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LA DETERMINACIÓN DE LA RECTA TANGENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO (A) ES ELEMENTAL EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL PARA LA RESOLUCIÓN DE MUCHOS PROBLEMAS IMPORTANTES Y EN ESENCIA TODO ESTO SE REDUCE A CALCULAR SU PENDIENTE EN ESE PUNTO, APROXIMANDO LA PENDIENTE (m t₎ USANDO LA RECTA SECANTE QUE PASA POR DICHO PUNTO( PERMANECE FIJO) Y POR OTRO (B) CERCANO DE LA CURVA EL CUAL SE MUEVE A LO LAGO DE LA MISMA ACERCANDOSE AL PUNTO FIJO (A) ANTES MENCIONADO Y GENERANDO UN CAMBIO INCREMENTAL () ENTRE LAS COORDENADAS ABCISAS DE AMBOS PUNTOS TENDIENTES A CERO Y HACIENDO GIRAR LA RECTA SECANTE SOBRE EL PUNTO FIJO LA CUAL TIENDE A UNA POSICION LIMITE,ESTA POSICION LIMITE ES LA QUE SE QUIERE COMO LA RECTA TANGENTE A LA CURVA EN UN PUNTO Y SE PUEDE APRECIAR GEOMETRICAMENTE EN LA ANIMACIÓN REALIZADA.

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INCREMENTOS:
Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

 El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
 La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
 El volumen de un globo mientras se infla
 La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
Q es decreciente en el instante t si

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La derivada de una función es un término o concepto, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Es el resultado de un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

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Definimos una Ecuación diferencial como una ecuación que relaciona una función y su variable (prima entre otras) con sus derivadas.

Si una ecuación diferencial contiene derivadas respecto a una sola variable independiente se llama ecuación diferencial ordinaria.

Si contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias que llamaremos simplemente ecuaciones diferenciales:

1.   Dydt=3y2sen(t+y)dydt=3y2sen(t+y)

2.   d3ydt3=e(−y)+t+d2ydt2)d3ydt3=e(−y)+t+d2ydt2)

3.   f′′(x)−5=0f″(x)−5=0

4.   f′′(x)+6f′(x)+3f(x)+2=0

La forma general de las ecuaciones diferenciales ordinarias es:

F(x,f(X),f’(x),f”(x),…,fn(x))=0

dydx=f(x,y)

El orden de una ecuación diferencial está dado por el grado mayor de las derivadas que aparecen en la ecuación.

(1) es una ecuación diferencial de primer orden, la ecuación

(2) es una ecuación diferencial de tercer orden, y finalmente las ecuaciones

(3) y (4) son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

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Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función potencia x m (m un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,
sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que

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Regla de la cadena. En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

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Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita, cuando no aparece despejada la variable , sino que la relación entre  e  viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Una vez aclarado este concepto, podemos hablar de las derivadas de las  funciones implícitas.

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Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar . Basta derivar tanto el mienbro derecho como el izquierdo de la igualdad con respecto a la misma variable, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

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La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).

Es importante tener en cuenta:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas.