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Le coniche

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Le

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L

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In matematica, e in particolare in geometria, l' iperbole (dal greco antico: ὑπερβολή, hyperbolḗ, "eccesso"), insieme all' ellisse ed alla parabola, è una delle sezioni coniche.

Grafico di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti .

In geometria proiettiva si definisce come l'intersezione di un cono circolare retto con un piano che taglia il cono in entrambe le sue falde.

In geometria descrittiva, fissati due ellissi omotetiche e su uno stesso piano e non interne tra loro, l'iperbole si definisce come luogo dei centri delle ellissi omotetiche alle due ellissi date e e in modo che siano tangenti alle stesse e .

iperbole come luogo dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date

In geometria euclidea, si definisce come il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

In geometria analitica, un'iperbole è una curva del piano cartesiano definita da un'equazione del tipo

tale che , dove tutti i coefficienti sono reali, e dove esiste più di una soluzione che definisce una coppia di punti dell'iperbole.

L'equazione generale dell'iperbole si specializza e si semplifica in alcuni casi particolari.

Se l'iperbole soddisfa le seguenti condizioni:

ha gli assi coincidenti con gli assi del piano cartesiano;

ha il suo centro nell'origine;

interseca l'asse delle ascisse;

allora la sua equazione è del tipo:

Se invece l'iperbole soddisfa le prime due condizioni sopracitate, ma interseca l'asse delle ordinate, ha un'equazione del tipo:

In entrambi i casi gli asintoti dell'iperbole hanno equazione .

Se gli asintoti sono perpendicolari (e quindi, nel caso dell'iperbole avente gli assi coincidenti con gli assi cartesiani, se ), l'iperbole si dice iperbole equilatera. Se l'iperbole ha asintoti perpendicolari, ma non coincidenti con gli assi, allora essa sarà definita da una funzione omografica. Data un'iperbole equilatera, di asintoti e , il limite della sua funzione per che tende ad e che tende a , sarà infinito, graficamente cioè, l'iperbole non ha nessun punto di intersezione con i suoi asintoti, se non all'infinito.

Se un'iperbole equilatera viene riferita ai propri asintoti (e cioè se gli asintoti dell'iperbole coincidono con gli assi cartesiani), allora la sua equazione assume una forma molto semplice:

Se è diverso da zero, a tale curva è associata la funzione di proporzionalità inversa .

Se la curva degenera nell'insieme formato dai due assi cartesiani, individuati dall'equazione .

I vari elementi associati a un'iperbole sono:

fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno distanze in cui il valore assoluto della differenza è costante;

vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole;

asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette che interseca l'iperbole in un punto all'infinito.

Nel riferimento i cui assi coordinati sono paralleli agli assi di simmetria della curva, l'iperbole che interseca l'asse delle e avente centro nel punto , ha equazione

Se si applica una rotazione degli assi di 90 gradi, si ottiene l'equazione:

In entrambe le formule è detto semiasse trasverso o semiasse maggiore; è la metà della distanza tra i due rami; è chiamato semiasse non trasverso o semiasse minore. Si noti che, qualora si faccia uso dei secondi nomi, può essere maggiore di ; questa incongruenza viene risolta da alcuni testi invertendo le costanti e . In questo caso l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle viene scritta come:

La distanza tra i due fuochi è pari a dove:

L' eccentricità dell'iperbole può essere definita da:

Tangenti a un'iperbole

I coefficienti angolari delle tangenti a un'iperbole condotte da un punto a essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

con e .

Nel riferimento i cui assi cartesiani coincidono con gli asintoti dell'iperbole equilatera con centro in , essa ha equazione . Il caso generale, di un'iperbole equilatera con assi di riferimento paralleli agli asintoti dell'iperbole, è descritta da un caso particolare della cosiddetta funzione omografica di equazione . Essa ha il centro in (centro della funzione omografica). Inoltre gli asintoti di tale curva hanno equazione (per quanto riguarda l'asintoto verticale) e per l'asintoto orizzontale.

Il ramo destro ha equazioni:

Il ramo sinistro ha equazioni:

In entrambe e rappresenta il settore iperbolico.

Queste due parametrizzazioni possono essere ricavate geometricamente nel seguente modo: consideriamo tutte le rette parallele all'asintoto , ad esclusione di esso. Ogni retta di questo fascio intersecherà l'altro asintoto in un punto generico di coordinate . Tale fascio di rette improprio avrà equazione , con . Intersecando esso con l'iperbole canonica si ottiene il punto .

Scegliendo otteniamo , mentre ponendo si trova la seconda

Come l'ellisse anche l'iperbole ha funzioni parametriche trigonometriche. Per un punto dell'iperbole[1] esse sono:

Per abbiamo il ramo destro dell'iperbole, mentre per abbiamo quello sinistro.

Dimostrazione

quadrando e sommando:

dove l'ultima espressione è l'equazione canonica dell'iperbole.

A differenza delle equazioni parametriche iperboliche (che necessitano di due differenti parametrizzazioni per rappresentare entrambi i rami), utilizzando quella trigonometrica basta una sola parametrizzazione per poter disegnare l'intera iperbole.

Gli angoli dell'equazione conica e quella parametrica hanno legame:

L'equazione generale delle iperboli con semiasse maggiore dove i fuochi sono posti in posizione generica nel piano e siano ed è rappresentata dalla seguente equazione delle coniche:

I parametri sono dati dai seguenti valori:

Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica dell'iperbole: il luogo geometrico dei punti del piano tale che il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi ( e ) è costante e uguale a .

Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche. In tale definizione, per ottenere effettivamente un'iperbole non degenere bisogna richiedere che . Per si ottiene l'asse del segmento , mentre per si individua l'insieme del piano costituito dalla retta passante per meno il segmento privato degli estremi .

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In matematica, e in particolare in geometria, l' iperbole (dal greco antico: ὑπερβολή, hyperbolḗ, "eccesso"), insieme all' ellisse ed alla parabola, è una delle sezioni coniche. In geometria proiettiva si definisce come l'intersezione di un cono circolare retto con un piano che taglia il cono in entrambe le sue falde.

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Una circonferenza

Illustrazione di un cerchio: la circonferenza (C) è disegnata in nero, il diametro (D) in ciano, il raggio (R) in rosso, e il centro (O) in verde. Circonferenza = π × diametro =
= 2 × π × raggio = [metri / centimetri].

Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo diametro è π

In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.

Generalità

Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui:

la circonferenza è un perimetro (ovvero, la misura della linea curva chiusa),

il cerchio è l'area (ovvero, la misura della superficie circoscritta dalla suddetta linea).

Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti circumference e circle, la parola disk indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se non contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.

La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla.
Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.

Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.

Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:

oppure:

Dove:

sta per lunghezza (numero) della circonferenza (luogo geometrico);

sta per pi greco ( );

sta per raggio del cerchio;

sta per diametro del cerchio.

In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.

In un sistema di riferimento cartesiano , la circonferenza di centro e raggio è il luogo dei punti caratterizzati dall' equazione:

cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano da . Tale equazione viene ricavata dalla distanza tra due punti. All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:

collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:

, equivalente a:

, equivalente a:

, o equivalentemente .

Da ciò segue che se la circonferenza degenera in un solo punto, , se il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.

Se il centro della circonferenza è l'origine , l'equazione diventa:

Se la circonferenza passa per l'origine , e l'equazione diventa:

Se la circonferenza ha centro sull'asse x, e l'equazione diventa:

Se la circonferenza ha centro sull'asse y, e l'equazione diventa:

Circonferenza di cui è noto il centro e il raggio

Basta usare l'equazione . A questo problema sono riconducibili anche i seguenti

1. è noto un diametro della circonferenza: il diametro è il doppio del raggio e il centro è il punto medio del diametro

2. sono noti due punti della circonferenza e una retta su cui sta il centro: l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza

Metodo geometrico

Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:

si costruiscono gli assi di due corde;

si fa il sistema tra le equazioni dei due assi;

la soluzione del sistema è il centro della circonferenza;

a questo punto si può calcolare il raggio.

Metodo algebrico

Elaborati in Visual Basic

Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:

si costruisce un fascio proprio di rette con centro il punto esterno;

si impone che la distanza delle rette del fascio dal centro della circonferenza sia uguale al raggio.

Metodo algebrico

Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l' equazione associata di secondo grado al sistema ha .

Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:

si calcola il coefficiente angolare della retta del raggio che ha per estremo il punto di tangenza;

si calcola il coefficiente angolare della perpendicolare a tale raggio;

e quindi si calcola l'equazione della retta perpendicolare passante per il punto di tangenza.

Alternativamente è sufficiente usare la formula di sdoppiamento della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto è semplicemente l'equazione

dove sono dati.

Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio può essere espressa dall'equazione parametrica

per . Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.

È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano . Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:

si calcola la distanza del piano dal centro della sfera S

detto R il raggio della sfera S, il raggio della circonferenza vale

.

La circonferenza

è l'intersezione del piano

con la sfera S di centro origine e raggio 2. La distanza del centro della sfera dal piano vale . La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano interseca la sfera S. A questo punto il raggio della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:

Componenti della circonferenza e loro proprietà

Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:

Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.

Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto , esterno a una circonferenza di centro si tracciano le rette e a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento è bisettrice dell'angolo di vertice .

dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.

L'asse radicale, segnato in rosso, con le circonferenze nelle diverse posizioni reciproche possibili.

Costruzione dell'asse radicale nel caso di circonferenze esterne come luogo in cui si uguaglia la potenza del punto J rispetto alle due circonferenze.

Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale[1] la retta passante per i due punti in comune ( punti base). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Per estenderlo anche al caso in cui le circonferenze non hanno punti in comune l'asse radicale si definisce come la retta formata dai punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi[2].

Una circonferenza topologica si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.

La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo dei numeri interi.

La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l' angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la somma di due punti individuati dagli angoli e come il punto individuato dall'angolo . È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come gruppo è isomorfo al gruppo quoziente .

La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.

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In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio. Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).

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parabola y=ax^2+bx+c V(-b/2a; -D/4a) dove D=b^2-4ac

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Le coniche, dette anche sezioni coniche, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall'intersezione tra un piano ed un cono a due falde; una prima classificazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) e coniche degeneri.

In questa lezione vedremo dapprima come si ottengono le coniche da un punto di vista geometrico, ossia come intersezione tra un piano ed un cono a due falde, per poi vedere come di definiscono le coniche come luogo geometrico; infine vi mostreremo come si riconosce una conica a partire dalla sua equazione.

Prima di entrare nel vivo occorre avere ben chiaro cos'è un cono a due falde: consideriamo una retta verticale , detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto , il quale si dirà vertice del cono. Consideriamo poi un piano perpendicolare alla retta e tracciamo una circonferenza avente il centro su . Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette (dette generatrici del cono) che passano per e per un punto qualsiasi della circonferenza.

Cono a due falde.

Infine, indichiamo con l' angolo formato tra l'asse del cono ed una qualsiasi delle due generatrici.

Coniche non degeneri

Consideriamo un cono a due falde ed un piano non passante per il vertice del cono. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si ottengono i quattro tipi di coniche non degeneri. Nello specifico, così come mostrato nell'immagine che segue

Coniche non degeneri.

- La circonferenza si ottiene dall'intersezione tra il cono a due falde ed un piano perpendicolare al suo asse.

- L' ellisse è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo maggiore di ma minore di 90°, dove è l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue generatrici.

- La parabola si ricava dall'intersezione tra una falda del cono ed un piano parallelo ad una delle generatrici, ossia con un piano che forma con l'asse del cono un angolo uguale ad .

- L' iperbole è data dall'intersezione tra il cono ed un piano che forma con l'asse del cono un angolo minore di . Poiché tale piano interseca entrambe le falde del cono, l'iperbole è l'unica conica formata da due rami distinti.

Coniche degeneri

A differenza delle coniche non degeneri, le coniche degeneri si ottengono quando il piano secante il cono passa per il suo vertice .

Coniche degeneri.

- Un punto quando il piano forma con l'asse del cono un angolo maggiore di , dove con indichiamo sempre l'angolo formato tra l'asse del cono ed una delle sue rette generatrici.

- Una retta se il piano forma con l'asse del cono un angolo uguale ad ; in tal caso la retta ottenuta coincide con una delle generatrici del cono.

- Una coppia di rette quando il piano forma con l'asse un angolo minore di ; queste due rette sono rette incidenti ed il loro punto di intersezione coincide col vertice del cono.

Coniche come luogo geometrico

Oltre che come intersezione tra piano e cono e due falde, le coniche non degeneri sono definite come luoghi geometrici dei punti del piano.

- La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è fissa la distanza da un dato punto , detto centro della circonferenza.

- La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco della parabola e da una retta detta direttrice.

- L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è fissa la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi dell'ellisse.

- L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi dell'iperbole.

Coniche non degeneri come luoghi geometrici.

Equazione delle coniche

L' equazione di una conica è un'equazione quadratica, ossia un' equazione di secondo grado in due variabili reali che si presenta nella forma:

A seconda della relazione che intercorre tra i vari coefficienti avremo i vari tipi di coniche non degeneri. In particolare, se:

la conica è una parabola;

la conica è un'ellisse;

la conica è un'iperbole;

la conica potrebbe essere una circonferenza, ma non possiamo affermarlo con certezza.

Avendo ben presente quanto detto poc'anzi, stabiliamo che tipo di conica è quella individuata dalla seguente equazione

Svolgimento: i coefficienti che ci interessano per determinare il tipo di conica sono:

Calcoliamo ora il valore di

Poiché è un numero minore di zero ed inoltre possiamo concludere che la conica data è un'ellisse.

Per approfondire quest'argomento, gli studenti universitari possono consultare la lezione sulla classificazione delle coniche. ;)

Per il momento è tutto! Dalla prossima lezione inizieremo a passare a rassegna tutti i vari tipi di coniche non degeneri, dedicando a ciascuna di esse un intero formulario in cui troverete tutte le formule utili a svolgere gli esercizi sulle coniche.

Infine, ai soli studenti universitari, consigliamo di non perdersi le nostre guide sullo studio di una conica e sulla riduzione di una conica in forma canonica. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: coniche - coniche non degeneri - coniche degeneri - coniche come luogo geometrico - equazione di una conica.

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Le coniche, dette anche sezioni coniche, sono particolari curve piane così chiamate perché si ottengono dall'intersezione tra un piano ed un cono a due falde; una prima classificazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole) e coniche degeneri.