediante el método de Sumas de Riemann.

1. Por la izquierda con rectángulos igualmente espaciados.

Con la instrucción:

SumaIzquierda[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de rectángulos> ]

Que para este caso sería:

SumaIzquierda[ sqrt(x-1), 1,6,5 ]

Obtiene el siguiente resultado:

2. Por la derecha, con rectángulos igualmente espaciados

Con la instrucción:

SumaRectángulos[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de rectángulos>, <Posición del rectángulo inicial> ]

Que para este caso sería:

SumaRectángulos[ sqrt(x-1), 1,6,5,1 ]

Obtiene el siguiente resultado:

3. Mediante áreas de trapezoides

Con la instrucción:

SumaTrapezoidal[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de trapezoides> ]

Que para este caso sería:

SumaTrapezoidal[ sqrt(x-1),1,6,5]

Obtiene el siguiente resultado:

1. Puede cambiar la función, en el respectivo campo de entrada donde está f(x).

2. Puede variar el número de rectángulos con el deslizador.

Note la aproximación del valor que encuentra aumentando el número de rectángulos con el valor de la integral definida, descrita al final de la ventana.

Determine el valor de la integral para la siguiente función, en el intervalo [1,6]:

Es decir, determine el valor de:

Con la instrucción:

Integral[ <Función>, <Valor Inicial de x>, <Valor Final de x> ]

Que para este caso sería:

Integral[sqrt(x-1),1, 6 ]

Obtiene el siguiente resultado:

Sabemos que, si queremos encontrar el promedio de un conjunto de valores, lo que debemos hacer es sumar dichos valores y dividir el resultado entre el número total de datos (finitos). Ahora, si lo que se busca es encontrar el valor promedio de un conjunto de datos (infinitos) en un intervalo dado [a,b] hacemos uso del Teorema del valor medio para integrales, partiendo del concepto fundamental para encontrar un valor promedio y la teoría básica del inicio de este capítulo donde se hacen n divisiones sucesivas y se realiza una suma infinita que como se ha visto previamente, esto representa una integral definida en el intervalo dado [a,b]. Con este teorema podemos entonces encontrar por ejemplo promedios de funciones que están relacionadas con Temperatura, Densidad, Velocidad, Ángulos. Etc.

El Teorema del Valor Medio para Integrales garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Gráficamente verifica que hay un rectángulo con la misma área y ancho, que la integral definida en este intervalo. Además, la parte superior del rectángulo intercepta la función dada.

Instrucciones:

Para hacer uso de este espacio interactivo de Geogebra, usted tiene tres campos de entrada que son:

En el entorno gráfico usted puede notar:

La función f(x).

Los puntos asociados a los límites inferior (a) y superior (b). Estos son los extremos del rectángulo.

Las coordenadas de los puntos (c,f(c)) que satisfacen el TVM

El área del rectángulo de base b-a y altura f(c).

El resultado del área bajo la curva f(x) en el intervalo dado (a,b).

Recuerde que estos dos últimos resultado son coincidentes.

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Para trabajar funciones y sus respectivas gráficas remítase a: Matemáticas Generales, En el Capítulo 4 de Funciones, donde encuentra un documento con el que puede repasar los conceptos de interceptos con los ejes coordenados, intervalos de negatividad y positividad etc. Aquí. Cálculo 1.

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Juega y mejora tus habilidades en la solución de ejercicios de integrales definidas

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Une la respuesta correcta

Ecuación 1 - Resp. 2

Ecuación 2 - Resp. 1

Ecuación 3 - Resp. 4 Ecuación 4 - Resp. 3

La solución aparecerá

Pincha aquí para pintar >
Integrales Definidas
Une la respuesta correcta

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Integrales Definidas

Une la respuesta correcta

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Une la respuesta correcta Ecuación 1 - Resp. 2 Ecuación 2 - Resp. 1 Ecuación 3 - Resp. 4 Ecuación 4 - Resp.

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Determinar el área entre curvas expresadas como funciones de x

Determinar el área entre curvas expresadas como funciones de x

Transcripción del video

ya hemos cubierto la noción del área entre la curva james y el eje x utilizando una integral definida pero esta vez pensaremos en el área entre dos curvas así que imagina que queremos encontrar el área de la región desde x igual a am hasta x igual la vez en tremp que igual a fx y que igual a gtx es decir esta área que apoya a sombrear ahora basándonos en lo que ya sabemos sobre integrales definidas como podemos encontrar esta área tal vez podemos pensar en encontrar el área bajo la curva desde aaa hasta b de fx de x obteniendo toda esta área de color amarillo bajo la curva y sobre el eje x y xi a esa área le restó el área de color verde que se integra al definida de aa ver deje de x de x entonces me quedo con el área que estoy buscando que en este caso es el área de color blanco y de hecho esta es la forma de encontrarla ahora sabemos por las propiedades de las integrales que esto es lo mismo que la integral de a a b d efe de x menos gdx de x bien es necesario que aclare algo en este vídeo vamos a desarrollar nuestra instrucción sobre cómo obtener el área entre dos curvas pero ojo esta expresión que obtuvimos la integral definida de aavv df de x - gtx de x funciona si fx es mayor que gdx como en este caso y seguramente te preguntarás oye qué pasa cuando no tenemos ambas funciones arriba del eje x que pasa por ejemplo en el caso en el que fx está por encima del eje x y gdx está por debajo del eje x por ejemplo pensemos en este intervalo de aquí donde aquí tenemos a x igual ac jac a ax walla dee como podemos encontrar la expresión para esta área sombreada de color toda esta área de color rosa será que funcionará la misma expresión pensemos en el área que obtenemos de la integral de cea del df de x de x bueno pues es justo esta área de aquí y pensemos en el área que obtenemos de la integral de c a d dgt x de x bueno tal vez estés tentado a decir que es esta área de aquí pero recuerdan en esta parte gtx está por debajo del eje x por lo tanto toma valores negativos si queremos el área total tenemos que tomar esta primera área de color azul claro que va a estar en el área de color rojo es así como obtendrás esta área total positiva y puedes observar que esta es simplemente la integral deseada df tx - gtx de x así que de nuevo en este caso funciona también esta expresión donde fx está por encima del eje x de x está debajo del eje x obtuvimos la misma expresión bien es momento de ver otro escenario más el último en el cual tanto f x como que de x están debajo del eje x imagina que queremos tomar el intervalo desde m x igual a me estoy quedando sin letras directa desde x igual a m hasta x igual a n y quiero esta área de aquí estamos viendo un intervalo donde f es mayor que g pero ambas están debajo del eje x como podemos encontrar la expresión para esta área sombreada será que funciona la misma expresión bien pensemos un poco si queremos evaluar la integral definida de emea n de fx menos que de x de x ya sabemos por nuestras propiedades de las integrales que ésta es igual a la integral desde m hasta n de fx de x menos la integral desde m está en el eje de x de x bueno la integral de color amarillo nos da esta área así que aquí vamos a obtener una área con un valor negativo pero podemos decir que el valor absoluto nos da esta área de aquí y ahora está integral de color verde sin contar el signo de menos fuera de la integral nos da el negativo de esta área que estoy coloreando pero si tomamos el signo negativo de esta integral toda esta parte nos está dando justo el área que buscamos el área de color verde de hecho obtenemos un valor positivo porque estamos tomando el negativo de un área negativa entonces para obtener esta área que queremos de color blanco tenemos que tomar el área de color verde y restarle el área de color amarillo por lo tanto si tomas la suma del área de color verde que ya sabemos que es el negativo de esta integral es decir esta expresión completa de color verde más la integral de color amarillo que ya sabemos que es el área en amarillo pero negativa vamos a obtener el área de color blanco que buscábamos y ahora si podemos concluir que si tomamos un intervalo donde ftx sea mayor a gtx entonces el área entre las curvas es simplemente la integral definida ese intervalo de fx 7x de x hasta la próxima

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Área entre curvas (video) | Khan Academy

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La longitud de arco de una curva suave planar y la distancia recorrida

La longitud de arco de una curva suave planar y la distancia recorrida

Transcripción del video

hemos usado las integrales definidas para encontrar áreas lo que quiero hacer ahora es ver si podemos usar la integral definida para calcular la longitud de arco y qué quiere decir eso bien si iniciamos en este punto sobre la gráfica de una función y terminamos en este punto no sobre una línea recta ya sabemos calcular distancias sobre una línea recta más bien sobre la trayectoria de la gráfica de la función esta es la longitud que queremos calcular queremos calcular la longitud de ese arco así es que esta es la longitud de arco en este caso va a ser desde que x es igual a a hasta que x es igual a la longitud a lo largo de esa curva y cómo hacemos esto una de las cosas que hemos aprendido con el cálculo integral es que cuando tenemos algo que está cambiando como esto siempre podemos dividirlo en partes infinitamente pequeñas que podemos aproximar con segmentos de rectas o con rectángulos para luego tomar la suma infinita de esas infinitamente pequeñas partes déjame entonces dividir todas longitud de arco en infinitamente pequeños tramos que podríamos llamar secciones de arco y estas secciones de arco al ser infinitamente pequeñas las voy a llamar de s de s obviamente los estoy dibujando mucho más grandes de lo que son para que tengamos una idea clara del concepto de diferencial de arco y para qué dividimos la longitud de arco en estas secciones diferenciales bien ese de ahí es un de ese y si aquí tenemos con este otro color otro de ese y por acá tenemos otro infinitamente pequeño cambio en la longitud de arco si sumamos si tomamos la suma infinita de todos estos veces vamos a obtener la longitud de arco así es que la longitud de arco es igual a la integral de d s estoy sumando todos esos veces a lo largo de la longitud de arco lo cual denota mos de esta manera pero esto así como está no nos sirve pues está en términos de de ese y nosotros hemos trabajado con de equis y de que veamos si podemos expresar esto en términos de d y deje de nueva cuenta si esta sección es infinitamente pequeña podemos suponer que es un segmento de recta de la misma manera como pudimos aproximar áreas con rectángulos tomamos infinitamente pequeños rectángulos que al hacer su suma infinita nos daba el valor del área aunque la región original no fuera rectangular aquí estamos haciendo lo mismo tomando estas aproximaciones con rectas infinitamente pequeñas pero al tomar la suma infinita van a proporcionarnos la longitud de arco así es que si suponemos que este es un segmento de recta voy a tratar de expresar lo en términos de de x y entonces esta distancia de aquí es de x es un cambio infinitamente pequeño en x mientras que esta distancia de aquí es de g es importante aclarar que no estamos dándole un tratamiento riguroso a los diferenciales simplemente queremos entender cuáles son los conceptos que hay detrás de la fórmula de longitud de arco aquí podemos ver entonces qué de ese basándonos en el teorema de pitágoras se puede expresar en términos de de x al cuadrado y al cuadrado es decir de s es igual a la raíz cuadrada de de x al cuadrado más de g al cuadrado así es que esta integral la podemos reescribir como la integral en vez de escribir de ese vamos a escribir la raíz cuadrada de de equis elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado más del elevado al cuadrado de nueva cuenta esto sale directamente de aplicar el teorema de pitágoras y esto empieza a ponerse interesante ya lo escribí en términos de xy de ye pero están elevados al cuadrado dentro de una raíz cuadrada que pueda hacer para simplificar esto de tal manera que podamos integrarlo bien puedo factorizar de x al cuadrado vamos a escribir esto entonces como esto es igual a la integral de la raíz cuadrada de x elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado que multiplica a uno más de iu sobre de x elevado al cuadrado esto lo mismo que tenemos arriba si distribuimos de x elevado al cuadrado aquí obtenemos exactamente esto y ahora podemos sacar de x al cuadrado del radical así es que esto es igual a la integral de la raíz deja de mantener el mismo color para el radical la integral de la raíz cuadrada de 1 más vélez en de x que ya sabemos que es la derivada de la función de jane de x elevada al cuadrado y si sacamos de x al cuadrado del radical la raíz cuadrada de x al cuadrado es de x simplemente es de x simplemente es de x esto es interesante pues sabemos cómo calcular esto entre dos límites podemos tomar la integral definida entre aire pues ahora estamos integrando un número infinito de de equis estamos ahora integrando con respecto a x para todos los valores entre x iguala y x igual a b tomemos la suma de los productos de esta expresión por de x y está básicamente es la fórmula para la longitud de arco es la fórmula para calcular la longitud de arco y aunque parece complicada en el próximo vídeo veremos que es fácil de aplicar aunque la matemática puede ponerse un poco peliaguda esta fórmula también la podemos escribir con otra anotación esto lo puedo escribir también como la integral desde hasta ve desde que x es igual a hasta que x es igual a de de la raíz cuadrada de 1 más en vez de de jane de x ponemos f prima de x efe prima de x elevado al cuadrado de x así es que si conocemos la función conocemos fx calculamos la derivada de esa función f prima de x la elevamos al cuadrado le sumamos 1 sacamos la raíz cuadrada de eso y entendemos con respecto a x desde que x igual a hasta que x igual a b haremos eso en el próximo vídeo

AP® es una marca registrada de College Board, que no ha revisado este recurso.

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Introducción a la longitud de arco (video) | Khan Academy

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Área de volúmenes de solidos de revolución

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Área de volúmenes de solidos de revolución

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Área de una superficie de revolución. Ejemplo 1

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Cálculo de volúmenes de solidos de revolución

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Cálculo de volúmenes de solidos de revolución

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Cálculo Integral - Volumen de sólidos de revolución #1

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Libro de texto Aplicaciones de la Integral 

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Libro de texto Aplicaciones de la Integral 

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El siguiente capítulo del libro nos servirá como guía para nuestro aprendizaje en este último tema

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Ejercicios resueltos y propuestos de integrales indefinidas

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Ejercicios resueltos y propuestos de integrales indefinidas

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Descarga la tabla de integrales que te servirá para resolver los ejercicios de este tema.

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Descarga el siguiente documento el cual nos servirá como guía y problemario en este primer tema

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Descarga el siguiente PDF con más ejemplos sobre la integral definida

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En este espacio podrás encontrar los recursos que se estarán usando en clase durante los siguientes temas:

1.- Integral Definida
2.- Integral Indefinida
3.- Métodos de Integración
4.- Aplicaciones de la Integral

Podrás encontrar videos, juegos, PDF´s, los cuales apoyarán a tu proceso de aprendizaje durante este cursos.

En cada sección encontrarás las actividades a realizar por cada tema:

Actividad 1 Integral Definida
Actividad 2 Integral Indefinida
Actividad 3 Métodos de Integración
Actividad 4 Aplicaciones de la Integral