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Esta será la aplicación que tendréis que usar para la representación de funciones

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🟢 TUTORIAL BÁSICO Aprende a usar GeoGebra en 2023

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🟢 Cómo graficar FUNCIONES | Curso BÁSICO GeoGebra

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La presentación tendrá que realizarse en Genially

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🔔 Tutorial GENIALLY 2020 | Español | PRESENTACIONES INTERACTIVAS y más | Actualizado 2021

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Información básica sobre las funciones elementales

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En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales. Veamos entonces cada una de estas, definiendo su dominio más grande y su rango. Además, veremos la representación gráfica de éstas en el plano cartesiano.

Visualmente, identificamos el dominio de una función trazando rectas verticales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el dominio si una recta corta a la curva que define la función y al Eje X al mismo tiempo.

Visualmente, identificamos el rango de una función trazando rectas horizontales imaginarias en todo el plano cartesiano, diremos que un punto está en el rango si una recta corta a la función y al Eje Y al mismo tiempo.
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Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como , con . A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Funciones Algebraicas

En ocasiones denotaremos esta función con la letra , de la siguiente forma .

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la -ésima parte de .

Imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño . Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una.

Formalmente, la definimos como

Notemos que por más grande que sea el valor de , la función nunca es igual a cero, por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma con impar, tendrá la misma forma.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función , es muy parecida a la función , salvo que ésta es positiva cuando los valores de son negativos. Formalmente, la definimos como

Notemos que por más grande que sea el valor de , la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a y se denota por . Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a y se denota por . Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

Funciones Trascendentes

Consideremos ahora un tipo de funciones que no se pueden expresar de la forma donde es un número natural, las llamaremos Funciones Trascendentes. Veremos a continuación las funciones trascendentales más comunes en la aplicación de las matemáticas.

Definimos la función exponencial como . Notemos que el exponente puede ser cualquier número real. Generalmente se define considerando , que es el Número de Euler o Constante de Neper, éste es aproximadamente . Graficamos la función de la siguiente forma:

Note que cuando adquiere valores muy grandes en los números negativos, la función exponencial se hace muy pequeña, sin embargo, nunca es igual a cero y por lo tanto, nunca toca al Eje X.

Si un número natural, un número positivo y un número real. Entonces definimos el logaritmo base como una equivalencia de ecuaciones de la siguiente forma:

Se define entonces la función logaritmo base de como . Al escribir se sobre entiende que es el logaritmo base 10 de . Generalmente se usa la Función Logaritmo Neperiano que está definida como y su notación es . Graficamos la función logaritmo neperiano de la siguiente forma:

Note que cuando adquiere valores muy pequeños, la función logarítmica se hace muy pequeña, sin embargo, nunca toca al Eje Y.

Funciones Trigonométricas

Las siguientes funciones trascendentales relacionan de forma íntima el radio de una circunferencia y el ángulo de éste respecto al Eje X, a este tipo de funciones las llamaremos Funciones Trigonométricas. Antes de definirlas, estudiemos con detenimiento un círculo de radio igual a 1 que está centrado en el origen, que llamaremos El Círculo Unitario.

Notemos que en el círculo unitario podemos definir un triángulo rectángulo donde su hipotenusa es justamente el radio del círculo. Considerando el ángulo que forma el radio con el Eje X, diremos que el cateto que se encuentra adosado a este ángulo es el cateto adyacente y el cateto que se encuentra en lado opuesto a este ángulo es el cateto opuesto. Entonces, tomando en cuenta que es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro, éste representará (en radianes) un ángulo de 180 grados, definimos las siguientes relaciones:

Definimos el seno del ángulo como el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa del triángulo que hemos expuesto en el círculo unitario. Sentando base en esta relación, definimos formalmente esta función como

Note que esta función repetirá el mismo ciclo en cada intervalo de longitud durante todo su dominio.

Note que a medida que esta función se acerca a esta decrece hacia menos infinito, por lo que nunca toca al eje , por otra parte a medida que se acerca a esta crece hacia el infinito, es por esto que esta función nunca toca al eje . Esta función repetirá el mismo ciclo en todo su dominio entre cada dos números consecutivos de la forma , donde es un número entero.

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En las matemáticas, existen funciones muy particulares que sientan la base para definir otras funciones más complejas, a este conjunto de funciones se les llama Funciones Elementales.

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Publishing platform for digital magazines, interactive publications and online catalogs. Convert documents to beautiful publications and share them worldwide. Title: El001843, Author: Ana María Pizarro Martínez, Length: 217 pages, Published: 2023-12-02

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ELECCIÓN DE FUNCION REAL: EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

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ELECCIÓN DE FUNCION REAL: EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

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ELECCIÓN DE FUNCION REAL: LINEAL CUADRÁTICA, INVERSA, RADICAL

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ELECCIÓN DE FUNCION REAL: LINEAL CUADRÁTICA, INVERSA, RADICAL

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Encontraras información avanzada de cada una de las funciones elementales y lo que es mas importante una selecciones de casos prácticos en los que se usan

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En ocasiones es posible realizar la representación gráfica de una función g(x) a partir de transformaciones elementales sobre otra función f(x) cuya gráfica ya conocemos. El resultado final dependerá de la operación concreta aplicada. En general, cuando la operación afecta a y=f(x) se producen cambios en el eje vertical. Cuando la operación afecta a x, los cambios son en el eje horizontal. En este apartado vamos a describir estas transformaciones y sus operacions asociadas a través de los siguientes puntos:

¿Preparado para comenzar?

Traslación vertical: g(x) = f(x)+k ; g(x) = f(x)-k

En este caso estamos sumando (o restando) una constante k a la coordenada y de la función f(x) para así obtener la nueva coordenada y de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje vertical (eje de ordenadas) de la función original, quedando igual en el eje horizontal (eje de abcisas).
Desplazamiento vertical
Si sumas una constante k a una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia arriba de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia abajo k unidades (gráfica en verde).

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(0,0). Si haces y=f(x)+k, el nuevo punto pasará a ser (0,k). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de la k de la ilustración?

Como ejemplo concreto piensa en la parábola centrada en el origen . Conocida su gráfica, la de será igual, pero desplazada 3 unidades hacia arriba. La de será igual, pero desplazada 3 unidades hacia abajo.

Traslación horizontal: g(x) = f(x+k) ; g(x) = f(x-k)

En este caso estamos sumando (o restando) a la coordenada x de la función f(x) una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). El efecto es un desplazamiento en el eje horizontal (eje de abcisas) de la función original, quedando igual en el eje vertical (eje de ordenadas).
Desplazamiento horizontal
Si sumas una constante k a la variable independiente x de una función de gráfica conocida y=f(x) (en rojo) se produce un desplazamiento k unidades hacia la izquierda de la gráfica de la función original (gráfica azul). Si restas una constante k el efecto es que la gráfica de la función original se desplaza hacia la derecha k unidades (gráfica en verde).

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(0,0). Si haces y=f(x+k), el mismo valor y pasará a estar k unidades a la izquierda, en (-k, 0). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de la k de la ilustración?

Debes evitar la tentación de desplazar hacia la izquierda cuando veas f(x-k) o a la derecha cuando veas f(x+k). El desplazamiento se produce en el sentido contrario al del signo que acompaña a k.

Como ejemplo concreto, veamos una función lineal f(x)=x+1. Si construimos una función g(x)=f(x+3) lo que debemos hacer es poner x+3 allá donde veamos x en f(x). Así pues g(x)=f(x+3)=(x+3)+1. Ahora observa que el valor y=1, por ejemplo, se obtenía para x=0 en f(x). Ahora ese valor se obtiene para x=-3 en g(x) ya que (-3+3)+1=1. El valor y=2 se obtenía para x=1. Ahora se obtiene para x=-2 ya que (-2+3)+1=2. En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar del signo + en f(x+3), la función se desplaza hacia la izquierda.

Reflexión vertical: g(x)=-f(x)

La reflexión vertical ocurre cuando cambiamos el signo al eje y de una función f(x) o, dicho de otro modo, cuando lo multiplicamos por -1. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje x.
Reflexión vertical
Multiplicar una función por -1 es equivalente a cambiar el signo de todas sus imágenes (valores de y). Así, la función en azul es la simétrica de la función original en rojo, respecto al eje de abscisas.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=-f(x), el nuevo punto pasará a ser (-2,-1).

Como ejemplo concreto, la función . Si queremos construir y conocemos la gráfica de la original f(x), no tenemos más que invertirla respecto al eje x. Esto es, que el punto (0, 1) pasaría a ser el (0, -1), el (1, 2) pasaría a ser el (1, -2) y así sucesivamente.

Reflexión horizontal: g(x)=f(-x)

La reflexión horizontal ocurre cuando sustituimos cualquier aparición de x de una función f(x) de la que conocemos la gráfica por -x. El efecto es el de obtener la función simétrica respecto al eje y.
Reflexión horizontal
Dada una función, en rojo, su simétrica respecto al eje y, en azul, se obtiene cambiando x por -x en la expresión analítica de la original.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=f(-x), el nuevo punto pasará a ser (2,1).

Observa que las funciones que presentan paridad par, es decir, simetría respecto al eje y no varían su gráfica.

Como ejemplo concreto, piensa en la función simétrica respecto al eje de ordenadas . Gráficamente sabes que es una parábola con las ramas hacia arriba y con el vértice en (0,1). Si la invertimos "gráficamente" respecto al eje y, la gráfica no cambia. Observa ahora lo que ocurre analíticamente; la nueva función g(x)=f(-x) se obtiene cambiando todas las apariciones de x en f(x) por -x, quedando: , que tiene la misma expresión que la función original f(x).

Expansión y contracción vertical: g(x)=k·f(x)

Cuando multiplicas la coordenada y de la función original f(x) por una constante k:
Expansión y contracción vertical
Puedes expandir o contraer una función en el eje y multiplicándola por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original La función azul es la función original dilatada y la función verde es la función original contraída.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(-2,1). Si haces y=k·f(x), el nuevo punto pasará a ser (2,k). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de k para la función dilatada y la contraída?

Ten presente que multiplicar por un número entre 0 y 1 equivale a dividir por un número mayor que 1 ( g(x)=0.5·f(x)=(1/2)·f(x) ).

Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión vertical. Posteriormente extendemos o contraemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.

Como ejemplo concreto, volvemos a una parábola centrada en el origen . Conocida su gráfica, la de g(x)=3·f(x)=3·x² presentará una dilatación en el eje y. Así, el punto (0,0) permanece siendo el (0, 0), pero el (1, 1) pasa a ser el (1, 3), el (2, 4) pasa a ser el (2, 12) y así sucesivamente.

Expansión y contracción horizontal: g(x)=f(k·x)

En este caso multiplicamos la coordenada x de la función f(x) por una constante k para obtener la nueva gráfica de g(x). Se trata de sustituir todas las apariciones de x en la función original f(x) por k·x:
Expansión y contracción horizontal
Puedes contraer o expandir una función en el eje x multiplicando todas las apariciones de x por un número k mayor que uno o entre cero y uno respectivamente. La función roja, es la función original. La función azul es la función original contraída y la función verde es la función original dilatada.

Observa un punto cualquiera de la gráfica original. Por ejemplo, el (x,y)=(2, -2). Si haces y=f(k·x), el nuevo punto pasará a ser (2/k,1). A la luz de esto, ¿sabrías decir el valor de k para la función contraída y la dilatada?

Ten presente que multiplicar por un número entre 0 y 1 equivale a dividir por un número mayor que 1 ( g(x)=·f(0.5·x)=f((1/2)·x) ).

Debes evitar la tentación de expandir la función cuando veas un k>1, o de contraerla cuando 0<k<1 en f(k·x). Como hemos señalado, el efecto sobre la función al multiplicar todas las apariciones de la variable independiente por k es justo el contrario a lo que le ocurriría a un número cualquiera que se multiplicase por k. Efectivamente, este crecería si k>1 o se compactaría si 0<k<1.

Como ejemplo concreto, nuestra función cuadrática centrada en el origen . Si queremos construir g(x)=f(3·x) lo que debemos hacer es poner 3·x allá donde veamos x en f(x). Así pues g(x)=f(3·x)=(3·x)². Ahora observa que el valor y=1, por ejemplo, se obtenía para x=±1 en f(x). Ahora ese valor se obtiene para x=±1/3 en g(x) ya que . El valor y=9 se obtenía para x=±3. Ahora se obtiene para x=±1 ya que . En definitiva, el efecto gráfico es que, a pesar de multiplicar por un k mayor que 1, la función se contrae.

Si k es negativo procedemos en primer lugar invirtiendo la función, como hemos visto en reflexión horizontal. Posteriormente contraemos o extendemos la misma según |k|>1 o 0<|k|<1 respectivamente.

Transformaciones consecutivas

Será habitual que te pidan aplicar varias de las transformaciones que hemos visto para determinar la gráfica de una función g(x) a partir de otra función f(x). En estos casos, el orden en que apliques las transformaciones puede variar el resultado final obtenido.

Cuando tengas que aplicar varias transformaciones sobre una función comienza por aquellas que afectan al , y termina por las que tengan que ver con el . Si la función está en la forma:

Deberás comenzar las transformaciones del eje x (en azul) por el desplazamiento horizontal ( ±e), y terminar las transformaciones del eje y (en verde) por el desplazamiento vertical ( ±h). El resto de transformaciones las puedes realizar en el orden que quieras, siempre que las del eje x precedan a las del eje y.

En caso de que la forma de la ecuación no sea la indicada, te recomendamos que la transformes y así puedas aplicar el orden propuesto. Por ejemplo:

Cuadro resumen

Puedes utilizar los simuladores del tema sobre los distintos tipos de funciones para ver como afectan las distintas transformaciones estudiadas en las gráficas de la funciones. De particular utilidad te puede resultar el de funciones exponenciales y logarítmicas.

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