# data[].attributes.body
(Exercice 4 de spécialité

# data[].attributes.attachment_link.description
Énoncé du sujet de mathématiques du bac S Polynésie Juin 2013

# data[].attributes.body
Exercices 1 et 2

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Exercice 1 - Sujet de bac

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que

de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que

de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.

En 2014,

des clients paient en une fois et

paient mensuellement.

Dans toute la suite de l'exercice,

désigne un nombre entier naturel.

la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année

la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année

et

et on note

l'état probabiliste pour l'année

. Ainsi

.

l'état " le client paie en une fois " ;

l'état " le client paie mensuellement ".
Question 1 :
Représenter un graphe probabiliste de sommets

et

.
Question 2 :
Écrire la matrice de transition

associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
Question 3 :
Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 (arrondir le résultat au millième).
Question 4 :
Déterminer la distribution invariante et en donner une interprétation.

Exercice 2 sur la chaîne de Markov en Terminale

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.

À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

S'il est dans la galerie

ou

, il y reste avec la probabilité

ou il passe dans la galerie

avec la probabilité

S'il est dans la galerie

, il y reste avec la probabilité

sinon il passe dans la galerie

ou la galerie

avec la probabilité

.
Question 1 :
Représenter le graphe de probabilité associé à cette situation.
On notera

,

et

les trois états correspondant aux trois galeries.
Question 2 :
Écrire la matrice de transition associée.
Question 3 :
Écrire en justifiant le raisonnement la relation liant

,

et

.
Question 4 :
Déterminer la distribution stationnaire.
On donnera les trois valeurs sans parenthèses, sous la forme

en les séparant par une virgule.
Question 5 :
On définit la suite

si

,

.

a) La suite

est géométrique de raison :

b) Pour tout

,

.

Exercice 3 de Terminale Générale sur la chaîne de Markov

Le PageRank ou PR est l'algorithme d'analyse des liens concourant au système de classement des pages Web utilisé par le moteur de recherche Google.

Il mesure quantitativement la popularité d'une page web. Le PageRank n'est qu'un indicateur parmi d'autres dans l'algorithme qui permet de classer les pages du Web dans les résultats de recherche de Google.

Ce système a été inventé par Larry Page, cofondateur de Google.

On en examine une illustration sur un nombre faible de pages

On considère 4 pages notées

et

.

Les flèches indiquent les hyperliens menant d'une page à une autre.

On choisit une page au hasard , pour chaque page sur laquelle on arrive, on choisit une page au hasard etc ...
Question 1 :
Écrire une fonction Python nommée choix et de paramètre PagePrec qui choisit la page suivante au hasard sur les pages disponibles.
En chargeant le module random l'appel à

random.choice(L)
choisit au hasard un des éléments de la liste

.
Question 2 :
Écrire une deuxième fonction Python de paramètres

et

qui, partant de la page

effectue

clics et renvoie le numéro de la page d'arrivée.
Question 3 :
Écrire une fonction Python TestPages , de paramètre le nombre de clics, qui choisit au hasard la première page et qui renvoie la liste du nombre de visites pour chaque page.
random.randint(a , b) donne un entier choisi au hasard entre l'entier

et l'entier

.
Question 4 :
Définir une fonction Maximum de paramètre une liste

et qui renvoie la liste [indice,valeur], où valeur est la valeur maximale de la liste

et indice , le premier indice pour lequel on rencontre ce maximum.
La vérifier avec
Question 5 :
Écrire une fonction qui permette de tester la meilleure page pour un nombre de clics élevé :
Pour les 4 pages initiales possibles, on effectue nbClics et déterminer la page la plus visitée et le nombre de visites.
On pourra la tester pour 1000 clics.

Correction exercice 1 du sujet de bac sur la chaîne de Markov
Question 1 :
L'énoncé donne :
L'assurance payée annuellement l'est encore l'année suivante avec la probabilité

et payée mensuellement avec la probabilité

.
L'assurance payée mensuellement l'est encore l'année suivante avec la probabilité

et payée annuellement avec la probabilité

.
ce qui donne le graphe probabiliste pour les deux états

et

:
Question 2 :
Si

(resp.

) est l'événement le client paye en une seule fois (resp. mensuellement) pour l'année

)
l'énoncé donne pour tout entier

,

,

.
Question 3 :
On rappelle la démonstration :
Par la formule des probabilités totales,

ce qui se traduit par

avec

et

et en arrondissant les résultats au millième,

.

La probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 est égale à

.
Question 4 :
On détermine

et

tels que

ssi

Comme on veut que

, on doit avoir

ssi

La distribution invariante est donnée par

.

On peut donc estimer que pour

grand, la probabilité de payer annuellement sera proche de

et celle de payer mensuellement sera proche de

.

Correction exercice 2 de la chaîne de Markov
Question 1 :
L'énoncé donne
S'il est dans

(resp.

), il y reste avec la probabilité

et il passe dans

avec la probabilité

.
S'il est dans

, il y reste avec la probabilité

et il passe dans

(resp.

) avec la probabilité

Ce qui donne le graphe de probabilité à trois états

,

et

:
Question 2 :
On traduit les données de l'énoncé par :

Question 3 :
On fixe

est un système complet d'événements.
Par la formule des probabilités totales,

.

soit pour tout

,

.
Question 4 :
On cherche

tel que

et

étant positifs ou nuls et de somme égale à 1.
Comme tous les éléments de

sont strictement positifs, on sait que

existe et est unique.

ssi

ssi

ssi

ssi

ssi

car alors

On a obtenu

.
La somme des éléments est égale à

ssi

donc

.
Question 5 :
a)

est une suite géométrique de raison

.

b) Par propriété des suites géométriques, pour tout

.
sachant que

et

, alors

soit

.

Correction exercice 3 de terminale sur la chaîne de Markov
Question 1 :
On numérote les pages de

à

.
Si l'on est sur la page

, on choisit une page parmi

.
Si l'on est sur la page

, on choisit une page parmi

.
Si l'on est sur la page

(resp 3), on passe sur la page 0 (resp. 1).

def choix(PagePrec):

if PagePrec == 0:

R = random.choice ([1, 2, 3])

elif PagePrec == 1:

elif PagePrec == 2:

R = random.choice([0, 3])

return R
Question 2 :
def Partant(k,n):

for i in range(n):

page = choix(page)

return page
Question 3 :
On définit une liste

formée de

zéros.
Quand on arrive sur une page, il suffit d'augmenter L[page ] d'une unité pour marquer qu'elle a été visitée une fois de plus.

def TestPages (nbClics):

L = [0 for k in range(4)]

Page = random.randint(0,3)

for essai in range(nbClics):

Page = choix(Page)

L[Page]= L[Page]+ 1

return (L)

TestPages(1000)
[377, 303, 136, 185]
Question 4 :
def Maximum(L):

maxi = L[0]

for i in range(1, n):

maxi = L[i]

return [indice,maxi]

explication : on détermine le nombre d'éléments de la liste.
On initialise maxi par L[0] et indice par 0.
Puis on décrit la liste, en modifiant les variables maxi et indice lorsque l'on obtient une valeur

strictement supérieure au maxi provisoire.

Maximum([4,3,2,1,7,6,7,3])
[4, 7]
Question 5 :
def TestMeilleurePage (nbClics):

L = [0 for k in range(4)]

for k in range (4):

Lk = [0 for i in range(4)]

for essai in range(nbClics):

Page = choix(Page)

Lk[Page]= Lk[Page] + 1

L[k] = Maximum(Lk)

return (L)

TestMeilleurePage(1000)
[[0, 378], [0, 378], [0, 373], [0, 368]]

La page la plus visitée est la page

donc nommée

, indépendamment de la page de départ.

Pour vous préparer à l'examen du bac, retrouvez des définitions, des exemples, conseils et méthodes sur les autres chapitres du programme de l'option maths expertes.

Retrouvez ici les chapitres à connaître en spé maths expertes :

# data[].attributes.attachment_link.title
Chaîne de Markov exercices et corrigés en Terminale Générale

# data[].attributes.attachment_link.description
Chaines de Markov en terminale : s'entraîner grâce à des exercices corrigés gratuits sur le programme de maths expertes en terminale

# data[].attributes.attachment_link.description
Publishing platform for digital magazines, interactive publications and online catalogs. Convert documents to beautiful publications and share them worldwide. Title: Mathématiques Expertes - Tle, Author: Lelivrescolaire.fr Éditions, Length: 264 pages, Published: 2020-03-16

# data[].attributes.body
Corrigés (ex 50 à 107 pour la forme trigonométrique et exponentielle)

# data[].attributes.attachment_link.title
Livre du professeur - Chapitre 4 - PGCD et applications