# data[].attributes.headline
Link de acesso ao Relatório do Experimento do Protótipo da Régua Trigonométrica

# data[].attributes.subject
Link de acesso ao Relatório do Experimento do Protótipo da Régua Trigonométrica

# data[].attributes.body
https://drive.google.com/file/d/1LiENh9vBCdPOzZRbMgjpx5lww13ohApu/view?usp=sharing

# data[].attributes.headline
Link de acesso ao conteúdo pelo Google Classroom

# data[].attributes.subject
Link de acesso ao conteúdo pelo Google Classroom

# data[].attributes.body
Obs: Após acessar o link abaixo click sobre o ícone "Trabalhos da turma" ou "Atividade" para ver o conteúdo completo da aula"

https://classroom.google.com/u/0/c/NDg4OTA4OTA0NjY2

# data[].attributes.headline
Registro fotográfico da realização do experimento "Protótipo da Régua Trigonométrica", em 27/08/2022.

# data[].attributes.subject
Registro fotográfico da realização do experimento "Protótipo da Régua Trigonométrica", em 27/08/2022.

# data[].attributes.body
https://drive.google.com/file/d/1AgvDw1L8Z71p4cVdKTCZfJDvwrqTjs3g/view?usp=sharing

# data[].attributes.attachment_link.title
Fotos tiradas durante a realização do experimento_27-08-2022.pdf

# data[].attributes.body
A matemática desenvolveu-se ao longo da história para dar respostas às necessidades e avanços tecnológicos das diferentes culturas. Hoje é preciso apresentar idéias que efetivamente funcionem na vida prática de modo simples e que sejam bem claras, mas nem tudo tem uma aplicação imediata e por isso, às vezes, questiona-se por que aprender isto ou aquilo? Ficamos angustiados, pois não estamos preparados, para tais questionamentos.

Porém, não devemos nos limitar somente aquilo que é utilizado de imediato. Este material tem o objetivo de humanizar, ajudando de maneira prática e atraente, dando significado ao que é estudado e principalmente minimizar esta angústia em relação ao conteúdo de trigonometria, entendermos melhor o valor do conhecimento, conscientizarmos de que o momento mágico do aprender só ocorre quando a informação se transforma em conhecimento e que todo aprendizado é gratificante e tem seu valor.

Como a trigonometria está presente no dia-a-dia através da aplicação na engenharia, astronomia, física, navegação, entre outras, precisamos saber mais sobre ela e sua importância. Percebendo as dificuldades dos alunos e que necessitavam ter uma visão mais ampla e que fosse algo concreto para fixar o conteúdo, desenvolveu-se um dispositivo mecânico, móvel e de simples manuseio, onde se fixou um esquadro a um braço e estes foram acoplados ao ciclo trigonométrico, denominando-se “régua trigonométrica”.

Logo, este material pedagógico permite observar, verificar, comparar, relacionar e pensar sobre as relações obtidas sem precisar realizar tarefas exaustivas. Permite ainda, ganhar tempo na demonstração do conteúdo, manter os dados organizados e a obter várias respostas imediatamente. Tudo isso auxilia, ajuda instigar a curiosidade, motivar e dar sentido ao estudo, tornando a assimilação mais atraente e reforçando o aprendizado dos conceitos das relações trigonométrica, facilitando a absorção do conteúdo que antes era ensinado somente de modo teórico, distante da realidade do aluno. Agora pode ser feito de maneira prática com o uso da régua que é parte integrante desta obra.

# data[].attributes.body
Objetivo geral

Compreender os conceitos da trigonometria e a importância deles no mundo científico e suas tecnologias.

Objetivos específicos

➢ Construir uma régua trigonométrica com os materiais indicados;
➢ Reconhecer e entender situações que envolvam o uso das relações trigonométricas sen, cos, tg, cotg, cossec e sec;
➢ Identificar e usar corretamente as relações trigonométricas;
➢ Refletir sobre as medidas utilizadas nas relações trigonométricas;

# data[].attributes.headline
Lista de materiais para construção de um protótipo da régua trigonométrica

# data[].attributes.subject
Lista de materiais para construção de um protótipo da régua trigonométrica

# data[].attributes.body
Materiais

1. Xerox do ciclo trigonométrico em folha sulfite A4;
2. Pastas de plástico transparente tamanho sulfite A4;
3. Percevejos indicado para fixar cartazes e avisos em murais;
4. Dois pedaços pequenos de borracha ou plástico para fixar o (esquadro ao braço) e (ciclo
ao braço) conforme 2a. imagens dos anexos abaixo, item 12.3;
5 As pastas e os percevejos podem ser comprados na papelaria;
6 Tesoura;
7 Caneta hidrográfica (Pilot / Color);
8 Régua

# data[].attributes.body
1. Momento inicial (primeiro momento da aula):

Disponibilizar um vídeo e um texto sobre a régua trigonométrica com o intuito de instigar o interesse dos alunos ao assistirem e lerem o material;

2. Desenvolvimento (segundo momento da aula):

Construção do protótipo da régua trigonométrica com os materiais indicados acima;

3 Utilização do protótipo da régua trigonométrica (terceiro momento da aula):

Uso da régua trigonométrica para fixação dos conceitos das relações trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec e cossec);
4 Revisão (quarto momento da aula)  Revisão para reforçar o aprendizado dos aprendizes e prepará-los para aferição do aprendizado.

Observação:

A aula será desenvolvida em atividade presencial, mas contará com os recursos do Ambiente Virtual de Aprendizagem – AVA (Google Classroom), para inserção de conteúdos, exercícios e avaliação extraclasse, bem como outros recursos Educacionais Abertos (REAs) e Objetos de Aprendizagem (OAs), que são os recursos educacionais digitais que estão sob domínio público ou licença aberta. No mesmo ambiente virtual serão disponibilizados materiais de leitura básica, complementar e para consulta. Aula será expositiva e dialogada, atividade em grupo, e exercício de fixação prática, comporão uma atividade em sala de aula (construção de um protótipo da régua trigonométrica).

# data[].attributes.body
Será avaliado se os alunos aprenderam a construir o protótipo da régua trigonométrica, os conceitos básicos da trigonometria de sen, cos, tg, cotg, sec e cossec;

A avaliação terá diversas funções, desde diagnosticar a motivação e conhecimentos prévios dos estudantes, como orientar o processo de ensino na direção mais adequada possível ou ainda direcionar os estudantes para uma etapa futura de aprendizagem ou de encerramento dos estudos;

Durante o desenvolvimento da aula, a avaliação ocorrerá de forma contínua e processual, por meio da participação e do desempenho dos estudantes; seus avanços ou dificuldades;

Os instrumentos de avaliação serão sintonizados aos objetivos estimulando os estudantes à: reflexão, iniciativa e criatividade. O resultado da avaliação será registrado por valores inteiros de 0 (zero) a 10 (dez);

O resultado mínimo para aprovação em um componente curricular é 7 (sete). É obrigatória a frequência nas aulas. Avaliação: 1 avaliação de questões de múltipla escolha e questões dissertativas (30 pontos); 1 relatório sobre o laudo de vistoria (25 pontos) e preenchimento do laudo de vistoria (25 pontos). A média final será a soma dos pontos das 3 avaliações;

A avaliação da aprendizagem será diagnóstica, formativa e somativa durante a mediação da aula. Será confeccionada também uma avaliação com questões de múltipla escola e questões dissertativa no formulário do Google e no final da aula será disponibilizada para os alunos realizá-la.

Link de uma das avaliações:

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSekTLImdupN0QlZCWvXlUSCmcD3ZpIXZBdST5Q5c5Jw84Sl_A/viewform

# data[].attributes.body
Imagem 1_Retângulo fixo ao esquadro

# data[].attributes.body
Imagem 2_Retângulo / esquadro fixo ao centro do ciclo trigonométrico

# data[].attributes.body
Os exercícios podem ser
resolvidos apenas com a régua trigonométrica, no entanto se preferir pode resolver também diretamente
no Geogebra.

1. Lista de exercícios

https://drive.google.com/file/d/1ktzDXjkV6uHQmz4IuRjFjH6OrpiQ8rzu/view?usp=sha
ring

2. Software Geogebra

https://www.geogebra.org/m/s2tqv3dG

Além da exploração das relações trigonométricas, podemos explorar a simetria de pontos
e áreas em relação aos eixos sen (y) e cos (x), porém, esse não é nosso objetivo neste
momento.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo trigonométrico é uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, o valor do raio desta circunferência sempre será 1. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Desta forma, os eixos de Y e X acabam dividindo o círculo em quatro partes iguais, que chamamos de quadrantes, a contagem dos quadrantes é feita no sentido anti-horário a partir do ponto A. Esta circunferência pode ser dividida em graus, o que daria 360° numa volta completa, ou em radianos uma volta completa daria 2 π rad . Para entender a medida em radiano é só lembrar-se da fórmula do perímetro circular que é 2 π r, como o radiano é a mesma medida do raio é só substituir o raio na fórmula por rad ( radiano ). Agora clique no botão 1° quadrante e no botão Mostrar em radianos, agora mova o ponto A no botão deslizante Mover A, o botão está configurado para se mover de 15° em 15°, ou de π/12 em π/12. Clique nos demais botões 2° quadrante. No 3° e 4° também e compare os intervalos em graus e em radianos conforme mostrado a baixo: Primeiro quadrante: 0º < A < 90º e 0 < A < π/2 Segundo quadrante: 90º < A < 180º e π/2 < A < π Terceiro quadrante: 180º < A < 270º e π < A < 3π/2 Quarto quadrante: 270º < x < 360º e 3π/2 < x < 2π Agora que você está habituado com os quadrantes, vamos observar como o seno se comporta no ciclo trigonométrico, você vai perceber que o seno é um diâmetro que corta o círculo verticalmente coincidindo com o eixo da abscissa Y e seu valor máximo é 1 e o valor mínimo -1,clique no botão Mostrar seno, e deixe o ponto A sem abertura, ou seja em 0°, agora clique no botão Animar A e observe que quando o ponto A passa pelos 1° e 2° quadrantes o seno tem valores positivos, quando passa pelos 3° e 4° quadrantes seus valores são negativos, o valor expresso ao seno está em par ordenado (x,y), observe que em X sempre está zero e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y. Clique em Mostrar co-seno, você vai perceber que o co-seno já é um diâmetro que corta o círculo horizontalmente, coincide com o eixo da ordenada X e seus valores ,como o seno, atingem no máximo 1 e mínimo -1, só que os quadrantes que determinam que o co-seno fique negativo ou positivo se diferem do seno, deixe o botão A na animação e observe como os valores no co-seno se comportam, observe os valores em par ordenado que em Y sempre está zero e os valores em X variam de -1 a 1, é porque o co-seno está no eixo X. Por último clique em Mostrar tangente, você já percebe que se trata de uma reta paralela ao eixo de Y, não há como definir valores máximo ou mínimo na tangente, mas há valores positivos e negativos, os positivos do ponto de tangência para cima e negativos do ponto de tangência para baixo, o único momento em que não há valores na tangente é quando o ponto A toca no eixo Y, o valor fica indefinido para a tangente. Clique no botão Animar A e observe em quais momentos a tangente fica positiva, negativa e com o valor indefinido, observe em relação aos seus valores no par ordenado que em X sempre está com o valor 1, é porque o ponto de tangência está no ponto 1 em X, e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y. Explore bastante as relações métricas, compare com a tabela trigonométrica, que mostram os principais valores para seno, co-seno e tangente. A ferramenta mostra os valores em números decimais, então compare com uma tabela menor que mostra os valores aproximados do número racional e dos irracionais. Após se divertir bastante neste ambiente gráfico do Geogebra, vamos agora responder as perguntas do questionário, utilizando os recursos do programa.QUESTINÁRIO 1 ) Ao mover o ponto A em 150° e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? b) Qual o valor do seno?(responder com valor decimal) c) O valor do co-seno é positivo ou negativo? d) Qual o valor da tangente?(responder com o valor da tabela) 2 ) Mova o ponto A em π/3 rad e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? b) Qual o valor do seno? (responder com o valor da tabela) c) Qual o valor do co-seno? (responder com o valor da tabela) d) Qual o valor da tangente? (responder com o valor da tabela) 3 ) Deixe visível todos os quadrantes e responda: a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo? b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo? c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixa a tangente com valor negativo? d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?RESPOSTA DO QUESTIONÁRIO 1) Ao mover o ponto A em 150° e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? R: 2° quadrante. b) Qual o valor do seno? R: 0,5 c) O valor do co-seno é positivo ou negativo? R: positivo. d) Qual o valor da tangente? R: - √3/3 2) Mova o ponto A em π/3 rad e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? R: 1° quadrante. b) Qual o valor do seno? R: √3/2 c) Qual o valor do co-seno? R: 1/2 d) Qual o valor da tangente? R: √3 3) Deixe visível todos os quadrantes e responda: a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo? R: 3° e 4° quadrantes. b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo? R: 1° e 4° quaddrantes. c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam a tangente com valor negativo? R: 2° e 4° quadrantes. d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?

# data[].attributes.attachment_link.description
CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo trigonométrico é uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, o valor do raio desta circunferência sempre será 1. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano.

# data[].attributes.body
Veja alguns exemplos abaixo para fixar e identificar as relações trigonométricas (sen, cos
e tg) obtidas por meio da régua trigonométrica.

Leitura direta dos valores das relações trigonométricas referente aos ângulos de 30o, 45o,
150o, 225o e 330o.

Exemplos:

a) sen 30o = 1 / 2; cos 30o = √3 / 2; tg 30o = √3 / 3;

b) sen 45o = √2 / 2; cos 45o = √2 / 2; tg 45o = 1;

c) sen 150o = 1 / 2; cos 150o = - √3 / 2; tg 150o = -√3 / 3;

d) sen 225o = - √2 / 2; cos 225o = - √2 / 2; tg 225o = 1;

e) sen 330o = - 1 / 2; cos 330o = √3 / 2; tg 330o = - √3 / 3.

# data[].attributes.body
MARIANO, C. V; HIDAKA, R. K; CUNHA, V. A. Protótipo da Régua trigonométrica. Material concreto utilizado nas aulas de trigonometria do Ensino Médio.

Livro 2 - Planejamento do Ensino na Educação. [DocentEPT CO-SE-SUL] Didática Profissional, 2022.

# data[].attributes.body
Os resultados alcançados na aula da criação e utilização do protótipo da régua trigonométrica foi muito gratificantes e de extrema importância para a aprendizagem dos conceitos das relações trigonométricas. É perfeitamente possível que este material pedagógico continue sendo replicado pelos
professores, estudantes de licenciatura e pós-graduação em Matemática e aplicados
amplamente com alunos do Ensino Médio do nosso país.

# data[].attributes.body
Computador e mídias, acesso à internet, sala de aula com lousa, materiais mencionados no item 4, acesso aos conteúdos mencionados no item 6, entre outros.

# data[].attributes.body
Como vimos, a régua trigonométrica é uma ferramenta pedagógica concreta que dá mais sentido à aprendizagem do conteúdo, ampliando a confiança e a segurança dos alunos para melhorar e flexibilizar o estudo da trigonometria, além de proporcionar dinamismo para novas possibilidades de estudo e conhecimento.

Esse material manipulável proporciona mais conforto para o processo de ensino-aprendizagem, consequentemente, ajuda na melhoria do desempenho, incentivando o desenvolvimento da autonomia, que contribui para um ensino diferenciado e bem mais qualificado desse conteúdo e poderá ser adaptado e confeccionado com materiais
diferentes dos indicados aqui.

Contudo, não é a única  ferramenta disponível, mas complementa outros dispositivos pedagógicos que têm uma grande influência nos estudos e favorece a interação e o desempenho do estudante para dar um passo à frente, principalmente por ajudar na flexibilização e na potencialização do ensino de trigonometria.

Vimos que esse dispositivo proporciona maior satisfação nos estudos, no entanto, este material não esgota as possibilidades dos recursos de aprendizagem de trigonometria, apenas desperta maior interesse para pesquisar e refletir para buscar novos materiais
alternativos de estudos para melhorar cada vez mais a qualidade do ensino- aprendizagem desse tema.

# data[].attributes.headline
Acesse o Geoebra e saiba mais sobre trigonometria.

# data[].attributes.subject
Acesse o Geoebra e saiba mais sobre trigonometria.

# data[].attributes.body
Click sobre o ciclo trigonométrico para saiber mais sobre trigonometria com o Geogebra.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo trigonométrico é uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, o valor do raio desta circunferência sempre será 1. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano. Desta forma, os eixos de Y e X acabam dividindo o círculo em quatro partes iguais, que chamamos de quadrantes, a contagem dos quadrantes é feita no sentido anti-horário a partir do ponto A. Esta circunferência pode ser dividida em graus, o que daria 360° numa volta completa, ou em radianos uma volta completa daria 2 π rad . Para entender a medida em radiano é só lembrar-se da fórmula do perímetro circular que é 2 π r, como o radiano é a mesma medida do raio é só substituir o raio na fórmula por rad ( radiano ). Agora clique no botão 1° quadrante e no botão Mostrar em radianos, agora mova o ponto A no botão deslizante Mover A, o botão está configurado para se mover de 15° em 15°, ou de π/12 em π/12. Clique nos demais botões 2° quadrante. No 3° e 4° também e compare os intervalos em graus e em radianos conforme mostrado a baixo: Primeiro quadrante: 0º < A < 90º e 0 < A < π/2 Segundo quadrante: 90º < A < 180º e π/2 < A < π Terceiro quadrante: 180º < A < 270º e π < A < 3π/2 Quarto quadrante: 270º < x < 360º e 3π/2 < x < 2π Agora que você está habituado com os quadrantes, vamos observar como o seno se comporta no ciclo trigonométrico, você vai perceber que o seno é um diâmetro que corta o círculo verticalmente coincidindo com o eixo da abscissa Y e seu valor máximo é 1 e o valor mínimo -1,clique no botão Mostrar seno, e deixe o ponto A sem abertura, ou seja em 0°, agora clique no botão Animar A e observe que quando o ponto A passa pelos 1° e 2° quadrantes o seno tem valores positivos, quando passa pelos 3° e 4° quadrantes seus valores são negativos, o valor expresso ao seno está em par ordenado (x,y), observe que em X sempre está zero e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y. Clique em Mostrar co-seno, você vai perceber que o co-seno já é um diâmetro que corta o círculo horizontalmente, coincide com o eixo da ordenada X e seus valores ,como o seno, atingem no máximo 1 e mínimo -1, só que os quadrantes que determinam que o co-seno fique negativo ou positivo se diferem do seno, deixe o botão A na animação e observe como os valores no co-seno se comportam, observe os valores em par ordenado que em Y sempre está zero e os valores em X variam de -1 a 1, é porque o co-seno está no eixo X. Por último clique em Mostrar tangente, você já percebe que se trata de uma reta paralela ao eixo de Y, não há como definir valores máximo ou mínimo na tangente, mas há valores positivos e negativos, os positivos do ponto de tangência para cima e negativos do ponto de tangência para baixo, o único momento em que não há valores na tangente é quando o ponto A toca no eixo Y, o valor fica indefinido para a tangente. Clique no botão Animar A e observe em quais momentos a tangente fica positiva, negativa e com o valor indefinido, observe em relação aos seus valores no par ordenado que em X sempre está com o valor 1, é porque o ponto de tangência está no ponto 1 em X, e os valores em Y variam de -1 a 1, é porque o seno está no eixo Y. Explore bastante as relações métricas, compare com a tabela trigonométrica, que mostram os principais valores para seno, co-seno e tangente. A ferramenta mostra os valores em números decimais, então compare com uma tabela menor que mostra os valores aproximados do número racional e dos irracionais. Após se divertir bastante neste ambiente gráfico do Geogebra, vamos agora responder as perguntas do questionário, utilizando os recursos do programa.QUESTINÁRIO 1 ) Ao mover o ponto A em 150° e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? b) Qual o valor do seno?(responder com valor decimal) c) O valor do co-seno é positivo ou negativo? d) Qual o valor da tangente?(responder com o valor da tabela) 2 ) Mova o ponto A em π/3 rad e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? b) Qual o valor do seno? (responder com o valor da tabela) c) Qual o valor do co-seno? (responder com o valor da tabela) d) Qual o valor da tangente? (responder com o valor da tabela) 3 ) Deixe visível todos os quadrantes e responda: a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo? b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo? c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixa a tangente com valor negativo? d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?RESPOSTA DO QUESTIONÁRIO 1) Ao mover o ponto A em 150° e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? R: 2° quadrante. b) Qual o valor do seno? R: 0,5 c) O valor do co-seno é positivo ou negativo? R: positivo. d) Qual o valor da tangente? R: - √3/3 2) Mova o ponto A em π/3 rad e responda: a) Em qual quadrante o ponto A se encontra? R: 1° quadrante. b) Qual o valor do seno? R: √3/2 c) Qual o valor do co-seno? R: 1/2 d) Qual o valor da tangente? R: √3 3) Deixe visível todos os quadrantes e responda: a) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o seno com valor negativo? R: 3° e 4° quadrantes. b) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam o co-seno com valor positivo? R: 1° e 4° quaddrantes. c) Quais os quadrantes onde o ponto A passa, deixam a tangente com valor negativo? R: 2° e 4° quadrantes. d) Qual quadrante corresponde ao intervalo; 3π/2 < A < 2 π ?

# data[].attributes.attachment_link.description
CICLO TRIGONOMÉTRICO O ciclo trigonométrico é uma circunferência construída em um sistema de coordenadas cartesianas, o valor do raio desta circunferência sempre será 1. O centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano.

# data[].attributes.headline
CANÇÃO DA TRIGONOMETRIA Aula de Matemática com Música

# data[].attributes.subject
CANÇÃO DA TRIGONOMETRIA Aula de Matemática com Música

# data[].attributes.body
Click sobre a imagem acima e prenda o conteúdo com a canção da trigonometria (Matemática Simples & Prática Dimas).

# data[].attributes.attachment_link.title
CANÇÃO DA TRIGONOMETRIA Aula de Matemática com Música

# data[].attributes.headline
Clubes de Matemática da OBMEP_Disseminando o estudo de matemática.

# data[].attributes.subject
Clubes de Matemática da OBMEP_Disseminando o estudo de matemática.

# data[].attributes.body
Click sobre a imagem acima e saiba mais sobre a Sala de Atividades: Brincando com trigonometria.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ao falarmos sobre triângulos retângulos, a primeira propriedade que vem à cabeça de muitos de vocês, certamente, é o Teorema de Pitágoras. Mas, apesar de sua beleza e aplicabilidade, o Teorema de Pitágoras não é a única propriedade importante dos triângulos retângulos.

Nesta Sala de Atividades, vamos explorar os triângulos retângulos utilizando ferramentas da Geometria como, por exemplo, semelhança, para obtermos três razões importantes e largamente utilizadas em medições indiretas. E, diferentemente do Teorema de Pitágoras, que utiliza apenas as medidas dos lados dos triângulos retângulos, aqui utilizaremos também as medidas dos dois ângulos agudos desses triângulos, já que o nosso objetivo será trabalhar com relações entre as medidas dos lados e dos ângulos internos de um triângulo retângulo.

O ramo da matemática que se ocupa das relações entre ângulos e lados de um triângulo é a Trigonometria.
A Trigonometria atua direta ou indiretamente em vários ramos da Matemática que requerem medidas de precisão e tem numerosas aplicações na Astronomia, na Topografia, no estudo de imagens digitais, em sistemas de navegação por satélites, e, de maneira geral, na determinação de ângulos e de distâncias inacessíveis.
Nesta Sala, apresentaremos algumas das aplicações geométricas da trigonometria, com o objetivo de

estudar medições em triângulos retângulos.

E se vocês estão habituados a ver a palavra trigonometria em tópicos do ensino médio, não se preocupem: para entender o que vai ser tratado aqui, vocês só precisam saber um pouco sobre triângulos! Assim, se necessário, vocês poderão reencontrar os triângulos retângulos clicando e os triângulos semelhantes, clicando .
II - Um pouco de História
Há mais de 3000 anos, os egípcios e os babilônicos assistiram ao início do desenvolvimento da trigonometria, que surgiu, principalmente, devido a problemas da Astronomia, Agrimensura, Construção e Navegação. Medidas na agrimensura, medidas para a construção de pirâmides, previsão de rotas e posições de corpos celestes, melhoria na exatidão de rotas de navegação e no cálculo do tempo foram situações específicas nas quais são encontrados os primeiros indícios de rudimentos da trigonometria.
O e tábua cuneiforme são exemplos de documentos matemáticos que chegaram aos nossos dias e que contêm elementos de trigonometria.

Ainda como parte da Astronomia, o estudo da trigonometria se difundiu pela Grécia, Índia e Arábia. Os gregos antigos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.

Particularmente o astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego , que viveu entre os anos 180 e 125 a.C. e que ganhou o direito de ser chamado de o "Pai da Trigonometria", construiu uma tabela com comprimentos de cordas que é considerada a primeira tabela da trigonometria. Com a ajuda dessa tabela ele podia relacionar facilmente os lados e os ângulos de qualquer triângulo do plano. Mais do que isso, fortemente influenciado pela matemática babilônica, Hiparco acreditava que a melhor base numérica para contagem era a 60. Dessa forma, introduziu na Grécia a divisão da circunferência em [tex]360[/tex] partes iguais, atribuiu o nome "arco de 1 grau" a cada parte em que a circunferência ficou dividida e dividiu cada arco de 1 grau em 60 partes obtendo, assim, o "arco de 1 minuto". Infelizmente, os doze livros que continham a trigonometria de Hiparco, assim como o restante da sua obra, se perderam com o tempo...

No entanto, o conhecimento produzido por Com a matemática hindu apareceram razões trigonométricas, como as que trabalharemos nesta Sala. Mais do que isso, a Índia revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados , que significa sistemas de Astronomia. Apesar das poucas explicações e de nenhuma prova, o
Hiparco foi preservado e ampliado brilhantemente por Cláudio Ptolomeu (90 - 168): astrônomo, geógrafo, físico e matemático da Universidade de Alexandria que também estudou os astros com a ajuda da trigonometria. É dele o mais influente e significativo compêndio de Astronomia da Antiguidade: Siddhanta segue um caminho diferente do caminho do Almagesto de Ptolomeu e substitui a relação entre "as cordas de um círculo e os ângulos centrais correspondentes" pela relação entre "a metade das cordas de um círculo e a metade dos ângulos centrais correspondentes", relação essa chamada por eles de jiva. Surge aí a "Trigonometria do Triângulo Retângulo". Syntaxis mathematica. Escrita em 13 volumes, essa obra ficou conhecida como , que significa "o maior", em árabe, já que os tradutores árabes a consideravam a maior obra sobre Astronomia existente na época. O Almagesto foi a mais importante fonte de consulta para os astrônomos até o século VIII, época na qual o mundo começa a conhecer a matemática hindu.

O conflito entre a trigonometria do
Almagesto e a trigonometria hindu termina quando o matemático árabe (850 - 929) adota a trigonometria hindu, introduzindo uma inovação preciosa para a matemática: o círculo de raio unitário.
Da Arábia, a trigonometria alcançou a Europa, onde se separa da Astronomia para se tornar um ramo independente da Matemática. Nesse novo caminho, a trigonometria ganha um tratamento analítico com o matemático francês (1540-1603). No início do século XVII, o matemático escocês (1550-1617) fez, também, contribuições para a trigonometria.
No século XVIII, como não poderia deixar de ser, a trigonometria recebeu contribuições importantes do matemático inglês (1643-1727) e do matemático suíço (1707-1783).

François Viète John Napier Isaac Newton Leonhard Euler

III - A matemática que vamos precisar
Vamos iniciar este tópico estabelecendo três razões entre números reais: essas razões aparecem de maneira natural quando lidamos com triângulos retângulos semelhantes e são conhecidas como razões trigonométricas. Então, vamos lá.
Considere uma família de triângulos retângulos [tex]A_1C_1B_1, \, \, A_2C_2B_2, \, \, A_3C_3B_3, \, \, ... , \, \, A_nC_nB_n, \, \, ...[/tex] de modo que cada triângulo [tex]A_iC_iB_i[/tex] tenha um dos ângulos com medida [tex]\theta[/tex], [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex].

Como, dois a dois, esses triângulos têm dois ângulos com a mesma medida, respectivamente [tex]\theta[/tex] e [tex]90^{\circ}[/tex], então todos os triângulos da família são semelhantes e, consequentemente:

● [tex]\dfrac{a_1}{b_1}= \dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}=\cdots [/tex]
● [tex]\dfrac{a_1}{h_1}= \dfrac{a_2}{h_2}=\dfrac{a_3}{h_3}=\cdots =\dfrac{a_n}{h_n}=\cdots [/tex]
● [tex]\dfrac{b_1}{h_1}= \dfrac{b_2}{h_2}=\dfrac{b_3}{h_3}=\cdots =\dfrac{b_n}{h_n}=\cdots [/tex]

Uma observação essencial é que, fixado um ângulo agudo de medida [tex]\theta[/tex], em graus, para todo triângulo retângulo que tenha um de seus ângulos agudos com medida [tex]\theta[/tex], as razões

[tex] \, \dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{cateto \, adjacente \, a \, \theta} \, \qquad\qquad[/tex] [tex]\qquad\qquad\dfrac{cateto \, oposto \, a \, \theta}{hipotenusa} \, \qquad\qquad[/tex] [tex]\qquad\qquad \, \dfrac{cateto \, adjacente \, a \, \theta}{hipotenusa} \, [/tex]

são sempre as mesmas.

Notem que, embora definidas por comprimentos de lados de triângulos retângulos, essas razões não dependem, particularmente, dos comprimentos dos lados dos triângulos retângulos considerados:

elas são determinadas pelo ângulo de medida [tex]\theta[/tex] desses triângulos.

Assim, daremos nomes especiais a essas razões, explicitando a dependência entre elas e o ângulo de medida [tex]\theta[/tex]:

● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos opostos e dos catetos adjacentes dos triângulos retângulos semelhantes será denominada " tangente de [tex]\theta[/tex]" e denotada por [tex]tg \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad tg \, \theta= \frac{B_1C_1}{AC_1} =\frac{B_2C_2}{AC_2} = \frac{B_3C_3}{AC_3} = \frac{B_4C_4}{AC_4} =\dots [/tex];
● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos opostos e das hipotenusas dos triângulos retângulos semelhantes será denominada " seno de [tex]\theta[/tex]" e denotada por [tex] \, sen \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad sen \, \theta= \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{B_2C_2}{AB_2} = \frac{B_3C_3}{AB_3} = \frac{B_4C_4}{AB_4} =\dots [/tex];
● a constante definida pelas razões entre os comprimentos dos catetos adjacentes e das hipotenusas dos triângulos retângulos semelhantes será denominada " cosseno de [tex]\theta[/tex]" e denotada por [tex]cos \, \theta[/tex]:
[tex]\qquad\qquad cos \, \theta= \frac{AC_1}{AB_1} = \frac{AC_2}{AB_2} = \frac{AC_3}{AB_3} = \frac{AC_4}{AB_4} =\dots [/tex].

Como os valores para o seno, o cosseno e a tangente de ângulos com medidas [tex]\theta[/tex], [tex]0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}[/tex], dependem apenas do respectivo [tex]\theta[/tex], é possível construir tabelas contendo aproximações para tais valores, o que facilita enormemente a manipulação desses dados em aplicações. Essas tabelas são conhecidas como tabelas trigonométricas ou tábuas trigonométricas.
Embora razões trigonométricas possam ser calculadas para ângulos com medidas não inteiras, as tabelas trigonométricas mais simples são as que apresentam as razões trigonométricas definidas para ângulos com medidas inteiras entre [tex]0 \, [/tex] e [tex] \, 90[/tex] graus. Para obter uma tabela dessas, é só clicar nos próximos botões:

● para baixar o arquivo, cliquem no botão da direita;
● para apenas consultar, cliquem no botão da esquerda e, depois da consulta, não se esqueçam de fechar a janela que se abriu.

Se vocês nunca utilizaram uma tabela trigonométrica, observem que, a partir da medida de um ângulo, podemos encontrar os valores aproximados dos seus respectivos seno, cosseno e tangente; assim como, a partir do valor de uma razão trigonométrica, conseguimos identificar a medida aproximada do ângulo que a produz. E, por favor, não se assustem com esse monte de números, pois não é preciso decorar o seno, o cosseno e a tangente de todos os possíveis ângulos agudos: tabelas como a que apresentamos podem ser facilmente obtidas em livros ou na Internet. Num primeiro momento, o importante é vocês entenderem direitinho o que é o seno, o cosseno e a tangente de um dado ângulo agudo e terem a certeza de que, se necessário, aproximações para esses valores podem ser obtidas, mesmo sem recorrer a tabelas prontas.

Atividade 1: Construindo tabelas

Que tal vocês tentarem construir uma tabela trigonométrica própria?
Essa é uma atividade que, além de ajudá-los no entendimento das razões que definimos, vai ajudá-los no entendimento do próximo tópico.
É só clicar no próximo botão e

boa diversão!
Trabalhando com triângulos retângulos
Vale a pena observarmos, mais uma vez, a praticidade da ideia de que a tangente, o seno e o cosseno de um determinado ângulo agudo de medida [tex]\theta[/tex] podem ser obtidos a partir de um triângulo retângulo conveniente que tenha um de seus ângulos agudos medindo [tex]\theta[/tex]. Isso significa que podemos utilizar tabelas trigonométricas (e calculadoras científicas são tabelas modernas) para obtermos valores de seno, cosseno e tangente de vários ângulos e com isso determinarmos características de triângulos retângulos que apareçam em problemas e até em situações do nosso cotidiano, como a apresentada a seguir.

Um problema inicial

Em uma oficina mecânica, será necessário construir uma rampa para carros, de modo a vencer um desnível de [tex]2,1 \, m[/tex].

Se o ângulo de inclinação deve ter, no máximo, [tex]25^{\circ}[/tex], qual deve ser o comprimento mínimo da rampa? Considerem para a rampa comprimentos representados com uma casa decimal.

Apenas com o que foi até agora exposto, vocês já têm informações mais do que suficientes para resolverem esse probleminha inicial. Mas antes observamos que o estudo específico de propriedades da tangente, do seno e do cosseno de ângulos agudos a partir de triângulos retângulos escolhidos segundo nossa conveniência é o que chamamos de " Trigonometria do Triângulo Retângulo ". Vocês podem ampliar o conhecimento sobre esse assunto acessando . No entanto, para efeito do que aqui será discutido, vocês precisarão apenas das próximas definições.

Definições

Seja [tex]ACB[/tex] um triângulo retângulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a, \, b, \, h[/tex], respectivamente. Seja [tex]\theta[/tex] a medida em graus de um dos ângulos agudos desse triângulo, [tex]0^{\circ} \lt\theta\lt 90^{\circ}[/tex].

Chamamos de

Agora, voltando ao probleminha inicial, por que vocês não tentam solucioná-lo? Vocês poderão conferir a resposta, ou mesmo tentar entender como o problema pode ser resolvido, clicando no botão abaixo.
IV - Medindo o que não podemos alcançar...

Quando alguém quer saber o tamanho de uma calculadora eletrônica, de um celular ou uma folha de caderno basta pegar uma régua e medir os aparelhos ou a folha, não é?

Sim...

Se precisamos medir a largura de uma sala podemos pegar uma fita métrica, esticar e fazer a medição. Para obter as dimensões de um campo de futebol, vamos ao campo, esticamos uma trena e medimos...

Aí vem coisa...

Mas vocês saberiam como medir objetos muito altos e de difícil acesso?

Eu sabia que vinha encrenca...

Não é necessário nem pensar em medir a distância entre a Lua e o Sol para verificar que existem situações para as quais os chamados "métodos diretos de medição da distância entre dois pontos" não dão certo, mesmo fazendo uma série de contorcionismos.
Como o próprio nome sugere, a medida de uma distância de modo direto consiste simplesmente na leitura da distância entre dois pontos mediante a utilização de um instrumento de medida: uma régua graduada, uma fita métrica, uma trena. Já nos chamados processos indiretos de medida, uma distância é obtida via cálculos matemáticos que vinculam a "distância a ser calculada" a "outras que são obtidas de modo direto".
O probleminha inicial ilustra um processo de medição indireta: o dono da oficina mecânica obteve o comprimento da rampa mesmo sem medi-la, aliás, mesmo sem ter a rampa...
O probleminha inicial ilustra também o modo de se resolver muitos dos problemas que envolvem a determinação indireta de distâncias: a partir dos dados, tentamos encontrar um triângulo retângulo de modo que o comprimento da sua hipotenusa ou de um de seus catetos forneça a distância a ser determinada. Fatalmente, a solução desse tipo de problema requer a utilização de razões trigonométricas. Arquitetos, engenheiros e topógrafos se deparam muitas vezes com problemas desse tipo nos projetos que desenvolvem.
Apresentaremos três exemplos clássicos de problemas que envolvem distâncias que precisam ser obtidas por medição indireta não só para que vocês os resolvam, mas, principalmente, para que vocês observem exemplos de medições diretas necessárias para a solução desse tipo de problema. Por falar em medida, informamos que as figuras que ilustram os problemas não estão em escala.

Uma pessoa com [tex]1,75 \, m[/tex] de altura e que se encontra a [tex]20 \, m[/tex] da base de um edifício vê o ponto mais alto dele sob um ângulo de [tex]50^{\circ}[/tex]. Qual a altura aproximada do edifício?

A Secretaria de Turismo de uma cidade vai instalar um teleférico ligando os topos de duas montanhas, uma com [tex]872 \, m \, [/tex] e a outra com [tex] \, 761 \, m[/tex] de altura, conforme a figura. Os engenheiros responsáveis pelo projeto mediram o ângulo de vértice [tex]A[/tex] e calcularam que o cabo de aço que sustentará o teleférico tem curvatura e, por isso, seu comprimento é [tex]7\%[/tex] maior que a medida do segmento de reta [tex]AB.[/tex] Assim, calculem o comprimento do cabo.

Dois engenheiros estão de um mesmo lado de um rio, separados por [tex]30 \, m[/tex] um do outro. Cada um deles, em sua respectiva posição, observa uma pedra que está na margem do outro lado, segundo um ângulo específico, conforme mostra a figura. Supondo que ambos estão afastados da margem de uma distância de [tex]1,7 \, m[/tex] e que as duas margens do rio são paralelas, qual é a largura do rio? (Desconsiderar a diferença de altura entre os observadores e a pedra.)

Nos problemas resolvidos, podemos observar que foram utilizados dados obtidos por dois tipos de medição direta: ângulos, medidos em graus, e distâncias, medidas em metros, centímetros ou quilômetros.
Na prática, as distâncias podem ser medidas por trenas, por exemplo; mas, e os ângulos?

Não podemos usar um transferidor?

Hummm, quase isso!
Aguarde a próxima atividade e comprove!

Atividade 2
Oficinas: Obtendo medidas inacessíveis

Desde as antigas civilizações egípcias, babilônias e gregas, a relação entre as medidas de ângulos e segmentos têm ajudado na solução de grandes problemas como o cálculo da medida do raio da Terra, a determinação da distância relativa do Sol e da Lua, a localização de um navio em alto mar, o cálculo da altura de pirâmides e prédios e da largura de rios e, até, a investigação de distâncias inacessíveis no espaço cósmico.
Em comum, esses problemas, e muitos outros, têm a necessidade do cálculo de distâncias impossíveis ou difíceis de serem determinadas, caso não se dispusesse de conhecimentos vindos da trigonometria. Mas para a determinação dessas medidas inacessíveis é necessário, de alguma forma, se obter dois tipos de medição direta: ângulos e distâncias.
Nos dias de hoje, arquitetos, engenheiros e agrimensores podem contar, na elaboração de seus projetos, com um instrumento eletrônico conhecido como estação total, ou taqueômetro. Com esse tipo de equipamento é possível se medir ângulos e distâncias e, utilizando um computador e tecnologia, transformar, rapidamente, os dados obtidos nessas medições em mapas das áreas que estão sendo estudadas.

Embora a necessidade de se obter distâncias inacessíveis já estivesse presente nas civilizações antigas, essas utilizavam instrumentos de medição que, frente aos que hoje dispomos, poderiam ser considerados, no mínimo, como rudimentares. Mas, a simplicidade não deve impedir que se dê a devida importância a alguns desses antigos instrumentos. As eficientes estações totais, por exemplo, foram desenvolvidas a partir de dois instrumentos de medições topográficas - o teodolito e o distanciômetro - que têm antepassados bem antigos...
E aqui iniciamos a nossa última atividade: a construção de instrumentos muito simples de medida de ângulos para a obtenção, na prática, de medidas inacessíveis. Isso mesmo, vocês vão pôr em prática o que aprenderam com o que foi aqui apresentado e medir distâncias e alturas inacessíveis.

Como vai ser isso?
É só clicar no próximo botão para ver...

# data[].attributes.attachment_link.title
Sala de Atividades: Brincando com trigonometria

# data[].attributes.attachment_link.description
Tópicos I - Apresentação do Tema II - Um pouco de História III - A matemática que vamos precisar IV - Medindo o que não podemos alcançar... I - Apresentação do Tema Ao falarmos sobre triângulos retângulos, a primeira propriedade que vem à cabeça de muitos de vocês, certamente, é o Teorema de Pitágoras.

# data[].attributes.headline
Click sobre a imagem abaixo para ver 3 protótipos da ferramenta pedagógica em tamanhos diferentes

# data[].attributes.subject
Click sobre a imagem abaixo para ver 3 protótipos da ferramenta pedagógica em tamanhos diferentes

# data[].attributes.body
A trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc.

https://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/

# data[].attributes.headline
A importância da trigonometria e suas aplicações no cotidiano

# data[].attributes.subject
A importância da trigonometria e suas aplicações no cotidiano

# data[].attributes.body
https://editorarealize.com.br/editora/anais/conedu/2021/TRABALHO_EV150_MD4_SA113_ID3977_29092021180346.pdf

# data[].attributes.headline
Ferramentas de apoio  no aprendizado da trigonometria

# data[].attributes.subject
Ferramentas de apoio  no aprendizado da trigonometria

# data[].attributes.body
https://www.facima.edu.br/instituto/revista/arquivos/revista_facima_ano_1_aprendizado_trigonometria.pdf

# data[].attributes.body
Ferramenta pedagógica pensada e desenvolvida para tornar a aprendizagem de trigonometria mais simples, mais divertida e de forma concreta.

# data[].attributes.body
https://www.scielo.br/j/bolema/a/KDH4R9cr6T7zWrdvnGVpwPD/?lang=pt

# data[].attributes.attachment_link.title
Ensino de trigonometria numa abordagem histórica: um produto educacional

# data[].attributes.attachment_link.description
Este trabalho objetiva relatar a construção de um caderno de atividades para o ensino de...