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de ()

de (67 años)Praga (Reino de Bohemia)

Doctor en Filosofía

, lógico, filósofo de la ciencia, teólogo, , , epistemólogo, , , sacerdote católico, estético y

, , y

Universidad Carolina de Praga

Bernard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano ( Praga, Bohemia (actual República Checa), 5 de octubre de 1781 - ídem, 18 de diciembre de 1848), conocido como Bernard Bolzano fue un matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio que escribió en alemán y que realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la Teoría del conocimiento.

En matemáticas, se le conoce por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que esbozó como lema de otro trabajo en 1817, y décadas después habría de desarrollar Karl Weierstrass ​

En su filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modo independiente a las personas que los piensen.

En 1796 Bolzano se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Durante sus estudios escribió: " Mi especial predilección por las Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la parte de las Matemáticas que es al mismo tiempo Filosofía." En otoño de 1800 empezó a estudiar Teología. Se dedicó a ello los siguientes tres años, durante los que también preparó su tesis doctoral en Geometría. Consiguió el doctorado en 1804, tras haber redactado una tesis en la que expresaba su opinión sobre las Matemáticas y sobre las características de una correcta demostración matemática. En el prólogo escribió: " No podría sentirme satisfecho por una demostración estrictamente rigurosa, si ésta no derivase de los conceptos contenidos en la tesis que debe demostrarse."

Dos años después de ser nombrado doctor, Bolzano se ordenó como sacerdote católico. Sin embargo, su auténtica vocación era la docencia, y en 1804 obtuvo la cátedra de Filosofía y Religión en la Universidad de Praga. En relación con esta cátedra hay que señalar que en aquella época, por la expansión del entusiasmo suscitado por la Revolución francesa se habían desarrollado los primeros movimientos políticos que reivindicaban la libertad de pensamiento y la independencia de las comunidades nacionales. Estas reivindicaciones preocupaban mucho a los estados autoritarios, y en especial al Imperio austríaco, en cuyos límites se integraban numerosos grupos étnicos muy distintos entre los que iban naciendo movimientos nacionalistas. Para contrarrestar estos movimientos, el Imperio austríaco, de acuerdo con la Iglesia católica, que estaba claramente alineada en posiciones conservadoras frente a las procedentes de la revolución francesa, llevaba a cabo una serie de iniciativas. Entre estas estaba la de instituir una cátedra de Filosofía de la Religión en cada Universidad, que se erigiera como baluarte contra la libertad de pensamiento y contra las posiciones nacionalistas.

Sin embargo, la designación de Bolzano para ocupar dicha cátedra en la Universidad de Praga no tuvo el éxito que las autoridades esperaban. Sus enseñanzas estaban impregnadas por fuertes ideales pacifistas y por una viva exigencia de justicia política. Además, Bolzano gozaba, debido a sus cualidades intelectuales, de un enorme prestigio entre sus colegas profesores y entre los estudiantes. Tras algunas presiones del gobierno austríaco, en 1819 Bolzano fue destituido de su cátedra. Debido a su personalidad, no aceptó este cese sin manifestar su desacuerdo, con lo que se le suspendió, bajo una acusación de herejía, puesto bajo arresto domiciliario y se le prohibió publicar. A pesar de la censura del gobierno, sus libros se publicaron fuera del Imperio austríaco y Bolzano siguió escribiendo y ocupando un importante papel dentro de la vida intelectual de su país.

Bolzano escribió en 1810 Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung, la primera de una serie programada de escritos sobre fundamentos de las matemáticas. En la segunda parte encontramos Der binomische Lehrsatzl... de 1816 y Rein analytischer Beweis... (Pura demostración matemática) de 1817, que contienen un intento de impostación del cálculo infinitesimal que no recurre al concepto de infinitesimal. En el prólogo del primero de ambos declara que su trabajo es un ejemplo del nuevo modo de desarrollar el análisis. A pesar de que Bolzano consiguió demostrar exactamente todo lo que declaraba, sus teorías sólo se entendieron después de su muerte. En el trabajo de 1817 Bolzano entendía que liberaba los conceptos de límite, convergencia y derivada de nociones geométricas, sustituyéndolas por conceptos puramente aritméticos y numéricos. Bolzano era consciente de la existencia de un problema más profundo: era necesario refinar y enriquecer el propio concepto de número. En este trabajo hay que situar la demostración del teorema del valor intermedio con la nueva aproximación de Bolzano, y la que también fue llamada serie de Cauchy. Este concepto aparece en un trabajo de Cauchy, aparecido cuatro años después, aunque resulta poco probable que el matemático francés conociera los trabajos de Bolzano.

Después de 1817, Bolzano estuvo muchos años sin publicar nada relacionado con las matemáticas. Sin embargo, en 1837, publicó Wissenschaftslehre, un intento de elaborar una teoría del conocimiento y de la ciencia completa. Bolzano intentó proporcionar fundamentos lógicos a todas las ciencias, construidas partiendo de abstracciones, de objetos abstractos, de atributos, de construcciones de demostraciones, vínculos... La mayor parte de esos intentos retoman esos trabajos anteriores que afectan a la relación objetiva entre las consecuencias lógicas (las cosas tal como se producen) y nuestra percepción puramente subjetiva de dichas consecuencias (nuestro modo de abordar los hechos). Aquí se acerca a la filosofía de las matemáticas. Una de las nociones básicas en Wissenschaftslehre de Bolzano es el denominado „ Satz an sich".​ Primero introduce las nociones de proposición y representación. "La hierba es verde" es una proposición (Satz): en esta conexión de palabras, se dice o se afirma algo. "Hierba", sin embargo, es sólo una representación (Vorstellung). Algo está representado por ella, si bien no afirma nada. La noción de proposición de Bolzano es bastante amplia: "Un rectángulo es redondo" es una proposición, aunque sea falsa en virtud de la auto-contradicción, porque está compuesta de manera inteligible a partir de partes inteligibles. Bolzano no presenta una definición completa de Satz an sich (es decir, de proposición en sí misma) pero nos da la información suficiente para entender lo que quiere decir con ella. Una proposición en sí misma no tiene existencia, es verdadera o falsa, independiente de que alguien sepa o piense que es verdadera o falsa, y es lo que "captan" los seres pensantes. Entonces, una oración escrita "Sócrates es sabio capta una proposición en sí misma, a saber, el contenido "Sócrates tiene sabiduría". La oración escrita tiene existencia ya que la está leyendo ahora mismo en este mismo momento y expresa la proposición en sí misma que está en el ámbito de sí misma. A partir de dicha distinción se genera una brecha con la filosofía kantiana en la tradición austriaca. Para Bolzano, no tenemos ninguna certeza en cuanto a las verdades, o a las supuestas como tales, de la naturaleza o de las matemáticas, y precisamente el papel de las ciencias, tanto puras como aplicadas es hallar una justificación de las verdades (o de las leyes) fundamentales, que con frecuencia contradicen nuestras intuiciones. Muchos estudiosos, entre los que se encuentra Edmund Husserl, consideran este texto la primera obra importante sobre lógica y problemas de conocimiento tras la de Leibnitz.

Entre 1830 y 1840, Bolzano trabajó en una obra mayor, Grössenlehre en la que tratará de reinterpretar toda la matemática bajo bases lógicas. Sólo llegó a publicar una parte, esperando que sus alumnos prosiguieran su obra y publicaran una versión completa. Bolzano falleció en Praga el 18 de diciembre de 1848. En 1854, tres años después de su muerte, un alumno suyo publicó la obra de Bolzano Paradoxien des Unendlichen, un estudio sobre las paradojas del infinito. Aparece por primera vez el término "conjunto", en la forma alemana Menge. En este trabajo Bolzano aporta ejemplos de correspondencia biunívoca entre los elementos de un conjunto infinito y de un subconjunto propio del mismo, lo que permite caracterizar el concepto de conjunto infinito.

La mayor parte de los trabajos de Bolzano permaneció en forma de manuscrito, por lo que tuvo una circulación muy reducida y una escasa influencia en el desarrollo de la materia. Muchas de sus obras no se publicaron hasta 1862 e incluso después. Las teorías de Bolzano sobre el infinito matemático anticiparon las de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos.

1. Bolzano publicó en 1817 una demostración del teorema que lleva el nombre de ambos. Weierstrass tenía por entonces dos años, pero en los años 60 volvió a enunciar y a demostrar el teorema, con un razonamiento muy similar al de Bolzano y reconociendo su descubrimiento. Kline, Morris (1992). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid, Alianza Editorial. ISBN 84-206-2957-X. p. 1258

2. Un estudio sistemático acerca del origen del Satz an sich se encuentra en el libro de Padilla Gálvez, Jesús (2019). Jesús Padilla Gálvez sobre el origen del problema del estado de cosas: Estado de cosas. Reconstrucción de la polémica sobre el Sachverhalt. Valencia, Tirant humanidades. ISBN 8978-84-17508-19-7. pp. 23-32

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Bernard Bolzano - Wikipedia, la enciclopedia libre

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de () de (67 años)Praga (Reino de Bohemia) Doctor en Filosofía , lógico, filósofo de la ciencia, teólogo, , , epistemólogo, , , sacerdote católico, estético y , , y Universidad Carolina de Praga Bernard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano ( Praga, Bohemia (actual República Checa), 5 de octubre de 1781 - ídem, 18 de diciembre de 1848), conocido como Bernard Bolzano fue un matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio que escribió en alemán y que realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a la Teoría del conocimiento.

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Las inquietudes científicas de Bolzano resultaron muy avanzadas para su tiempo, preocupado como estaba por los fundamentos de varias ramas de la matemática, a saber, la teoría de las funciones, la lógica y la noción de cardinal. Tras demostrar el teorema del valor intermedio, dio el primer ejemplo de una función continua no derivable sobre el conjunto de los números reales. En el campo de la lógica, trató la tabla de verdad de una proposición e introdujo la primera definición operativa de deducibilidad. Estudió asimismo, con anterioridad a Cantor, los conjuntos infinitos.

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-Tafur Castro, Damaris Cielo

-Chavez Ortega, Brayam Antonio

-Huaranga Aguilar, Jim Jesús

-Rodas Moscoso, Manuel Andrei

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Mg. Victor Aurelio Hoces Varillas

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• Es una aproximación, una tendencia.
• Es un punto al que puede llegar un valor.
• Es un tope, una barrera, algo que no puede sobrepasar.
• Es una constante, es algo que ya está establecido.

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LÍMITES - Clase Completa: Explicación desde Cero | El Traductor

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Dedicado a quienes quieren aprender de verdad. En esta clase veremos los fundamentos más importantes para empezar a entender el mundo del cálculo. Vamos a ap...

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Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) puede tender a un valor finito o puede diferir al infinito.

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VIDEO INTRODUCTORIO A LÍMITES AL INFINITO:

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VIDEO INTRODUCTORIO A LÍMITES AL INFINITO:

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Breve introducción a los límites al infinito, explicación de la solución de algunos límites sencillos con conceptos necesarios para resolver ejercicios más d...

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M

Pro Tip - Open the Shape Library Manager by pressing the M key

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Check out my diagram at Lucidchart. Make your own diagram or flowchart and share it with your friends. - http://lucidchart.com

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Definición:
La asíntota oblicua de una función es una recta inclinada a la cual su gráfica se va aproximando indefinidamente sin llegar nunca a cruzarla.
La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:
(1)  lim x→+∞ [f(x)-(px+q)] = 0
(2)  lim x→-∞ [f(x)-(px+q)] = 0
Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

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En la siguiente imagen queda recogido el concepto y notación que se suele utilizar:

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En la siguiente imagen queda recogido el concepto y notación que se suele utilizar:

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concepto:
"El límite de una función "f(x)" cuando "x" tiende al infinito  es el valor al que se aproxima la función a medida que la coordenada x crece indefinidamente."
Los 4 posibles comportamientos de la función cuando el valor de "x" crece indefinidamente son los ilustrados en la figura.
A nivel de notación :

lim x→∞ f(x)=L

se puede leer :
"f(x) tiende a L cuando x tiende a ∞",
o bien "f(x)→L cuando x→∞"

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EJEMPLO LIMITES AL INFINITO CUANDO X ⇒ ± ∞

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EJEMPLO LIMITES AL INFINITO CUANDO X ⇒ ± ∞

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Límites en el infinito ejercicios

Límites en el infinito cuando x tiende a ± infinito, ejemplos y ejercicios resueltos de límites y órdenes de infinito.

Matemáticas  2º de Bachillerato  5.1 Límites en el infinito ejercicios

Resolver límites de funciones

Resolver indeterminaciones cuando x ⇒ ± ∞

Infinitos y órdenes de infinito

Significado de los órdenes de infinito

Todas las funciones tienden al infinito. El mayor orden es para la función que mas rapidamente crece al infinito. Observa que la función exponencial crece mas rápido que la potencial y esta que la logarítmica.

Ejercicios resueltos de órdenes de infinito

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Límites en el infinito cuando x tiende a ± infinito, ejemplos y ejercicios resueltos de límites y órdenes de infinito.

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Una empresa textil fabrica polos, tiene unos costes fijos de $11 y en promedio $5 a la mano de obra y por insumos requeridos para cada prenda producida. ¿Cuánto es el mínimo coste unitario?

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Una empresa textil fabrica polos, tiene unos costes fijos de $11 y en promedio $5 a la mano de obra y por insumos requeridos para cada prenda producida. ¿Cuánto es el mínimo coste unitario?

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Asíntotas Verticales

Si el límite de la función cuando  $x$  tiende a una constante (valores de $x$ que genere una división entre cero en la función) es igual a infinito positivo o negativo (aunque sea en forma lateral), entonces la función tiene una asíntota vertical de ecuación  $x$  igual a la constante, esto es:

Si  $\underset{x\to m}{\lim} \;f(x)=\infty$,  $\underset{x\to m}{\lim} \;f(x)=-\infty$, o  $\underset{x\to m}{\lim} \;f(x)=\not\exists $, con límites laterales infinitos.

Entonces  $x=m$  es una asíntota vertical de  $f(x)$.

($m$  es un valor de  $x$  que genera una división entre cero en la función)

|
$f(x)$ tiene una asíntota vertical de ecuación $x=3$ ( $\underset{x\to 3}{\lim} \;f(x)=\infty$). | $f(x)$ tiene una asíntota vertical de ecuación         $x=2$ ( $\underset{x\to 2^{+}}{\lim} f(x)=-\infty$ y $\underset{x\to 2^{-}}{\lim} f(x)=\infty$).

Ejemplo 1

Obtener la ecuación de la asíntota vertical de $f(x)=\frac {x-2}{x+3}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende al valor que genere una división entre cero en la función. $$x+3=0$$
$$x=-3$$
$\underset{x \rightarrow -3}{\lim}\frac{x-2}{x+3}:\frac{-5}{0}$: infinito o menos infinito, hay que calcular límites laterales.

$\underset{x \rightarrow -3^-}{\lim}\frac{x-2}{x+3}=\frac{-5}{0^-}=\infty$ (un negativo entre un negativo da un positivo)

Sabemos que el denominador se va a cero tomando valores negativos porque si $x$ es menor que $-3$, $x<-3$ se tiene que $x+3<0$ (o evaluándolo en el primer entero a la izquierda de $-3$ que es el $-4$ queda $-4+3=-1$ un número negativo, que se acercará a $0$ cuando se tomen valores de $x$ más cerca de $-3$ por la izquierda).

$\underset{x \rightarrow -3^+}{\lim}\frac{x-2}{x+3}=\frac{-5}{0^+}=-\infty$ (un negativo entre un positivo da un negativo)

Sabemos que el denominador se va a cero tomando valores positivos porque si $x$ es mayor que $-3$, $x>-3$ se tiene que $x+3>0$ (o evaluándolo en el primer entero a la derecha de $-3$ que es el $-2$ queda $-2+3=1$ un número positivo, que se acercará a $0$ cuando se tomen valores de $x$ más cerca de $-3$ por la derecha).

$f(x)=\frac {x-2}{x+3}$ tiene una asíntota vertical de ecuación $x=-3$. Y como los límites laterales son diferentes el $\underset{x \rightarrow -3}{\lim}\frac{x-2}{x+3}$ No existe.

Su gráfica es:

Ejemplo 2

Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales de $f(x)=\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende al valor que genere una división entre cero en la función. $$2x^2+x-10=0$$
$$2x^2+x-10=(2x+5)(x-2)=0$$
$x=-\frac{5}{2}=-2.5$      y      $x=2$

Hay que calcular los límites cuando $x$ tiende a $-\frac{5}{2}$ y a $2$.

$\underset{x \rightarrow -\frac{5}{2}}{\lim}\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}:\frac{25-30+5}{\frac{25}{2}-\frac{5}{2}-10}=\frac{0}{0}$: indeterminado, hay que factorizar.

$\underset{x \rightarrow -\frac{5}{2}}{\lim}\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}$=$\underset{x \rightarrow -\frac{5}{2}}{\lim}\frac{(x+\frac{5}{2})(4x+2)}{(x+\frac{5}{2})(2x-4)}$=$\underset{x \rightarrow -\frac{5}{2}}{\lim}\frac{(2x+5)(2x+1)}{(2x+5)(x-2)}$=$\underset{x \rightarrow -\frac{5}{2}}{\lim}\frac{2x+1}{x-2}$=$\frac{-4}{-\frac{9}{2}}$=$\frac{8}{9}$

La función no tiene asíntota vertical en $x=-\frac{5}{2}$ porque el límite no resultó más o menos infinito y la gráfica tendrá un hueco de coordenadas $(-\frac{5}{2},\frac{8}{9})$.

Para calcular el límite cuando $x$ tiende a 2 podemos tomar la expresión de la función simplificada.

$\underset{x \rightarrow 2}{\lim}\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}=\underset{x \rightarrow 2}{\lim}\frac{2x+1}{x-2}:\frac{5}{0}$: infinito o menos infinito, hay que calcular límites laterales.

$\underset{x \rightarrow 2^-}{\lim}\frac{2x+1}{x-2}=\frac{5}{0^-}=-\infty$ (un positivo entre un negativo da un negativo)

Sabemos que el denominador se va a cero tomando valores negativos porque si $x$ es menor que $2$, $x<2$ tendremos que $x-2<0$ (o evaluándolo en el primer entero a la izquierda de $2$ que es el $1$ queda $1-2=-1$ un número negativo, que se acercará a $0$ cuando se tomen valores de $x$ más cerca de $2$ por la izquierda).

$\underset{x \rightarrow 2^+}{\lim}\frac{2x+1}{x-2}=\frac{5}{0^+}=\infty$ (un positivo entre un positivo da un positivo)

Sabemos que el denominador se va a cero tomando valores positivos porque si $x$ es mayor que $2$, $x>2$ tendremos que $x-2>0$ (o evaluándolo en el primer entero a la derecha de $2$ que es el $3$ queda $3-2=1$ un número positivo, que se acercará a $0$ cuando se tomen valores de $x$ más cerca de $2$ por la derecha).

$f(x)=\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}$ tiene únicamente una asíntota vertical de ecuación $x=2$. Y como los límites laterales son diferentes el $\underset{x \rightarrow 2}{\lim}\frac{2x+1}{x-2}$ No existe.

Su gráfica es:

Ejemplo 3

Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales de $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende al valor que genere una división entre cero en la función. $$\sqrt{x^2-4}=0$$
$$x^2-4=0$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
$\underset{x \rightarrow -2}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$: para evaluar este límite se debe tener cuidado con el $\underset{x \rightarrow -2}{\lim}\sqrt{x^2-4}$ ya que el resultado es $\sqrt{0}$ hay que verificar que el contenido del radical se acerque a cero tomando únicamente valores positivos, esto sucede nada más para valores $x$ menores que $-2$, así que sólo existe el límite lateral izquierdo. Obsérvese que el dominio de la función es $D_f=(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$.

$\underset{x \rightarrow -2^-}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{-2}{\sqrt{0^+}}=\frac{-2}{0^+}=-\infty$ (un negativo entre un positivo da un negativo)

La función tiene una asíntota vertical de ecuación $x=-2$.

Análogamente en el límite de la función cuando x tiende a 2, sólo existe el límite lateral derecho.

$$\underset{x \rightarrow 2^+}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=\frac{2}{\sqrt{0^+}}=\frac{2}{0^+}=\infty$$

La función tiene otra asíntota vertical de ecuación $x=2$.

Su gráfica es:

Asíntotas Horizontales

Si el límite de la función cuando  $x$  tiende a infinito o menos infinito es igual a una constante, entonces la función tiene una asíntota horizontal de ecuación: $y$ igual a la constante, esto es:

Si  $\underset{x\to-\infty}{\lim} f(x)=k$  entonces  $y=k$  es una asíntota horizontal de  $f(x)$.

Si  $\underset{x\to\infty}{\lim} \;f(x)=p$  entonces  $y=p$  es una asíntota horizontal de  $f(x)$.

|

$f(x)$ tiene una asíntota horizontal de ecuación $y=1$
$\underset{x\to \infty}{\lim} f(x)=1$ y $\underset{x\to -\infty}{\lim} f(x)=1$.

$f(x)$ tiene 2 asíntotas horizontales de ecuaciones $y=-1$ y $y=0$
$\underset{x\to \infty}{\lim} f(x)=0$ y $\underset{x\to -\infty}{\lim} f(x)=-1$.

Ejemplo 1

Obtener la ecuación de la asíntota horizontal de $f(x)=\frac {x-2}{x+3}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito.

$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x-2}{x+3}:\frac{\infty}{\infty}$: indeterminado, se factoriza forzadamente la $x$ de mayor de potencia.

$$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x(1-\frac{2}{x})}{x(1+\frac{3}{x})}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1$$

y análogamente

$$\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{x-2}{x+3}=1$$

La función tiene una asíntota horizontal de ecuación $y=1$.

Su gráfica es:

Ejemplo 2

Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales de $f(x)=\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito.

$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}:\frac{\infty}{\infty}$: indeterminado, se factoriza forzadamente la $x$ de mayor de potencia.

$$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x^2(4+\frac{12}{x}+\frac{5}{x^2})}{x^2(2+\frac{1}{x^2}-\frac{10}{x})}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{4+\frac{12}{x}+\frac{5}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}-\frac{10}{x}}=\frac{4+0+0}{2+0-0}=2$$

y análogamente

$$\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{4x^2+12x+5}{2x^2+x-10}=2$$

La función tiene una asíntota horizontal de ecuación $y=2$.

Su gráfica es:

Ejemplo 3

Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales de $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.

Hay que calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito.

$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}:\frac{\infty}{\infty}$: indeterminado, se factoriza forzadamente la $x$ de mayor de potencia.

$$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2(1-\frac{4}{x^2})}}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x}{|x|\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{x}{x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=1$$

Notese que $|x|=x$ si $x\rightarrow\infty$ y que $|x|=-x$ si $x\rightarrow-\infty$. Asi que
$$\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{x}{\sqrt{x^2(1-\frac{4}{x^2})}}=\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{x}{|x|\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{x}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{1}{-\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\frac{1}{-\sqrt{1-0}}=-1$$

La función $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ tiene dos asíntotas horizontales una de ecuación $y=1$ por el lado derecho del eje $x$ y otra de ecuación $y=-1$ por el lado izquierdo del eje $x$.

Su gráfica es:

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Apoyo al curso de Introducción al Cálculo

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Límites cuando x tiende a infinito o menos infinito. Ejercicios resueltos.

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Límites cuando X tiende a ± infinito y que cuyo resultado salga ± infinito o un número 

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Límites cuando X tiende a ± infinito y que cuyo resultado salga ± infinito o un número 

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A continuación te voy a explicar cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a infinito o a menos infinito, con ejercicios resueltos paso por paso.

Veremos también que hay límites de funciones que aún tendiendo la x a un número finito, el resultado es infinito.

¡Vamos allá!

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
QUIERO APROBAR MATEMÁTICAS
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Si quieres seguir aprendiendo cómo resolver límites, en el Curso de Límites, te explico con todo detalle como resolver los límites de todos los tipos de indeterminaciones, con ejercicios resueltos paso a paso.

Límite de una función cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando los valores de x crecen cada vez más, se indica que calculamos el límite de una función cuando x tiende a infinito.

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es infinito

Hay funciones, que cuando x es cada vez mayor, el valor de su función también crece. En ese caso, cuando x tiende a infinito, el límite de la función también es infinito:

Gráficamente, funciones que se comportan así pueden tener esta forma:

Como vemos, cuando los valores de x son cada vez mayores, los valores de la función también son cada vez mayores y por tanto, la función tiende a irse hacia arriba y el límite de la función cuando x tiende a infinito es infinito.

¿Qué funciones tienen este comportamiento cuando x tiende a infinito?

Las funciones cuyo valor va creciendo conforme lo hacen los valores de x son las funciones polinómicas:

Las funciones exponenciales cuya base sea mayor que 1:

Y las funciones logarítmicas:

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es menos infinito

En las funciones cuyo valor decrece conforme van aumentando los valores de x, el límite de la función cuando x tiende a infinito será menos infinito:

Si representamos una función de este tipo, tiene esta forma:

Donde como vemos, a medida que nos vamos moviendo hacia la derecha en el eje x, es decir, los valores de x van aumentando, los valores de la función son cada vez más pequeños. La función tiende a irse hacia abajo y el límite de la función cuando x tiende a infinito es menos infinito.

Las funciones cuyo valor se va haciendo más pequeño conforme aumentan los valores de x, son las mismas que en el caso anterior pero precedidas por un signo menos:

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es un número

Existen funciones, que conforme van aumentando los valores de x, su valor se va aproximando cada vez más a un número:

Si representamos este caso, sería de la siguiente forma:

Conforme van aumentando los valores de x, el valor de la función está cada vez más cerca de valer k. El límite de la función cuando x tiende a infinito es igual a k.

En este caso, se dice que en y=k hay una asíntota horizontal.

Una asíntota es una línea a la que la función se aproxima cada vez más pero que nunca llega a tocar. Te lo explico más en detalle en el Curso de Límites. Ahora sólo quédate con que el límite de una función cuando x tiende a infinito puede dar como resultado un número.

¿Qué tipo de funciones dan como resultado un número en el límite cuando x tiende a infinito?

Las funciones racionales en las que el grado del numerador y el grado del denominador son iguales, como por ejemplo:

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito

Para calcular el límite de una función cuando los valores de x cada vez se van haciendo más pequeños, se indica que calculamos el límite de una función cuando x tiende a menos infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es infinito

Hay funciones, que cuando x es cada vez menor, el valor de su función es cada vez más grande. En ese caso, cuando x tiende a menos infinito, el límite de la función también es infinito:

Las funciones que se comportan así, tienen esta forma gráficamente:

Conforme nos vamos moviendo hacia la izquierda en el eje x, los valores de x van disminuyendo, los valores de la función son cada vez más grandes. La función tiende a irse hacia arriba y el límite de la función cuando x tiende a menos infinito es infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es menos infinito

En las funciones cuyo valor decrece conforme van disminuyendo los valores de x, el límite de la función cuando x tiende a menos infinito será menos infinito:

Gráficamente, las funciones tienen la siguiente forma:

A medida que nos vamos moviendo hacia la izquierda en el eje x, los valores de la función son cada vez más pequeños. La función tiende a irse hacia abajo y el límite de la función cuando x tiende a menos infinito es menos infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es un número

Existen funciones, que conforme van disminuyendo los valores de x, su valor se va aproximando cada vez más a un número en concreto:

La representación gráfica de este tipo de funciones sería así:

Conforme van decreciendo los valores de x, el valor de la función está cada vez más cerca de tomar el valor k. El límite de la función cuando x tiende a menos infinito es igual a k.

Al igual que pasaba cuando x tiende a infinito, aquí también se dice que en y=k hay una asíntota horizontal.

En este caso de los límites de funciones cuando x tiende a menos infinito no he comentado nada de las funciones que se comportan de estas maneras, porque son las mismas que para cuando x tiende a infinito, a excepción de la función logarítmica, ya que un logaritmo no existe para valores iguales o menores que cero.

Cómo resolver límites cuando x tiende a infinito

Una vez sabemos qué resultado puede tener el límite de una función cuando x tiende a infinito y qué forma pueden tener sus gráficas, voy a pasar a explicarte cómo calcular este tipo de límites.

A priori, no sabemos que resultado va a tener el límite de una función cuando x tiende a infinito. Lo sabemos cuando sustituimos la x por infinito.

Vamos a ir viendo cómo se resuelven los límites de cada tipo de función.

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito

Por ejemplo:

En primer lugar, sustituimos la x por infinito:

Cuando resolvemos límites de este tipo, al sustituir por infinito, debemos tener en cuenta que el infinito de por sí ya tiene un valor muy grande. Si el infinito lo elevamos a algún exponente, todavía se hace más grande.

Entonces infinito elevado al cubo es muchísimo mayor que infinito elevado al cuadrado, incluso que el resto de operación que queda.

Para que lo entiendas mejor, imagina que estás calculando con un número muy muy grande y lo elevas al cubo. Si le restas el mismo número elevado al cuadrado, quedará todavía un número muy grande.

Pues este mismo concepto pero llevado hasta el extremo es lo que pasa cuando operamos con infinito, como es este caso. El valor de infinito al cubo es mucho mayor que el resto de la operación, de hecho, el resto de la operación ya da igual, porque es es despreciable y apenas le afecta.

Por tanto, el resultado del límite será infinito:

En los polinomios, el resultado de sustituir por infinito lo dará siempre el término de mayor grado.

De hecho, el límite de una función polinómica cuando x tiende a infinito, es igual al límite de su término de mayor grado, por lo para calcular su solución es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado:

Vamos a ver otro ejemplo:

Como te he comentado antes, calcular el límite de un polinomio cuando x tiende a infinito es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado, por lo que lo hacemos así:

Sustituimos la x por infinito:

Por un lado, infinito a elevado a 4 sigue siendo infinito, un infinito mucho más grande que antes, pero como está solo, podemos seguir poniendo infinito.

Por otro lado, las operaciones con infinito responden a las reglas de signos. Por tanto, al multiplicar infinito por un número negativo, el resultado es menos infinito, que es el resultado del límite:

Vamos a ver ahora como resolver el límite de una función, donde el polinomio se encuentra en el denominador:

Siguiendo el mismo razonamiento que para los ejercicios anteriores, nos quedamos con el término de mayor grado en el denominador:

Ahora sustituimos la x por infinito. El resultado en el denominador es infinito y cualquier número entre infinito es igual a cero:

En general, los límites cuando x tiende a infinito de las funciones que tengan un número en el numerador y un polinomio en el denominador, su resultado será 0.

Seguimos con el límite de una función logarítmica:

Sustituimos la x por infinito. El valor de la función logarítmica es mayor cuanto mayor sea el valor de x, por lo que el logaritmo de infinito es infinito:

Si la función logarítmica tiene un signo menos delante, el resultado sería menos infinito:

Por último, vamos a ver qué pasa con las funciones racionales, donde el grado del numerador y el grado del denominador son iguales, cuando x tiende a infinito:

Al sustituir la x por infinito llegamos a una indeterminación:

La forma de resolver este límite te lo explico en el Curso de Límites cuando explico los tipos de indeterminaciones y cómo se resuelven.

Cómo resolver límites cuando x tiende a menos infinito

Te voy a explicar ahora cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a menos infinito.

La forma de resolver los límites de funciones cuando x tiende a menos infinito es la misma para cuando x tiende a infinito, es decir, en funciones polinómicas, nos quedaremos con el término de mayor grado, ya que es el término que determinará el resultado de la operación.

Como te he comentado antes, las operaciones con infinito siguen la regla de los signos. Veíamos que si un número negativo multiplica a infinito, se convierte en menos infinito. Ten en cuenta que menos infinito no es más que infinito multiplicado por menos 1:

Cuando sustituimos la x por menos infinito, además de afectar la multiplicación de números negativos, también afecta en gran medida las potencias.

Menos infinito elevado a un número par será más infinito, igual que pasa con los números:

De la misma forma, si menos infinito está elevado a un número impar, su resultado será menos infinito:

Teniendo todo esto en cuenta, vamos a resolver unos cuantos límites de funciones cuando x tiende a menos infinito.

Empezamos con este:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos por menos infinito. Como está elevado a un número par, el resultado es infinito:

Veamos otro ejemplo:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos la x por menos infinito. Como está elevado a un número impar, el resultado es menos infinito:

Seguimos con otro ejemplo:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos la x por menos infinito. En este caso tenemos un signo menos delante de la x. Por tanto, menos infinito elevado a 5, sigue siendo menos infinito, pero como tiene delante un signo menos, el resultado del límite es infinito:

Por último, vamos a ver cómo resolver un límite de una función cuando el polinomio está en el denominador:

Nos quedamos en el denominador con el término de mayor grado:

Y sustituimos la x por menos infinito. Al estar elevado a un número impar, el resultado es menos infinito en el denominador. No obstante, aunque 1 esté dividido entre menos infinito, el resultado sigue siendo cero, porque el cero no tiene signo:

Límites infinitos cuando x tiende a un número finito

Hasta ahora hemos estado viendo límites de funciones cuando x tiende a infinito o menos infinito, cuyo resultado puede ser infinito, menos infinito o un número.

También existen los límites cuando x tiende a un número cuyo resultado puede ser más o menos infinito:

Este tipo de límites se resuelven mediante límites laterales, tanto gráfica como analíticamente.

Vamos a analizar las diferentes situaciones que puedes tener cuando x tienda a un número y el resultado de límite sea infinito.

El límite de una función cuando x tiende a un número por la izquierda y el resultado es infinito:

Vemos que cuando en el eje xnos acercamos por la izquierda a un valor x=k (o x=n), la función tiende a irse hacia arriba y por tanto, cuanto más nos acercamos por la izquierda, su límite es infinito:

Puede darse el caso, de que nos aproximemos a un número por la derecha y el límite de esa función sea infinito:

En ese caso, la gráfica sería de esta manera, donde vemos que la función tiende a irse hacia arriba conforme nos acercamos por la derecha en el eje x a un número determinado:

Cuando nos acercamos por la izquierda y por la derecha y en ambos casos el límite es infinito, entonces existe el límite de la función cuando x tiende a n, que es igual a infinito:

Cuya gráfica es de la siguiente forma:

También puede ser que cuando nos acerquemos a un ese número por la izquierda en el eje x, la función tienda a irse hacia abajo, por lo que el límite sería menos infinito:

Y la gráfica sería algo como esto:

O lo mismo cuando nos acerquemos por la derecha:

Si el límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden, entonces existe el límite de la función cuando x tiende a un número y su resultado es menos infinito:

La gráfica cuando existe el límite sería de la siguiente forma:

Puede darse el caso de que los límites laterales no coincidan, es decir, que por ejemplo el límite de la función cuando x tiende al número por la izquierda sea menos infinito y el límite por la derecha sea más infinito (o viceversa). En ese caso, existen los límites laterales, pero no existe el límite de la función cuando x tiende a ese número:

La función en este caso podría tener esta forma:

En todos los casos, tenemos una asíntota vertical en x=k (veremos el tema de las asíntotas con más detalle durante el curso, no te preocupes)

Vamos a ver un ejercicio sobre lo que acabamos de ver: Calcula los siguientes límites de la siguiente función:

Vamos a ir resolviendo cada uno de ellos.

Cuando x se aproxima a -1 por la izquierda, el límite es igual a menos infinito, ya que la función tiende a irse hacia abajo:

Cuando x se aproxima a -1 por la derecha, el límite es igual a infinito, ya que la función tiende a irse hacia arriba:

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, el límite es igual a infinito, ya que la función tiende a irse hacia arriba:

Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, el límite es igual a menos infinito, ya que la función tiende a irse hacia abajo:

Cuando x tiende a infinito la función se aproxima al valor -1, luego su límite es -1:

Lo mismo pasa cuando x tiende a menos infinito

En el Curso de Límites te enseño también a resolver analíticamente las funciones donde x tiende a infinito y el resultado es un número.

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Ejercicios propuestos
1- Calcula los siguientes límites 2- Calcula los siguientes límites a partir de la siguiente función:
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Límites cuando x tiende a infinito o menos infinito. Ejercicios resueltos.

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A continuación te voy a explicar cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a infinito o a menos infinito, con ejercicios resueltos paso por paso. Veremos también que hay límites de funciones que aún tendiendo la x a un número finito, el resultado es infinito. ¡Vamos allá!

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Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas - Ejercicios Resueltos

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Asintotas Verticales, Horizontales y Oblicuas

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Asintotas Verticales, Horizontales y Oblicuas

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Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas - Ejercicios Resueltos

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Ejemplo cuando x tiende a +∞ y el límite resulta +∞

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Ejemplo cuando x tiende a +∞ y el límite resulta +∞

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Limite cuando x tiende a más infinito , resultando que el limite es más infinito.

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Ejemplo cuando x tiende a +∞ y el límite resulta -∞

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Ejemplo cuando x tiende a +∞ y el límite resulta -∞

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Limite cuando x tiende a más infinito , resultando que el limite es menos infinito.

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Ejemplos de Limites al Infinito y su representación en Geogebra

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Ejemplos de Limites al Infinito y su representación en Geogebra

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Requena Serra, B., 2022. Limites infinitos - Universos Formulas.

Abreu León, J., 2022. Límites al infinito de una función a partir de su gráfica.

Introducción a límites (artículo). 2022. (s. f.). Khan Academy.

L. Fernández, J. (s. f.). Limite de una Función en el Infinito.

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PDF sobre limites que tienden al infinito 

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PDF sobre limites que tienden al infinito 

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Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß

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Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (escrito Weierstrass cuando no está disponible el carácter " ß") ( Ostenfelde, 31 de octubre de 1815~ Berlín, 19 de febrero de 1897) fue un matemático alemán que se suele citar como el "padre del análisis moderno".​ Entre sus logros más destacados figuran la definición de la continuidad de una función, demostrando el teorema del valor medio; y el teorema de Bolzano-Weierstrass usado posteriormente para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.

Weierstrass nació en Ostenfelde, Ennigerloh, provincia de Westfalia, entonces parte de Prusia. Era hijo de Wilhelm Weierstrass, un funcionario del gobierno, y de Theodora Vonderforst. Su interés por las matemáticas comenzó cuando era estudiante en la escuela Theodoriamun en Paderborn. Fue enviado a la Universidad de Bonn para prepararse para conseguir un puesto de funcionario estatal. Sus estudios estaban centrados en derecho, economía y finanzas, por lo que entraron en conflicto con su deseo de estudiar matemáticas. Resolvió este conflicto prestando poca atención a su carrera universitaria, estudiando matemáticas en privado. Finalmente dejó la universidad sin titularse. Después de que estudiase matemáticas en la Academia de Münster y de que su padre le consiguiese un puesto como profesor en una escuela de Münster, fue certificado como profesor en esa ciudad. Durante su periodo de estudio, Weierstrass asistió a las conferencias de Christoph Gudermann y se interesó por las funciones elípticas.

En 1843 impartió clase en Alemania y en el oeste de Prusia, y desde 1848 enseñó en el Lyceo Hosianum en Braunsberg.

A partir de 1850 Weierstrass sufrió un largo periodo de enfermedad, pero pudo publicar documentos que le llevaron a la fama y la distinción. La Universidad de Königsberg le entregó un título de doctor honorario el 31 de marzo de 1854. En 1856 consiguió una plaza en el Gewerbeinstitut, la que más tarde se convertiría en la Universidad Técnica de Berlín. En 1864 pasó a ser profesor de la Universidad Friedrich-Wilhelms en Berlín, institución que más tarde se transformó en la Universidad Humboldt de Berlín. Los últimos 3 años de su vida los pasó sin poder moverse, y terminó muriendo en Berlín de neumonia.

Además de sus prolíficas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en la Universidad de Berlín, en la que tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya y Edmund Husserl.

Contribuciones en matemáticas

Weierstraß dio las definiciones de continuidad, límite y derivada de una función, que se siguen usando hoy en día. Esto le permitió abordar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar de forma rigurosa, como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel.

También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc.

Además de los distintos conceptos matemáticos que llevan su nombre, se tiene que:

Véase también

Referencias

Enlaces externos

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Karl Weierstraß - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstraß , , , , , , , , , y Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (escrito Weierstrass cuando no está disponible el carácter " ß") ( Ostenfelde, 31 de octubre de 1815~ Berlín, 19 de febrero de 1897) fue un matemático alemán que se suele citar como el "padre del análisis moderno".​ Entre sus logros más destacados figuran la definición de la continuidad de una función, demostrando el teorema del valor medio; y el teorema de Bolzano-Weierstrass usado posteriormente para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.

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Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.

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PDF SOBRE LA EVOLUCION HISTORICA DEL CONCEPTO DE LIMITES

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PDF SOBRE LA EVOLUCION HISTORICA DEL CONCEPTO DE LIMITES

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