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a- Suite convergente

# data[].attributes.body
a- Inégalité de Bernoulli

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b- Limite de q^n

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A - THEOREME 1 DE CONVERGENCE DES SUITES MONOTONES

Toute suite croissante majorée est convergente.

• Toute suite décroissante minorée est convergente.

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B - THEOREME 2

On dispose des propositions suivantes :
• (P₁), si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
• (P₂), si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.

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b - Suite divergente

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a-  Suite divergente

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ] b ; +∞ [ .
• Si pour tout x ∈ ] b ; +∞ [   g ( x ) ≤  f ( x )    et si   lim x → +∞
g ( x ) = +∞
, alors   lim x → +∞
f ( x )  = +∞
• Si pour tout x ∈ ] b ; +∞ [   f ( x )  ≤ g ( x )    et si   lim x → +∞
g ( x )  = –∞
, alors   lim x → +∞
f ( x )  = –∞

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Preuve : Soit M > 0. lim x → +∞ g ( x ) = +∞  ,
Il existe donc  un réel m tel que, si x > m , alors g ( x ) > M . Or g ( x ) ≤  f ( x )  .

On en déduit que,  si x > m , alors f ( x )  > M.
Ce résultat est vrai pour tout M . Donc lim x → +∞ f ( x )  = +∞ Le deuxième résultat se démontre de la même façon.

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GRACE à Bernoulli

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b - Théorème des gendarmes

Soit  f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ] b ; + ∞ [ et L  ∈ IR .

Si pour tout x ∈ ] b ; + ∞ [,    g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )   et lim x → +∞
lim g ( x ) = L
lim h ( x )   = L    ,

alors, lim x → +∞
f ( x ) = L

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Preuve : Soit ε > 0. Il existe un réel M1 , tel que, si x ≥ M1 ,    L –  ε < g ( x ) < L + ε
De même, il existe un réel M2 , tel que, si x ≥ M2,   L –  ε < h ( x )  < L + ε
Soit M le plus grand des réels M1 et M2 .
Ainsi pour tout x ≥ M, on a    L – ε < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )   < L + ε     et donc    L –  ε <  f ( x ) < L + ε
Ce résultat est vrai pour tout ε > 0 . Donc lim x → +∞ f ( x ) = L

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c - Suite convergente

U suite convergente vers un réel l.
Si u est croissante Un < l
Si u est décroissante Un > l

# data[].attributes.body
Une suite convergente est bornée ( pas forcément l'inverse )
Une suite non-bornée diverge

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a - Limites infinie en + OU - l'infini

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b - Limites finie en + ou - l'infini

# data[].attributes.headline
 y = l  , asymptote horizontale à la courbe C

# data[].attributes.subject
 y = l  , asymptote horizontale à la courbe C

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a - Définition

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b - Limite à droite à gauche

# data[].attributes.headline
x = a , asymptote verticale à la courbe C

# data[].attributes.subject
x = a , asymptote verticale à la courbe C

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Même chose que pour les suites

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a - Théorème de comparaison

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b - Théorème des gendarmes