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P.A - PROGRESSÃO ARITMÉTICA AULA 01 \Prof. Gis/ Termos e Razão de uma PA

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SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS - SEQUÊNCIA RECURSIVA E NÃO RECURSIVA | MATEMÁTICA BÁSICA \Prof. Gis/

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Fórmulas P.A e P.G.

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A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da…

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Progressão geométrica éuma que possui uma razão fixa q e, a partir do primeiro termo, os termos são cálculos pela razão q vezes o seu antecessor. Uma progressão geométrica pode ser crescente, quando sua razão for maior que um; decrescente, quando a razão for um número entre zero e um; constante, quando a razão for exatamente um; e oscilante, quando a razão for menor que zero.

Essa sequência pode ser finita, quando há limitação de termos na sequência, ou infinita, caso ocorra exatamente o contrário. A equação do termo geral de uma progressão geométrica e a soma de todos os seus termos são calculadas a partir de fórmulas específicas, que dependem do primeiro termo e da razão.

O que é uma progressão geométrica?

Progressão geométrica (PG) é umaquência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor.

Exemplo:

- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.

A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).

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A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa sempre será igual a q.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32)

Logo, essa PGpossui razão q = 2.

Na imagem, os grãos de arroz representam uma PG.

Propriedades da PG

→ 1ª propriedade

Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propriedades. A primeira delas é que o de termos equidistantes do extremo é sempre igual.

Exemplo:

2∙ 2048= 4096

8∙512 = 4096

32 ∙128 = 4096

Quando a PG possui uma quantidade de termos, há um termo central. Esse termo ao quadrado também é igual ao produto dos termos equidistantes.
Exemplo:
1∙ 64 = 64

2∙32 = 64

4∙16 = 64

8∙8 = 64

→ 2ª propriedade

O termo central da PG é também a sua

Classificação de uma PG

Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.

Crescente: Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < ... < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, ...), q = 5, logo a PG é crescente.

Constante: Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante.

Decrescente: Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 > ... > an. Uma PG é decrescente se, e somente se, a razão for um número entre zero e um, ou seja, 0 > q > 1. Exemplo:

Oscilante: Para que ela seja oscilante, os termos são alternadamente negativos e positivos, o que ocorre quando a razão é negativa, ou seja, q < 0. Exemplo: (1,-4,8,-32,128...) e q = - 2, logo a PG é oscilante.

Os termos de uma PG podem ser encontrados a partir de uma fórmula que depende somente do termo inicial e da razão. A fórmula para encontrar os termos de uma PG é:

Demonstração da fórmula:

Exemplo: Encontre o 9º termo de uma PG que possui a 1 = 3 e q = 5.

Termo geral de uma PG

Quando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível simplificar a fórmula do termo de uma PG para encontrarmos o termo geral, que depende somente do valor de n que queremos encontrar. Para isso, substituímos o valor do primeiro termo e da razão na fórmula.
Exemplo:
Encontre o termo geral da PG sabendo que a ₁ = 81 e q = 1/3.

Resolução:

Note que agora, dado o valor de n, é possível encontrar qualquer termo dessa sequência.

Soma dos termos de uma PG

Somar os termos de uma PG seria uma tarefa bastante trabalhosa se a quantidade dos termos fosse muito grande. Para somas pequenas, a escrita desses termos e a realização da soma bastariam. Porém, há problemas em que o interesse é realizar a soma dos n termos de uma PG mas a quantidade de termos a serem somados é grande. Nesses casos, devemos usar a seguinte fórmula:

Note que essa fórmula depende do valor de n, ou seja, ela só serve para uma quantidade limitada de valores, por isso dizemos que essa é a soma dos termos de uma PG finita.

Exemplo:

Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12, 24,...)?

Resolução:

Temos que a 1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q= 2).

Assim, a soma dos 10 primeiros termos será:

Um caso particular para soma dos termos da PG é quando ela é infinita e decrescente. Nesse caso, a razão q é um número entre zero e 1 (0 < q < 1). Com isso, é possível encontrar uma nova fórmula que só serve para esses casos:

Exemplo:

Calcule a soma de todos termos da sequência a seguir:

Resolução:
Veja também: Média ponderada - para que serve?
Diferença entre PA e PG

A comparação entre as progressões é muito comum, e as diferenças estão na definição de cada uma delas. Na progressão aritmética, a partir do primeiro termo, existe uma razão r que é somada ao primeiro termo para gerar o segundo termo, logo, de um termo para o outro, a diferença sempre é igual à razão. Já na progressão geométrica,a partir do primeiro termo, a razão q é multiplicada pelo primeiro termo para gerar o segundo termo, logo a divisão do termo pelo seu antecessor sempre vai ser igual à razão.

Os termos de uma progressão geométrica crescente aumentam muito mais rápido que os termos de uma progressão aritmética. Isso pode ser visto no exemplo a seguir, em que as progressões possuem mesma razão e mesmo valor inicial, mas uma é geométrica e a outra é aritmética.

Progressão aritmética de termo a ₁ = 1 e q = 2:

A sequência será (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 ...).

Progressão geométrica de termo a ₁ =1 e q = 2:

A sequência será (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...).

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica em relação ao tempo de espera anterior a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera.

O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a:

a) 300

b) 420

c) 540

d) 660
Resolução:
e) 1020
- 1º passo:
Vamos dividir o problema em duas partes, a primeira é o tempo gasto durante a digitação da senha e a segunda é o tempo de espera.
- 2º passo:
Sabemos que, a cada tentativa, gastam-se 30 segundos, logo ela gastará 30.4 = 120 segundos por tentativa.

O tempo de espera comporta-se como uma PG de termo inicial 60 e razão 2, e queremos a soma dos três primeiros termos. Como a quantidade de termos não é muito alta, é possível calcular tanto pela escrita dos termos e a soma quanto utilizando diretamente a fórmula da soma dos termos da PG.

Encontrando os termos:

S 3 = 60 + 120 + 240 = 420.

O total T = 420 + 120 = 540 segundos.

Questão 2 - Sabendo que os números 4 e 81 são, respectivamente, o primeiro e o último termo de uma PG com uma quantidade ímpar de elementos. Seu termo central é?

a) 8

b) 2

c) 9

d) 18
Resolução:
e) 10

Sabemos que o termo central x² tem que ser igual à multiplicação das extremidades, logo:

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Progressão geométrica: como calcular, exemplos - Mundo Educação

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Reconheça uma progressão geométrica, aprenda as suas propriedades e classificação, entenda como encontrar o termo geral e como calcular a soma dos termos de uma PG.

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APRENDA PROGRESSÃO ARITMÉTICA EM 8 MINUTOS

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Uma sequência de números pode ser construída de muitas formas diferentes. É possível, por exemplo, sempre somar um (+1) a cada elemento, assim: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante. Na matemática, os padrões construídos com somas e subtrações são chamados de progressão aritmética.

No decorrer do texto você encontrará definições sobre as progressões aritméticas, conhecerá a lógica por trás dessas sequências, além de ver o desenvolvimento das fórmulas. Veja também exercícios resolvidos sobre esse assunto, que é recorrente em vários vestibulares e no Enem. Vamos lá!

O que é progressão aritmética?

A progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Como vimos anteriormente, ela possui um padrão de construção: admite-se um valor r que será subtraído ou adicionado para encontrar o próximo termo.

Para desenvolver uma dessas progressões, admite-se um primeiro elemento, chamado de a ₁, um coeficiente r e iniciam-se os cálculos, da seguinte forma:

Note que o número subscrito em a, a n, representa a posição do elemento dentro da progressão.

Se a ₁ = 2 e r=3, teremos:

P.A. = (2, 2 + 3, 2 + 3 + 3, 2 +3 +3 +3, ...)

P.A. = (2, 5, 8, 11, ...)

+ Veja mais: Aritmética: o que é, operações básicas, questões e muito mais!

Classificações da progressão aritmética

Uma progressão aritmética pode ser classificada como crescente, constante ou decrescente.

Quando o valor de r>0, a sequência numérica cresce a cada termo, por isso ela é considerada crescente;

Se r=0, todos os termos da P.A. apresentarão o mesmo valor, iguais a a₁ - essa é uma progressão aritmética constante; e

Se r<0, o padrão numérico diminui a cada elemento, já que é uma subtração que constrói a P.A.

Fórmulas da progressão aritmética

Fórmula do termo geral da P.A.

Conforme vimos no exemplo anterior, o coeficiente sempre será somado ao termo consecutivo, de maneira que:

Agora, te convido a observar o padrão nas equações acima. Veja como a posição do termo dentro da sequência se relaciona com o número que multiplica o coeficiente r, por exemplo em a = a 1 + 0.r e a= a 1 + 3 r.

Ao notar esse padrão os matemáticos conseguiram compreender como encontrar um termo qualquer de uma progressão aritmética:

A fórmula acima é conhecida como termo geral da P.A. e possui muitos usos importantes nas provas de vestibular. A partir desses raciocínios, é possível construir padrões matemáticos para alguns casos especiais, veja a seguir como resolver um exercício da Unicamp somente com manipulações dessa fórmula e conhecimentos de geometria plana.

(UNICAMP 2014)

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a:

O perímetro de um triângulo é dado pela soma entre todos os seus lados que, conforma o enunciado, se trata de uma progressão aritmética P.A. = (a, a+r, a + 2r). Para facilitar os cálculos podemos criar algumas manipulações.

Se considerarmos que a+r = x, encontra-se o seguinte padrão:

a + 2r = x + r, ou seja, P.A = (x-r, x, x+r)

Com isso, deve-se somar todos os termos da P.A e igualar ao perímetro:

x - r + x + x + r = 6
3x = 6

x = 2, a progressão agora é dada por (2-r, 2, 2+r)

Veja como a simplificação da P.A. foi importante para o desenvolvimento da questão, agora que já temos o valor de x em mãos, devemos lembrar que o triângulo é retângulo e aplicamos o teorema de pitágoras. Para isso vamos considerar que o maior lado é a hipotenusa, assim:

Para desenvolver esse cálculo, lançamos mão da propriedade distributiva da exponenciação, assim:

Agora que já encontramos o valor de r, sabemos que progressão aritmética será (2-½, 2, 2+½) = (3/2, 2, 5/2), de forma que o triângulo será:

Se a área de um triângulo retângulo é dada pela multiplicação dos catetos dividida por dois, então:

A = 1,5 m ², como aponta a alternativa C.

+ Veja também: Progressões aritméticas e geométricas: o que são, como calcular e questões

Soma dos termos de uma P.A.

Imagine uma progressão aritmética de n elementos, como você faria para encontrar a soma de todos esses valores de uma maneira fácil? Em vez de somar número por número, existe uma fórmula que sintetiza os cálculos:

n = posição do elemento final da sequência

a n = elemento final da sequência

S n= soma de todos os elementos da P.A.

Veja um exemplo de exercício do Enem que utiliza os conhecimentos abordados até aqui:

(Enem - 2013)

As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021, será de:

O primeiro passo da resolução é observar qual padrão numérico está sendo utilizado nos valores do projeto de produção na tabela. Podemos observar que:

51,5 - 50,25 = 1,25

52,75 - 51,5 = 1,25

54 - 52,75 = 1,25

Assim, a cada ano, o projeto de produção é acrescido em 1,25t. Como falamos de uma sequência numérica que se inicia com 50,25, com padrão de soma, admitimos que trata-se de uma P.A., em que a ₁=50,25, a ₂=51,5, a ₃=52,75 e assim por diante.

Para encontrar a soma das toneladas a serem produzidas entre 2012 e 2021, admitimos que 2021 é o a ₁₀ da progressão aritmética. A partir disso, utiliza-se a fórmula de soma dos n termos de uma P.A.

Com a fórmula dos termos gerais da progressão aritmética, teremos que:

r = 1,25

a ₁₀ = 61,5, então:

S ₁₀ = 558,75, conforme a alternativa D.

Propriedades da P.A.

A soma dos termos que estão à mesma distância dos extremos é igual a soma dos extremos, assim:

Em três termos consecutivos da P.A, a média aritmética dos dois da ponta é igual ao do meio.

Quando o número de termos n da P.A. é ímpar, o termo que fica no meio é igual a média aritmética dos elementos extremos.

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Veja também:

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Progressão aritmética: o que é, fórmulas, usos e exemplos

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Conheça as fórmulas da progressão aritmética, exemplos, usos e importâncias. Veja também resoluções de exercícios sobre o tema!