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Tout ce que je dois savoir et savoir faire avant l'évaluation.

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Fonctions affines

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L'accompagnement personnalisé en classe de Terminale peut permettre aux élèves (et aux enseignants) d'aborder des sujets plus ou moins originaux, en lien avec la matière.

C'est le but de cette activité qui va permettre de construire et d'utiliser les fonctions dans un contexte assez inhabituel.

L'idée de départ est d'utiliser les cases d'un tableur (avec une taille de cellule réduite) comme des pixels, afin de former une image, comme sont formées les images numériques.

Une fonctionnalité d'Excel permet de convertir une valeur numérique en une couleur.

Par commodité, nous nous limiterons ici aux nuances de gris.

L'idée est d'ensuite appliquer à ces valeurs numériques des transformations correspondantes à des usages ; par exemple :

augmentation du contraste

effet de seuil

assombrissement de l'image par la fonction carrée

effet de seuil

fichier Excel correspondant

fichier Excel correspondant

Pour pouvoir mettre en place ces effets, un travail sur les fonctions est nécessaire ; il faut en effet mettre en place une "transformation" de nombres en d'autres nombres selon un certain "cahier des charges".

La situation

Voici la fiche qui a été présentée aux élèves au début de la première séance :

Déroulement dans les classes

première séance : présentation au groupe d'élèves d'APe (dix élèves) de deux activités au choix, avec les attentes pour chacune d'elle.

deuxième séance : distribution de la fiche

1. prise en main de la notion de codage de nuances de gris sur le logiciel CaRMetal

2. première transformation : le négatif d'une nuance de gris

le noir devient blanc

le gris foncé devient plus clair

le gris "moyen" est inchangé

troisième séance : prise en main d'Excel et premier traitement

1. les nuances de gris pour les cellules

2. création d'un dégradé de gris

3. utilisation de la fonction racine carrée pour un premier traitement de nuances de gris sur CaRMetal

quatrième séance : des traitements de nuances de gris sur CarRMetal

1. utilisation de la fonction carrée

2. recherche d'une fonction pour répondre à certaines exigences présentées dans la fiche (recherche non terminée)

cinquième séance : des traitements de nuances de gris sur CarRMetal

finalisation de la recherche d'une fonction pour répondre à certaines exigences présentées dans la fiche

sixième séance : traitement d'images sous Excel

1. utilisation des fonctions vues précédemment pour modifier des images

2. effet de seuil sur des images

Commentaires

Quelques commentaires d'élèves :
"J'ai trouvé ça très intéressant car le fait de travailler sur les ordis, le fait de travailler sur le traitement d'image était assez amusant. Ces APE étaient différents des cours en classe, j'étais captivé par ce travail en groupe et je ne regardais pas ma montre toutes les 15 minutes."

"Un bilan très positif. Des sujets très intéressants qui nous poussent à aller plus loin avec les outils informatiques, de plus vous étiez assez présent pour chaque groupe ce qui nous a permis d'avancer.
Je n'ai franchement rien à améliorer, j'aurais d'ailleurs aimé que cela dure plus longtemps..."

Travaux d'élèves et ressources

Les fonctions trouvées par les élèves sous CaRMetal pour répondre aux contraintes suivantes :

1. le blanc reste blanc ; le noir reste noir

2. le gris clair est plus clair ;

3. le gris foncé est plus foncé

ou :

1. le blanc reste blanc ; le noir reste noir

2. le gris clair est plus foncé ;

3. le gris foncé est plus clair

Ici une image traitée par ces fonctions et le fichier Excel correspondant :

Les fichiers CaRMetal pour aborder les premières transformations vues en classe, plus des transformations à l'aide de la fonction gamma :

Les images (sous Excel) mises à disposition par B Body :

Ici un travail de synthèse (de B Body également) faisant intervenir plusieurs effets (seuil, assombrissement/éclaircissement) à l'aide de curseurs :

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Fonctions et nuances de gris - Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

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L'accompagnement personnalisé en classe de Terminale peut permettre aux élèves (et aux enseignants) d'aborder des sujets plus ou moins originaux, en lien avec la matière. C'est le but de cette activité qui va permettre de construire et d'utiliser les fonctions dans un contexte assez inhabituel.

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Le cours

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Cours

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Geogebra

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Geogebra

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Méthode de l'escalier pour tracer une droite.

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Geogebra

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Geogebra

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Geogebra

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Geogebra

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Réservoir d'une voiture zéro fct de variation partielle

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Réservoir d'une voiture zéro fct de variation partielle

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Geogebra

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Geogebra

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trouver la fonction affine correspondant à une droite

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trouver la fonction affine correspondant à une droite

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Geogebra

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fonction affine lecture du coefficient directeur

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fonction affine lecture du coefficient directeur

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Vidéo

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Sens de variation d'une fonction affine :  Exemples de démonstrations

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Vidéo

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EXERCICE : Représenter une fonction affine - Seconde

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Vidéo

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Représenter une fonction affine - Seconde

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Vidéo

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Représenter une fonction affine (coefficient=fraction) - Troisième - Seconde

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Vidéo

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Déterminer une fonction affine avec le taux d'accroissement (2) - Seconde

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Vidéo

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EXERCICE : Déterminer graphiquement une fonction affine - Seconde

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Vidéo

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Déterminer graphiquement une fonction affine - Seconde

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Fonctions affines

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Fonctions affines

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‪Représenter à partir de l'équation réduite‬

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Le cours

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Cours

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Olivier Lecluse, relecture et compléments Emmanuel Farcy 

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Geogebra

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Geogebra

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Le programme de construction est le suivant A est un point de l'axe des abscisses B(0,1) C1 cercle de centre O passant par A Segment [AB] C point d'intersection de l'axe des ordonnées et du cercle C1 d'ordonnée positive. d droite parallèle à (AB) passant par C D point d'intersection de l'axe des abscisses et d C2 cercle de centre O passant par D E point d'intersection de l'axe des ordonnées et du cercle C2 d'ordonnée positive. d1 droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E d2 droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A M point d'intersection des droites d1 et d2

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Le programme de construction est le suivant A est un point de l'axe des abscisses B(0,1) C1 cercle de centre O passant par A Segment [AB] C point d'intersection de l'axe des ordonnées et du cercle C1 d'ordonnée positive.

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Vidéo

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Etude des variations de la fonction carrée (avec démonstration)

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Vidéo

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Etudier les variations de la fonction carré - Seconde

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Exercices

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Le cours

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Cours

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Olivier Lecluse, relecture et compléments Emmanuel Farcy 

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Fonction inverse et fonctions homographiques

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Geogebra

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Courbes fonctions inverse et homographique

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Courbes fonctions inverse et homographique

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Geogebra

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Vidéo

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Etude des variations de la fonction inverse (avec démonstration)

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Vidéo

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Etudier les variations de la fonction inverse - Seconde

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Exercices

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Etude position relative des courbes d'équations y=x, y=x² et y=x3

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Le cours

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2019 CRS 2nd-12 fonctions de reference (1)

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Carte mentale

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Démonstration

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Geogebra

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Geogebra

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Geogebra

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Parabole associée à une fonction polynôme de degré 2

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Parabole associée à une fonction polynôme de degré 2

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Geogebra

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Geogebra

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Variations de $f(x)=ax^2+bx+c$ sur [c;d]

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Geogebra

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Geogebra

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Geogebra

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Vidéo

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Déterminer l'extremum d'une fonction du second degré - Première

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Vidéo

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Résoudre graphiquement une inéquation - Seconde

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Vidéo

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Déterminer l'extremum d'une fonction du second degré - Première

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Vidéo

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Résoudre graphiquement une équation - Seconde

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Vidéo

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EXERCICE : Déterminer les variations d'une fonction du second degré - Première

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Forme canonique

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Activité

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J'ai conçu cette activité d'après un travail de Dan Meyer

La vidéo suivante montre le début de la trajectoire d'un ballon de basket lors d'une série de 7 tirs. Le but de l'activité est de déterminer si le ballon va rentrer dans le panier dans chacun des cas.

Comme pour tout objet lancé, la trajectoire du ballon est une parabole.

Elle peut donc être modélisée par la courbe représentative d'une fonction du second degré notée f.

Cette fonction . Il s'agit de la f , définie sur l'ensemble des réels, est de la forme forme canonique du polynôme du second degré.

1. Montre que f est bien une fonction polynôme du second degré.

2. En utilisant les 3 curseurs du document GeoGebra ci-dessous (Tir n° 1), explique aussi précisément que possible l'influence des trois coefficients a, α et β sur l'allure de la courbe (si les documents GeoGebra ne s'affichent pas correctement, tu peux essayer de les fichierici).

3. Pour le tir n° 1, en faisant varier ces 3 coefficients, détermine si le ballon va rentrer dans le panier ou pas.

4. Détermine de même si le ballon rentrera dans le panier pour les tirs 2 à 5.

5. Pour les tirs 6 et 7, la fonction f est donnée.

Trouve une méthode pour déterminer si le ballon va rentrer dans le panier.

Pour les tirs 6 et 7, la fonction f est donnée.

Trouve une méthode pour déterminer si le ballon va rentrer dans le panier.

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J'ai conçu cette activité d'après un travail de Dan Meyer La vidéo suivante montre le début de la trajectoire d'un ballon de basket lors d'une série de 7 tirs. Le but de l'activité est de déterminer si le ballon va rentrer dans le panier dans chacun des cas.

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Le cours

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Carte mentale

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Geogebra

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Geogebra

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Courbes fonctions inverse et homographique

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Courbes fonctions inverse et homographique

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges

tymologie : du grec hyperbolê, hyper = au-delà et = lancer, jeter au-delà de toute limite. De plus, hyperballein signifie aussi excéder, dépasser. Ainsi hyperbole apparaît antinomique à ellipse. Les termes sont d' ballein Apollonius de Perge . Descartes adopte le terme hyperbole en 1637.

"Ellipse Justification tymologique par l'quation rapporte un sommet : "
1. En tant que section particulire d'un plan et d'un cne :
L'hyperbole est une des trois (du grec coniques kônos) avec la parabole , et l' ellipse (dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu' intersection d'un cône par un plan.
2. Dfinition monofocale par foyer et directrice :
L'hyperbole est l'nsemble des points M du plan euclidien tels que MF/MH = e où H désigne la projection orthogonale de M sur une droite (d), dite directrice , et e > 1. Ce nombre e est appelé excentricité de la conique.

La droite perpendiculaire (d) passant par F est l' axe focal : il s'agit ici de la droite (KF), K dsignant la projection orthogonale de F sur (d). L'étude géométrique fait alors apparaître la présence d'un centre de symétrie et, par là, celles d'un second foyer F et d'une seconde directrice :

tude gnrale de l'ensemble des points M tels que MF/MH = e :"
3. Une dfinition bifocale :
tant donnés deux points F et F', appelés foyers (terme dû à Kepler ), posons FF' = 2c et soit a strictement positif, a < c. L'ensemble des point M du plan tels que :

| MF - MF' | = 2a

est une hyperbole d'axe transverse (FF') : axe focal. C'est aussi (AA') o A et A' dsignent les sommets de l'hyperbole. On a AA' = 2a.

hyperbole de foyers F(4,0) et F'(-4,0) telle que | MF - MF' | = 4a

La dfinition bifocale de l'hyperbole peut s'interprter comme consquence de sa gnration au moyen d'un cercle directeur :

4. Dfinition au moyen d'un point fixe et d'un cercle directeur :

L'hyperbole est l'ensemble des centres M des cercles passant par un point fixe, appel . Ci-dessous les cercles de centre M passent par le foyer F et sont tangents en P au cercle directeur (c) de centre F', foyer, et tangents cercle directeur second foyer . extrieurement un cercle fixe (c), dit

Notons 2a le rayon de (c) et soit P un point de ce cercle. L'ensemble existe si et seulement si F est extrieur (c), soit si FF' > 2a et un point M de l'ensemble est obtenu en coupant [FP] par la mdiatrice de [FP]. On a alors MF - MF' = MP - MF' = 2a (cas ci-dessus), ou bien : MF - MF' = MP - MF' = -2a (cas ci-dessous). On retrouve la proprit bifocale : | MF - MF' | = 2a.

➔ La symtrie de la relation MF + MF' = 2a montre que l'on peut parler de cercle directeur associ au second foyer (change des rles). Noter aussi que le cercle directeur associ un foyer est l'ensemble des symtriques du second foyer par rapport aux tangentes l'ellipse :

Animation : : " Tangente l'ellipse, proprits de la tangente "
5. Dfinition en tant que courbe algbrique du second degr :
L'quation gnrale des courbes algbriques du second degr est de la forme :

ax ² + by ² + cxy + dx + ey + f = 0 , (a,b) ≠ (0,0)

Un changement de repre conduit une quation du type Y ² + AX ² = K, fournissant une hyperbole dans le cas A < 0 dont l'quation rduite est de la forme :

Les deux hyperboles associes cette forme sont dites conjugues. Elles ont les mmes asymptotes d'quations y = bx/a :

x ²/9 - y ²/4 = 1 (en rouge) et y ²/4 - x ²/9 = 1 (en vert)

tude de l'quation gnrale : " Coniques & quations rduites : "

L'hyperbole équilatère ou homographie :

l'hyperbole d'équation y = (2x - 3)/(x + 2)

Dans un repre orthonorm les branches d'une telle hyperbole sont isomtriques (on dit aussi quilatres provenant du latin aeque = pareillement et latus, lateris = ct), les asymptotes sont perpendiculaires.

Nom de la fonction associée : homographie ou fonction homographique

Equation cartésienne : y = (ax + b) / (cx + d)

Forme réduite : Y = k/X par changement de variable X = cx + d et Y = y -a/c, k = (bc-ad)/c.
"Noter que 1/x, inverse de x, simple fonction rationnelle très élémentaire (a = d = 0, b = c = 1) est la fonction dérivée du logarithme népérien , fonction transcendante découverte par Neper .

l'hyperbole quilatre y = 1/x

Etymologie : l'appellation , du grec homographie est due à Chasles homos = semblable et grafein = écrire, grafixê = dessin, car l'hyperbole possède deux branches identiques (symétriques).

Périodique : non.

Ensemble de définition : R - {d/c}, d'où la présence d'une asymptote "verticale".

Fonction dérivée : (bc-ad)/(cx + d) ² ; fonction dérivée de la forme réduite : -k/X ²

quation cartsienne rapporte un sommet y ² = 2px - px ²/a : "

➔ La représentation graphique d'une fonction f de type f(x) = (ax ² + bx + c)/(kx + m) est généralement une hyperbole (non équilatère) :

♦ Applications :

Trajectoires de certaines comètes dont la masse et la vitesse ne permettent pas au Soleil de les conserver en orbite elliptique .

Tuyaux sonores, cordes vibrantes (fréquence inversement proportionnelle à la longueur)

Mécanique (transmission par engrenages hyperboliques)

Optique (miroirs de Fresnel , franges d'interférence, autrefois étudiées en Math Elem...).

On peut aussi considrer l' hyperboloïde en tant que volume engendré par la rotation d'une hyperbole autour de son axe de symtrie. On peut l'obtenir en tant que surface rgle : sa structure extrmement solide est utilise dans les chteaux d'eau et les chemines de refroidissement des racteurs nuclaires.

➔ Notons enfin que par inversion géométrique , l'hyperbole équilatère se change en une lemniscate de Bernoulli lorsqu'on choisit son centre comme pôle.

quation paramtrique : quations polaires : " "

© Serge Mehl - www.chronomath.com

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges tymologie : du grec hyperbolê, hyper = au-delà et = lancer, jeter au-delà de toute limite. De plus, hyperballein signifie aussi excéder, dépasser. Ainsi hyperbole apparaît antinomique à ellipse.

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Le cours

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Vidéo

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Le cours

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2nd - Exercices - Généralités sur les fonctions

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Exercices corrigés portant sur les généralités sur les fonctions. Au programme : recherche graphique et par le calcul d'images et d'antécédents

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2nd - exercices - fonctions linéaires et affines

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Fonctions linéaires et affines 2nd - Exercices corrigées Fonctions linéaires Exercice 1 Existe-t-il une fonction

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2nd - Exercices corrigés - autour des fonctions affines

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Exercices corrigés sur les fonctions affines en 2nd. Tracer des fonctions affines, déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine,

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Exercices de 2nd sur la fonction carré. Au programme : calcul d'antécédents et d'image, résolution d'inéquation, encadrement, pas d'identités remarquables

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Exercices corrigés autour de la fonction cube. Au programme : calcul d'antécédent, d'image, résolution d'inéquation, calcul littéral.

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Exercices corrigés autour de la fonction inverse. A programme : calcul d’images, résolution d’inéquations, recherche d’encadrements

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2nd - Exercices - Fonction racine carrée

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Exercices corrigés autour de la fonction racine carrée. Au programme : calcul d'images et d'antécédents, résolution d'inéquation, ensemble de définition

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2nd - Exercices - Fonctions de référence (mélange)

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Exercices corrigés autour des fonctions de référence. Au programme : fonctions carré, inverse, cube et racine carrée, problèmes, équations

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Olivier Lecluse, relecture et compléments Emmanuel Farcy 