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compte rendu du forum des enseignants innovants 2023

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compte rendu du forum des enseignants innovants 2023

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Pour une approche esthétique des mathématiques : Sarah Leleu-Maati au #FEI12

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Pour une approche esthétique des mathématiques : Sarah Leleu-Maati au #FEI12 https://t.co/kJINJm4vVA

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Pour une approche esthétique des mathématiques : Sarah Leleu-Maati au #FEI12 pic.twitter.com/kJINJm4vVA
— Café pédagogique (@cafepedagogique) December 9, 2023

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Pour une approche esthétique des mathématiques : Sarah Leleu-Maati au #FEI12

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Les 8-9 décembre 2023 se déroule à Poitiers un grand événement éducatif : le 12ème Forum des enseignantes et enseignants innovants organisé par le Café pédagogique et ses partenaires. En 2023, alors même que le mot " innovation " est volontiers repris et instrumentalisé par l'institution, à quoi sert encore un tel événement ? Autrement dit, pourquoi faire Forum ? Un tour d'horizon des projets présentés éclaire les préoccupations et aspirations des collègues qui y participent : le projet, urgent, de faire Ecole ensemble. Ensemble pour changer l'École ?
Si les enseignantes et enseignants innovants éprouvent le besoin de se retrouver, c'est peut-être parce que l'Ecole s'est perdue. Car ce qui prévaut depuis plusieurs années, c'est bel et bien une logique de libéralisme autoritaire. S'y expriment " en même temps " les slogans d'une " start up nation éducative " qui se voudrait disruptive et des obsessions fort rétrogrades : évolutionnite, caporalisme exercé jusque sur les manuels, remise en cause du collège unique, célébration des groupes de niveaux, de la dictée ou de l'uniforme... Le Forum est peut-être aussi à sa façon, à l'heure des réseaux et des archipels, une protestation contre la verticalité d'une certaine forme de gouvernance et d'une certaine conception de la transmission.

Si les enseignantes et enseignants innovants éprouvent le besoin de se retrouver, c'est peut-être alors pour réaffirmer collectivement leurs valeurs et leurs espoirs. Les projets présentés sont en effet souvent édifiants. A rebours d'une Ecole qui favorise l'individualisme et l'isolement, on y travaille à des partenariats, des coopérations, des décloisonnements. A rebours d'une Ecole qui finit par sentir le renfermé à force de se replier sur la transmission des " fondamentaux ", on y franchit les murs des classes, des disciplines ou des niveaux, on l'ouvre à l'apprentissage de la citoyenneté jusque dans la vie de l'établissement. A rebours d'une Ecole qui préfère formater plutôt que former ses professeur·es, les collègues s'y affirment non comme exécutants mais comme artisans, ingénieurs, artistes, penseurs de la pédagogie, comme libres, conscients, engagés. Bref, à rebours d'une Ecole de la ségrégation, celle qui sépare les enseignant·es et qui trie les élèves, les enseignantes et enseignants innovants vont faire Forum pour remettre au cœur du système le sens du collectif.

En voici quelques exemples dans un panorama non exhaustif.
Ensemble dans la classe
Plus qu'un projet, c'est avant tout une façon différente d'enseigner que Rachidath Soulé, professeure des écoles au Lycée International Jean Mermoz à Abidjan, en Côte d'Ivoire, est venue partager au Forum. Partie du constat qu'il y avait urgence à mieux impliquer tous les élèves dans leurs apprentissages, elle s'est " orientée vers la mise en place progressive d'une façon d'enseigner active " peu habituelle dans sa " communauté locale ", basée sur la participation " d'élèves acteurs " et la coopération entre pairs. Marielle Tagbe, professeure de philosophie elle aussi au Lycée international Jean Mermoz d'Abidjan, co-anime avec ses élèves de lycée des " Ateliers Philo en maternelle et en élémentaire ". Cette démarche de co-réflexion cherche à amener " les plus jeunes à conscientiser, verbaliser et partager des questions métaphysiques qu'ils se posent déjà contrairement à certaines idées reçues. ".

Le projet de pédagogie alternative et active " La classe autonome en lycée professionnel : un engagement collectif ! " est porté par Magali Rambert-Bugeia et Sarah Magnes enseignantes en lettres/histoire-géographie et lettres/anglais à Aurillac, au LEGTA Pompidou. Inspiré des méthodes Montessori et Freinet, il se propose d'améliorer les apprentissages, la réussite et l'autonomie des apprenants, tout en favorisant le développement de leurs compétences psycho sociales. Coopération et collaboration y sont centrales et les enseignant·es, en retrait le plus souvent, peuvent ainsi dégager du temps pour un accompagnement individualisé. Professeur de physique-chimie au Collège Château Double à Aix-en-Provence, Romain Bourdel-Chapuzot veut " intégrer les neurosciences à son dispositif de classe inversée " en travaillant en particulier sur la mémorisation, l'attention et la métacognition. Au Québec, au Centre de Service Scolaire à Laval, Narjiss Aoukach, professeur de langues, déploie le projet " ICR éducatif " : les tablettes numériques sont utilisées pour " créer une expérience d'apprentissage immersive, interactive et collaborative ", en exploitant " la flexibilité de la classe inversée et la dynamique des réseaux-sociaux ". Avec les collectifs " Team Ludens " et " S'cape ", Mathilde Pérain, professeure d'histoire-géographie au collège Calypso à Montreuil Bellay, en Maine-et-Loire, cherche à faire du jeu un outil d'apprentissage pour " développer des compétences transversales (coopération, persévérance, analyse). "
Ensemble dans l'établissement
Béatrice Poignonec professeure à l'école Leclerc à Croissy-sur-Seine présente un projet d'amélioration du climat scolaire, dans le cadre de la démarche " Bâtisseurs de Possibles ". Cette année les élèves ont choisi de se mobiliser sur les questions de violence en créant le " B.A.R à Bonheur " : B comme Bonheur, A comme Amitié, R comme Réparation. Véritables porteurs du projet ils et elles organisent sur les temps de récréation du matin et de l'après-midi, des ateliers divers, proposent des conférences, des débats ... Et en gagnant en autonomie, développent l'estime de soi, apprennent à mieux connaître l'autre. Aurélie Houssaye, professeure de maternelle à l'école des Hirondelles à Feigneux, dans l'Oise, porte un projet de classe ouverte basé sur la mutualisation des moyens, et des espaces, dans une école de deux classes. Le projet repose sur la collaboration et la coopération entre pairs, adultes (enseignant·es et ATSEM) et enfants (43 élèves de la petite à la grande section). Il permet de co-construire et mettre en place des savoirs et savoir-faire " en bénéficiant de regards multiples en permanence ".

Emeline Porthe, professeure de Lettres au collège Victor Hugo à Cachan, insatisfaite du déroulement traditionnel des conseils de classe, a mis en place dans son établissement des bilans trimestriels différents dont l'objectif est de rendre les élèves davantage acteurs et actrices de leur scolarité. Une démarche de co-construction et de co-éducation nouvelle qui accorde " une place effective à la parole de l'élève, interlocuteur valable " et aux parents et qui a fini par se généraliser à l'ensemble des conseils de classe de l'établissement. C'est un projet mené par l'ensemble des enseignants et enseignantes de 12 classes de seconde que Valérie Rambaud, professeure au Lycée Claude de France à Romorantin, dans le Loir et Cher, vient présenter. L'objectif en est d'aider chaque élève à " Devenir lycéen " et de développer " l'épanouissement de chacun et le mieux vivre ensemble " en organisant de nombreux ateliers dès la première semaine, puis lors de séances co-animées par les professeurs principaux et les professeurs de l'équipe pédagogique. Au Lycée Pilote International Innovant de Poitiers, Nathalie Noël présente le projet " Besoins Autonomie Suivi " : le dispositif " engage l'ensemble des élèves et des personnels dans un accompagnement personnalisé décloisonné ", " il favorise la coopération pour apprendre et vivre ensemble. "
Ensemble par-delà les murs des matières
Au collège Dupleix à Landrecies dans le Nord, un établissement " particulièrement enclavé, très éloigné de toute infrastructure culturelle ", la rencontre entre les lettres et les arts, orchestrée par Peggy Bernadat, se fait féconde et belle : les élèves sont invités à observer le monde par le prisme d'œuvres artistiques variées, à travailler avec des artistes en résidence, à produire des œuvres en vue d'une exposition, à saisir par l'écriture poétique leur interprétation sensible et personnelle de ces créations. Dans l'académie de Dijon, au collège les Allières à Saint-Pierre-le-Moûtier, David Plumel, professeur de technologie, et Laurent Berthier, professeur d'arts plastiques, ont choisi de réunir leurs disciplines et leurs forces. " Notre stratégie pédagogique, expliquent-ils, vise à abattre les frontières disciplinaires et à offrir aux élèves des expériences d'apprentissage enrichissantes, où l'art et la technologie se rejoignent de manière créative. ". Guillaume Pénisson, professeur de philosophie au Lycée pilote innovant international (LP2I), à Jaunay-Marigny près de Poitiers, a réalisé avec le collectif d'artistes ACTE en résidence dans son établissement le parcours " Pensées magiques : art, science et philosophie ". Au travers de rencontres avec deux artistes plasticiens, et de leur approche esthétique personnelle de leurs œuvres, les élèves sont invités à partager, dans des discussions entre pairs, leurs questionnements et à interroger diverses notions philosophiques. Enseignante à l'école Albert Camus d'Epinay-sur- Orge, Sarah Leleu Maati promeut une approche esthétique et interdisciplinaire des mathématiques à travers des ateliers réguliers de manipulations géométriques

Sandrine Combret, enseignante de lettres et philosophie au LEGTA de Pixérécourt à Malzéville en Meurthe et Moselle, vient présenter un jeu qu'elle a développé avec sa collègue Emilie Marchal, enseignante de Physique-Chimie, " À la recherche de la pierre philosophale... de l'alchimie à la chimie ! ". Inspiré des personnages d'Harry Potter, il se donne pour objectif de comprendre ce que " la chimie doit à l'alchimie ou pas " en empêchant " des Moldus de recréer la pierre philosophale ". Pour y parvenir, il faudra à la fois lire, utiliser une application, résoudre des énigmes, réaliser des expériences et des protocoles de TP ... et décloisonner les disciplines ! Hassan Miguil enseigne au lycée d'Etat de Djibouti et présente un projet impliquant trois enseignants et trois disciplines, philosophie, histoire et physique pour une leçon croisée sur le scientifique Newton. L'objectif est de stimuler " la coopération entre les pairs " et de lutter contre la tendance actuelle au cloisonnement des savoirs.
Ensemble par-delà les murs de la classe
Au collège Gérard de Nerval à Vitré dans l'académie de Rennes, Ludivine Massé déploie " La Fabrik' GDN " : dans ce FabLab au cœur du collège, les élèves du Dispositif, formés aux logiciels et aux machines, assurent l'accueil et forment enseignant.es et élèves souhaitant réaliser des projets pour le collège. Au collège Samuel de Missy à La Rochelle, raconte Christophe Mousset, le groupe de discussion " Bla-bla-bla " correspond à un temps d'expression libre où les élèves volontaires issus de classes et de niveaux différents se retrouvent une fois par semaine au CDI, sur la pause méridienne, accompagnés d'un ou deux adultes (un professeur documentaliste et un CPE). Enseignante de français en collège à Louviers, Manon Fouques présente au forum le projet " Fraternisons , interdisciplinaire, interclasse, interniveau : les 6èmes et les 3èmes interagissent et coopèrent dans un escape game commun, des sorties pédagogiques, l'écriture collaborative de poèmes ou encore la construction d'un " Trivial Poursuite " ... Professeure de lettres au collège les Frontailles à Saint-Pierre-d'Albigny en Savoie, Stéphanie Lokoli favorise un cheminement réflexif dans la pratique de l'oral en orchestrant notamment des interactions entre différents niveaux et générations d'élèves.

" Une Intelligence Artificielle dans mon Atelier " ? En 2022-2023, raconte Laetitia Allegrini, PLP à l'EREA de Haute-Provence à Bevons, les élèves de CAP ont créé un chatbot pour des élèves d'une section service en Hôtellerie qui souhaitait un outil à intégrer dans leur caisse enregistreuse afin de préparer les boissons : l'expérience s'est avérée si féconde qu'elle est réitérée cette année avec l'atelier métallerie... Des podcasts sonores poétiques, en l'occurrence des haïkus autour du printemps, voilà ce qu' Isabelle Kesler, professeure documentaliste au collège Théophraste Renaudot à Saint-Benoît dans la Vienne, fait créer par ses élèves Ulis : elle utilise en particulier les outils d'enregistrement et de mixage de La Digitale, un arbre à haïkus sonores vient rendre accessibles ces créations à tous les élèves du collège.
Ensemble par-delà les murs de l'Ecole
Jusqu'au début des jeux olympiques Aurélie Malassenet, professeure dans l'Indre à l'école primaire d'application Arago à Châteauroux, qui accueillera certaines épreuves des J.O, et ses élèves chouchoutent la mascotte Phryge. " Chaque soir, un·e élève part avec un tot-bag contentant Phryge et des feuilles sur lesquelles celle-ci va raconter à quoi elle occupe son temps en dehors de la classe. Le lendemain les textes sont saisis, en classe, dans le cahier multimédia, accompagnés de photos prises par les parents qui illustrent aussi l'album de la classe. Tout en développant des compétences variées, le projet renforce le lien entre l'école et les familles, et donne du sens aux échanges dans la classe entre les élèves. ". Céline Maaz enseigne le français en collège dans le Groupe scolaire Jacques Majorelle à Marrakech au Maroc. Elle a créé une classe virtuelle Bitmoji à la rentrée scolaire 2020-2021, car les cours reprenaient de façon hybride, afin " d'accompagner et motiver tous les élèves ". A la demande de ceux-ci, elle a poursuivi depuis l'expérience, instaurant de plus un rituel " d'assistant du professeur " et de " petit crack en culture générale " qui permet d'améliorer l'estime de soi et la motivation.

Catherine Jacquot et l'équipe d'enseignantes d'Education Socio-culturelle du LEGTA de Pixérécourt à Malzéville en Meurthe et Moselle font venir l'art à la rencontre des élèves, et du personnel de leur établissement, en utilisant des œuvres d'artistes contemporains régionaux prêtées par l'Artothèque 379. Le projet permet de " désacraliser les œuvres et l'art " et d'y donner accès à des publics qui en sont parfois éloignés. Afin de favoriser cette découverte, certains élèves se sont même portés volontaires pour être formés à la médiation. Christophe Blanc vient faire le point sur le développement du projet " Enfants conférenciers ", un dispositif d'éducation et de médiation culturelle qui, de la Petite Section de maternelle au Master, touche désormais 4 000 élèves, 17 musées partenaires, 170 enseignant·es. Jérémie Fontanieu, professeur de sciences économiques et sociales, enseigne au lycée Eugène Delacroix à Drancy. Avec son collègue de mathématiques, David Benoit, il a élaboré la méthode de " réconciliations ", " sorte d'alliance " avec les familles, dont l'objectif est de lutter contre le " sentiment d'impuissance " ressenti à l'école en particulier par les enseignant·es. En collaborant avec les familles, il est possible de lutter contre les " violences du métier ". Au collège Le Colombier de Dun-sur-Auron et au lycée Pierre Emile Martin à Bourges, dans le cadre d'une liaison collège/lycée, Frédéric Delanoue, professeur d'enseignement technologique et NSI, a conduit ses élèves à développer une IA de rééducation post-AVC : ils vont présenter leur travail jusqu'au prochain concours Lépine 2024 !
Ensemble dans la Cité
Au lycée de l'Iroise à Brest, Chantal Philippe, professeuse-documentaliste, anime un groupe Mixité dont l'objectif est de promouvoir l'égalité entre les filles et les garçons : puisque " pour changer le monde, il faut changer les mots pour le dire ", l'équipe a travaillé à réécrire le règlement intérieur en langue égalitaire ! Lydie El Halougi enseigne les maths au collège Eugène Delacroix à Roissy en Brie : le projet " Les Calculottées " veut légitimer les filles en sciences : après l'étude en français des " Culottées " de Pénélope Bagieu, les élèves rencontrent des intervenant·es, effectuent des recherches sur des femmes de sciences pour s'y identifier, réalisent en groupes des planches de bandes dessinées sur leurs " Calculottées ".

Peut-on enseigner dès l'école la citoyenneté numérique ? Christophe Gilger, ERUN dans l'académie de Grenoble, présente un projet qu'il a imaginé et conçu avec Sébastien Galavielle, PEMF, actuellement mis en œuvre dans des classes de cycle 3 de la circonscription de St Gervais / Pays du Mont-Blanc en Haute Savoie : il s'agit de travailler sur les pratiques numériques selon une démarche préventive et positive afin que les élèves deviennent de " bons posteurs ". Le projet " Enseigner avec l'IA " de Claire Doz, professeure de français Lycée Paul Valery à Paris, montre comment les outils de l'Intelligence Artificielle peuvent aider les élèves à s'approprier des œuvres littéraires. Elle engage ses élèves dans des activités de recherche, d'écriture, d'interaction, de réflexion critique qui les amène à la réalisation d'autoportraits vidéos d'Arthur Rimbaud.

Au collège REP Nicolas Boileau à Chennevières-sur-Marne, Maxime Scotti veut engager les élèves dans l'édition d'un ouvrage, " Le sport expliqué par les enfants pour les enfants ", autour des Jeux Olympiques de 2024 : " Les élèves de collège engagés dans ce projet, explique-t-il, sont issus d'un quartier politique de la ville (QPV). Ce sont de jeunes adolescents ayant des difficultés à se projeter au-delà des limites de leur quartier. Ces élèves dont la culture est éloignée de celle de l'école, dans leur rapport aux savoirs à la règle et aux autres, ont un rapport utilitaire aux choses et ont besoin de sens pour construire ce que l'école leur transmet. Dans un quartier isolé qui tend à s'enfermer sur lui-même, il est nécessaire de les ouvrir au monde et aux autres pour qu'ils prennent part à une société propice au vivre ensemble. " Au lycée français international André Malraux à Rabat au Maroc, Stéphane Bouron, Nawsal Tida, et Stéphane Rouchouse, collègues de CM1, utilisent la Transat Jacques Vabre, pour permettre à leurs élèves de " cheminer avec les navigatrices et les navigateurs au gré des océans ", de développer de multiples compétences pluridisciplinaires et de se confronter aux " grands défis environnementaux engendrés par le réchauffement climatique ou El Nino ". WebTV et Webradio sont aussi mobilisées afin de leur permettre de tisser des liens avec d'autres écoles et des skippers. Au Collège Lycée Montaigne à Paris, Jean-François Malavielle porte un projet interdisciplinaire et écologique qui s'est peu à peu étendu à 5 établissements de 4 pays européens différents. Après avoir développé une " plateforme d'échanges de savoirs autour de la co-construction d'un atlas du monde ", les élèves et leurs enseignants proposent des " Jeux Coopératifs " dont celui de " La Battle Tran'Sport " challenge éco-mobilité qui aura lieu en mai 2024.
Ensemble pour faire Forum
Le 12 ème Forum des enseignants et enseignantes innovants accueille à Poitiers les 8 et 9 décembre 2023 plusieurs dizaines de collègues qui viennent partager leurs projets, échanger, butiner, se revigorer. Au programme : une conférence de Philippe Meirieu, grand spécialiste des sciences de l'éducation et de la pédagogie, ainsi que deux tables rondes, la première organisée par la Ligue de l'enseignement et le mouvement Ceméa, sur les alliances éducatives et la contribution des mouvements d'éducation populaire à la réussite des élèves, la seconde autour de la question des relations entre le sport, les habitudes de vie et la santé. L'événement est organisé par le Café pédagogique avec le partenariat de la Ligue de l'Enseignement, les Ceméa, la Mission Laïque Française, la ville de Poitiers, la MGEN, avec le soutien du ministère de l'Éducation Nationale, avec la collaboration d'associations professionnelles (AFEF, APSES, APHG, AGEEM, APLV, ASSETEC, FNAREN, Scollectif, UDPPC).

Faire Forum pour faire Ecole ensemble ? Que la fête commence !
Claire Berest et Jean-Michel Le Baut

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Douzième Forum des Enseignantes et Enseignants Innovants : Ensemble !

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Les 8-9 décembre 2023 se déroule à Poitiers un grand événement éducatif : le 12ème Forum des enseignantes et enseignants innovants organisé par le Café pédagogique et ses partenaires. En 2023, alors même que le mot " innovation " est volontiers repris et instrumentalisé par l'institution, à quoi sert encore un tel événement ?

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ressources artistiques pour la géométrie

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ressources artistiques pour la géométrie

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1. D'après Eduscol et le Bulletin officiel №30 du 26/07/2018 Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d'un langage spécifique à utiliser en situation [...] permettant de nommer davantage d'objets géométriques, de décrire les figures avec plus de précision et de produire des raisonnements argumentés pour établir la nature d'une figure donnée.
La géométrie, à travers les travaux de construction ou les problèmes de recherche, favorise l'implication dans le travail commun, l'entraide et la coopération. Pour effectuer des constructions ou pour argumenter, les élèves doivent anticiper, planifier des tâches, gérer les étapes.

La géométrie participe notamment au développement de la rigueur intellectuelle, de l'habileté manuelle, de l'aptitude à démontrer et à argumenter.

Les élèves travaillent avec des patrons de prismes droits ou de pyramides, qu'ils savent associer aux solides ou aux représentations de solides qu'ils permettent de construire.

La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l'assimilation des différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.) et à la connaissance et reconnaissance des figures simples usuelles (triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère, etc.).
Des travaux de constructions de solides sont proposés à partir de patrons construits ou complétés par les élèves dans le cas de cubes ou de pavés droits, ou fournis par l'enseignant dans le cas de prismes ou de pyramides.

On peut également se référer aux repères annuels de progression au cycle 3 : nous verrons par la suite que les objectifs déterminés pour le CM2, et plus largement pour le cycle 3, ont été, au cours de cette séquence, nettement dépassés.
2. État des lieux à la fin de l'école élémentaire et au collège
Depuis plusieurs années, les évaluations nationales d'entrée en sixième, ainsi que les remontées des professeurs du collège de notre secteur, font état d'importantes difficultés des élèves en géométrie : une maîtrise approximative du vocabulaire spécifique, une méconnaissance des notions et des codages, un tracé maladroit et imprécis, un manque de rigueur en général.

Mais inutile d'attendre jusque là pour constater l'étendue du désastre. Dès l'entrée en CM2, et ce, chaque année, on peut déjà constater un retard sur l'acquisition des compétences censées avoir été travaillées auparavant : une très mauvaise maîtrise du vocabulaire de base, des difficultés psychomotrices dans la manipulation des outils (même de la règle), une grande fragilité des concepts déjà entrevus, une méconnaissance des propriétés et des techniques de construction, et globalement, un manque de rigueur et de précision, sans compter les blocages déjà parfois bien installés liés à l'activité mathématique et à la perception que les élèves ont d'eux-mêmes face à l'exercice. Autant dire que chaque début d'année en CM2, il semble qu'il faille tout reprendre à zéro, de la définition de la droite au tracé à la règle, ne serait-ce que pour souligner la date...

Comment expliquer que, malgré le travail sans aucun doute accompli par les collègues année après année, il ne reste de toutes les notions abordées, de tous les exercices faits et corrigés, de tous les discours tenus et de toutes les leçons apprises, que des bribes imprécises, des conceptions partielles voire erronées, des tracés brouillons ? Réunions d'équipes, constats d'échec et répartition de programmes en tous genres n'y changent rien. Les élèves se succèdent et la situation demeure.
3. Le rapport Villani Torossian
Le rapport Villani Torossian donne quelques explications, quelques pistes sur ce qu'il y aurait à corriger dans notre manière d'aborder la géométrie, et les mathématiques en général.
Les professeurs doivent davantage tenir compte du rôle de l'affectivité dans les apprentissages.
Mais combien de jeunes professeurs ont-ils entendu lors de leur formation qu'ils n'étaient pas là pour " aimer les élèves " ou pour " faire " de l'affectif ? Il est pourtant évident que nos élèves sont d'abord des enfants, ils ne cessent pas de l'être en passant la porte de la classe, pas plus que nous, nous ne cessons d'être ce que nous sommes. Ils ont besoin de se sentir en sécurité affective : avoir le droit de ne pas comprendre, de se tromper, pour se permettre d'essayer ; avoir le droit de se sentir rassuré dans ses échecs, soutenu, puis valorisé dans ses réussites, pour se permettre d'y arriver.
L'affectivité, c'est aussi l'aptitude à être touché par ce que les sens peuvent capter : les formes, les couleurs, et plus largement, ce qui peut sembler beau. Quelle place, dans la formation mathématique des enfants ou des professeurs, pour l'esthétique, pour la sensibilité, pour le plaisir ?
Le temps est un facteur clé dans les apprentissages mathématiques : l'élève doit avoir le temps d'essayer, d'éventuellement se tromper, d'analyser son erreur, d'essayer à nouveau.
Le temps ? Nous en manquons tous dans nos classes, avec des programmes chargés, des quotas horaires inappropriés aux contenus toujours plus denses qu'on nous demande d'aborder. L'histoire des arts par exemple, au programme, n'est pas prévue dans les volumes horaires dédiés aux enseignements. Il faut faire preuve d'inventivité pour faire de l'interdisciplinarité, et ajouter ce contenu par ailleurs si essentiel, à tous ceux déjà prévus. Alors, où trouver le temps d'essayer, de se tromper, d'analyser, de manipuler autant que nécessaire quand l'emploi du temps se déroule inexorablement vers la dernière sonnerie du vendredi, quand le calendrier poursuit sa course invariable vers les prochaines vacances et la classe supérieure ?
Pour avoir évoqué le problème en réunion d'équipe, la nécessité de prendre le temps de manipuler pour ancrer les notions dans le savoir-faire, l'argument du manque de temps est celui qui revient le plus souvent. Et d'ailleurs, on en a encore moins en CM2 que dans les petites classes, là où l'on doit s'assurer que les apprentissages de l'élémentaire ont été acquis, et où l'on doit préparer les élèves au passage en sixième.
Le plaisir et le désir sont des moteurs fondamentaux des apprentissages. Mais, sans effort, il n'y a pas non plus de progrès. Il faut développer le sens de l'effort chez l'élève.
Le plaisir ? Le désir ? Mais à quel moment ces mots sont-ils prononcés au cours de la formation des enseignants ? À quel moment dans le programme de l'Education Nationale ? À quels moments s'incarnent-ils dans les apprentissages ?
Et pourtant, il n'y a pas d'autre pédagogie. Comment transmettre dans la douleur ou l'ennui ? Impossible. Au pire, on fera ingurgiter aux enfants des notions dont il ne restera que bribes et tracés brouillons...

Voilà le douloureux constat auquel nous sommes rendus : les enfants, réduits au statut d'élèves, privés d'affectivité, de plaisir et de désir, pressés par le temps du calendrier scolaire, traversent les classes en n'emportant avec eux que des lambeaux de connaissances dans le meilleur des cas, et une tenace rancœur contre le système scolaire ainsi qu'une piètre image d'eux-mêmes dans le pire des cas. Évidemment, les plus autonomes et les plus solides s'en sortiront. Mais les autres ?

Alors quoi ? Cette année, nous avons décidé de faire de la géométrie en autorisant aux enfants ce qui leur fait défaut : plaisir, désir, temps.
La trinité du bonheur à l'école.
II. Une année de géométrie en CM2 1. Une première approche multidisciplinaire : arts et géométrie
L'année de CM2 s'ouvre en général sur une évaluation diagnostique des connaissances et des compétences des élèves, qui fait apparaître les manques cités précédemment. Nous commençons par revoir le vocabulaire de base, puis une fois les mots posés sur des concepts réactivés, nous travaillons sur le premier point à aborder cette année-là : les notions de parallélisme et de perpendicularité.

Pour permettre aux élèves d'entraîner leur œil, et pour vérifier par les instruments que deux droites sont parallèles ou qu'elles sont perpendiculaires, nous proposons d'observer les tableaux de Mondrian. Ce support nous permet de lier histoire des arts et géométrie, il est esthétique, inhabituel dans une leçon de mathématiques, et il éveille la curiosité des enfants.

Suite à cette phase d'observation vient une étape présentée comme un travail d'arts plastiques - qui suscite habituellement l'enthousiasme des enfants à sa seule évocation. C'est d'ailleurs sur la plage horaire réservée à l'enseignement artistique qu'est réalisé cet exercice.
Munis de leurs instruments de géométrie, les enfants doivent à leur tour réaliser une composition à partir de droites parallèles et de droites perpendiculaires, qu'il faut colorier selon les couleurs utilisées par Mondrian.

Cette première activité interdisciplinaire fait surtout apparaître les difficultés des enfants à maîtriser leurs outils. La règle n'est pas stabilisée pendant le tracé : les droites ne sont pas droites. L'équerre est tenue dans n'importe quel sens : l'angle droit n'est pas toujours repéré ni posé à l'endroit voulu. Les enfants ont besoin de beaucoup de présence, de démonstration, de verbalisation, de modélisation. Leur regard n'est pas exercé à reconnaître l'allure des parallèles ou des perpendiculaires, et même d'importantes erreurs visibles à l'œil nu ne leur semblent pas évidentes. Quant à vérifier la justesse de leurs productions avec leurs instruments, c'est encore loin d'être un réflexe.

Certaines réalisations sont tout à fait réussies, mais la plupart restent très approximatives et " bancales ". Les enfants peuvent comparer lors de l'affichage, celles qui répondent avec rigueur à la consigne, et celles qui témoignent encore de leurs difficultés. Il ne s'agit pas de compétition, ni d'évaluation, rappelons que nous sommes en leçon d'arts plastiques... pas en géométrie. Ces tracés seront repris plus tard dans l'année, nous aurons le temps de les expérimenter de nouveau et de les améliorer.

L'image montre les réalisations des élèves à partir de Composition en rouge, jaune et bleu de Mondrian (1927). Cette séance nous a permis non seulement de percevoir la nécessité de la rigueur pour obtenir une composition harmonieuse, mais elle nous a aussi permis de constater qu'en géométrie, l'œil ne suffit pas à s'assurer de la justesse du tracé : la rigueur est de mise et des instruments sont nécessaires.

Nous terminons cette première séquence par une séance d'arts plastiques avec un travail sur Vasarely, qui nous permet de lier les séances précédentes : art, illusions d'optique, géométrie. Ces productions n'ont de géométrique que l'allure, mais n'oublions pas, de nouveau : ce sont des réalisations artistiques. Les enfants doivent comprendre la différence entre dessin et figure géométrique. L'exposition ci-dessous a été réalisée à partir de Basq (1973).

2. Rencontre avec Histoires de mathématiques et " le coach "
Notre quête continue d'autoformation nous a conduit jusqu'au site de Bernard Ycart et à ses histoires mathématiques. L'esprit correspond à l'idée d'interdisciplinarité, et répond à l'exigence d'une approche différente, avec la possibilité d'une multitude d'entrées pour une même notion. C'est ainsi qu'est née notre coopération. Bernard Ycart est vite devenu un personnage important pour les enfants : " le coach " de maths, celui qui propose les challenges, à qui on envoie les photos des productions, qui félicite à distance. Il a proposé aux élèves des défis, qui ont été à l'origine de nouvelles séquences. À commencer par une séquence autour des pavages, alors que nous nous apprêtions à aborder la notion de symétrie.
3. Histoires de pavages : Truchet et Escher
Truchet est apparu dans notre classe un vendredi matin. Chaque vendredi matin, dans notre classe, c'est dictée, en lien avec l'histoire des arts. Ce jour-là, nous présentons les pavages comme une œuvre d'art, et les enfants en conviennent : c'est bien joli à regarder. Nul besoin de parler géométrie pour le moment.

Nous observons de nombreux pavages pour faire émerger l'idée de symétrie (la notion a déjà été abordée en CM1). Nous cherchons sur les différents pavages des axes de symétrie. Suite à cette découverte, les enfants sont invités à faire comme Truchet. Le jeu consiste à constituer des figures à partir de la même petite pièce bicolore.
Spontanément, les enfants s'emparent des pavés comme s'il s'agissait d'assembler un puzzle, l'activité a tout d'un jeu, et ils commencent à réaliser des pavages, seuls, à plusieurs, le plus souvent en utilisant la notion de symétrie observée chez Truchet.

Le vendredi suivant, la dictée nous parlait d' Escher, de ses illusions d'optique, mais surtout de ses pavages, plus complexes que ceux de Truchet. Toujours en cours d'arts plastiques, nous avons manipulé les papillons, nous les avons coloriés, puis assemblés.

Sans les nommer, nous avons observé les mouvements des papillons (rotation, translation, symétrie). Les enfants ont pris conscience de l'exigence de rigueur au moment de l'assemblage pour constituer un pavage régulier. L'ensemble a commencé à être exposé dans le couloir. Les enfants étaient ravis de pouvoir admirer le résultat de leur travail. Les enfants des autres classes s'arrêtaient pour regarder, les maîtresses pour féliciter les élèves. Une petite expo virtuelle est aussi proposée aux parents sur l'ENT de la classe pour faire part du travail réalisé. Les retours des parents sont positifs.

Les enfants, à ce stade de la séquence, ont déjà pris goût au jeu, à l'exigence esthétique, au plaisir d'avoir produit quelque chose de beau, et à la fierté de se sentir valorisés.
Alors, oui, nous avons pris le temps de manipuler, les enfants ont pris du plaisir et se sont amusés, et oui, ils ont eu le désir de continuer. Il était grand temps de sortir règles, équerres et compas.
4. Les litema sud-africains : premiers tracés
La dictée suivante nous emmena en Afrique du Sud pour découvrir les litema. Après avoir observé différentes décorations de ces maisons d'Afrique du Sud, les enfants ont créé leurs propres motifs. Nous avons observé des motifs plus ou moins géométriques, souvent reproduits de manière symétrique avec des inversions de couleurs.
Nous sommes toujours en cours d'arts plastiques, les enfants sortent néanmoins leur matériel de géométrie pour réaliser le quadrillage dont les dimensions sont imposées (et hop, on réinvestit les parallèles et les perpendiculaires, en ayant une pensée pour Mondrian). II a été dit d'emblée que les travaux seraient exposés dans le couloir, les enfants s'appliquent sur leurs tracés, qui restent simples, mais justes et soignés.
5. Rosaces et pavages de triangles

La figure a été tracée pendant que les enfants travaillaient. Ils l'ont vue se construire. La curiosité des enfants ne s'est pas fait attendre : " Tu fais quoi ? " Quand la figure fut terminée, elle a été accrochée au tableau, sans autre commentaire. Rapidement, ils ont déclaré que c'était " trop beau ". Et vite, derrière, la question attendue : " Mais comment t'as fait ? Tu peux nous montrer ? " Il a fallu répondre à la demande des enfants... qui se sont sentis à l'initiative de l'activité. Une activité on ne peut plus géométrique, mais qu'ils n'ont absolument pas sentie comme telle... jusqu'à ce qu'ils aient à batailler avec leur compas.

Certains n'ont pas manqué d'émettre certaines réserves, trouvant que ça avait l'air difficile... mais ils ont gardé l'envie d'essayer. Pour la séance suivante, je leur ai demandé d'apporter leur matériel.

La manipulation du compas a demandé un peu d'entraînement mais les enfants sont tous parvenus à terminer leur figure, même les élèves les plus en difficulté, dont certains utilisaient leur compas pour la première fois. Certains se sont entraînés à faire des rosaces plus petites par la suite. L'enthousiasme pour les rosaces fut encore plus dévorant que celui des pavages. Les rosaces ont fleuri pendant plusieurs semaines en permanence sur les tables, les enfants se sont tous équipés de compas " autobloquants " qui répondaient à leur nouvelle exigence de précision. Les pavages de rosaces, au départ brouillons, souvent recommencés, sont devenus parfaits, soignés, précis, se couvrant d'une multitude de couleurs.
6. Patrons de polyèdres : du tétraèdre à l'icosaèdre
Nous sommes passés de l'observation de figures planes à la conception de solides, d'abord avec le tétraèdre. Il a fallu retrouver les faces triangulaires dans le pavage de rosaces. Nous avons décrit le solide en utilisant le vocabulaire géométrique : face, arête, sommet.

Nos premiers polyèdres sont venus étoiler le plafond de notre couloir, parce qu'à notre couloir déjà magnifique, il manquait un ciel.

Nous n'allions pas nous arrêter en si bon chemin. Après le tétraèdre, nous avons fait connaissance avec l'octaèdre, puis enfin l'icosaèdre.

7. Tracés géométriques : des litema aux figures complexes
Au printemps, nous avons commencé à nous pencher de manière plus approfondie sur d'autres types de figures géométriques. Une partie des apprentissages a dû se faire à distance, il fallait donc que les enfants fassent preuve d'une certaine autonomie. Les tracés à partir de modèles étaient particulièrement adaptés : voir Le tracé géométrique au fil des âges, par F. De Ligt. Chaque semaine, une figure à reproduire a été proposée aux enfants. Il a fallu toujours veiller à ce que cette figure semble assez difficile pour garder un côté " défi " qui maintient la motivation, et assez accessible pour être réalisable.

Au départ, les enfants avaient quelques consignes écrites, puis ils ont rapidement été assez autonomes pour analyser le modèle, anticiper les différentes étapes, et les reproduire dans leur construction.

Ces figures ont été réalisées en autonomie à distance, avec des instructions de construction.

Au retour en classe, nous avons continué à nous lancer des défis de plus en plus difficiles. Au fil des semaines et des figures, les enfants ont pris un goût certain à les relever. Ils étaient motivés par l'aspect esthétique, mais aussi par le fait de pouvoir surmonter les difficultés qui se présentaient, à mesure qu'ils gagnaient en assurance. Au départ, ce fut du " pas à pas " avec décomposition des étapes pour réussir à tracer la figure : beaucoup d'observation, de verbalisation, de modélisation. Puis au fil du temps et des progrès accomplis, l'œil et la main se sont exercés, ils sont devenus presque autonomes et ont réussi à analyser les figures, à décomposer les différentes étapes à réaliser, puis à les reproduire, sans aucune aide de ma part.
III. Évaluation et conclusion 1. Évaluation
Nous sommes donc partis d'un constat d'échec : vocabulaire approximatif, notions floues, tracés brouillons... Nous avons cherché ce qui manquait à nos élèves : temps, plaisir, désir, disions-nous. Il est évident qu'en terminant cette année scolaire, les élèves ont non seulement pris du plaisir, ils désireront sûrement retrouver de nouveau la satisfaction de l'effort, de la difficulté surmontée, et ils prendront le temps de faire, de refaire, autant qu'il le faudra pour l'obtenir. En quittant la classe et au seuil du collège, il est évident que ces élèves ont non seulement acquis les compétences du CM2, mais aussi du cycle 3, et encore davantage. En partant de constructions très guidées, les élèves ont peu à peu réussi à devenir totalement autonomes : ils sont capables d'analyser une figure, de comprendre comment elle est construite, et comment il va falloir s'y prendre, étape après étape, pour la reproduire. Les tracés maladroits ont fait place à des gestes rapides et précis.

La géométrie n'est plus un mot qui fait peur, au contraire. Le plaisir pris à soigner l'esthétique des figures, la fierté de voir ses productions valorisées, la plaisir de chercher, et la joie de réussir ont permis aux enfants d'accroître leur capacité de concentration, jusqu'à passer plusieurs heures sur leur figure le vendredi (et à en refaire d'autres à la maison en rentrant).

Seulement voilà, il faut s'accorder la dimension du temps, de l'espace aussi : il faut accepter que les enfants avancent à leur rythme (très lentement au départ), qu'ils puissent se tromper, refaire, qu'ils puissent collaborer, échanger, partager, s'entraider, se déplacer.
Une fois les exigences de rigueur intégrées, ils ont besoin de cet espace de liberté pour progresser et y prendre du plaisir... ça bouge, ça bourdonne, certes, mais ça travaille surtout.
Alors c'est vrai, il n'y a pas eu beaucoup de leçons de géométrie collées dans les cahiers, mais les enfants ont manipulé, expérimenté, ils ont acquis des savoirs et des savoir-faire : ça ne s'apprend pas dans les cahiers, mais un crayon à la main.

Finalement, la qualité des figures est là. Mais ce n'est pas le seul indicateur du succès de cette séquence. Le travail réalisé et le plaisir des enfants ont traversé les murs de l'école. Les enfants ont partagé leur enthousiasme avec leur famille, ont transmis leur savoir-faire à leurs frères et sœurs, ils ont décoré les murs de leur chambre de figures géométriques, suspendu des polyèdres au-dessus de leur lit. Le travail réalisé a pris du sens parce qu'il est entré dans leur vie.

Les retours des familles vont dans le même sens. Une enquête réalisée auprès des parents révèle que 100&percnt; des enfants ont apprécié les activités géométriques durant cette année, 80&percnt; des enfants ont poursuivi leurs activités à la maison pour le plaisir, 85&percnt; des parents trouvent que leur enfant a progressé. Les commentaires reçus sont largement positifs : " Ma fille a pris beaucoup de plaisir dans les activités, elle n'avait pas l'impression de faire des mathématiques ", " c'est super d'apprendre les mathématiques d'une façon différente et surtout ludique ", " rien de mieux pour leur faire aimer les maths ! ", " *** a aimé lier la géométrie à l'art plastique ", " *** a voulu continuer son activité sur les pavages à la maison de lui-même, ce qui est très rare ".

Resterait à confirmer les progrès des enfants par les évaluations d'entrée en sixième à venir à la rentrée prochaine.
2. Conclusion
Un de ces commentaires a de quoi interpeller : faut-il, pour avoir plaisir à une activité, " ne pas avoir l'impression de faire des mathématiques " ? D'ailleurs les enfants ont eu ce même genre de remarque concernant les longues séances de géométrie : lors des premières fois, ils étaient ravis, c'était " trop bien, on n'a pas travaillé ! ".
Quelques séances après avoir transpiré un peu sur leur compas et leur figure, ils ont bien compris que c'était un vrai travail, difficile, exigeant, que c'était bien des mathématiques. Et malgré tout, ils n'en ont pas perdu le plaisir des premières séances, c'était toujours " trop bien ", et l'enthousiasme était toujours intact quand je dévoilais la figure de la semaine au tableau. La séance de géométrie était attendue, certains l'avaient déjà devancée à la maison.
" Avoir l'impression de faire des mathématiques " ne devrait pas être un frein au plaisir des apprentissages, si on s'accordait plus souvent à l'école le droit au temps, au plaisir, au désir.
Voilà en tout cas une trentaine d'élèves, espérons-le, qui ne seront plus jamais traumatisés à l'idée de sortir une équerre ou un compas.

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Une approche esthétique de la géométrie en CM2 - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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L'article rend compte d'une expérience menée dans une classe de CM2 pendant l'année scolaire 2020-2021. L'objectif était de proposer aux élèves une (...)

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kolam, sona et dessins sur le sable: esthétique algorithmique

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kolam, sona et dessins sur le sable: esthétique algorithmique

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Voici " La corneille et la cruche " : c'est une fable d'Ésope. Enfin... d'Ésope ou d'un autre, parce qu'on n'est même pas sûr qu'Ésope ait existé. Les premières compilations de " ses " fables seraient contemporaines de Thalès. C'est vous dire si ça remonte. La version ci-dessous et l'illustration viennent d'une édition française de 1714 : la fin du règne de Louis XIV... et de Leibniz.

Une corneille, qui mourait de soif, trouva une cruche où il y avait de l'eau ; mais si peu, qu'il lui était impossible d'y atteindre. Elle essaya premièrement de rompre la cruche, et puis de la renverser, mais elle se trouva trop forte et trop pesante pour elle. Enfin elle s'avisa d'un expédient qui lui réussit ; elle jeta au fond quantité de petits cailloux qui firent monter l'eau assez haut pour qu'elle pût boire.

Du temps de cette gravure, les humains, infatués de leur supériorité imaginaire et imbus de la brillante théorie cartésienne de l'animal-machine, refusaient tout net de croire la corneille capable d'un tel exploit. Alors celle-ci, lasse d'entendre traiter son fabuliste d'affabulateur, se décida à mettre en ligne une preuve incontestable. Et comme cela lui avait valu une belle moisson de likes, elle tint à prouver qu'elle pouvait faire encore beaucoup mieux.

C'est le moment de citer la source principale de ce qui a trait à l'éthologie dans cet article : un cours de Roland Maurer à l'Université de Genève, intitulé " Cognition comparée : aux origines de l'esprit ". Ce cours est véritablement passionnant, et doit être recommandé à tout enseignant. Certes, mais que vient donc faire l'éthologie dans une revue à l'inclination aussi nettement informatique que MathemaTICE ? Ceci.
Répéter
......jeter un caillou dans la cruche
......observer le niveau de l'eau
Jusqu'à ce que le niveau atteigne le bord de la cruche
Ce sont des algorithmes que la corneille applique... à l'instar de tous les animaux dont parle Roland Maurer, humains compris.

Dans " Initier les élèves à la pensée informatique et à la programmation avec Scratch ", Pierre Tchounikine définit la " pensée informatique " comme suit :

" Savoir décomposer un problème en sous-problèmes plus simples ; savoir réfléchir aux tâches à accomplir pour résoudre un problème en termes d'étapes et d'actions (ce que l'on appelle un algorithme) ; savoir décrire les problèmes et les solutions à différents niveaux d'abstraction, ce qui permet d'identifier des similitudes entre problèmes et, par suite, de pouvoir réutiliser des éléments de solutions. "
Nous reprendrons l'idée de Tchounikine, en parlant de " pensée algorithmique ", tout en conservant à la notion de " problème à résoudre " l'acception la plus générale possible. Il ne s'agira ici pas de " pensée informatique ", dans la mesure où nous n'irons pas jusqu'à la traduction dans un langage ad hoc, que ce soit Scratch, Blocky, Run Marco, Logo ou un autre. Il vous suffit de taper le nom de votre langage favori dans la barre de recherche de votre revue non moins favorite, pour en apprendre beaucoup plus que nous n'en savons sur lui. Notre réflexion se situe à un niveau plus élémentaire. Dans la définition ci-dessus, nous distinguons deux niveaux de compétences. Le premier consiste à concevoir et exécuter un algorithme, ce que nous qualifierons de comportement algorithmique. Le second niveau consiste à verbaliser ce comportement, c'est-à-dire en décrire les étapes en langage naturel, pour en conserver la trace ou le transmettre à un tiers. Ces deux niveaux en précèdent un troisième, par lequel la description en langage naturel sera traduite dans un langage de programmation, ce qui permettra ensuite de coder et d'exécuter un programme.

L'éthologie ainsi que l'histoire des sciences, montrent que le comportement algorithmique (enchaîner des opérations destinées à atteindre un objectif particulier) est consubstantiel de la pensée humaine, de son développement, et de l'élaboration d'une tradition culturelle complexe, en particulier mathématique. Plutôt que d'en faire l'objet d'un apprentissage en soi, il convient d'exploiter pour d'autres apprentissages, la faculté qu'a tout enfant de reproduire une succession d'opérations dans une intention donnée. La verbalisation nous semble en revanche d'un tout autre niveau de complexité didactique. Nous lui consacrons l' article suivant, complémentaire de celui-ci.

Nous traitons ici de l'universalité des algorithmes, d'abord en utilisant l'apport de l'éthologie, ensuite celui de l'histoire, pour décrire enfin quelques activités algorithmiques " débranchées " réalisées par la première autrice dans sa classe de CM2.
Algorithmes dans le monde animal
L'histoire qui suit est authentique ; elle fait partie des souvenirs d'enfance du second auteur.
Mon grand-père avait un chien, un braque allemand qui s'appelait Ricaud. Ricaud avait pris l'habitude d'ouvrir à sa guise les portes de la maison, ce qui faisait enrager mon grand-père, car il ne prenait jamais la peine de les refermer, au mépris des courants d'air. Il ouvrait vers l'extérieur, ce qui n'a rien d'exceptionnel : il suffit d'appuyer sur la poignée. Il ouvrait aussi vers l'intérieur, ce qui est plus difficile pour un chien : il commençait par appuyer sur la poignée, ce qui suffisait en général à dégager la porte de son cadre. Il ne restait plus qu'à gratter le bas de la porte en tirant vers lui. Un jour mon grand-père excédé, décida de mettre en échec une bonne fois pour toutes, le comportement algorithmique de son chien. Il tourna toutes les poignées d'un quart de cercle vers le bas. Son triomphe ne dura pas plus d'une ou deux semaines. Ricaud apprit très vite à appuyer une de ses pattes avant sur le chambranle, pendant que l'autre grattait la poignée vers un des deux côtés. Il ne lui restait plus alors qu'à pousser la porte ou l'attirer vers lui, comme auparavant.
Des exploits animaux beaucoup plus impressionnants que celui-ci, Roland Maurer en décrit à foison. La capacité à concevoir et coordonner une suite d'actions dans un but particulier, a été observée chez de nombreuses espèces, en plus de la nôtre. Pour aussi divertissants qu'ils soient, nous ne tenterons pas un catalogue des algorithmes dans le monde animal. Deux questions nous paraissent plus importantes pour notre propos. La première est celle de l'émergence d'un comportement algorithmique chez un individu particulier, la seconde est celle de sa généralisation aux individus d'un groupe donné. Nous n'aborderons pas le débat inextricable inné vs. acquis : les éthologues ont imaginé quantité d'expériences pour distinguer les comportements qui relèvent de l'instinct, de ceux qui constituent d'authentiques innovations. Il est généralement admis que chaque espèce dispose d'un certain nombre d'" outils de base " : prendre de petits objets dans son bec pour une corneille, gratter avec ses pattes avant pour un chien, etc. Ces comportements innés constituent les briques qu'utilise un individu pour réaliser des tâches plus complexes : élever le niveau de l'eau dans la cruche pour la corneille, ouvrir les portes pour Ricaud.

Par quel mécanisme les animaux assemblent-ils leurs briques innées pour construire un algorithme ? Ce n'est pas complètement élucidé. Le hasard est une explication possible dans certains cas. L'émergence aléatoire de comportements macroscopiques à partir de processus innés microscopiques a été mise en lumière depuis longtemps. Dans " Des fourmis et des hommes ", Rémy Chauvin explique que les fourmis sont équipées d'un comportement élémentaire consistant à soulever avec leurs mandibules tout ce qui peut l'être, quitte à laisser retomber ce qui ne peut pas être rapporté au nid. Des expériences ont démontré que ce comportement élémentaire, répété aléatoirement des millions de fois, suffit à expliquer que les fourmis soient capables d'extraire d'une canette de soda, une paille cent fois plus grande que chacune d'entre elles. Il explique aussi la construction de fourmilières gigantesques, et l'émergence de bien d'autres comportements complexes.

Certes, mais le hasard n'est pas toujours une explication suffisante. Dans le cas de la corneille, de Ricaud et bien d'autres, l'intention est claire et le but n'est pas atteint fortuitement. Un autre mécanisme possible est la reproduction d'un comportement observé. Là, les éthologues établissent une distinction cruciale pour nous. L' imitation consiste à percevoir l'intention du modèle, ce qui implique de reproduire chacun des détails menant à la réalisation de cette intention, puisque tous sont potentiellement utiles. Au contraire, l' émulation vise à reproduire un résultat sans nécessairement copier chacune des actions qui ont conduit à ce résultat. Même si les deux comportements ont pu être observés, autant chez certains animaux que chez l'homme, il semble bien que l'" imitation intentionnelle " soit un comportement quasi-spécifiquement humain. Un enfant perçoit l'intention de son modèle (camarade, parent ou enseignant). Il en déduit que chacune des étapes qui conduit à la réalisation de cette intention a son importance. Il cherchera donc à reproduire le comportement du modèle dans tous ses détails, y compris éventuellement ceux qui ne sont pas réellement pertinents dans l'atteinte de l'objectif. Les conséquences de cette capacité innée pour l'espèce humaine, sont vertigineuses : Roland Maurer les exprime ainsi.
" L'apprentissage par imitation mène à l'évolution cumulative de comportements qu'aucun individu n'aurait pu inventer par lui-même. "
C'est parce que chaque homme est doté de la capacité de comprendre la finalité d'un algorithme, et de le reproduire étape par étape, que l'espèce a été en mesure de développer son bagage technologique, ses cultures y compris scientifiques, et finalement les mathématiques et l'informatique. Que le comportement algorithmique soit un préliminaire du développement scientifique, l'histoire des mathématiques en garde des traces nombreuses. Nous allons en examiner quelques unes.
Algorithmes dans l'histoire
La première trace, c'est le cheminement particulier du mot. Comme chacun le sait, " algorithme " vient d'al-Khwarizmi (780-850). Vous lirez ici ou là que c'est parce qu'al-Khwarizmi a écrit des algorithmes de résolution des équations du second degré. Pas du tout.

Comme d'autres savants arabes, al-Khwarizmi a appris la numération indienne, en a compris l'intérêt et a écrit un traité pour la populariser. Son traité a été traduit en latin, et vous voyez le début d'un des manuscrits de cette traduction. La lettrine est un D et les deux premiers mots se lisent " Dixit algorizmi " : al-Khwarizmi a dit. Cette expression, plusieurs fois répétée au fil du texte a fait qu'en Europe occidentale, du moyen-âge à la fin du dix-septième siècle, " algorithme " a désigné la numération indienne, par opposition aux chiffres romains.

Vers la fin du dix-septième siècle, la numération indienne étant enfin généralisée, le besoin de la désigner par un mot particulier s'est estompé, et le mot a été libéré pour désigner deux nouveautés qui commençaient alors à se répandre : l'algèbre littérale et l'analyse infinitésimale.

" Algorithme " a alors pris le sens de " calcul ", au sens où nous parlons de " calcul algébrique " ou " calcul différentiel ". La première utilisation du mot dans notre sens actuel est due à Euler dans l' article que vous voyez, paru en 1764. Il y décrit une procédure de recherche des solutions de l'équation de Pell-Fermat. Mais pour une fois, Euler n'a pas fait école.

Le génial inventeur d'algorithmes numériques qu'a été Newton n'avait pas songé à les traiter autrement que de " méthodes ". Ses successeurs ne s'en sont pas plus soucié. Le dix-neuvième siècle a vu naître la plupart des algorithmes numériques que nous utilisons encore, mais personne ne songeait alors à parler d'algorithme. Le diagramme de fréquence de Google le montre bien : l'usage du mot ne s'est généralisé qu'à partir des années 1960. Doit-on en conclure que le concept n'a pu exister qu'avec les ordinateurs ? Tout au contraire. Résoudre un problème par une succession d'opérations paraissait tellement naturel à chacun, que personne ne songeait à dénommer ce que tout le monde faisait sans y penser : les " monsieur Jourdain " du comportement algorithmique auraient été fort aise (et passablement amusés) que leur " maître de philosophie " leur enseigne qu'ils faisaient des algorithmes sans le savoir.

Depuis combien de temps ? Depuis toujours ; en mathématiques, au moins depuis les Mésopotamiens et les Égyptiens. Si on excepte le " miracle grec ", les mathématiques ont toujours été, jusqu'à l'histoire récente, un ensemble de procédures algorithmiques. Que l'on résolve des problèmes numériques en écrivant le résultat d'un calcul, que l'on trouve la valeur d'une inconnue dans une devinette algébrique, que l'on complète une figure géométrique répondant à des spécifications données ; dans tous les cas, la seule chose qui était attendue, c'était le déroulé d'une procédure particulière, un algorithme. Curieusement, la prise de conscience de ce fait basique est relativement récente. Donald Knuth a lancé un premier pavé dans la mare de la bonne conscience occidentale en 1972, par son article sur les mathématiques mésopotamiennes : " Ancient Babylonian Algorithms ". Plus tard, Karine Chemla a démontré que la pensée algorithmique chinoise, si elle différait de celle d'Euclide, n'excluait pas pour autant la rigueur. Reste que pendant deux millénaires, le discours mathématique hérité des Grecs, avec la perfection de ses démonstrations, a constitué le modèle à mettre en avant, quitte à jeter un voile pudique sur les mathématiques utilitaires, qui continuaient à être basées sur les méthodes et recettes traditionnelles. Un exemple ? La résolution des équations du second degré, vue comme une procédure géométrique par les Mésopotamiens et à leur suite par Euclide, a été magistralement théorisée par al-Khwarizmi. À sa suite, Omar Khayyam a classifié les équations de degré trois, donnant pour chacune une solution par intersection de coniques. Les formules de résolution des équations de degré trois, puis quatre, ont été l'occasion d'une belle bagarre dans l'Italie de la Renaissance. Pendant tout ce temps, comment résolvait-on une équation en pratique, et quelle méthode enseignait-on pour les résoudre ? L'antique méthode de fausse position, avec son cortège de tâtonnements et d'imprécisions.

Pour conclure cette section, voici les principes 2, 3 et 4 sur les quatre qui constituent la méthode de Descartes (1637) (le premier consiste à douter, jusqu'à ce que ce ne soit plus possible).

Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour mieux les résoudre.

Dites, cela ne vous rappelle rien ?
Algorithmes en CM2
Dans la brochure éduscol sur le calcul aux cycles 2 et 3, à la rubrique " calcul posé ", on lit :

Le calcul posé permet de disposer d'une méthode de calcul sécurisante, car elle permet de garantir l'obtention d'un résultat. Le calcul posé permet l'étude du fonctionnement d'algorithmes complexes à partir de leur mise en pratique.
Que la mise en pratique d'un algorithme soit sécurisante pour les élèves, est l'effet de cette propriété innée des humains que nous avons évoquée plus haut. Mais que recouvre " l'étude du fonctionnement d'un algorithme complexe " ? Essayez-donc d'écrire dans le langage de votre choix, l'algorithme de la multiplication posée, entre deux variables entières A et B, respectivement à n et m chiffres en écriture décimale. Quand vous aurez terminé, démontrez rigoureusement que l'algorithme théorique que vous venez d'écrire retourne bien A× B. S'il vous reste du temps et de l'énergie, demandez-vous alors quelle tête ferait un élève de CM2 si vous lui expliquiez cela ! La multiplication posée (quelle que soit la méthode), est sans aucun doute un bon exemple d'algorithme complexe ; mais il n'est pas envisageable de dépasser avec des élèves le niveau de la recette de cuisine, à savoir du déroulement instancié. Les algorithmes de multiplication posée font l'objet d' un autre article.

La distinction entre algorithme théorique et recette de cuisine fait l'objet d'un récit de hist-math : Le bœuf en daube. Si, comme nous l'avons dit plus haut, il est vrai que les mathématiques ont toujours été jusqu'à récemment, un catalogue d'algorithmes, en pratique il ne s'agissait pas encore d'algorithmes au sens informatique. Le maître donnait un exemple d'exécution sur des données particulières, puis un autre, encore un autre s'il était besoin. Il était sous-entendu que tout élève normalement doué, après avoir répété l'algorithme sur quelques exemples différents, saurait se débrouiller pour résoudre n'importe quel autre problème du même type. Les opérations arithmétiques posées ne sont pas enseignées différement de nos jours. Quand l'algorithmique a-t-elle commencé à dépasser le niveau de la recette de cuisine ? À peu près au moment où l'algèbre est devenue littérale, au cours du dix-septième siècle. Nous y voyons une nouvelle illustration de l'échelle historique de difficulté. Rappelons que l'algèbre littérale a mis environ deux siècles avant de passer dans les mœurs. Entre le déroulement d'un algorithme instancié et la notion de variable algorithmique, il y a le même saut conceptuel difficile, qu'entre un calcul numérique particulier et les symboles algébriques. Il nous a paru avantageux d'utiliser le comportement algorithmique naturel des élèves, pour introduire non seulement l'algèbre symbolique, mais aussi la notion de fonction. Nous avons implémenté cela en classe par un tour de magie inspiré des récréations mathématiques d'Ozanam.

Pas plus que le tour de magie, nous ne détaillerons la séquence qui a déjà fait l'objet de " Cryptologie, histoire et jeux en CM2 ". Appliquer l'analyse de fréquence à un codage monoalphabétique revient bien à dérouler un algorithme instancié. L'expérience nous a montré que les élèves s'approprient très rapidement le procédé, et ce même si le code est changé à chaque cryptogramme. Cette compétence nouvelle les amuse autant qu'elle les rassure, induisant le même sentiment de fierté que le tour de magie, quand ils l'expliquent à leur entourage.

Toujours parmi les expériences déjà publiées, l' approche esthétique de la géométrie en CM2, relève aussi largement du comportement algorithmique. Une fois maîtrisées les compétences de base que sont le tracé d'un segment avec la règle, d'un cercle avec le compas, d'une perpendiculaire avec l'équerre, des figures de complexité croissante sont proposées aux élèves. Pour les reproduire, ils doivent enchaîner les opérations de base en un algorithme qu'ils conçoivent eux-mêmes. Ils sont très fiers de leurs réussites...

Nous nous arrêterons un peu plus sur une autre activité algorithmique, qui n'a pas encore fait l'objet d'une publication. Comme la reproduction de figures géométriques évoquée ci-dessus, elle fait appel à une motivation esthétique. Elle permet en plus de renforcer la notion du temps algorithmique, en ajoutant un mouvement.

La séquence est née d'une animation en classe à l'occasion de la fête des sciences. L'ethno-mathématicien Éric Vandendriessche est venu initier les élèves aux " dessins sur le sable " du Vanuatu, qu'il a longuement étudiés. L'activité consiste à tracer avec le doigt une ligne continue sur le sable à partir d'un quadrillage. Deux contraintes sont données aux élèves : il ne faut pas repasser sur un tracé existant et le point final doit coïncider avec le point de départ.

La démonstration laisse les enfants admiratifs. Ils sont d'abord invités à reproduire les tracés sur papier, étape par étape. De nombreux essais sont nécessaires pour parvenir à reproduire les dessins proposés. Certains élèves tentent de garder une trace écrite de la procédure.

L'étape suivante se rapproche des conditions réelles d'exercice : le sable du Vanuatu est un peu loin, mais des plateaux de semoule très fine sont prévus pour cela.

Dans ce cas, le tracé du dessin est assez simple à comprendre : un enchaînement de boucles se reproduit d'un côté, puis de l'autre d'un axe de symétrie. Mais d'autres sont bien plus complexes, comme cela a été constaté lors des prolongements donnés à cette animation.

Des défis ont été proposés aux élèves, avec des figures à reproduire de plus en plus complexes. Elles sont rassemblées dans le document d'accompagnement de cet article.

Respecter la consigne, être capable de répéter l'exécution : l'algorithme a souvent été très difficile à trouver. Les élèves ont spontanément eu besoin de verbaliser ce qu'ils faisaient pour accompagner le geste : " je monte, je trace une boucle, je redescends, je tourne, je monte, je trace une boucle, je redescends, etc. ". Ils se sont rapidement aidés entre eux en oralisant ces procédures.

Pour des figures plus complexes encore, la verbalisation semble atteindre ses limites, les élèves ont besoin d'un support visuel qui isole le motif à reproduire et décompose les différentes étapes.

L'activité a été ritualisée sur un temps quotidien limité afin de préserver un temps de concentration efficace : une quinzaine de minutes par jour. Toujours selon la même procédure, différenciée selon le degré de réussite des élèves : observation de la figure, possibilité de suivre avec le doigt le tracé sur le modèle, dessin sur l'ardoise, puis sur le cahier, et enfin sur le plateau de semoule. Tous les élèves n'ont pas réussi, mais tous ont cherché, et la plupart des enfants ont réussi en fin de séquence à reproduire des tracés complexes, dépassant même de beaucoup les performances de la maîtresse !

Cette activité a remporté beaucoup de succès. Les plateaux sont toujours dans la classe, et quel que soit l'âge des élèves, des CP au CM2, tous demandent à pouvoir les utiliser pour essayer de reproduire les dessins affichés en classe (voir le document d'accompagnement). La reproduction de l'algorithme est selon leurs termes, " satisfaisante ". Ils aiment le caractère répétitif et l'esthétique du tracé qui valorise le résultat. Le support est apprécié pour son caractère éphémère : on a le droit de se tromper, à l'infini, ce qui permet d'accepter la difficulté de l'exercice et de recommencer jusqu'à réussir.

Le secret de la réussite ? C'est une élève qui l'a révélé : " Attends maîtresse, je m'entraîne, il faut que j'aie le mouvement dans la peau ! "
Conclusion
Ce qui précède nous paraît démontrer que le comportement algorithmique, doit être considéré comme un outil vers l'acquisition d'autres compétences, plutôt que comme une fin pédagogique en soi. Obtenir d'un enfant qu'il reproduise une suite d'actions lui est si naturel, qu'on risquerait de l'embrouiller en les lui faisant trop détailler. Dans l'apprentissage algorithmique, deux écueils nous paraissent devoir être évités.

Le premier écueil, nous le qualifierons d'" effet Rubipèdes ", en hommage à Michel Iturria, auteur de la célèbre BD rugbystique. Dans une de ses planches, le coach mal inspiré explique à son pilier droit la différence entre l'algorithme de la marche et celui de la course. Le pauvre pilier en est si perturbé qu'il ne sait plus se déplacer qu'en youpala !

Le second écueil est celui de la " casserole de Poincaré ", dont des dizaines de versions circulent sur internet, même s'il n'y a aucune chance qu'Henri Poincaré ait quoi que ce soit à voir avec cette blague. Dans une pièce, se trouvent : un évier muni d'un robinet d'eau courante, une casserole accrochée à un mur, un réchaud à gaz et une boîte d'allumettes. Problème : comment faire chauffer l'eau ? Algorithme : décrocher la casserole, la remplir d'eau, la poser sur le réchaud, allumer le réchaud. Deuxième problème : nous sommes dans la même pièce, mais à présent, la casserole est remplie d'eau, posée sur le réchaud. La question est la même : comment faire chauffer l'eau ? Algorithme : vider la casserole, la raccrocher au mur, et exécuter l'algorithme précédent.

Reste qu'on ne peut pas se contenter de tabler sur la seule capacité d'imitation des élèves, pour les initier à une pensée informatique ; et ce, pour une raison évidente : aucun ordinateur n'est encore capable d'obéir à " regarde comment je fais, et fais comme moi ". Mais justement, prendre conscience de la nécessité d'un langage précis, exhaustif et non ambigu pour d'abord décrire un algorithme, ensuite le communiquer à une machine, est tout sauf évident pour un enfant.

L'activité " dessin sur le sable " décrite plus haut a mis en évidence la nécessité de deux supports avant de pouvoir être réussie : le modèle visuel, puis le mode d'emploi oral, faisant monter d'un cran la nécessité d'abstraire. D'autre part, la traduction verbale du mouvement a été assez vite limitée à mesure que les tracés devenaient plus complexes, posant la question de la mémoire possible à garder des procédés à mettre en place, notamment lorsque les plus grands doivent expliquer aux plus petits.

Verbaliser, pour reproduire et pour transmettre : cette question nous paraît suffisamment importante pour lui consacrer la seconde partie de notre étude.

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Comportements algorithmiques I : universalité - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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Nous qualifions de " comportement algorithmique " le fait de décomposer le parcours vers un but précis, en étapes successives. L'éthologie autant que (...)

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Ce qui suit est extrait du document Espace et géométrie au cycle 3, téléchargé sur le site Eduscol.
Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d'un langage spécifique à utiliser en situation : point, droite, demi-droite, segment, solide, face, arête, sommet, polyèdre, cube, pavé droit, pyramide, prisme, boule, cône, polygone, côté, angle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, cercle, rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur, droites parallèles, droites perpendiculaires, etc. Les notations de droites, demi-droites, segments, longueurs, angles, etc., les notations représentant le parallélisme (//) ou la perpendicularité (⊥)
Les connaissances géométriques contribuent à la construction des concepts fondamentaux d'alignement, de distance, d'égalité de longueurs, de parallélisme, de perpendicularité, de symétrie.
L'utilisation fréquente des outils de construction permet de renforcer la compréhension des propriétés étudiées (perpendicularité, égalité de longueurs, parallélisme, milieu, symétrie, égalité d'angles, etc.).
La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l'assimilation des différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.)
Voilà donc la feuille de route. Quels sont les acquis ?

À la rentrée du CM2, on dirait que les enfants n'ont jamais tenu une règle entre les mains. Alors, une équerre ? un compas ? La manipulation des outils géométriques est très loin d'être maîtrisée, ni même encore familière, les notions géométriques censées être acquises auparavant non plus. Un angle droit, on ne sait pas ce que c'est et les compas dansent la gigue sur les pages blanches sans parvenir à rattraper le cercle qu'ils tentent de tracer. Autant dire que malgré les contenus des programmes des années précédentes, on semble partir de nulle part. J'ai l'habitude de commencer l'année par la notion de perpendicularité, puis de parallélisme, pour pouvoir aborder ensuite les polygones et leurs propriétés. La perpendicularité laisse d'abord perplexes les enfants, dont l'œil ne semble jamais outragé par des angles incongrus sans rapport avec les quatre-vingt dix degrés attendus. On a beau observer, tracer, vérifier, il semble que le travail sur papier ne soit ni efficace ni suffisant pour ancrer cette notion dans une réelle compréhension des élèves. Mon expérience en maternelle m'a appris qu'avant d'arriver jusqu'à l'œil et à la main des enfants, le geste doit être expérimenté par leur corps tout entier. Avant de concevoir la notion par l'esprit, les enfants doivent aussi l'expérimenter de diverses manières et la rencontrer dans diverses circonstances. L'œil et la main, le geste et l'idée, doivent de pair se guider.

Avant de faire tracer les enfants et de leur mettre un crayon dans la main, il a fallu exercer leur œil, leur apprendre à regarder avec la rigueur géométrique et l'instrument qui permet de s'en approcher - l'équerre. Puis des angles droits, des perpendiculaires - ce qui n'est pas tout à fait la même chose, il a fallu leur en montrer beaucoup, sur différents supports, avant d'en réaliser, puis d'en tracer. La séquence qui suit a été mise en œuvre en octobre et novembre 2021.

L'objectif de ce qui suit est de donner un exemple concret de la démarche décrite dans Une approche esthétique de la géométrie en CM2. Nous n'avons pour autant aucune prétention novatrice. D'autres séquences sur le même sujet et au même niveau se rencontrent ça et là sur le web, par exemple sur Ardoise-Craie, Edumoov, ou encore Stylo Plume.

Nous nous limitons à une description pratique. Pour l'analyse didactique d'une séquence analogue, on pourra se reporter à l'article de T. Barrier, C. Hache, A.-C. Mathé dans " Grand N ".
Séance 1 - découverte des angles droits : pliage, niveau à bulle et fil à plomb

La première rencontre avec l'angle droit s'est faite sans outil géométrique dans un premier temps... enfin presque. J'ai fait mon marché au rayon bricolage pour dégoter le matériel. Les notions de verticale et d'horizontale ont d'abord été abordées : la démonstration a été faite avec un fil à plomb pour définir la verticale, avec un niveau à bulle pour définir l'horizontale : la verticale et l'horizontale forment toujours un angle droit.

La manipulation, qui faisait appel à des outils inhabituels à l'école, a interpellé les enfants, qui ont été particulièrement attentifs à la démonstration et ont demandé à prendre en main le niveau à bulle. Instrument, qui d'ailleurs est resté en classe par la suite.

Il a suffi ensuite d'une feuille de papier. Il a fallu la plier, dans n'importe quel sens, et la replier exactement sur le premier pli. En dépliant la feuille de papier, on a observé les angles obtenus : quatre angles droits. Les enfants ont repassé à la règle les lignes obtenues. Sur l'équerre, on a identifié l'angle droit, et on a vérifié que les quatre angles obtenus par pliage étaient bien des angles droits. On a pu répéter l'expérience, plier n'importe où, recommencer, les enfants ont pu observer qu'à chaque fois, on obtenait la même chose.
C'était la première fois que nous manipulions l'équerre : il ne va pas de soi que les enfants identifient l'angle droit et le posent au bon endroit. Cette séance a été l'occasion d'aider les enfants à tenir l'équerre à l'endroit, et à la placer avec précision sur l'angle à vérifier. Pour visualiser les angles droits de manière concrète, on a posé dessus des croisillons pour carrelage.

Nous avons redéfini par la même occasion le vocabulaire géométrique : les mots " droite ", " droites sécantes ", " intersection " et " perpendiculaires ". On a précisé que toutes les droites perpendiculaires sont sécantes, mais que les droites sécantes ne sont pas forcément perpendiculaires.
Séance 2 - la chasse aux angles droits
Les angles droits, les enfants ont compris qu'ils correspondaient aux angles constitués par les plis du papier, puis, à l'angle le plus grand de l'équerre. Certes... mais où sont-ils donc encore ces angles droits ? Une " chasse aux angles droits " leur a été proposée. D'abord en classe, où les élèves ont été invités à se promener l'équerre à la main pour trouver tous les angles droits possibles : le coin de la table, l'angle de la fenêtre, le coin d'un livre, des dalles de carrelage, le coin du mur, l'angle entre le pied de la table et le sol, etc... Une manipulation réjouissante qui leur a permis de constater que la géométrie est partout. Ils ont été ensuite invités à le faire à la maison, comme devoir du soir. Certains sont même partis à la chasse aux angles droits... en famille. Difficile ensuite, de déambuler dans l'école, sans s'extasier sur les angles droits si habilement dissimulés dans tous les coins. J'en ai même surpris qui sortaient en récré, en douce, l'équerre sous le manteau...

Séance 3 - Piet Mondrian et Marlow Moss : angles droits et droites perpendiculaires
Une fois chassés tous les angles droits qui se présentaient à l'équerre, à l'horizontale, à la verticale, dans tous les sens possibles, les enfants ont pu s'exercer à manipuler leur instrument à plat, sur des œuvres d'art. La séance a été l'occasion de lier les mathématiques à l'histoire des arts. Les enfants ont eu entre les mains des reproductions de tableaux de Piet Mondrian et de Marlow Moss, tous choisis pour les angles droits ou les droites perpendiculaires qu'il allait falloir y trouver - ou pas.

Dans un premier temps, nous avons rappelé le vocabulaire déjà éclairci lors des dernières séances. Sur ces tableaux, on voit des lignes, des droites, des segments, sécant(e)s ou pas, parallèles (le mot est prononcé par les enfants), des carrés, des rectangles, des parallélogrammes.

La première consigne fut la suivante : cherchez avec votre équerre tous les angles droits qui se trouvent sur votre tableau. Certains élèves sont restés dubitatifs et pour cause : pour ceux-là, il n'y avait pas d'angle droit visible. Les enfants ont été invités à placer des croisillons sur les angles droits, pour mieux les visualiser.

La deuxième consigne fut la suivante : On enlève les croisillons. On cherche maintenant les droites perpendiculaires.
La différence entre les deux n'a pas été explicitée. Il était attendu des enfants qu'ils s'interrogent sur la différence entre ces deux consignes. Pour les aider, nous avons redéfini ensemble ce qu' est une droite : c'est une succession de points, qui peut se prolonger à l'infini.

Les enfants qui ne trouvaient pas d'angles droits lors du premier exercice ont assez vite compris qu'ils pouvaient prolonger les droites du tableau pour montrer qu'elles étaient sécantes - et perpendiculaires. Il en a été conclu que des droites peuvent être sécantes et perpendiculaires, alors qu'au premier abord, à vue d'œil, " sur le papier ", elles ne se croisent pas. Nous avons montré qu'en géométrie, se fier à l'œil ne suffit pas. Il faut aussi penser l'invisible : formule qui, bien évidemment, a épaté les enfants... la magie de l'abstraction.

Séance 4 - pixel art, post-it art et angles droits
En décroché de notre séquence de géométrie, j'ai présenté aux enfants une séance d'arts plastiques sur le pixel art. Cette activité s'est déclinée en deux temps : un temps d'assemblage de gommettes carrées (1cm × 1cm) pour reproduire des personnages d'Invader en petit format, un temps de " post-it art ", pour reproduire les mêmes personnages sur les fenêtres de la classe.

Dans ces deux activités, les enfants ont compris qu'ils devaient, sans équerre, respecter la perpendicularité des gommettes et des post-it pour que leur figure soit réussie. Le geste de l'équerre bien adossée à sa droite a dû être reproduit, l'air de rien, gommette contre gommette, post-it contre post-it. Le travail à la verticale contre la fenêtre en a même conduit certains à venir chercher le niveau à bulle qui traînait encore dans les parages.
Séance 5 - Marlow Moss : perpendiculaires et bouts de ficelle
Pour cette séance, nous avons travaillé sur un tableau de Marlow Moss : " White with Rope ".

L'idée était de réinvestir les séances précédentes et de chercher dans le tableau les angles droits et les droites perpendiculaires en manipulant l'équerre, puis de réaliser une composition dans le même esprit, mais sans tracer - le tracé étant réservé aux dernières séances, quand les gestes techniques auront suffisamment été expérimentés.

Tout d'abord, on a identifié les angles droits en veillant toujours à ce que les enfants puissent passer du plan horizontal au plan vertical, qu'ils puissent manipuler leur instrument dans toutes les configurations possibles.

Les angles droits ont évidemment été identifiés au premier coup d'œil.

Ensuite, on s'est rappelé que les droites peuvent être prolongées à l'infini, et on a découvert qu'il y avait sur ce tableau des droites perpendiculaires qu'on n'avait pas vues au premier abord.

Ensuite, ce fut aux enfants de réaliser leur composition. Ils avaient à leur disposition différents matériaux, et à la main, l'équerre. La manipulation fut difficile, j'ai demandé aux enfants d'être rigoureux et précis, ce qui est évidemment très difficile avec un morceau de laine ou un bout de ficelle... Mais qui peut le plus peut le moins. Plus les enfants sont précis dans avec ce matériel inconfortable, plus ils sont attentifs au positionnement de leur équerre, plus ils le seront aussi, plus tard, au moment de tracer. Alors, certes, le résultat n'a guère été d'une rigueur géométrique satisfaisante, mais ce n'était pas tant le résultat de la production qui importait dans cette séance : c'était l'apprentissage du geste.

Séance 6 - Des allumettes à la craie : les spirolatères
Cinq séances de travail et les enfants n'ont toujours rien tracé... mais on y vient. Nos premiers tracés se sont faits en grand format, et c'est peu de le dire : nous avons couvert la cour de spirolatères géants.

Pour comprendre le principe de la figure et l'algorithme à respecter, les enfants se sont entraînés au sol avec des allumettes :

Ensuite, ils se sont équipés d'équerres et de matériel de mesure grand format, et par groupes, les enfants se sont affairés dans la cour. Tracer en grand, c'est une étape pour pouvoir ensuite tracer sur sa feuille. Le grand format permet de démultiplier les erreurs, et de les visualiser immédiatement. Évidemment, manipuler des outils surdimensionnés, c'est difficile, tracer à la craie sur un sol irrégulier aussi, mais là encore, ce n'est pas tant le résultat qui compte, que l'habileté du geste et de la méthode.

Le travail en équipe est intéressant, il oblige les enfants à verbaliser ce qu'ils font ou ce qu'ils veulent faire, et à utiliser le vocabulaire spécifique. Les enfants ont réussi à tracer leurs spirolatères. Ces figures, qui ont été tracées dans la cour des petits, sont vite devenues des jeux pour les plus jeunes : un usage inattendu, grâce auquel les enfants se sont sentis valorisés.

Séance 7 - Mondrian : premiers tracés sur papier
Après toutes ces manipulations, il était grand temps de tester les gestes appris durant les séances précédentes. Nous avions déjà rencontré Mondrian lors de notre travail. Le défi fut de réaliser un tableau composé d'angles droits et de droites perpendiculaires. Les enfants devaient choisir trois cellules à colorier selon les couleurs suivantes : jaune, rouge, bleu.

La manipulation de l'équerre était alors acquise, même si le tracé était encore parfois hésitant et imprécis. Il a fallu s'entraîner encore sur papier, pour acquérir la dextérité et la rigueur nécessaire. Néanmoins, les réalisations des élèves leur ont d'abord permis de mesurer leurs progrès, et les quelques erreurs qui subsistaient une fois leurs œuvres accrochées ont immédiatement été repérées et remarquées.

Séance 8 - angles droits, carrés et rectangles : la spirale de Fibonacci

Au cours d'une séance de numération, nous avons croisé Fibonacci, ses lapins, sa suite et sa spirale. L'occasion de faire tracer la spirale aux enfants, en passant par la construction de carrés. En observant la figure proposée, les enfants ont immédiatement vu "des angles droits", "des perpendiculaires", des "carrés" et des "rectangles". Après avoir défini les mesures, les enfants ont donc tracé les carrés nécessaires à l'élaboration de cette harmonieuse spirale.

La construction a été laborieuse, difficile, évidemment bien au-delà des compétences d'élèves de cycle 3 et la rigueur a été essentielle pour aboutir au tracé de la spirale. Les carrés ont d'abord été tracés indépendamment les uns des autres sur papier blanc, puis découpés et assemblés. Les approximations et les imperfections se sont immédiatement manifestées : les enfants ont compris l'importance de la précision et ont recommencé autant que nécessaire pour obtenir un emboîtement parfait avant de pouvoir terminer leur figure. Le tracé de la spirale apparaissant somptueusement au final, à condition de maîtriser son compas, notamment pour les plus petits arcs de cercle.

Une figure plus complexe encore, composée de quatre spirales de Fibonacci, a été réalisée par les élèves, cette fois en traçant directement les carrés, sans avoir à les découper pour les assembler.

Conclusion
Avant de commencer cette séquence, nombreux étaient les enfants à ne pas savoir identifier un angle droit, encore moins à le tracer. Nombreux ceux qui n'étaient pas capables de situer l'angle droit sur l'équerre, mais qui étaient capables de positionner l'équerre au milieu de nulle part sur leur feuille pour trouver un angle désespérément introuvable. Pourtant, des leçons sur les angles droits et les droites perpendiculaires, à n'en pas douter, ils en avaient déjà eues : des leçons soigneusement collées dans leur cahier, à apprendre par cœur, avec des définitions dont ils n'avaient sans doute pas compris un mot. Des leçons qu'ils avaient sans doute aussi apprises très sérieusement, comme ils les ont tout aussitôt oubliées. Pourquoi donc ? Parce qu'on ne peut pas écrire les leçons à leur place, pas plus qu'on ne peut les apprendre pour eux. Au bout de huit séances, mes élèves ont pu tracer une figure très complexe, non pas parce qu'ils ont appris par cœur leur leçon, mais parce qu'ils ont expérimenté dans tous les sens, de différentes manières, debout, à quatre pattes dans la cour, avec des bouts de ficelle, des équerres géantes et des fils à plomb. Ils ont manipulé les concepts géométriques avant de les coucher sur une feuille blanche, ils les ont cherchés partout, et ils les y ont trouvés : sur un coin de table comme sur des œuvres d'art. Ils en ont fait des productions de plus en plus précises, et de plus en plus jolies aussi. La perpendiculaire n'est plus un gros mot mais un concept géométrique dont ils se sont saisis et qu'ils ont su s'approprier pour ne plus l'oublier.

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Une séquence autour de la perpendicularité en CM2 - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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Une séquence, réalisée dans une classe de CM2 durant l'année 2021-2022, est décrite. Elle s'est déroulée sur 8 séances, de l'apprentissage des outils à la (...)

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les spirolatères: de la perpendicularité au langage algorithmique de la programmation

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les spirolatères: de la perpendicularité au langage algorithmique de la programmation

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Dans un article précédent, nous avons distingué, dans l'apprentissage de la " pensée informatique " au sens de Pierre Tchounikine, plusieurs étapes. La première est le " comportement algorithmique ", qui consiste à concevoir et exécuter un algorithme en vue d'atteindre un but défini. Qu'entend-on par là ? Le but conserve l'acception la plus large possible. Le chemin pour l'atteindre est décomposé en actions élémentaires, exécutées dans un ordre déterminé. Comme le montre Roland Maurer dans son cours de cognition comparée qui nous sert de référence générale, le comportement algorithmique n'est pas propre à l'espèce humaine. Les individus d'autres espèces exécutent des suites d'opérations d'un niveau de complexité tout à fait respectable. Cependant, lorsqu'on en vient à la question de la transmission de tels comportements, les humains ont un avantage certain : l' imitation intentionnelle. Elle consiste à percevoir l'intention du modèle, ce qui implique de reproduire chacun des détails menant à la réalisation de cette intention, puisque tous sont potentiellement utiles. Les éthologues l'opposent à l' émulation, plus courante chez les autres espèces, qui vise à reproduire un résultat sans nécessairement copier chacune des actions qui ont conduit à ce résultat.

La capacité d'imitation couvre chez l'humain, une grande partie des besoins de transmissions des algorithmes, quel que soit le domaine d'apprentissage. Pensez à l'acquisition d'une compétence manuelle : comment un maçon aprend-il à monter un mur, un menuisier à réaliser un assemblage ? Presque exclusivement par imitation. Pensez au succès des " tutos " sur youtube, comparés à des modes d'emploi rédigés. C'est vrai aussi en grande partie des apprentissages mathématiques : poser une addition, tracer un cercle... Le langage n'est pas toujours utile à l'élève, pourvu qu'on lui donne un modèle à reproduire. Pourtant, si l'objectif est de développer une pensée informatique, l'étape de verbalisation est cruciale : les élèves doivent prendre conscience de la nécessité d'un langage de communication. Mais utiliser un langage précis, exhaustif et non ambigu pour d'abord décrire un algorithme, ensuite le communiquer à une machine, est tout sauf évident pour un enfant.

Après avoir successivement examiné la question du langage sous l'angle de l'éthologie et de l'histoire des mathématiques, nous décrirons une progression expérimentale, réalisée par la première autrice dans sa classe de CM2. Nous avons mis l'accent sur l'algorithmique débranchée, de manière à favoriser la communication entre pairs, et à placer les élèves dans des cadres rassurants qu'ils connaissaient bien. Pour autant, les expériences menées, qu'il s'agisse pour l'élève de verbaliser son propre comportement, de transmettre à un camarade pour l'aider, ou aux élèves d'une autre classe dans le cadre d'un défi, ont mis en relief les difficultés de l'exercice.

Le lecteur complètera utilement ce qui suit, par la lecture de l'article d' Alain Busser et Patrice Debrabant dans la même revue. L'article de Thierry Dias donne d'autres pistes de réflexion. Yvan Monka a réalisé des expériences analogues aux nôtres, identifiant les mêmes difficultés. La fondation " La main à la pâte " a mis au point un tutoriel sur le même sujet.
Langage et enseignement
Si vous avez déjà assisté au travail d'un chien de berger en alpage, vous avez certainement été ébahi par la précision avec laquelle le berger guide son chien au sifflet, à des centaines de mètres de distance. Comment arrive-t-on à un tel degré de complicité ? Rien de plus simple, vous répondront les bergers. Quand leur chien commence à se faire vieux, ils prennent un chiot de quelques mois, et le laissent simplement suivre son aîné. Jour après jour, le petit apprend. Comment ? Non, ce n'est pas grâce aux explications de son mentor, qui a trop à faire pour cela ; c'est juste par émulation.

Pour autant, des situations d'enseignement intentionnel ont bien été observées chez les animaux. Les chattes apportent à leurs petits des souris mortes, puis des souris vivantes qu'elles maintiennent à portée des chatons. Les suricates enseignent à leurs petits à chasser les scorpions, d'abord en leur présentant des scorpions morts, puis des scorpions dont l'aiguillon a été ôté, avant de leur laisser affronter le danger. Pour autant, il ne semble pas qu'il y ait alors un langage de transmission. La seule émulation induit l'apprentissage. Les baleines à bosse ont développé une technique de chasse à base de rideaux de bulles, extrêmement sophistiquée. Comment est-elle transmise ? Dans la mesure où leur système d'échanges sonores est encore incomplètement compris, il est trop tôt pour affirmer ou infirmer qu'elles disposent d'un langage de transmission des comportements. Dans le cas des abeilles en revanche, pas de doute. Les danses qu'elles exécutent pour guider leurs congénères vers une source de nourriture constituent bien un langage, au sens algorithmique du terme.

Et les humains ? Force est de constater qu'une très grande partie des apprentissages utilise la capacité d'imitation, et pratiquement rien d'autre. Dans de nombreux cas, la part de l'échange verbal se limite essentiellement à " regarde comment je fais, puis fais pareil et répète, jusqu'à ce que tu aies compris ". Pas toujours pourtant. Voici un exemple. Du temps où les scratchs (aucune allusion à un langage bien connu) n'avaient pas encore envahi les tiroirs à chaussures de nos bambins, le laçage était un des apprentissages basiques de l'enfance. Comment était-il enseigné, et surtout comment était-il mémorisé ? Une recherche google vous mènera à plusieurs dizaines de pages et de vidéos, dans lesquelles il est souvent question d'arbres et d'oreilles de lapin. Il n'y a pas une histoire standard, pas plus qu'il n'existe d'algorithme canonique pour lacer ses chaussures. Si l'imitation suffit pour qu'un enfant réussisse un laçage correct au bout d'un ou deux essais, qu'il mémorise la procédure pour la répéter au quotidien est un autre problème. C'est là que le langage intervient de façon essentielle, comme support mnémotechnique. L'enfant associera les oreilles du lapin à une étape, l'arbre à une autre. En quelque sorte le déroulé de l'histoire l'aidera à mémoriser la succession des pas de l'algorithme. Mais en aucune façon ils n'en constituent une description, exhaustive et non ambigüe. Voici un exemple plus simple : le nœud de chaise, aussi appelé nœud de bouline en montagne. L'algorithme est assez standard, et l'histoire qui aide à sa mémorisation, connue de tous les utilisateurs.

Une boucle sur la corde : c'est le puits. Le brin libre est le serpent, le reste de la corde fait l'arbre. Le serpent sort du puits, fait le tour de l'arbre, et rentre dans le puits.

Si ce récit est suffisamment simple et frappant pour être utile à la mémorisation de l'algorithme, il n'est pas suffisant pour le décrire sans ambigüité. Nous allons voir maintenant comment le langage mathématique s'est graduellement affiné jusqu'à la spécification des algorithmes, et surtout comment il a participé à leur transmission.
Langage et mathématiques
Pour l'essentiel, le contenu de cette section relève de la " préhistoire de l'informatique " traitée plus en détail ailleurs.

Par son article de 1972, Donald Knuth avait magistralement démontré que les mathématiques mésopotamiennes étaient essentiellement constituées d'algorithmes. Certes, mais le langage était très elliptique et fort éloigné de notre manière d'écrire : voyez les traductions de Jens Høyrup dans " L'algèbre au temps de Babylone ". Les tablettes décrivaient de manière succinte les étapes vers la solution d'un problème numérique, en donnant quelques résultats intermédiaires. Il s'agissait donc toujours de " recettes de cuisine ", c'est-à-dire d'algorithmes instanciés. Les auteurs avaient-ils extrait de leurs descriptions un algorithme théorique ? Rien ne permet de l'affirmer, et rien ne permet d'affirmer non plus qu'ils en aient vu la nécessité. Par exemple, les Mésopotamiens disposaient probablement déjà de l'algorithme d'approximation des racines carrées connu sous le nom de méthode de Héron. Mais il est peu probable qu'ils y aient vu autre chose qu'une recette. Voici cet algorithme en langage moderne. Soit A le nombre dont on veut approcher la racine.

Initialisera
Répéter
......remplacera par (A/a&plus;a)/2
Jusqu'à atteindre la précision désirée
Il y a dans cette description, aussi imparfaite qu'elle soit encore, un saut conceptuel majeur : le remplacement d'une instance par une variable : " soit A le nombre... ". Il faudra de nombreux siècles pour que l'importance des variables soit comprise. La première description connue de l'algorithme ci-dessus est bien celle de Héron dans les " Métriques ". Pour lui, le carré A dont on doit calculer la racine est 720. Appréciez son énoncé, dans la traduction de B. Vitrac et F. Acerbi.
Puisque le carré le plus proche de 720 est 729 et qu'il a 27 comme côté, divise les 720 par le 27 ; il en résulte 26 et deux tiers ; ajoute les 27 : il en résulte 53 et deux tiers ; de ceux-ci, la moitié : il en résulte 26 1/2 1/3 : le côté de 720 sera donc 26 1/2 1/3 à très peu près.
Comme vous le constatez, Héron ne donne qu'un exemple de calcul, et seulement la première itération de l'algorithme. Même s'il devient clair dans la suite qu'on peut itérer pour améliorer la précision, ce n'est pas dit explicitement et bien sûr, aucun test d'arrêt n'est proposé.

Certes, les automates de Héron, ceux de Vaucanson et le métier à tisser de Jacquard font partie intégrante de l'histoire de l'informatique, au même titre que les machines de Babbage. Mais les termes de programme, langage, mémoire, que nous avons employés à leur propos, sont parfaitement anachroniques. Nous projetons sur ces inventions du passé lointain, des catégories de pensée nées du développement récent de l'informatique. Revenons donc à une algorithmique plus classique.

Toujours d'après Donald Knuth, " le plus ancien algorithme non-trivial qui ait survécu jusqu'à aujourd'hui " est l'algorithme d'Euclide. Son premier énoncé se situe au début du livre VII des Éléments.
Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranché du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque l'on a pris l'unité, les nombres proposés seront premiers entre eux.
Difficile d'y reconnaître un algorithme, sans exemple d'exécution, n'est-ce pas ? Puisque nous en sommes à Euclide, ses constructions géométriques sont autant d'algorithmes, à exécuter à la règle et au compas. À commencer par la toute première proposition du livre I : " sur un segment donné, construire un triangle équilatéral ". Voici la construction d'Euclide. Elle est accompagnée à droite d'une figure en couleurs sur laquelle nous allons revenir.

Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence BCD et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence ACE et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB.

Pendant des siècles, les élèves qui étudiaient les Éléments, s'entraînaient à reproduire les figures, à partir de descriptions comme ci-dessus. C'est donc que la spécification devait être suffisante, au moins si elle était accompagnée d'une figure déjà tracée. L'image de droite vient d'une édition de 1847 dans laquelle Oliver Byrne a remplacé les mots du langage d'Euclide par des pictogrammes colorés. Sa justification tient dans une citation tirée de l' Art poétique d'Horace : " notre esprit est moins vivement frappé de ce qui passe par l'oreille, que de ce qui s'offre aux yeux ". Il s'agit ici d'une substitution de langage, dont Byrne, dans son enthousiasme prosélyte, prétend qu'elle divise par trois le temps d'acquisition des Éléments d'Euclide. Voici maintenant la proposition 15 du livre IV : " Inscrire dans un cercle donné un hexagone équilatéral et équiangle ".

Soit ABCDEZ le cercle donné . Menons le diamètre AD du cercle ABCDEZ, prenons le centre H de ce cercle, du centre D et de l'intervalle DH décrivons le cercle EHCT, joignons les droites EH, CH, prolongeons-les vers les points B, Z, et joignons AB, BC, CD, DE, EZ, ZA.

Sans la figure qui accompagne le déluge de lettres de la description, il y a peu de chances qu'un élève réussisse à comprendre l'algorithme. Avec la figure, la description n'est plus indispensable : Byrne n'avait pas complètement tort. Voici maintenant trois algorithmes de tracé d'un hexagone inscrit dans un cercle donné, écrits en langage naturel, sans lettres et sans figure.
Algo 1
Prendre pour écartement du compas le rayon du cercle
Placer la pointe du compas sur le cercle
Marquer avec la mine un des points atteints par le compas sur le cercle.
Itérer 5 fois :
......Placer la pointe du compas sur le dernier point atteint par la mine
......Marquer avec la mine le point du cercle non encore atteint
fin Itérer
Joindre par des segments les couples de points consécutifs atteints par la mine. Algo 2
Prendre pour écartement du compas le rayon du cercle
Placer la pointe du compas sur le cercle
Tracer un second cercle
Tracer les trois diamètres du premier cercle, passant par son centre et :
......le centre du second cercle
......les deux points d'intersection des deux cercles
Joindre par des segments les couples de points consécutifs, parmi les extrémités des trois diamètres. Algo 3
Prendre pour écartement du compas le rayon du cercle
Tracer un diamètre du cercle
Pour chacune des deux extrémités de ce diamètre :
......placer la pointe du compas sur cette extrémité
......marquer avec la mine du compas les deux points qu'elle atteint sur le cercle
fin Pour
Joindre par des segments les couples de points consécutifs, parmi les extrémités du diamètre et les quatre points atteints par la mine.
Nous laisserons les lecteur.trices trouver lequel des trois algorithmes est celui d'Euclide, et surtout se demander avec lequel des trois il serait le plus facile à quelqu'un n'ayant jamais vu la construction, d'obtenir un hexagone régulier. Question subsidiaire : lequel des trois algorithmes a le plus de chances d'être fidèlement mémorisé ? Nous reviendrons sur la verbalisation des figures géométriques dans la section suivante.

Quand les recettes de cuisine ont-elles commencé à ressembler à des algorithmes ? Ou en d'autres termes, quand les variables ont-elles remplacé les instances ? Cela a eu lieu après, et semble-t-il en liaison avec le développement de l'algèbre symbolique, à partir de Viète. Une étape importante pourrait avoir été la parution des Problèmes plaisans et délectables de Bachet de Méziriac, dans leur seconde édition de 1624. Nous sommes entre l' Art Analytique de Viète (1591), et la Géométrie de Descartes (1637). Sous couvert d'amusements, Bachet traite de questions arithmétiques difficiles, comme par exemple sa Proposition XVIII : " Deux nombres premiers entre eux étant donnés, trouver le plus petit multiple de chacun d'eux, qui surpasse de l'unité un multiple de l'autre ". Vous avez reconnu l'identité de Bézout, connue d'al-Haytham six siècles auparavant, mais que Bachet est le premier à avoir redécouverte en Europe... longtemps avant Bézout.

Bachet utilise partout où c'est possible, cet artifice des encadrés contenant des exemples d'affectation. Mais quand il s'agit de décrire son algorithme pour construire les carrés magiques d'ordre impair, il renonce : il se contente d'un exemple, qu'il accompagne de façon quelque peu cavalière par : " Pour mieux te faire entendre cette règle, j'ai disposé ici en même sorte tous les nombres depuis 1 jusqu'à 25, comme tu vois sur les deux figures suivantes ". Autant dire que l'écriture rigoureuse de l'algorithme, n'était pas la préoccupation première.

Bachet et ses successeurs n'ont pas envisagé pas d'abandonner l'instanciation dans l'apprentissage d'un algorithme. L'examen des manuels anciens montre que leurs auteurs privilégiaient toujours l'aspect pédagogique. Un des plus célèbres est le cours d'algèbre d'Euler (1774). Au début du Tome 2, Euler traite des identités de Bézout. Il commence par une dizaine d'exemples non seulement instanciés, mais scénarisés dans des situations concrètes. Alors, et alors seulement, il passe à la description de l'algorithme, pour lequel il propose une présentation graphique. Ensuite, celui-ci est décrit avec des variables générales, pour aussitôt après, passer à un dernier exemple d'instanciation. Le tout prend une vingtaine de pages.

Que conclure de tout ceci ? Rien d'autre qu'une évidence : transmettre un algorithme à un humain pour qu'il l'exécute et le retienne, n'est pas la même chose que le transmettre à une machine. Développer la " pensée informatique " des enfants suppose qu'ils admettent la nécessité d'un langage pour s'adresser à l'ordinateur. Nous pensons qu'il est utile de leur faire comprendre auparavant la nécessité d'un langage précis pour transmettre un algorithme à un humain. Quelques expériences que nous avons réalisées dans cette direction, sont décrites dans la section suivante.
Verbaliser en classe
Plusieurs activités, au cours de diverses séquences d'apprentissages, ont été proposées aux élèves avec, pour intention pédagogique, un fil conducteur : faire apparaître pour les enfants l'importance de la communication dans la transmission d'instructions. Parmi les objectifs : se confronter aux difficultés d'interprétation du langage naturel pour comprendre la nécessité d'un autre langage et les amener vers celui du codage et de la programmation.
Dans le domaine 1 des objectifs du socle commun de connaissances, " les langages pour penser et communiquer ", il est écrit :
" L'élève sait que des langages informatiques sont utilisés pour programmer des outils numériques et réaliser des traitements automatiques de données. Il connaît les principes de base de l'algorithmique et de la conception des programmes informatiques. Il les met en œuvre pour créer des applications simples. "
Une chose est de le savoir, une autre est de le comprendre. Comment amener les élèves à comprendre l'utilité d'un langage qui ne leur est pas naturel ? Si les enfants ont bien sûr entendu parler d'algorithmes en informatique, ils ne savent pas qu'il en existe partout ailleurs, et des plus simples : la routine du matin, le laçage de leurs chaussures, la multiplication à poser. Mais en quoi comprendre la relation de l'un à l'autre peut-elle être utile à nos élèves ?
Ce n'est pas pour rien si cette compétence figure dans " les langages pour penser et communiquer ". Il convient sans doute de s'arrêter sur l'intitulé : " un langage pour penser ", et pas seulement en informatique, ni même en mathématiques, mais pour penser tout court. " Un langage pour communiquer ", et pas seulement en informatique ni en mathématiques non plus, mais un langage parmi les autres, qu'il convient de maîtriser tout aussi bien. Dans les objectifs du socle, le langage mathématique est rangé juste après la langue et juste avant les langages des arts et du corps. C'est un langage bien particulier, mais un seulement parmi d'autres " langages spécifiques qui permettent de comprendre le monde " (comme le stipulent les programmes scolaires du cycle 4), des langages qui peuvent s'éclairer les uns les autres.

Aussi, au cours des différentes activités proposées pour accéder au langage informatique, les élèves sont-ils passés par celui du corps (manipulation et expérimentation sensible) et de l'oral (pour s'exprimer et communiquer) : des langages qui leur sont plus naturels et spontanés.

Parmi les activités réalisées en classe, nous avons évoqué dans un autre article les " dessins sur le sable ", grâce auxquels nous avons pu aussi avancer vers une verbalisation algorithmique. Nous choisissons ici d'autres exemples pour illustrer une progression en trois étapes : l'exécution individuelle d'un algorithme dicté, l'élaboration et la transmission d'un algorithme entre pairs, le passage au langage informatique.
Dictées de figures : décodage d'instructions

L'activité est proposée sur le site Positivitea. Elle y est présentée comme un jeu d'écoute. Elle a été utilisée dans le cadre de la réflexion sur la verbalisation des algorithmes et la transmission de procédures. Les compétences sont listées dans les programmes scolaires des cycles 2 et 3 : " coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements sur un quadrillage ", " réaliser un programme de construction ". Toutefois, l'interdisciplinarité est évidente : on travaille par la même occasion le langage, la compréhension et la concentration. Dans ce premier exemple, c'est l'enseignante qui donne les consignes oralement, l'une après l'autre, et les élèves exécutent simplement les opérations décrites, selon les modalités d'une dictée. Les enfants n'ayant pas connaissance du résultat à obtenir, la motivation est suscitée par le résultat du tracé qu'ils découvrent à mesure des instructions. Aussi est-elle soutenue jusqu'au bout.

L'attention est portée sur le lexique utilisé. L'objectif est de montrer aux élèves qu'un programme de construction peut être fragmenté en tâches simples facilement descriptibles et transmissibles, avec un vocabulaire et un répertoire d'instructions limité.
Dans un deuxième temps, ce sont les élèves qui pourront créer leur figure et écrire le programme de construction correspondant pour défier leurs camarades et leur en faire la dictée. Cette activité leur permettra de mettre en pratique la décomposition des différentes opérations à réaliser, de les verbaliser et de vérifier leur validité par l'adéquation de la figure obtenue avec le résultat espéré : l'évaluation est alors immédiate.

Ainsi, les élèves auront travaillé les deux compétences : décodage, codage. C'est ainsi que le rapport Villani-Torossian présente le travail sur les algorithmes : " on part d'un problème, on le modélise, on propose un algorithme, on l'exécute, on analyse le résultat : on part du concret, on passe par l'abstraction, et on retourne au concret ".
La collaboration entre pairs : des instructions pour communiquer
Dans le même rapport, il est écrit que " la verbalisation est centrale : dès la maternelle, le professeur encourage l'élève à raisonner à voix haute et à échanger avec les autres en mettant un haut-parleur sur sa pensée ".
En classe, le travail de géométrie est organisé de manière collaborative, en favorisant la formulation d'hypothèses de constructions pour la reproduction de figures proposées. L'entraide entre pairs est encouragée. Les élèves sont autorisés à se déplacer et à se parler.

Évidemment, il est admis par tous comme règle commune qu'aider, ce n'est pas " faire à la place ", mais " expliquer " par des mots, ce qu'il faut faire. C'est l'intérêt de la chose dans le cadre de la verbalisation d'algorithmes : nous ne sommes plus dans l'imitation (reproduire ce qu'on nous montre) mais dans la réalisation d'instructions données.

Les enfants se rendent rapidement compte qu'aider, même si c'est valorisant, n'est pas facile. Cela demande de multiples compétences dans différents domaines : savoir s'exprimer de manière précise et compréhensible, s'adapter à son interlocuteur, savoir reformuler si nécessaire, manipuler un vocabulaire technique approprié notamment en ce qui concerne les termes géométriques, être capable d'analyser sa propre production pour la décomposer en une succession d'instructions. Et puis, cet exercice nécessite aussi des compétences transversales de relation à l'autre : être attentif à ce que l'autre ne comprend pas... et être patient.

En y réfléchissant, nous ne faisons pas autre chose avec nos élèves : décomposer des tâches complexes en tâches simples qu'il convient de leur expliquer clairement pour qu'ils se trouvent en position de réussite.

Pour se faire comprendre des autres, il faut être attentif à son expression et être précis dans le choix de sa formulation. Lors de cette activité, tous les groupes n'y ont pas réussi : certains ne sont pas parvenus à réaliser la rosace, faute d'une communication efficace.
Le laçage des scoubidous : formaliser des instructions
Lors de la semaine des maths, une autre situation de verbalisation a été suscitée autour du laçage de scoubidous. Certains élèves savaient comment faire, d'autres non. Un travail par binôme a été mis en place : l'élève qui avait le savoir-faire avait pour consigne d'expliquer à son camarade la procédure, mais sans lui montrer, " uniquement avec des mots ".
L'observation de l'atelier a révélé que l'exercice était très complexe comme le montre cette vidéo.

La plupart du temps, les instructions que l'on peut trouver sur internet sont essentiellement constituées de vidéos, de photos ou de dessins destinés à montrer comment faire. Un petit groupe d'élèves est parvenu à rédiger un " mode d'emploi du scoubidou ", avec interdiction de dessiner ou de représenter les scoubidous, toujours " uniquement avec des mots ". Cet exercice a constitué un premier pas vers une verbalisation écrite des instructions.
Démarrage
Prends deux fils de scoubidou de deux couleurs différentes.

Prends les deux fils l'un contre l'autre.

Attrape leurs deux extrémités, joins-les.

De l'autre côté, tu trouves le milieu des fils : fais un nœud pour former une boucle.
Répéter :
Tiens le nœud et la boucle par en bas.

Au-dessus, il y a 4 fils :
dispose les en croix en alternant les deux couleurs.

Nomme les fils, en partant du haut et en tournant vers la droite : fil 1, fil 2, fil 3, fil 4.

Prends le fil 3, forme une boucle en le rabattant entre le fil 1 et le fil 4 : tu obtiens la boucle 1.

Prends le fil 1, forme une boucle en le rabattant entre le fil 2 et le fil 3 : tu obtiens la boucle 2.

Passe le fil 2 à l'intérieur de la boucle 1.

Passe le fil 4 à l'intérieur de la boucle 2.

Attrape les 2 fils à droite, les 2 fils à gauche, tire jusqu'à obtenir un carré.
Recommence.
Reste l'étape du décodage, qui n'a pas été testée, mais il y a fort à parier que l'exercice de lecture et de laçage à partir du texte n'est pas une mince affaire non plus.

L'entraide et la collaboration sont deux modalités de travail que l'on peut inscrire dans le fonctionnement de sa classe, et quel que soit le domaine d'apprentissage. Un autre type de transmission peut être mis en place en obligeant les élèves à se mettre en situation de communication.
Le défi entre classes : à l'épreuve de l'autre
Un travail a été entrepris dans deux classes de CM2 dans le cadre des formations en " constellations " prévues dans le plan Maths. Les élèves d'une première classe ont entrepris d'étudier le terrain de sport situé dans la cour, pour en tracer le plan et rédiger le programme de construction correspondant afin de le soumettre à la seconde classe. Les élèves de la seconde parviendraient-ils à identifier le terrain de sport ?

C'est l'étape du travail qui nous intéresse le plus ici : pour pouvoir concevoir le programme de construction, les élèves ont dû s'approprier les éléments de la figure en les mesurant, en les observant, en les nommant. C'est-à-dire que pour parvenir à abstraire suffisamment pour isoler les tâches les unes des autres et pour les décrire dans l'ordre chronologique, il faut qu'ils aient eux-mêmes expérimenté la construction.

En travaux d'équipe, ce travail a demandé de la réflexion, suscité des débats, des désaccords et des reformulations pour parvenir à une proposition qui semble convenable aux enfants, comme par exemple dans cette vidéo.
Les premiers essais font état de difficultés évidentes, non seulement en expression écrite, mais aussi dans la maîtrise du vocabulaire et des codages géométriques :

Une mise en commun a été faite, suite à laquelle des corrections ont été apportées pour obtenir une version définitive estimée compréhensible par les élèves.

Les programmes de construction ainsi rédigés, ont été transmis sous forme de défi aux élèves de l'autre classe : " saurez-vous tracer la figure et reconnaître de quoi il s'agit ? ".

Les productions des élèves défiés ont été, dans une grande majorité, à la mesure de la difficulté de l'exercice : fort décevantes pour les élèves rédacteurs. Les élèves défiés ont pu faire une critique des programmes qui leur étaient proposés : imprécision du vocabulaire, étapes manquantes ou dans un ordre inapproprié, mesures oubliées... et les élèves rédacteurs ont pu se rendre compte de l'exigence dans la précision des instructions à donner pour obtenir le résultat escompté. Ils ont réalisé qu'il fallait donner des repères, " nommer les points " et indiquer où les placer, détailler précisément les étapes, " être plus précis et plus clair " sur les mots et les mesures, " mieux choisir le vocabulaire ".

Les programmes échoués l'ont été soit parce qu'ils étaient trop imprécis, soit parce qu'il manquait trop d'informations pour que leurs manques soient compensés. Par exemple :

Il manque le rayon du cercle, voire l'étape nécessaire à son tracé en totalité.

Les points ne sont pas nommés " fais un point sur les deux milieux des segments " (quels segments ?)

La phrase est trop longue, les consignes multiples et mal explicitées : " prends le milieu (de quoi ?) et fais un point d'un des deux segments de 14 cm (où ?) et trace sur le point (lequel ?) un demi-cercle vers l'intérieur (de quoi ?) de 4,5 cm de rayon. "

Certains élèves ont commenté et annoté le programme dont ils disposaient : " qu'est-ce qui mesure quoi ? ", " incompréhensible ", " il faut relier ? ", " quel est le nom du point ? ", " où est le centre ? ", " quel angle ? ", " Il manque le nom des points, le programme est incompréhensible ".

En ce qui concerne la verbalisation d'algorithmes, nous en sommes à la description des tâches en langage " naturel ", c'est-à-dire dans la langue commune, celle qui nous sert à communiquer tous les jours, nous accédons tout juste au langage mathématique avec ses termes techniques. Nous sommes encore loin d'un langage codé.
Du langage naturel au langage codé : les spirolatères
L'activité suivante était, dans un premier temps, destinée à réinvestir la notion d'angle droit.

Chaque élève a d'abord cherché à décrire les instructions sur son ardoise. Plusieurs programmes communs ont ensuite été élaborés. Par exemple :

Place un point au milieu

descends de 1

tourne à gauche de 2

monte de 3

tourne à droite de 4

descends de 5

tourne à gauche de 6

" Continue en ajoutant 1 à chaque fois "

Nous avons déterminé que le plus facile à comprendre était celui qui contenait le moins d'informations différentes possibles, qui donnait des repères et des mesures précises, et nous avons isolé l'instruction " continue comme ça " ou " à l'infini " qui permet d'itérer l'algorithme.

Les élèves étaient prêts pour une démonstration grandeur nature de la nécessité d'adopter un langage précis pour orienter des déplacements.
Langage et déplacement : les yeux bandés
L'activité suivante est inspirée du " jeu de langage de programmation ". Les élèves ont travaillé par binômes. L'un avait les yeux bandés et devait récupérer des objets dans la cour, l'autre devait le guider pour y parvenir, uniquement par la voix, comme dans cette vidéo.
Du langage codé à l'ordinateur : Geotortue et Scratch
Enfin, pour la dernière activité, les élèves ont pu manipuler le logiciel Scratch. Ils ont retrouvé des commandes familières, avec un éventail élargi, et notamment l'instruction " répète ". En autonomie sur l'ordinateur de la classe, ils sont aisément parvenus à tracer de nouveau le spirolatère, mais aussi à utiliser d'autres fonctions du logiciel pour créer de petites histoires.

Ces deux dernières activités ont essentiellement été faites en autonomie. Cela n'a pas posé de problème aux élèves qui avaient parfaitement compris la nécessité et l'utilité du langage utilisé grâce à tous les travaux précédemment menés.
Conclusion
Ces différentes activités autour de la verbalisation des algorithmes ont mis en évidence plusieurs difficultés :
d'une part, identifier l'algorithme pour isoler la succession d'actions qui se répète et segmenter les différentes étapes qui le constituent, d'autre part la verbalisation de ces étapes afin de les communiquer et de pouvoir les reproduire.
Les deux difficultés nous ramènent à l'intitulé " des langages pour penser et communiquer " : les deux se rapportent à la capacité d'abstraire, et les différentes activités menées en classe durant plusieurs mois ont eu pour but de guider les élèves dans ce cheminement vers l'abstraction, de faire à concevoir, pour transmettre.

On ne se demande pas, quand on est en retard et que son enfant peine à faire ses lacets, pourquoi c'est si dur à apprendre pour lui. Qu'est-ce qui est si difficile ? La mémorisation d'une procédure à reproduire ? La compréhension ou la verbalisation des instructions ? La traduction de ces gestes en images mentales ? La projection dans le résultat obtenu pour anticiper sa réalisation ?

Au fil du temps, en observant les élèves, en les écoutant communiquer entre eux, en les regardant faire, essayer, se tromper, recommencer, en analysant leurs stratégies d'apprentissage et les obstacles rencontrés, il est apparu qu'en réalité, il y a plus en jeu encore que l'apprentissage du codage, plus que l'apprentissage d'un langage, plus que l'acquisition d'une pensée informatique : c'est le processus de l'apprentissage en soi qui est en question.

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Comportements algorithmiques II : verbalisation - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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Le fait de décomposer le parcours vers un but précis en étapes successives, à savoir le " comportement algorithmique ", est une capacité innée de tout (...)

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Regards de Géomètre

Née de l'observation de la mesure de la Terre et de l'Univers, la géométrie n'est pas qu'une discipline abstraite, ou qu'une collection d'outils : c'est également une façon de catégoriser les formes et de voir le monde.

Pour l'année scolaire 2020-2021, l'association "Les Maths en scène" lance la 4ème édition du dispositif "Regards de Géomètre". Le dispositif a pour objectif de faire découvrir la culture mathématique via le monde artistique et scientifique.

Ce projet s'adresse aux élèves de la maternelle jusqu'au lycée (lycées généraux, technologiques et professionnels) et aux élèves des EREA.

L'objectif de chaque classe est la réalisation d'une production artistique ou numérique (infographie, application numérique, film d'animation, châssis, sculpture, saynète, musée virtuel, image augmentée, visite guidée en 360° (Vizor), livre numérique, BD, nouvelle, ...), qui représentera le regard des élèves sur le thème choisi.

Le projet se conclura par la réalisation d'une exposition des œuvres réalisées par les classes et par un colloque afin que les élèves puissent faire une restitution de leur travail.

60 Thèmes au choix

Des objets, des instruments Domaines scientifiques et artistiques Représentations et transformations

Astronomie
Cartographie
Relief
Architecture
Urbanisme
Musique
Chorégraphie
Typographie, calligraphie
Tableaux et gravures
Statues
Jardins
Labyrinthes
Lumière
Impression 3D
Pixel art
Réalité augmentée
Tresses, entrelacs
Animation 3D
Trajectoire
Cubisme

Frises
Pavages
Tomographie
Perspective
Illusions
Réseaux
Coloriage
Origami
Puzzles
Espace-temps
Mesure et tracé
Coordonnées
Infographie
Acquisition et imagerie numériques
Voxels
Maillages
Graphes
Patrons
Anamorphose
Silhouette, ombre, projection

Travail interdisciplinaire et collaboratif

"Les mathématiques ont également toutes leur place dans les enseignements pratiques interdisciplinaires qui contribuent à faire percevoir aux élèves leur dimension créative, inductive et esthétique et éprouver le plaisir de les pratiquer". (Extrait du programme d'ajustement, BO.)

"Développer et renforcer les échanges entre les autres disciplines et les mathématiques" (Rapport Villani-Torossian, Recommandation n°19)

Ce projet de classe, interdisciplinaire, est à même d'impliquer largement les équipes enseignantes.

Chaque classe réalisera une recherche documentaire sur le thème choisi et la matérialisera par un document expliquant son regard mathématique, l'implication des autres disciplines associées au projet, le regard du référent scientifique, le choix de sa production (artistique ou numérique).

Ce travail sera conduit avec l'appui d'un scientifique référent et d'un artistique partenaire de l'association Les Maths En Scène. Des partenariats avec des espaces culturels ( musées associations, théâtres,....) seront proposés afin de permettre aux classes du dispositifs de découvrir les expositions ou leurs outils pédagogiques en lien avec le dispositif.

Au cycle 3, on pourra favoriser un travail CM2/6ème en attribuant un même thème sur un même secteur de collèges .

Au cycle 4, ce travail pourra s'intégrer dans un EPI. On pourra aussi favoriser un travail 3ème/Seconde.

Colloque scientifique

En fin d'année scolaire 2020-2021, chaque classe sera invitée à un colloque pour présenter sa production.

L'ensemble des productions artistiques ou numériques et leurs fiches descriptives seront exposés

Un livret regroupant les fiches descriptives des productions sera publié et distribué aux CDI des établissements . Il sera aussi disponible sous format numérique.

Inscriptions

Pour tout renseignement: regard.geometre@lesmathsenscene.fr

Coordinatrice nationale houria.lafrance@lesmathsenscene.fr

Pour les académies de Toulouse/Montpellier

Formulaire accessible en ligne : https://forms.gle/xKsUGN1WbMa4Au6y9

Coordinatrices :

Isabelle DUBOIS isabelle.dubois.lesmathsenscene@gmail.com

Houria LAFRANCE houria.lafrance@lesmathsenscene.fr

Pour l'académie de Nice

Elles se font par un formulaire accessible en ligne : https://forms.gle/rvCkspxwovkbL6NK7

Coordinatrices :

Carole TERPEREAU carole.terpereau@lesmathsenscene.fr

Cecile OBRY cecileobry.lesmathsenscene@gmail.com

Pour l'académie de Normandie

Elles se font par un formulaire accessible en ligne : https://urlz.fr/amKE

Coordinatrices :

Claire LOMME claire.lomme@lesmathsenscene.fr

Nadine AMOSSE nadine.amosse@ac-normandie.fr

Pour l'académie de Marseille

Elles se font par un formulaire accessible en ligne : https://forms.gle/wVGRDjGQ4gCkKm7i7

Coordonnateurs:

IREM de Marseille irem-direction@univ-amu.fr

Rachid Inoui rachid.inoui@ac-aix-Marseille.fr

Pour l'académie de Poitiers

Lien vers le formulaire: https://forms.gle/zmXYwZLTCbmxZJvK9

Coordonnateurs:

Pour l'académie de Reims

Lien vers le formulaire: https://forms.gle/W63jcGATHoVo9KSz6

Coordinatrice:

Joelle Georges joelle.georges@ac-reims.fr

Pour l'académie de Lille

Lien vers le formulaire: https://forms.gle/ivmYvmqQLGfcmVvQ8

Coordonnateur

Christophe Roland christophe.roland@uphf.fr

Pour l'académie de Bordeaux

Lien vers le formulaire: https://forms.gle/LB2HzdkoU4PA746y9

Coordonnateur

Autres académies/ établissements à l'étranger

Elles se font par un formulaire accessible en ligne: https://forms.gle/nU6xXHWGDYqmq5q17

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Née de l'observation de la mesure de la Terre et de l'Univers, la géométrie n'est pas qu'une discipline abstraite, ou qu'une collection d'outils : c'est également une façon de catégoriser les formes et de voir le monde. Pour l'année scolaire 2020-2021, l'association "Les Maths en scène" lance la 4ème édition du dispositif "Regards de Géomètre".

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les pavages de rosaces: de la rosace au triangle, du plan au volume

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les pavages de rosaces: de la rosace au triangle, du plan au volume

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1. D'après Eduscol et le Bulletin officiel №30 du 26/07/2018 Le vocabulaire lié aux objets et aux relations géométriques relève d'un langage spécifique à utiliser en situation [...] permettant de nommer davantage d'objets géométriques, de décrire les figures avec plus de précision et de produire des raisonnements argumentés pour établir la nature d'une figure donnée.
La géométrie, à travers les travaux de construction ou les problèmes de recherche, favorise l'implication dans le travail commun, l'entraide et la coopération. Pour effectuer des constructions ou pour argumenter, les élèves doivent anticiper, planifier des tâches, gérer les étapes.

La géométrie participe notamment au développement de la rigueur intellectuelle, de l'habileté manuelle, de l'aptitude à démontrer et à argumenter.

Les élèves travaillent avec des patrons de prismes droits ou de pyramides, qu'ils savent associer aux solides ou aux représentations de solides qu'ils permettent de construire.

La manipulation physique des outils contribue à la compréhension et l'assimilation des différentes propriétés géométriques (alignement, perpendicularité, parallélisme, etc.) et à la connaissance et reconnaissance des figures simples usuelles (triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère, etc.).
Des travaux de constructions de solides sont proposés à partir de patrons construits ou complétés par les élèves dans le cas de cubes ou de pavés droits, ou fournis par l'enseignant dans le cas de prismes ou de pyramides.

On peut également se référer aux repères annuels de progression au cycle 3 : nous verrons par la suite que les objectifs déterminés pour le CM2, et plus largement pour le cycle 3, ont été, au cours de cette séquence, nettement dépassés.
2. État des lieux à la fin de l'école élémentaire et au collège
Depuis plusieurs années, les évaluations nationales d'entrée en sixième, ainsi que les remontées des professeurs du collège de notre secteur, font état d'importantes difficultés des élèves en géométrie : une maîtrise approximative du vocabulaire spécifique, une méconnaissance des notions et des codages, un tracé maladroit et imprécis, un manque de rigueur en général.

Mais inutile d'attendre jusque là pour constater l'étendue du désastre. Dès l'entrée en CM2, et ce, chaque année, on peut déjà constater un retard sur l'acquisition des compétences censées avoir été travaillées auparavant : une très mauvaise maîtrise du vocabulaire de base, des difficultés psychomotrices dans la manipulation des outils (même de la règle), une grande fragilité des concepts déjà entrevus, une méconnaissance des propriétés et des techniques de construction, et globalement, un manque de rigueur et de précision, sans compter les blocages déjà parfois bien installés liés à l'activité mathématique et à la perception que les élèves ont d'eux-mêmes face à l'exercice. Autant dire que chaque début d'année en CM2, il semble qu'il faille tout reprendre à zéro, de la définition de la droite au tracé à la règle, ne serait-ce que pour souligner la date...

Comment expliquer que, malgré le travail sans aucun doute accompli par les collègues année après année, il ne reste de toutes les notions abordées, de tous les exercices faits et corrigés, de tous les discours tenus et de toutes les leçons apprises, que des bribes imprécises, des conceptions partielles voire erronées, des tracés brouillons ? Réunions d'équipes, constats d'échec et répartition de programmes en tous genres n'y changent rien. Les élèves se succèdent et la situation demeure.
3. Le rapport Villani Torossian
Le rapport Villani Torossian donne quelques explications, quelques pistes sur ce qu'il y aurait à corriger dans notre manière d'aborder la géométrie, et les mathématiques en général.
Les professeurs doivent davantage tenir compte du rôle de l'affectivité dans les apprentissages.
Mais combien de jeunes professeurs ont-ils entendu lors de leur formation qu'ils n'étaient pas là pour " aimer les élèves " ou pour " faire " de l'affectif ? Il est pourtant évident que nos élèves sont d'abord des enfants, ils ne cessent pas de l'être en passant la porte de la classe, pas plus que nous, nous ne cessons d'être ce que nous sommes. Ils ont besoin de se sentir en sécurité affective : avoir le droit de ne pas comprendre, de se tromper, pour se permettre d'essayer ; avoir le droit de se sentir rassuré dans ses échecs, soutenu, puis valorisé dans ses réussites, pour se permettre d'y arriver.
L'affectivité, c'est aussi l'aptitude à être touché par ce que les sens peuvent capter : les formes, les couleurs, et plus largement, ce qui peut sembler beau. Quelle place, dans la formation mathématique des enfants ou des professeurs, pour l'esthétique, pour la sensibilité, pour le plaisir ?
Le temps est un facteur clé dans les apprentissages mathématiques : l'élève doit avoir le temps d'essayer, d'éventuellement se tromper, d'analyser son erreur, d'essayer à nouveau.
Le temps ? Nous en manquons tous dans nos classes, avec des programmes chargés, des quotas horaires inappropriés aux contenus toujours plus denses qu'on nous demande d'aborder. L'histoire des arts par exemple, au programme, n'est pas prévue dans les volumes horaires dédiés aux enseignements. Il faut faire preuve d'inventivité pour faire de l'interdisciplinarité, et ajouter ce contenu par ailleurs si essentiel, à tous ceux déjà prévus. Alors, où trouver le temps d'essayer, de se tromper, d'analyser, de manipuler autant que nécessaire quand l'emploi du temps se déroule inexorablement vers la dernière sonnerie du vendredi, quand le calendrier poursuit sa course invariable vers les prochaines vacances et la classe supérieure ?
Pour avoir évoqué le problème en réunion d'équipe, la nécessité de prendre le temps de manipuler pour ancrer les notions dans le savoir-faire, l'argument du manque de temps est celui qui revient le plus souvent. Et d'ailleurs, on en a encore moins en CM2 que dans les petites classes, là où l'on doit s'assurer que les apprentissages de l'élémentaire ont été acquis, et où l'on doit préparer les élèves au passage en sixième.
Le plaisir et le désir sont des moteurs fondamentaux des apprentissages. Mais, sans effort, il n'y a pas non plus de progrès. Il faut développer le sens de l'effort chez l'élève.
Le plaisir ? Le désir ? Mais à quel moment ces mots sont-ils prononcés au cours de la formation des enseignants ? À quel moment dans le programme de l'Education Nationale ? À quels moments s'incarnent-ils dans les apprentissages ?
Et pourtant, il n'y a pas d'autre pédagogie. Comment transmettre dans la douleur ou l'ennui ? Impossible. Au pire, on fera ingurgiter aux enfants des notions dont il ne restera que bribes et tracés brouillons...

Voilà le douloureux constat auquel nous sommes rendus : les enfants, réduits au statut d'élèves, privés d'affectivité, de plaisir et de désir, pressés par le temps du calendrier scolaire, traversent les classes en n'emportant avec eux que des lambeaux de connaissances dans le meilleur des cas, et une tenace rancœur contre le système scolaire ainsi qu'une piètre image d'eux-mêmes dans le pire des cas. Évidemment, les plus autonomes et les plus solides s'en sortiront. Mais les autres ?

Alors quoi ? Cette année, nous avons décidé de faire de la géométrie en autorisant aux enfants ce qui leur fait défaut : plaisir, désir, temps.
La trinité du bonheur à l'école.
II. Une année de géométrie en CM2 1. Une première approche multidisciplinaire : arts et géométrie
L'année de CM2 s'ouvre en général sur une évaluation diagnostique des connaissances et des compétences des élèves, qui fait apparaître les manques cités précédemment. Nous commençons par revoir le vocabulaire de base, puis une fois les mots posés sur des concepts réactivés, nous travaillons sur le premier point à aborder cette année-là : les notions de parallélisme et de perpendicularité.

Pour permettre aux élèves d'entraîner leur œil, et pour vérifier par les instruments que deux droites sont parallèles ou qu'elles sont perpendiculaires, nous proposons d'observer les tableaux de Mondrian. Ce support nous permet de lier histoire des arts et géométrie, il est esthétique, inhabituel dans une leçon de mathématiques, et il éveille la curiosité des enfants.

Suite à cette phase d'observation vient une étape présentée comme un travail d'arts plastiques - qui suscite habituellement l'enthousiasme des enfants à sa seule évocation. C'est d'ailleurs sur la plage horaire réservée à l'enseignement artistique qu'est réalisé cet exercice.
Munis de leurs instruments de géométrie, les enfants doivent à leur tour réaliser une composition à partir de droites parallèles et de droites perpendiculaires, qu'il faut colorier selon les couleurs utilisées par Mondrian.

Cette première activité interdisciplinaire fait surtout apparaître les difficultés des enfants à maîtriser leurs outils. La règle n'est pas stabilisée pendant le tracé : les droites ne sont pas droites. L'équerre est tenue dans n'importe quel sens : l'angle droit n'est pas toujours repéré ni posé à l'endroit voulu. Les enfants ont besoin de beaucoup de présence, de démonstration, de verbalisation, de modélisation. Leur regard n'est pas exercé à reconnaître l'allure des parallèles ou des perpendiculaires, et même d'importantes erreurs visibles à l'œil nu ne leur semblent pas évidentes. Quant à vérifier la justesse de leurs productions avec leurs instruments, c'est encore loin d'être un réflexe.

Certaines réalisations sont tout à fait réussies, mais la plupart restent très approximatives et " bancales ". Les enfants peuvent comparer lors de l'affichage, celles qui répondent avec rigueur à la consigne, et celles qui témoignent encore de leurs difficultés. Il ne s'agit pas de compétition, ni d'évaluation, rappelons que nous sommes en leçon d'arts plastiques... pas en géométrie. Ces tracés seront repris plus tard dans l'année, nous aurons le temps de les expérimenter de nouveau et de les améliorer.

L'image montre les réalisations des élèves à partir de Composition en rouge, jaune et bleu de Mondrian (1927). Cette séance nous a permis non seulement de percevoir la nécessité de la rigueur pour obtenir une composition harmonieuse, mais elle nous a aussi permis de constater qu'en géométrie, l'œil ne suffit pas à s'assurer de la justesse du tracé : la rigueur est de mise et des instruments sont nécessaires.

Nous terminons cette première séquence par une séance d'arts plastiques avec un travail sur Vasarely, qui nous permet de lier les séances précédentes : art, illusions d'optique, géométrie. Ces productions n'ont de géométrique que l'allure, mais n'oublions pas, de nouveau : ce sont des réalisations artistiques. Les enfants doivent comprendre la différence entre dessin et figure géométrique. L'exposition ci-dessous a été réalisée à partir de Basq (1973).

2. Rencontre avec Histoires de mathématiques et " le coach "
Notre quête continue d'autoformation nous a conduit jusqu'au site de Bernard Ycart et à ses histoires mathématiques. L'esprit correspond à l'idée d'interdisciplinarité, et répond à l'exigence d'une approche différente, avec la possibilité d'une multitude d'entrées pour une même notion. C'est ainsi qu'est née notre coopération. Bernard Ycart est vite devenu un personnage important pour les enfants : " le coach " de maths, celui qui propose les challenges, à qui on envoie les photos des productions, qui félicite à distance. Il a proposé aux élèves des défis, qui ont été à l'origine de nouvelles séquences. À commencer par une séquence autour des pavages, alors que nous nous apprêtions à aborder la notion de symétrie.
3. Histoires de pavages : Truchet et Escher
Truchet est apparu dans notre classe un vendredi matin. Chaque vendredi matin, dans notre classe, c'est dictée, en lien avec l'histoire des arts. Ce jour-là, nous présentons les pavages comme une œuvre d'art, et les enfants en conviennent : c'est bien joli à regarder. Nul besoin de parler géométrie pour le moment.

Nous observons de nombreux pavages pour faire émerger l'idée de symétrie (la notion a déjà été abordée en CM1). Nous cherchons sur les différents pavages des axes de symétrie. Suite à cette découverte, les enfants sont invités à faire comme Truchet. Le jeu consiste à constituer des figures à partir de la même petite pièce bicolore.
Spontanément, les enfants s'emparent des pavés comme s'il s'agissait d'assembler un puzzle, l'activité a tout d'un jeu, et ils commencent à réaliser des pavages, seuls, à plusieurs, le plus souvent en utilisant la notion de symétrie observée chez Truchet.

Le vendredi suivant, la dictée nous parlait d' Escher, de ses illusions d'optique, mais surtout de ses pavages, plus complexes que ceux de Truchet. Toujours en cours d'arts plastiques, nous avons manipulé les papillons, nous les avons coloriés, puis assemblés.

Sans les nommer, nous avons observé les mouvements des papillons (rotation, translation, symétrie). Les enfants ont pris conscience de l'exigence de rigueur au moment de l'assemblage pour constituer un pavage régulier. L'ensemble a commencé à être exposé dans le couloir. Les enfants étaient ravis de pouvoir admirer le résultat de leur travail. Les enfants des autres classes s'arrêtaient pour regarder, les maîtresses pour féliciter les élèves. Une petite expo virtuelle est aussi proposée aux parents sur l'ENT de la classe pour faire part du travail réalisé. Les retours des parents sont positifs.

Les enfants, à ce stade de la séquence, ont déjà pris goût au jeu, à l'exigence esthétique, au plaisir d'avoir produit quelque chose de beau, et à la fierté de se sentir valorisés.
Alors, oui, nous avons pris le temps de manipuler, les enfants ont pris du plaisir et se sont amusés, et oui, ils ont eu le désir de continuer. Il était grand temps de sortir règles, équerres et compas.
4. Les litema sud-africains : premiers tracés
La dictée suivante nous emmena en Afrique du Sud pour découvrir les litema. Après avoir observé différentes décorations de ces maisons d'Afrique du Sud, les enfants ont créé leurs propres motifs. Nous avons observé des motifs plus ou moins géométriques, souvent reproduits de manière symétrique avec des inversions de couleurs.
Nous sommes toujours en cours d'arts plastiques, les enfants sortent néanmoins leur matériel de géométrie pour réaliser le quadrillage dont les dimensions sont imposées (et hop, on réinvestit les parallèles et les perpendiculaires, en ayant une pensée pour Mondrian). II a été dit d'emblée que les travaux seraient exposés dans le couloir, les enfants s'appliquent sur leurs tracés, qui restent simples, mais justes et soignés.
5. Rosaces et pavages de triangles

La figure a été tracée pendant que les enfants travaillaient. Ils l'ont vue se construire. La curiosité des enfants ne s'est pas fait attendre : " Tu fais quoi ? " Quand la figure fut terminée, elle a été accrochée au tableau, sans autre commentaire. Rapidement, ils ont déclaré que c'était " trop beau ". Et vite, derrière, la question attendue : " Mais comment t'as fait ? Tu peux nous montrer ? " Il a fallu répondre à la demande des enfants... qui se sont sentis à l'initiative de l'activité. Une activité on ne peut plus géométrique, mais qu'ils n'ont absolument pas sentie comme telle... jusqu'à ce qu'ils aient à batailler avec leur compas.

Certains n'ont pas manqué d'émettre certaines réserves, trouvant que ça avait l'air difficile... mais ils ont gardé l'envie d'essayer. Pour la séance suivante, je leur ai demandé d'apporter leur matériel.

La manipulation du compas a demandé un peu d'entraînement mais les enfants sont tous parvenus à terminer leur figure, même les élèves les plus en difficulté, dont certains utilisaient leur compas pour la première fois. Certains se sont entraînés à faire des rosaces plus petites par la suite. L'enthousiasme pour les rosaces fut encore plus dévorant que celui des pavages. Les rosaces ont fleuri pendant plusieurs semaines en permanence sur les tables, les enfants se sont tous équipés de compas " autobloquants " qui répondaient à leur nouvelle exigence de précision. Les pavages de rosaces, au départ brouillons, souvent recommencés, sont devenus parfaits, soignés, précis, se couvrant d'une multitude de couleurs.
6. Patrons de polyèdres : du tétraèdre à l'icosaèdre
Nous sommes passés de l'observation de figures planes à la conception de solides, d'abord avec le tétraèdre. Il a fallu retrouver les faces triangulaires dans le pavage de rosaces. Nous avons décrit le solide en utilisant le vocabulaire géométrique : face, arête, sommet.

Nos premiers polyèdres sont venus étoiler le plafond de notre couloir, parce qu'à notre couloir déjà magnifique, il manquait un ciel.

Nous n'allions pas nous arrêter en si bon chemin. Après le tétraèdre, nous avons fait connaissance avec l'octaèdre, puis enfin l'icosaèdre.

7. Tracés géométriques : des litema aux figures complexes
Au printemps, nous avons commencé à nous pencher de manière plus approfondie sur d'autres types de figures géométriques. Une partie des apprentissages a dû se faire à distance, il fallait donc que les enfants fassent preuve d'une certaine autonomie. Les tracés à partir de modèles étaient particulièrement adaptés : voir Le tracé géométrique au fil des âges, par F. De Ligt. Chaque semaine, une figure à reproduire a été proposée aux enfants. Il a fallu toujours veiller à ce que cette figure semble assez difficile pour garder un côté " défi " qui maintient la motivation, et assez accessible pour être réalisable.

Au départ, les enfants avaient quelques consignes écrites, puis ils ont rapidement été assez autonomes pour analyser le modèle, anticiper les différentes étapes, et les reproduire dans leur construction.

Ces figures ont été réalisées en autonomie à distance, avec des instructions de construction.

Au retour en classe, nous avons continué à nous lancer des défis de plus en plus difficiles. Au fil des semaines et des figures, les enfants ont pris un goût certain à les relever. Ils étaient motivés par l'aspect esthétique, mais aussi par le fait de pouvoir surmonter les difficultés qui se présentaient, à mesure qu'ils gagnaient en assurance. Au départ, ce fut du " pas à pas " avec décomposition des étapes pour réussir à tracer la figure : beaucoup d'observation, de verbalisation, de modélisation. Puis au fil du temps et des progrès accomplis, l'œil et la main se sont exercés, ils sont devenus presque autonomes et ont réussi à analyser les figures, à décomposer les différentes étapes à réaliser, puis à les reproduire, sans aucune aide de ma part.
III. Évaluation et conclusion 1. Évaluation
Nous sommes donc partis d'un constat d'échec : vocabulaire approximatif, notions floues, tracés brouillons... Nous avons cherché ce qui manquait à nos élèves : temps, plaisir, désir, disions-nous. Il est évident qu'en terminant cette année scolaire, les élèves ont non seulement pris du plaisir, ils désireront sûrement retrouver de nouveau la satisfaction de l'effort, de la difficulté surmontée, et ils prendront le temps de faire, de refaire, autant qu'il le faudra pour l'obtenir. En quittant la classe et au seuil du collège, il est évident que ces élèves ont non seulement acquis les compétences du CM2, mais aussi du cycle 3, et encore davantage. En partant de constructions très guidées, les élèves ont peu à peu réussi à devenir totalement autonomes : ils sont capables d'analyser une figure, de comprendre comment elle est construite, et comment il va falloir s'y prendre, étape après étape, pour la reproduire. Les tracés maladroits ont fait place à des gestes rapides et précis.

La géométrie n'est plus un mot qui fait peur, au contraire. Le plaisir pris à soigner l'esthétique des figures, la fierté de voir ses productions valorisées, la plaisir de chercher, et la joie de réussir ont permis aux enfants d'accroître leur capacité de concentration, jusqu'à passer plusieurs heures sur leur figure le vendredi (et à en refaire d'autres à la maison en rentrant).

Seulement voilà, il faut s'accorder la dimension du temps, de l'espace aussi : il faut accepter que les enfants avancent à leur rythme (très lentement au départ), qu'ils puissent se tromper, refaire, qu'ils puissent collaborer, échanger, partager, s'entraider, se déplacer.
Une fois les exigences de rigueur intégrées, ils ont besoin de cet espace de liberté pour progresser et y prendre du plaisir... ça bouge, ça bourdonne, certes, mais ça travaille surtout.
Alors c'est vrai, il n'y a pas eu beaucoup de leçons de géométrie collées dans les cahiers, mais les enfants ont manipulé, expérimenté, ils ont acquis des savoirs et des savoir-faire : ça ne s'apprend pas dans les cahiers, mais un crayon à la main.

Finalement, la qualité des figures est là. Mais ce n'est pas le seul indicateur du succès de cette séquence. Le travail réalisé et le plaisir des enfants ont traversé les murs de l'école. Les enfants ont partagé leur enthousiasme avec leur famille, ont transmis leur savoir-faire à leurs frères et sœurs, ils ont décoré les murs de leur chambre de figures géométriques, suspendu des polyèdres au-dessus de leur lit. Le travail réalisé a pris du sens parce qu'il est entré dans leur vie.

Les retours des familles vont dans le même sens. Une enquête réalisée auprès des parents révèle que 100&percnt; des enfants ont apprécié les activités géométriques durant cette année, 80&percnt; des enfants ont poursuivi leurs activités à la maison pour le plaisir, 85&percnt; des parents trouvent que leur enfant a progressé. Les commentaires reçus sont largement positifs : " Ma fille a pris beaucoup de plaisir dans les activités, elle n'avait pas l'impression de faire des mathématiques ", " c'est super d'apprendre les mathématiques d'une façon différente et surtout ludique ", " rien de mieux pour leur faire aimer les maths ! ", " *** a aimé lier la géométrie à l'art plastique ", " *** a voulu continuer son activité sur les pavages à la maison de lui-même, ce qui est très rare ".

Resterait à confirmer les progrès des enfants par les évaluations d'entrée en sixième à venir à la rentrée prochaine.
2. Conclusion
Un de ces commentaires a de quoi interpeller : faut-il, pour avoir plaisir à une activité, " ne pas avoir l'impression de faire des mathématiques " ? D'ailleurs les enfants ont eu ce même genre de remarque concernant les longues séances de géométrie : lors des premières fois, ils étaient ravis, c'était " trop bien, on n'a pas travaillé ! ".
Quelques séances après avoir transpiré un peu sur leur compas et leur figure, ils ont bien compris que c'était un vrai travail, difficile, exigeant, que c'était bien des mathématiques. Et malgré tout, ils n'en ont pas perdu le plaisir des premières séances, c'était toujours " trop bien ", et l'enthousiasme était toujours intact quand je dévoilais la figure de la semaine au tableau. La séance de géométrie était attendue, certains l'avaient déjà devancée à la maison.
" Avoir l'impression de faire des mathématiques " ne devrait pas être un frein au plaisir des apprentissages, si on s'accordait plus souvent à l'école le droit au temps, au plaisir, au désir.
Voilà en tout cas une trentaine d'élèves, espérons-le, qui ne seront plus jamais traumatisés à l'idée de sortir une équerre ou un compas.

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Une approche esthétique de la géométrie en CM2 - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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L'article rend compte d'une expérience menée dans une classe de CM2 pendant l'année scolaire 2020-2021. L'objectif était de proposer aux élèves une (...)

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les sapins: triangles et proportionnalité

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les sapins: triangles et proportionnalité

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faire évoluer les représentations des élèves sur les mathématiques

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faire évoluer les représentations des élèves sur les mathématiques

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les fib's: des poèmes selon la suite de Fibonacci 1-2-3-5-8-13

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La Maison Poincaré, le lieu où les maths prennent vie, a ouvert ses portes le samedi 30 septembre 2023 ! Sur 900 m2 au cœur de Paris, découvrez l'influence des mathématiques sur notre société et dans notre quotidien ! Ce nouvel espace d'expositions et d'échanges au sein de l'Institut Henri Poincaré (CNRS & Sorbonne Université) est ouvert à tous et toutes.

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Durant l'année scolaire 2023-2024, ma classe de CM2 a participé au projet " Regards de Géomètre ".

L'objectif ? Créer avec mes élèves une œuvre collective qui mette en relation les arts et les mathématiques.

Mes motivations ? Poursuivre un travail déjà entamé dans ma classe ces dernières années pour aborder les mathématiques de manière vivante et interdisciplinaire. Cette action me semblait parfaitement illustrer le " projet d'innovation pédagogique " que je mène dans ma circonscription, " Pour une approche esthétique des mathématiques ".

Aborder les mathématiques par l'esthétique, c'est favoriser une approche sensible et concrète de la discipline, qui laisse toute sa place à la créativité et à l'imaginaire des enfants. C'est aussi une manière de susciter la surprise et la curiosité, en montrant qu'il peut y avoir des mathématiques là où on ne les attend pas : en dehors des manuels, ailleurs que sur du papier ou entre les quatre murs d'une classe. On peut les retrouver sur les murs d'un musée, dans une partition, sur le parquet d'un gymnase. Croiser les regards, c'est permettre de voir autrement et de voir plus loin. C'est enfin permettre aux enfants d'y découvrir un plaisir immédiat, qui n'est pas forcément conditionné à leurs performances scolaires, et d'avoir une autre perception d'eux-mêmes en tant qu'élèves au moment de la leçon de maths.

Cet axe de travail étant déjà très présent dans ma classe, j'ai inscrit mes élèves au dispositif Regards de Géomètre afin de leur proposer une dynamique de projet supplémentaire. L'idée de pouvoir bénéficier de l'intervention d'un chercheur et d'un artiste pour nous aider à construire notre projet, de pouvoir l'exposer et la présenter à l'institut Henri Poincaré en fin d'année m'ont semblé des moteurs intéressants, formateurs et valorisants.

L'interdisciplinarité est inscrite dans les instructions officielles : dans les programmes scolaires de l'École Primaire, les mathématiques sont incluses dans " les langages scientifiques et techniques ", un langage parmi d'autres pour " penser et communiquer ". Il est ainsi mis en relation avec les autres formes de langage : le français, les langues étrangères, les langages artistiques, le langage des médias et de l'informatique, les uns pouvant s'associer aux autres. Dans les projets pour les nouveaux programmes scolaires prévus désormais pour la rentrée 2025, l'interdisciplinarité est souhaitée de manière explicite dès le cycle 1 afin de donner plus de sens aux apprentissages, d'apporter une maîtrise profonde des compétences et de leurs applications dans différents domaines. Il est écrit dans les programmes du cycle 3 : " il importe que tous les enseignements soient concernés par l'acquisition des langages scientifiques ".

On y considère par exemple que les activités artistiques peuvent permettre aux enfants de manipuler les formes géométriques et de se familiariser avec leurs propriétés, d'explorer les notions de proportion et de symétrie : ces approches seraient un moyen de développer une compréhension intuitive des concepts mathématiques. D'autre part, cette approche diminuerait l' anxiété mathématique et favoriserait l'égalité fille-garçon " en diminuant les stéréotypes liés à la discipline ".

L'intervention du chercheur et de l'artiste n'ont finalement pas pu avoir lieu, mais le projet a été longuement réfléchi en classe. Pour créer une dynamique intéressante, il fallait qu'il émane des enfants. Nous avons eu plusieurs pistes de travail, à partir de ce qui avait déjà été fait par ailleurs : travailler sur les pavages, sur les figures géométriques, sur les polyèdres...

C'est durant la semaine des Maths, racontée ici, que j'ai proposé à mes élèves une activité de circonstance sur la thématique " l'essentiel, c'est de participer ". Il s'agissait d'ateliers de danse et d'acrosport autour de la symétrie.

Les deux activités font partie du même champ d'apprentissage : " s'exprimer devant les autres par une prestation artistique ou acrobatique ". En danse, il s'agit de " mobiliser son imaginaire pour créer du sens et de l'émotion, dans des prestations collectives qui impliquent de coopérer pour construire ensemble " ; en acrosport (ou gymnastique acrobatique) il s'agit de produire " des enchaînements de figures comprenant des éléments acrobatiques destinés à être vus et jugés ". Dans notre cas, l'objectif est de réaliser des " pyramides statiques ", c'est-à-dire des figures dans lesquelles " les partenaires doivent rester en contact et immobiles afin de montrer des éléments de force, de maintien et de souplesse ".

Ce travail ne s'est pas limité à cette seule semaine, il s'est poursuivi les semaines suivantes sur plusieurs séances. J'ai pris le parti de laisser une grande liberté de création aux enfants, en leur donnant pour consigne de réaliser des danses ou des figures symétriques. Ils se sont emparés de cette idée pour construire des compositions très variées. Dans leur processus de création, ils ont dû s'approprier la notion de symétrie pour s'y conformer, ou au contraire, en jouer, ce qui a supposé de redéfinir les concepts manipulés.

Incarner des notions géométriques : de l'acrosport à la danse

Il a été rappelé en préliminaire que toute représentation d'une notion géométrique n'est jamais qu'une représentation et une approche imparfaite de l'idée abstraite.

Ici, notamment, il s'agit d'une représentation artistique et corporelle : les corps ne sont pas identiques, les mesures ne sont pas exactes, il n'en va pas d'une figure d'acrosport comme d'une figure géométrique réalisée avec des instruments de tracé. Néanmoins, la contrainte, par nature imparfaite, oblige à d'autant plus de rigueur dans la composition pour que les enjeux mathématiques y soient lisibles. Dans ces figures, par exemple, les enfants lisent spontanément la composition symétrique, ils ont pu par contre corriger les postures des uns et des autres au fil de leurs créations, pour tenter d'approcher une représentation la plus équilibrée possible : les lignes droites (obtenues par les membres alignés), les angles formés, la nécessité d'un référent pour figurer l'axe de symétrie, les distances autour de cet axe... ceci a supposé un travail d'équipe important, une verbalisation constante des notions qu'il fallait représenter, la manipulation du vocabulaire spécifique approprié, un regard critique sur les productions à réaliser.

En acrosport, la notion de symétrie est étroitement liée à celle d'équilibre afin d'assurer la stabilité et l'esthétique de la figure. Les forces et les masses doivent être réparties de manière harmonieuse : la qualité artistique de la figure dépend de la justesse mathématique de sa construction... Sinon, ça ne tient pas, c'est la chute, la figure n'existe pas. L'évaluation est immédiate. Ce travail de création permet aux enfants de comprendre des concepts mathématiques de manière concrète, incarnée , interactive et vivante.

Ces séances ont été des moments de plaisir pour les enfants : un travail collaboratif, où l'on bouge, on parle, on s'amuse de ses erreurs quand quelqu'un tombe, on se corrige, on recommence, on s'admire aussi, et on s'applaudit, quand la figure tient et que c'est réussi.

En acrosport, la performance est esthétique mais assez statique : on recherche la stabilité et le maintien des positions. Nous avons fait évoluer notre activité en poursuivant par une autre " activité sportive à visée esthétique " : la danse, qui intègre à l'exigence d'équilibre le mouvement.

Notre projet pour Regards de Géomètre s'est porté sur la danse. Nous avons d'abord transposé nos compositions acrobatiques dans les premières chorégraphies.

La différence entre acrosport et danse ? S'ajoutent essentiellement les idées de mouvement et de chorégraphie. Il ne s'agit plus de figures statiques mais d'un enchaînement de mouvements qui raconte une histoire, en habitant l'espace avec rythme.

Pour l'apport didactique, j'ai été aidée par Nathalie Indelicato, collègue Professeure des Écoles, conseillère pédagogique en EPS et danseuse médaillée.

Nos échanges m'ont permis de prendre en compte différents éléments à intégrer dans notre travail :

la posture du corps et la relation à l'autre (symétrie, dissociation segmentaire, interactions entre les danseurs)

l 'énergie, la vitesse et le rythme d'exécution

l'occupation de l'espace (verticalité ou horizontalité, ampleur du mouvement)

Les enfants ont travaillé par groupes, avec, dans un premier temps, une totale liberté de composition, la seule contrainte étant de mettre en évidence la notion de symétrie qui m'a semblé la plus naturelle à faire émerger puisqu'elle leur était la plus familière. Les chorégraphies se sont rapidement organisées autour de postures en miroir, plus faciles à mettre en mouvement, et d'abord en binômes pour ne pas multiplier les axes de symétrie supposés.

Durant toute la séquence, le travail s'est déroulé sans musique pour ne pas parasiter la recherche des élèves. Les objectifs étaient explicites : nous étions en cours d'EPS, le résultat attendu correspondait à une démonstration artistique, mais c'était aussi un travail de réflexion mathématique. Quels étaient donc les objectifs mathématiques ? Certes pas d'obtenir des figures parfaites, ni de prendre des mesures de distances ou d'angles, mais de manipuler des concepts décrochés des supports traditionnels, avec les corps mais aussi avec les mots, car un travail d'équipe suppose l'échange, la discussion, la concertation, l'explication : la verbalisation.

Voici deux danses réalisées en duo après une heure de travail :

https://www.youtube.com/watch?v=2GXPoMoDjQg&ab_channel=SM

https://www.youtube.com/watch?v=0cJge3HlOuE&ab_channel=SM

Les enfants ont pris beaucoup de plaisir à imaginer leur chorégraphie et à présenter leur travail devant leurs camarades. À l'issue de cette séance, plusieurs questions se sont posées : Quelles sont les notions mathématiques en jeu ? Sont-elles lisibles ? Comment garder une trace écrite de la chorégraphie pour pouvoir la reproduire, l'expliquer ou la transmettre ?

Nous avons décidé pour les séances suivantes de constituer des groupes d'élèves plus importants afin de complexifier les interactions et de réfléchir à une trace écrite des chorégraphies réalisées au moment de leur création.

Nous avons donc apporté au gymnase papier et crayon, et alterné les moments d'écriture collective et les moments d'expérimentation " en mouvement ", les deux étant propices aux échanges, aux discussions. L'objectif : élaborer un projet commun, avec une histoire et des intentions lisibles ainsi que des notions mathématiques bien définies et clairement verbalisées.

Le projet était lancé, avec quatre groupes d'élèves, chacun portant une chorégraphie différente. Nous sommes retournés en classe avec quatre premières ébauches de traces écrites que nous avons observées.

Une histoire plus ou moins rédigée, des schémas plus qu'imprécis, un vocabulaire approximatif... le premier jet manque clairement de rigueur au premier coup d'œil, d'ailleurs les élèves des groupes extérieurs au projet n'ont guère compris les intentions de leurs camarades.

Il a fallu utiliser ces premières traces comme support d'expression orale afin de clarifier les objectifs de manière collective.

Des éléments géométriques y sont tout de même présents : on parle de rosace, d'angles droits, de carré, on y voit des triangles qu'on devine équilatéraux. Mais on est loin d'une trace lisible et exploitable pour la suite.

Les questionnements qui émergent sont notés, une trace plus organisée est réalisée, permettant à la classe de s'approprier le travail de chacun des groupes. Des titres sont imaginés pour chaque chorégraphie. Nous n'oublions pas qu'il s'agit d'œuvres à caractère artistique.

Pour les séances suivantes, le point de départ sera utile et servira de guide : il reste à vérifier la justesse mathématique de la chorégraphie imaginée et à la mettre par écrit en détaillant les différentes étapes avec la rigueur qui convient.

S'approprier des notions mathématiques en racontant l'histoire d'une figure

La prochaine étape se passe donc en classe, sur papier puisqu'il s'agit d'écrire.

La rédaction s'accompagne de manipulations afin de proposer une schématisation des déplacements dans la chorégraphie prévue.

Dans le rôle des points : les enfants. Les côtés sont figurés par les membres tendus. Il faut s'organiser, chercher de combien de danseurs on aura besoin et comment ils devront se positionner.

Ce travail oblige les enfants à anticiper les différentes étapes, les différentes figures et les différentes directions dans lesquelles les déplacements devront s'opérer.

Les différentes étapes assemblées les unes aux autres forment cette animation qui permet de modéliser la chorégraphie.
https://www.youtube.com/watch?v=i2AHjQvbkQk&ab_channel=SM
Pour la rosace, les enfants ont dû réfléchir au nombre de points à représenter, chaque point étant figuré par un enfant, dans la rosace simple puis dans la double. La traduction en tracé était un vrai travail de géométrie, les enfants ont donc dû réinvestir les compétences développées plus tôt dans l'année.

Les allers-retours entre la modélisation écrite et la réalisation dansée obligent les enfants à passer du concret à l'abstrait. C'est une mécanique difficile.

- le carré décomposé

L'idée du carré décomposé est de déplier un carré : le problème pour modéliser cette chorégraphie est de conserver les mesures exactes. Le carré s'ouvre, se décompose, se déplie en 4 segments toujours identiques.

Les différentes étapes assemblées forment l'animation suivante :
https://www.youtube.com/watch?v=0MJ36bYopWE&ab_channel=SM

- La ronde du carré

La ronde du carré a été difficile à représenter de manière juste : c'est l'histoire d'un cercle qui veut devenir un carré. Les lignes courbes se raidissent pour devenir des lignes droites. Il a fallu réfléchir à la conservation des mesures et du périmètre des deux figures.

Nous avons réinvesti le travail fait sur Pi et sur le périmètre du cercle, manipulé les formules et les propriétés pour obtenir des figures correctes.

Leur succession a permis d'obtenir l'animation suivante :
https://www.youtube.com/watch?v=VdNVxBp-SXw&ab_channel=SM

Suite à l'écriture de la chorégraphie, nous avons regagné le gymnase pour danser et pour réaliser les prises de vues nécessaires à l'élaboration des vidéos.

Du corps au langage mathématique : du gymnase au musée

Nous nous sommes rendus à l'Institut Henri Poincaré pour le colloque de fin d'année et la visite du musée des mathématiques. Au colloque de Regards de Géomètre, chaque classe participant au projet a pu partager le fruit de son travail.

Ce jour-là, c'était fête : les enfants allaient pouvoir enfin présenter leur travail terminé.
Un groupe de volontaires représentant la classe a pris la parole dans l'amphithéâtre de l'Institut.
Mes élèves étaient les plus jeunes, ils étaient impressionnés de parler dans ce lieu prestigieux devant tout ce public de collégiens et de lycéens, mais heureux , prêts ... et fiers !

Voici le support de la présentation qui a été faite de notre travail :
https://nuage01.apps.education.fr/index.php/s/9pEdfMiPqEXW4ci
L'intervention des enfants a été captée lors du colloque :
https://www.youtube.com/watch?v=i6hwaOpnEeA&ab_channel=InstitutHenriPoincaré
La présentation orale de notre projet a été préparée en classe, c'est un apprentissage à part entière : parler assez fort et assez clairement, s'adresser à un public, rendre vivant son propos, ce sont des compétences qui font partie des programmes. Mes élèves ont été entraînés toute l'année, en mathématiques comme en poésie et dans tous les domaines d'apprentissage. Ils ont pu mesurer, en situation, à quel point elles sont importantes pour organiser et communiquer ses idées et son travail. Les enfants ont surmonté leur appréhension, ils ont expliqué avec confiance, de manière lisible et enthousiaste, leur démarche artistique et mathématique.

Voici les vidéos réalisées sur les quatre danses présentées :

Une version papier du projet a été exposée dans la bibliothèque de l'Institut pour l'été.

Une fois sortis de l'amphi, les enfants ont visité la bibliothèque et ses rayonnages d'ouvrages anciens, reconnu le visage de Sophie Germain, nommé les polyèdres exposés dans les vitrines, contents de parler le même langage et d'avoir quelques clés pour s'y retrouver.

Les enfants étaient fiers, sans aucun doute, ils ont été une bulle de vie expressive, vibrante et sonore, dans un Institut très sérieux et intimidant. On a l'habitude d'emmener ses élèves en sortie pour des activités artistiques, pour visiter des monuments historiques, mais en vingt-trois ans d'enseignement, je n'avais jamais emmené mes élèves faire une " sortie mathématique " et je n'aurais imaginé que cela puisse être source de tant de joie et de fierté.

Joie et fierté : c'est un objectif que je garde en ligne de mire dans mon enseignement des mathématiques. Vous la voyez, là, la fierté de la maîtresse devant le travail de ses élèves, exposé dans le temple des matheux ? Et la joie de construire avec eux des apprentissages ouverts, vivants, qui montrent que l'exigence et la rigueur sont aussi sources de plaisir ? L'envie de multiplier les ponts, de décloisonner, de faire tomber les murs, de danser sur des figures géométriques ?

Devant la porte de l'IHP, mes élèves ont clamé les vers de Victor Hugo , " jeunes, gais, vifs ", enthousiastes et joyeux, en sautant les pieds joints dans le " monde vivant ".
Voir le texte du poème
Sur cette photo, je vois surtout l'émotion de la nulle en maths, qui a réussi à ouvrir des portes là où elles lui étaient claquées au nez. Une photo souvenir, pour mes profs de maths.

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Danses géométriques en CM2 - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

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Durant l'année scolaire 2023-2024, ma classe de CM2 a participé au projet " Regards de Géomètre ". L'objectif ? Créer avec mes élèves une œuvre (...)