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de la Trigonometría se debe a los indios y egipcios; pero los verdaderos impulsores fueron los árabes que por razones religiosas se les plantearon problemas de orientación y determinación de fechas y horas, perfeccionando aspectos astronómicos y con ello la Trigonometría.

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Multiplicar la primera fila y la segunda si hace falta para poner cero el primer numero de la segunda fila.

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1- SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2- SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO 3- SISTEMA IN...

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¿Cómo hacer el método de Gauss?

Primero necesitamos una ecuación con tres incógnitas. Lo siguiente es poner entre paréntesis el valor de esas incógnitas y el resultado.

Se nos quedaría así. Ahora hay que conseguir que los números que están en azul se conviertan en 0

Para hacer eso multiplicaremos la fila 1 por -5 y la fila 2 por 3 para quitar el 5.
Y para quitar el 1 de abajo multiplicar la fila 3 por 3, la fila 1 por -1 las sumamos.

Ahora hay que quitar el segundo numero de la tercera fila como he indicado antes en azul. Para ello simplemente sumamos la fila dos y la tres y así ya nos quitamos el 1.

Ahora suztituimos los numeros por x, y y z y resolvemos.

Imaginemos que Gauss nos da todo igual a 0. Tendríamos que hacer Gauss normal, pero al final habría que hacer lo siguiente

Lo volvemos a pasar en forma de ecuación.

λ= a cualquier numero real, porque la ecuación tiene infinitas soluciones.

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¿Cómo hacer el método de Gauss? Primero necesitamos una ecuación con tres incógnitas. Lo siguiente es poner entre paréntesis el valor de esas incógnitas y el resultado. Se nos quedaría así. Ahora hay que conseguir que los números que están en azul se conviertan en 0 Para hacer eso multiplicaremos la fila 1 por -5 y la fila 2 por 3 para quitar el 5.

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El método de Gauss consiste en convertir un sistema de ecuaciones en otra equivalente de forma en la que cada una de las ecuaciones tenga una incógnita menos que la anterior. Esto se hace utilizando el método de reducción.

Ejemplo:

1-Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de X 1 ó -1, en caso de que no se pueda lo hacemos con la Y o la Z, cambiando el orden de las incógnitas.

2-Hacemos reducción con la primera y segunda ecuación, y con la primera y la tercera.

3-Hacemos reducción de la tercera con la segunda, obteniendo el sistema equivalente escalonado.

Se elimina la tercera ecuación y se saca la incógnita de X e Y.

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El método de Gauss consiste en convertir un sistema de ecuaciones en otra equivalente de forma en la que cada una de las ecuaciones tenga una incógnita menos que la anterior. Esto se hace utilizando el método de reducción.

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Hay 3 tipos de sistemas:

1°. Sistema compatible determinado, es decir tiene una única solución.

Eliminaremos las variables del sistema dejando solo los coeficientes con su signo manteniendo su posición (en fila y en columnas) tal y como estaba en el sistema; el igual también lo eliminaremos cambiándolo por una raya vertical. Tal y como aparece en la imagen.

Después procederemos a la resolución; el primer coeficiente de la primera ecuación intentamos que sea un uno, en este caso ya lo tenemos pero en caso de no tenerlo podemos cambiar filas de posición; aunque este paso no es necesario. Lo resolveremos haciendo que todos los coeficientes por debajo de la diagonal principal sean 0 mediante la combinación de operaciones entre las distintas filas del sistema.
Vamos a conseguir que el 2 de la 2ª fila que aparece sea un cero. Multiplico la 1ª fila por -2 y le sumo la 2ª (-2F1+ F2).

Cambiaré el 1 de la 3ª fila por un 0 mediante un proceso semejante al anterior: Fila 1- fila 3 (F1- F3)

Finalmente convertiremos el -5 de la tercera fila en otro cero de forma semejante a la anterior,(-5F2+F3). Al terminar de hacer ceros los coeficientes que hay debajo de la diagonal principal reconstruimos el sistema colocando en la primera columna las "x" en la segunda las "y" y en la tercera las "z".

Calcularemos el valor de los coeficientes "x" "y" y "z" de la siguiente manera:
1º Calculamos el valor de "z" de la tercera ecuación despejando y obtenemos "z"=1
2º Calculamos el valor de "y" sustituyendo la "z" por el valor 1 y despejaremos la "y" obteniendo "y"= -2
3º Con los valores de "z" e "y" nos vamos a la primera ecuación, los sustituimos y despejamos "x" obteniendo "x"=4

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

2º. Sistema compatible indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones.

La resolución de este sistema se realizará por el mismo método que el aplicado en el anterior sistema, es decir volveremos a generar ceros debajo de la diagonal principal quedando el sistema de ecuaciones de la siguiente manera.

Como se observa en la 3ª fila "0=0", el resultado es lógico pero no nos permite calcular un valor concreto de la variable "z"; por lo tanto haremos que z sea igual a λ(lambda).

En la 2ª fila sustituimos "z" por el valor de λ y despejaremos la "y": "y"= -3+2 λ
Nos iremos a la 1ª fila y sustituiremos "z" por e "y" por -3+2 λ y despejaremos la "x" dando como resultado "x"= 4+ λ

Por tanto: si λ es igual a 0 la solución será "x" = 4, "y"= -3 y "z" = 0
si λ es igual a 1 la solución será x=5, y=-1 y z=1

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

*Es compatible porque tiene solución y es indeterminado porque las soluciones dependerán del valor que tome λ*

3º. Sistema incompatible, es decir no tiene solución.

La resolución de este sistema se realizara por el mismo método que el aplicado en el anterior sistema, es decir volveremos a generar ceros debajo de la diagonal principal.
quedando el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Como se observa en la 3ª fila "0=-64" es decir el resultado no es lógico porque 0 es solamente igual a 0. Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Vídeo sobre Gauss:

Espero que os haya ayudado

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Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss

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Hay 3 tipos de sistemas: Eliminaremos las variables del sistema dejando solo los coeficientes con su signo manteniendo su posición (en fila y en columnas) tal y como estaba en el sistema; el igual también lo eliminaremos cambiándolo por una raya vertical. Tal y como aparece en la imagen.

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¡Hola matemátic@s!

Hoy aprenderemos a utilizar el método de Gauss.

Vamos a trabajar con este sistema.

1.- Para empezar, ordenamos el sistema, colocando las incógnitas a un lado y el término independiente al otro.

2.- A continuación, realizamos la matriz de coeficientes. Para ello, empleamos los coeficientes de las incógnitas y añadimos otra columna con los términos independientes.

3.- Ahora, tenemos que convertir los elementos que están por debajo de la diagonal principal (los de la esquina inferior izquierda) en ceros. Esto se consigue realizando diversas operaciones entre las filas. Por ejemplo, para convertir el 2 de la segunda fila en un cero, habrá que restarle a la segunda fila el doble de la primera. De igual forma, para eliminar el tres de la tercera fila, sustituimos esta por la resta entre ella misma y el triple de la primera fila.

Para sustituir el -5 de la tercera fila debemos operar con la segunda, ya que ,si lo hiciéramos con la primera, desharíamos el cero que ya hemos obtenido.

* Puede pasar que la última fila quede llena de ceros, o que tenga tres ceros y en la columna apartada algún otro número. Ahora después os enseñaremos que hacer en esos casos.

4.- Por último, transformamos la matriz en un sistema de ecuaciones añadiendo las incógnitas y lo resolvemos.

*Si, durante el desarrollo de la matriz la fila inferior queda llena de ceros hay que olvidarse de ella y pasar las otras dos a un sistema de ecuaciones.

Resolvemos las incógnitas, suponiendo que "z = z".

*En el otro caso de que la última fila este compuesto por tres ceros y otro número diferente, el sistema no tiene solución.

Eso ha sido todo por hoy. ¡Nos vemos pronto!

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¿Cómo se resuelve un sistema con tres incógnitas?

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¡Hola matemátic@s! Hoy aprenderemos a utilizar el método de Gauss. Vamos a trabajar con este sistema. 1.- Para empezar, ordenamos el sistema, colocando las incógnitas a un lado y el término independiente al otro. 2.- A continuación, realizamos la matriz de coeficientes. Para ello, empleamos los coeficientes de las incógnitas y añadimos otra columna con los términos independientes.

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¿CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE MÁS DE 2 INCÓGNITAS CON EL MÉTODO DE GAUSS?

COMENCEMOS POR LO BÁSICO:

El método de GAUSS es un mecanismo por el cual, encontraremos otro sistema equivalente en el que cada una de las ecuaciones tiene, al menos, una incógnita menos que la anterior.

CASOS QUE SE VAN A ENCONTRAR REALIZANDO ESTE MÉTODO:

Realizando este método nos pueden salir 3 casos diferentes que explicaremos a lo largo de este blog:

1. Que sea compatible determinado: esto quiere decir que el sistema tenga una única solución para cada incógnita.

2. Que sea compatible indeterminado: que el sistema tenga infinitas soluciones para cada una de sus incógnitas.

3. Que sea incompatible: esto quiere decir que el sistema no tiene solución.

1. Se ordena la ecuación si hace falta. (Las "x" con las "x, las "y" con las "y" y las las "z" con las "z").

2. Se escriben los coeficientes de las incógnitas a parte, entre paréntesis, y cambiamos el "=" por una línea que los separe. Si se puede, se elige una ecuación en la que uno de los coeficientes de las incógnitas sea 1 o -1 o un divisor de los demás coeficientes para que nos sea fácil realizar el sistema y se escribe en primera fila. ( NOTA: el cambiar el orden de las incógnitas no varia en el resultado siempre y cuando lo hagamos en todos las filas).

3. Nos dibujamos una diagonal de referencia y redondeamos los números de abajo indicándonos así los números que tenemos que eliminar.

4. Lo siguiente que hay que hacer es buscar un número que al ser multiplicado por la F1 de el contrario del primer número redondeado para eliminarlo. Lo que hay que hacer es multiplicar dicho número por la F1 y sumárselo a la F2 indicándolo en otro sistema copiando la F1 tal cual se encuentra. ( En este caso F2=-2F1+F2)

Y lo mismo haremos con la F3, buscaremos un número que multiplicándolo a la F1 y sumándoselo a la F3 de 0 para eliminarlo. ( En este caso F3=-3F1+F3).

5. Fijándonos en la imagen del punto 3, nos faltaría eliminar un número situado en la F3. Para eliminarlo buscaremos 2 números, uno que multiplicaremos a la F2 sumándolo al otro que multiplicaremos a la F3 que nos tendrá que dar 0, donde se sitúa en número que queremos eliminar.
( En este caso F3=-1F2+1F3).

6. Una vez cumplido nuestro objetivo de eliminar los números redondeados del sistema, (imágen del punto 2), podremos sacar el equivalente del primer sistema. (En este caso tenemos que: z=2, que y=1 y x=1).

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO.

Se emplea el mismo método que en el anterior:

1. Se ordena la ecuación si hace falta. (En este caso no hay que hacer nada porque ya la tenemos ordenada).

2.Se escriben los coeficientes de las incógnitas a parte, entre paréntesis, y cambiamos el "=" por una línea que los separe. Si se puede, se elige una ecuación en la que uno de los coeficientes de las incógnitas sea 1 o -1 o un divisor de los demás coeficientes para que nos sea fácil realizar el sistema y se escribe en primera fila. (En este caso no nos lo podremos permitir).

3. Nos dibujamos una diagonal de referencia y redondeamos los números de abajo indicándonos así los números que tenemos que eliminar.

4. Lo siguiente que hay que hacer es buscar un número que al ser multiplicado por la F1 de el contrario del primer número redondeado para eliminarlo. Lo que hay que hacer es multiplicar dicho número por la F1 y sumárselo a la F2 indicándolo en otro sistema copiando la F1 tal cual se encuentra. ( En este caso tendremos que multiplicar la F1 por un número,la F2 por otro número y sumarlo, es decir, F2=-7F1+6F2).

Y lo mismo haremos con la F3, buscaremos un número que multiplicándolo a la F1 y sumándoselo a la F3 de 0 para eliminarlo. ( En este caso tendremos que multiplicar la F1 por un número, la F2 por otro y sumarlos, es decir, F3=3F1+6F3).

5. Como hemos podido ver, la F3 ha dado todo 0, todos los números redondeados han sido eliminados y ahora toca averiguar las incógnitas pero tenemos un problema, y es que no podemos averiguar ningún incógnita en si, ya que, F1 tiene 3 incógnitas (6x+4y-12z) y F2 tiene 2 incógnitas (8y+192z). Lo siguiente que habría que hacer sería despejar dos incógnitas diferentes. (En este caso despejaremos la "x" y la "y").

6. En este paso usaremos una incógnita nuevaλ (Lambda), que cambiaremos por la incógnita común entre el resultado de las dos incógnitas despejadas. ( En este caso la incógnita común a "x" y "y" es la "z").

7. Finalmente llegamos a la conclusión de que este sistema tiene infinitas soluciones ya que a λ (Lambda) se le puede dar cualquier valor real. ("λ∈ esto quiere decir que Lambda equivale a cualquier número real). "

Ejemplo:

1. Se ordena la ecuación si hace falta. (En este caso no hay que hacer nada porque ya la tenemos ordenada).

2.Se escriben los coeficientes de las incógnitas a parte, entre paréntesis, y cambiamos el "=" por una línea que los separe. Si se puede, se elige una ecuación en la que uno de los coeficientes de las incógnitas sea 1 o -1 o un divisor de los demás coeficientes para que nos sea fácil realizar el sistema y se escribe en primera fila.

3. Nos dibujamos una diagonal de referencia y redondeamos los números de abajo indicándonos así los números que tenemos que eliminar.

4. Lo siguiente que hay que hacer es buscar un número que al ser multiplicado por la F1 de el contrario del primer número redondeado para eliminarlo. Lo que hay que hacer es multiplicar dicho número por la F1 y sumárselo a la F2 indicándolo en otro sistema copiando la F1 tal cual se encuentra. ( En este caso F2=3F1+F2)
Y lo mismo haremos con la F3, buscaremos un número que multiplicándolo a la F1 y sumándoselo a la F3 de 0 para eliminarlo. ( En este caso F3=2F1+F3).

5. Fijándonos en la imagen del punto 3, nos faltaría eliminar un número situado en la F3. Para eliminarlo buscaremos 2 números, uno que multiplicaremos a la F2 sumándolo al otro que multiplicaremos a la F3 que nos tendrá que dar 0, donde se sitúa en número que queremos eliminar.
( En este caso F3=-1F2+1F3).

6. Una vez cumplido nuestro objetivo de eliminar los números redondeados del sistema, (imágen del punto 2), observamos que no se puede sacar ninguna incógnita, ya que, 0≠5.

Esto nos estaría indicando que este sistema no tiene solución.

¡Y YA ESTARÍA EL MÉTODO DE GAUSS EXPLICADO!

RECUERDA QUE PUEDES PREGUNTARME CUALQUIER DUDA POR LOS COMENTARIOS Y LOS ATENDERÉ EN CUANTO PUEDA. ESPERO QUE OS HAYA SERVIDO DE AYUDA...

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COMENCEMOS POR LO BÁSICO: El método de GAUSS es un mecanismo por el cual, encontraremos otro sistema equivalente en el que cada una de las ecuaciones tiene, al menos, una incógnita menos que la anterior.

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Utilizando el método de Gauss nos podemos encontrar con 3 distintos casos:

1.Sistema compatible determinado: si en la última fila aparece un coeficiente de incógnita distinto de cero, el sistema tiene solución única.

EJEMPLO:

1. Tenemos este sistema:

2.Se escribe el sistema utilizando solo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes (forma matricial).

3.Se realizan las operaciones necesarias para que las filas 2 y 3 tengan un cero en primer lugar, para eso dejamos la primera fila igual:

3.Ahora, se utiliza la segunda fila para, de la misma manera, convertir en cero el segundo lugar de la última fila, para eso dejamos las dos primeras filas iguales :

Hemos conseguido la tercera fila realizando esta operación:

Fila3=-2F2+F3 Ej: (-2)0=0+0=0

4. Nos ha quedado el resultado de la incógnita z . Ahora que tenemos el resultado de una incógnita podemos sustituir en el sistema inicial y averiguar las demás soluciones :

Sustituimos la z en la segunda ecuación para sacar x

Ya tenemos x , ahora sustituimos x y z en la primera ecuación para sacar la incógnita y :

2.Sistema compatible indeterminado: si en la última fila solo aparecen ceros, el sistema tiene infinitas soluciones:

2.Realizamos los mismos pasos del problema anterior con las operaciones adecuadas para obtener un 0 en primer lugar de las filas 2 y 3, y para obtener un 0 en el segundo lugar de la fila 3 (MÉTODO DE GAUSS):

3.Como podéis observar, ha salido la fila 3 con todo ceros. Ahora tenemos que utilizar las dos ecuaciones que tenemos como un sistema y simplemente despejar para sacar las tres ecuaciones, aunque ya sabemos que z=z.

3.Sistema incompatible: si en la última fila todos los coeficientes de las incógnitas son cero y el término independiente es distinto de cero, el sistema no tiene solución.

2.Ahora utilizamos el método de Gauss:

Aquí hemos intercambiado la fila 1 por la fila 3, para que las operaciones resulten más fáciles. (Es un paso que se puede hacer o no). Continuamos:

Al analizar la última fila se comprueba que el sistema es incompatible ya que, el sistema no tiene solución.

Y hasta aquí los 3 casos que se pueden dar resolviendo sistemas por el método de Gauss.

Espero que os haya sido de ayuda , HASTA LA PRÓXIMA!!!!

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Utilizando el método de Gauss nos podemos encontrar con 3 distintos casos: 1.Sistema compatible determinado: si en la última fila aparece un coeficiente de incógnita distinto de cero, el sistema tiene solución única. EJEMPLO: 1. Tenemos este sistema: 2.Se escribe el sistema utilizando solo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes (forma matricial).