# data[].attributes.headline
Бессмертен один лишь разум, остальное смертно. - Пифагор

# data[].attributes.subject
Бессмертен один лишь разум, остальное смертно. - Пифагор

# data[].attributes.body
Что общего у Евклида, 12-летнего Эйнштейна и 20-того президента США?

# data[].attributes.attachment_link.title
Edu: Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора?

# data[].attributes.headline
Доказательство Евклида

# data[].attributes.subject
Доказательство Евклида

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема Пифагора (и обратная к ней) завершает книгу первую "Начал" Евклида. Предложение XLVII (47) гласит: в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

Привычный термин "гипотенуза" пришёл (через латинский) из греческого: " стягивающей прямой угол" является дословным переводом текста "Начал" - ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα.

Изящное и элементарное доказательство теоремы Пифагора типа "Смотри!", по сути аналогичное приведённому в "Началах", можно представить в картинках. Разделим квадрат, построенный на гипотенузе, на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

В приводимых ниже вариациях доказательства Евклида площади фигур не меняются при перекашивании: их основания и высоты всегда остаются постоянными.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в "Началах" и получившего название "windmill proof" (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

Привычный термин "гипотенуза" пришёл (через латинский) из греческого: " стягивающей прямой угол" является дословным переводом текста "Начал" - ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα.

Изящное и элементарное доказательство теоремы Пифагора типа "Смотри!", по сути аналогичное приведённому в "Началах", можно представить в картинках. Разделим квадрат, построенный на гипотенузе, на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

В приводимых ниже вариациях доказательства Евклида площади фигур не меняются при перекашивании: их основания и высоты всегда остаются постоянными.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в "Началах" и получившего название "windmill proof" (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

Изящное и элементарное доказательство теоремы Пифагора типа "Смотри!", по сути аналогичное приведённому в "Началах", можно представить в картинках. Разделим квадрат, построенный на гипотенузе, на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

В приводимых ниже вариациях доказательства Евклида площади фигур не меняются при перекашивании: их основания и высоты всегда остаются постоянными.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в "Началах" и получившего название "windmill proof" (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в "Началах" и получившего название "windmill proof" (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

При повороте параллелограммов относительно вершин острых углов их стороны лягут на высоту, потому что их вершинки окажутся в вершине прямого угла. Действительно, сторона маленького квадрата поворачивается на 90 градусов и переходит в сторону треугольника; а длинные стороны параллелограммов параллельны сторонам квадрата на гипотенузе. Отличие от доказательства, приведённого в "Началах" и получившего название "windmill proof" (доказательство ветряной мельницы) в том, что Евклид не использовал анимацию и рассматривал не сами параллелограммы, а треугольники, являющиеся их половинами.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

Ещё одно схожее доказательство состоит в том, чтобы продлить стороны маленьких квадратов до пересечения.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

При таком доказательстве надо задуматься и обосновать, почему точка пересечения оказывается лежащей на продолжении высоты.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
познавательная

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
увлекательные

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
многогранники

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
рачинский 1001 задача для умственного счета

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора: доказательство Евклида / Этюды // Математические этюды

# data[].attributes.attachment_link.description
Тео­рема Пифагора (и обрат­ная к ней) завершает книгу первую "Начал" Евклида. Пред­ложе­ние XLVII (47) гла­сит: в прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках квад­рат на сто­роне, стяги­вающей прямой угол, равен квад­ра­там на сто­ро­нах, заклю­чающих прямой угол. При­выч­ный термин "гипо­те­нуза" при­шёл (через латин­ский) из гре­че­ского: " стяги­вающей прямой угол" явля­ется дослов­ным пере­во­дом тек­ста "Начал" - ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα.

# data[].attributes.headline
Образец титульного листа, содержания, введения

# data[].attributes.subject
Образец титульного листа, содержания, введения

# data[].attributes.headline
Требования к оформлению проекта

# data[].attributes.subject
Требования к оформлению проекта

# data[].attributes.headline
Лист самооценки

# data[].attributes.subject
Лист самооценки

# data[].attributes.body
что умею, что могу

# data[].attributes.attachment_link.title
Лист самооценки обучающегося

# data[].attributes.headline
Примерный план защиты

# data[].attributes.subject
Примерный план защиты

# data[].attributes.attachment_link.title
Примерный план защиты проекта

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора и её доказательства.pptx

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Удерживайте правую кнопку мыши для выделения группы страниц.

Удерживайте клавишу Shift для выделения диапазона страниц.

Удерживайте клавишу Ctrl для перехода к странице без её выделения.

Позволяет находить заданные слова и словосочетания в тексте публикации.

Поиск поддерживает кириллический и латинский алфавиты.

Переключайте вид списка результатов поиска кнопками "Список" и "Карта".

Функция печати/скачивания доступна только зарегистрированным пользователям.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь.

Выбор оформления (светлое/тёмное) доступен только зарегистрированным пользователям.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
математическое

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
электронная библиотека

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Математическое образование

# data[].attributes.attachment_link.title
Литцман В. Теорема Пифагора. - 1960 // Библиотека Mathedu.Ru

# data[].attributes.attachment_link.description
Удержи­вайте пра­вую кнопку мыши для выде­ле­ния группы стра­ниц. Удержи­вайте кла­вишу Shift для выде­ле­ния диапа­зона стра­ниц. Удержи­вайте кла­вишу Ctrl для пере­хода к стра­нице без её выде­ле­ния. Поз­во­ляет нахо­дить задан­ные слова и сло­во­со­че­та­ния в тек­сте пуб­ли­кации. Поиск под­держи­вает кирил­ли­че­ский и латин­ский алфа­виты. Пере­клю­чайте вид списка результа­тов поиска кноп­ками "Спи­сок" и "Карта".

# data[].attributes.headline
Пифагоровы тройки

# data[].attributes.subject
Пифагоровы тройки

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Пифаго́рова тро́йка - упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него.

Поскольку уравнение однородно, при умножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель примитивной пифагоровой тройки равен 1.

В примитивной тройке числа и имеют разную чётность, причём чётное делится на 4, а - всегда нечётно.

Любая примитивная пифагорова тройка , где - нечётно, а - чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности.

Эти числа можно вычислить по формулам

Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку [1].

Имеется 16 примитивных пифагоровых троек с :

Не все тройки с примитивны, например, (6, 8, 10) получается умножением на два тройки (3, 4, 5). Каждая из троек с небольшой гипотенузой образует хорошо различимую радиальную прямую из кратных ей троек на диаграмме рассеяния.

Примитивные тройки с :

Возможные значения в пифагоровых тройках образуют последовательность (последовательность A009003 в OEIS)

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, ...

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно образовывать из этих чисел, например, такие пифагоровы тройки:

Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5), которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон - символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5).

В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Вавилонские математики умели вычислять пифагоровы тройки. Вавилонская глиняная табличка, названная Plimpton 322, содержит пятнадцать пифагоровых троек (точнее пятнадцать пар чисел , таких что ). Считается, что эта табличка была создана около 1800 года до н. э.[2]

Формула Евклида[3] является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел и ( ) целые числа

образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда и взаимно просты и нечётно. Если и , и нечётны, то , и будут чётными и тройка не примитивна. Однако деление , и на 2 даёт примитивную тройку, если и взаимно просты[4].

Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел и , одно из которых чётно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек.

Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметра получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом:

где , и - натуральные числа, , нечётно, и взаимно просты.

То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путём подстановок в и проверки, что результат совпадает с . Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое , чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием и для создания примитивной тройки, а затем она умножается на .

Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

Тот факт, что числа , , , удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых и , , поскольку после подстановки в формулы , и будут положительными числами, а также из того, что выполняется

Обратное утверждение, что , , выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего[5]. Все такие тройки можно записать в виде ( , , ), где , и , , являются взаимно простыми, а и имеют противоположную чётность (одно из них чётно, другое нечётно). (Если имеет ту же самую чётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимно простыми, а в случае нечётности даст чётное число, и оно не может быть равно нечётному .) Из мы получаем , а следовательно, . Тогда . Поскольку является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби . Мы отсюда же получаем, что дробь равна . Решая уравнения

относительно и , получим

Поскольку и несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правые части каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробь тоже несократима, откуда следует, что и взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда и имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2. (А и должны иметь противоположную чётность - оба не могут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоих чисел деление на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равна , в которой числитель и знаменатель будут иметь различную чётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида , , с и взаимно простыми и имеющими различную чётность.

Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора (Maor, 2007) и Серпинского.

Пусть стороны пифагорова треугольника равны , и . Обозначим угол между катетом и гипотенузой буквой . Тогда[8]

Свойства примитивной пифагоровой тройки , где (без указания чётности чисел a или b):

(1 всегда является полным квадратом[9]. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка (6, 12, 18) проходит этот тест, поскольку c − a)(c − b)/2 является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел a, b и c образует пифагорову тройку, то число (c минус чётный катет) и половина числа (c минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка (1, 8, 9) является контрпримером, поскольку ² + 8² ≠ 9².

Максимум одно из чисел a, b и c является квадратом[10].

Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом[11] или удвоенным квадратом[12] натурального числа.

В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно[13].

В точности одно из чисел a и b делится на 3.[14]

В точности одно из чисел a и b делится на 4.[7]

В точности одно из чисел a, b и c делится на 5.[7]

Максимальное число, которое всегда делит произведение abc, равно 60.[15]

Все простые множители c являются простыми вида 4n + 1 [16]. Таким образом, c имеет вид 4n + 1.

Число (b − a) является произведением простых чисел вида 8n ± 1, то есть не имеет таких сомножителей, как 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, ...

Площадь (K = ab/2) является чётным конгруэнтным числом[17].

В любой пифагоровой тройке радиус 2вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен r = m mn, и гипотенузы m m(n(m(m + n) m + n) и m − n), ² + n ² равны соответственно ² − n², n(m − n), а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов [18].

Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен √m ² + n ² , радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку m и n имеют разную чётность).

Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых w > w, x, y, z удовлетворяют [en] любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке x > y > z соответственно. Эти числа уравнению декартовых окружностей[19]. Эквивалентно, радиус внешней окружности СоддиD, где ACBD - прямоугольник, ACB - прямоугольный треугольник, а AB - его гипотенуза.[20]

Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике[21].

Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно[22]

Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающаяся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.[23]

Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:

Любое целое, большее 2, которое не сравнимо с 2 по модулю 4 (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4n + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.

Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек - равенство , приводящее к тройкам (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), и т. д. Более общее утверждение: для любого нечётного целого j существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на .

Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого k > 0, существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на .

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, .

Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.

Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом a, где a - некоторое натуральное число

Для любого натурального n существует по меньшей мере n различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.

Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. Ни один из разбиваемых треугольников не образован примитивной тройкой.

Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое тернарное дерево естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек.

Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки с одинаковым произведением входящих в них чисел.

Формулу Евклида для пифагоровой тройки

можно понять в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности . Пусть имеется треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, где a, b и c - положительные целые. По теореме Пифагора , а после деления обеих сторон на c ²

Геометрически, точка на декартовой плоскости с координатами

лежит на единичной окружности . В этом уравнении координаты x и y задаются рациональными числами. И обратно, любая точка на окружности с рациональными координатами x и y даёт примитивную пифагорову тройку. В самом деле, запишем x и y как несократимые дроби:

где наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1. Поскольку точка с координатами x и y лежит на единичной окружности, то

что и требовалось доказать.

Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности и примитивными пифагоровыми треугольниками. Исходя из этого, формулы Евклида можно получить методами тригонометрии или с использованием стереографической проекции.

Для применения стереографического подхода предположим, что P′ является точкой на оси x с рациональными координатами

Тогда с помощью алгебраических вычислений можно показать, что точка P имеет координаты

Таким образом, получаем, что любая рациональная точка оси x соответствует рациональной точке единичной окружности. И обратно, пусть - точка единичной окружности с рациональными координатами x и y. Тогда стереографическая проекция P′ на ось x имеет рациональные координаты

В терминах алгебраической геометрии алгебраическое многообразие рациональных точек единичной окружности является бирациональным к аффинной прямой над рациональными числами. Единичная окружность тогда называется рациональной кривой. Соответствие рациональных точек прямой и окружности даёт возможность дать явную параметризацию (рациональных) точек на окружности с помощью рациональных функций.

Любая рациональная точка на единичной окружности соответствует пифагоровой тройке , точнее - обобщённой пифагоровой тройке, так как a и b могут быть нулевыми и отрицательными.

Эти прямоугольные треугольники тоже будут целочисленными, то есть пифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используя вышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной и ассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелеву группу.

Двумерная (((0, решётка - это набор изолированных точек, в котором, если выбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точки имеют координаты x, y), где x и y пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Любую пифагорову тройку можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами a, 0) и b). По теореме Пика число точек решётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой [30]. Для примитивных пифагоровых троек число точек решётки равно , и это сравнимо с площадью треугольника

Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровых троек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210. Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки появляется лишь на (18 108, 252 685, 253 333), (28 077, 162 964, 165 365) с числом точек 2 287 674 594. Найдены три примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019, 19 069) и площадью 13 123 110. Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено.

Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц вида

Матрица этого вида симметрична. Кроме того, её определитель

равен нулю в точности тогда, когда является пифагоровой тройкой. Если X соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.

Поскольку X симметрична, из линейной алгебры известно, что существует вектор , такой, что для внешнего произведения выполняется

где T означает транспонирование. Вектор ξ называется спинором (для группы Лоренца SO(1, 2). В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).

Модулярная группа Γ - это множество матриц 2 × 2 с целыми элементами

и определителем, равным единице: αδ − βγ = 1. Это множество образует группу, поскольку обратная к матрице из Γ является снова матрицей из Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модулярная группа действует на множество всех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на множестве целых спиноров со взаимно простыми элементами. Если содержит взаимно простые элементы, то

Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. Если A - матрица в Γ, то

даёт начало действиям на матрицу X в (1). Это не даёт хорошо определённое действие на примитивные тройки, поскольку оно может переводить примитивную тройку в непримитивную. В этом месте принято (следуя Траутману) называть тройку стандартной, если c > 0 и либо взаимно просты, либо взаимно просты и a/2 нечётно. Если спинор имеет взаимно простые элементы, то связанная тройка , задаваемая формулой (1), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Альтернативно, ограничимся теми значениями m и n, для которых m нечётно, а n чётно. Пусть подгруппа Γ(2) группы Γ - ядро гомоморфизма

где - специальная линейная группа над конечным полем целых по модулю 2. Тогда Γ(2) является группой унимодулярных преобразований, которая сохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора ξ нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для Aξ для всех Γ(2) действует транзитивно на множество примитивных пифагоровых троек. A ∈ Γ(2). Фактически под действием (2) группа

Группа Γ(2) является свободной группой, генераторами которой являются матрицы

Поэтому любая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным образом как произведение копий матриц U и L.

Как показал Берггрен, все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с использованием трёх линейных преобразований T1, T2, T3, где a, b, c являются сторонами тройки:

Если начать с 3, 4, 5, то все другие примитивные тройки, в конечном счёте, будут получены. Другими словами, любая примитивная тройка будет "родителем" 3 дополнительным примитивным тройкам. Если начать с a = 3, b = 4 и c = 5, то следующим поколением троек будет

Линейные преобразования T1, T2 и T3 имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм. Они тесно связаны (но не эквивалентны) с отражениями, генерируемыми ортогональной группой x ² + y ² − z ² над целыми числами. Другое множество трёх линейных преобразований обсуждается в статье Генерация пифагоровых троек с помощью матриц и линейных преобразований.

Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощью гауссовых целых чисел. Гауссовы целые - это комплексные числа вида α = u + vi, где u и v обычные целые числа, а i - корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых - это ±1 и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z. Гауссовы целые обозначаются Z[ i]. Правая часть теоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:

Примитивная пифагорова тройка - это тройка, в которой a и b взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Для таких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюда следует, что c также нечётно.

Каждое из двух множителей z = a + bi и z* = a - bi примитивной пифагоровой тройки равно квадрату гауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любое гауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простые с точностью до единицы. (Единственность разложения, грубо говоря, следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида) Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a и b не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простых общих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. И наконец, поскольку c ² является квадратом, любое гауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z и z* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и для них. Следовательно, z и z* являются квадратами.

Таким образом, первый множитель можно записать в виде

Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:

Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целые m и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.

Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретацию формул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.

Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областью и то, что для гауссовых целых p квадрат модуля всегда является полным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуют квадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простым числом.

Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. В диаграмме рассеяния проявляются некоторые очевидные закономерности. Если катеты ( a, b) примитивной тройки появляются на диаграмме, то и все произведения на целое число этих катетов должны также быть на диаграмме, и это свойство объясняет появление на диаграмме радиальных прямых из начала координат.

На диаграмме наблюдаются множества парабол с высокой плотностью точек, имеющих фокусы в начале координат. Параболы отражаются от осей с углом 45 градусов, и в той же точке третья парабола подходит к оси перпендикулярно.

Эти узоры можно объяснить следующим образом. Если натуральное число, то ( a, , ) является пифагоровой тройкой. (Фактически, любая пифагорова тройка ( a, b, c) может быть записана таким образом с целым n, возможно, после обмена a и b местами, поскольку и a, b не могут быть одновременно нечётными.) Пифагоровы тройки лежат тогда на кривых, заданных уравнениями . Таким образом, параболы отражаются от оси a, а соответствующие кривые с a и b меняются местами. Если a меняется при заданном n (то есть на выбранной параболе), целые значения b появляются относительно часто, если n является квадратом или произведением квадрата на небольшое число. Если некоторые такие значения лежат близко друг от друга, соответствующие параболы почти совпадают и тройки образуют узкую параболическую ленту. Например, 38 ² = 1444, 2 × 27 ² = 1458, 3 × 22 ² = 1452, 5 × 17 ² = 1445 и 10 × 12 ² = 1440. Соответствующая параболическая лента около n ≈ 1450 чётко видна на диаграмме рассеяния.

Угловые свойства, описанные выше следуют немедленно из функционального вида парабол. Параболы отражаются от оси a в точке a = 2 n и производная b по a в этой точке равна −1. Таким образом, угол наклона равен 45°. Поскольку кластеры, как и треугольники, повторяются при умножении на целую константу, значение 2 n тоже принадлежит кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом в точке b = 2 n, а потому является симметричным отражением параболы, которая получается обменом переменных a и b и которая пересекает ось a под прямым углом в точке a = 2 n.

Альберт Фесслер (Albert Fässler) и др. показали значимость этих парабол в контексте конформных отображений.

Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл, в своём комментарии к 47-му утверждению в первой книге Начал Евклида, описывает это следующим образом:

Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легко получить, один из них принадлежит Платону, другой - Пифагору. (Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число в качестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычел единицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец, он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу.

...Метод Платона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное число в качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрат и добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даёт второй катет. ... И это даёт тот же треугольник, что и другой метод.

В виде уравнений:

a нечётно (Пифагор, 540 до н. э.):

a чётно (Платон, 380 до н. э.):

Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются из последовательности Платона ( x, y, z) = p, ( p ² − 1)/2 и ( p ² + 1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения. Если в этой последовательности p заменить рациональной дробью m/ n, получим 'стандартный' генератор троек 2 mn, m ² − n ² и m ² + n ². Отсюда следует, что любой тройке соответствует рациональное значение p, которое можно использовать для получения подобного треугольника с рациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходного треугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет (3/2; 2, 5/2).

Уравнение

эквивалентно специальной диофантовой тройке

Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можно получить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений:

Один из способов генерации решений для - параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m, n, p, q следующим образом:[40]

Если даны два набора пифагоровых троек:

то задача поиска равных произведений катета и гипотенузы

как легко видеть, эквивалентна уравнению

для которого Эйлер получил решение . Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкой эллиптической кривой, то существует бесконечное число решений. Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.

В случае теоремы Декарта, когда все переменные являются квадратами,

Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам:

Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специального случая уравнение упрощается до

которое имеет решение с небольшими числами и может быть решено как бинарная квадратичная форма.

Имеются прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины катетов отличаются на единицу, например:

и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу

где ( x, y) являются решениями уравнения Пелля .

В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях

общим решением будет

откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются в примитивных пифагоровых тройках.

Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.

Все четвёрки задаются формулой

Используя простое алгебраическое тождество

можно найти значения ( k, m) такие, что F( k, m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёл формулу для последовательностей, в которых число членов само является квадратом,

и v ⩾ 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3. Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошо известное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер:

факт, который связан с решёткой Лича.

Кроме того, если в пифагоровом n-наборе ( n ⩾ 4) все слагаемые являются последовательными натуральными числами, за исключением последнего, можно использовать равенство

Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейное уравнение, которое легко решается , хотя k и m следует выбрать так, чтобы p был целым, и пример получаем при k = 5 и m = 1:

Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборов путём подбора x:

где q = n − 2 и

Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральных чисел a, b и c, таких, что a n + b n = c n для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 году высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма, поскольку её доказательство или опровержение отняло много больше времени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство было дано Уайлсом в 1994 году.

Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1 натуральных чисел, для которых n-я степень последнего члена последовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n:

В слегка отличном обобщении сумма ( k + 1) n-х степеней приравнивается сумме ( n − k) n-х степеней. Например:

(n = 3): 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

Может существовать также n − 1 n-х степеней натуральных чисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя, согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Эти последовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшие известные контрпримеры

Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, что стороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона ( a, b, c), где a < b < c. Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов a и b является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова.

Если ( a, b, c) является тройкой Герона, то таковой будет и ( ma, mb, mc) при любом натуральном m, большим единицы. Тройка Герона ( a, b, c) примитивна, если a, b и c попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколько троек Герона, не являющихся пифагоровыми:

(4, 13, 15) с площадью 24,

(3, 25, 26) с площадью 36,

(7, 15, 20) с площадью 42,

(6, 25, 29) с площадью 60,

(11, 13, 20) с площадью 66,

(13, 14, 15) с площадью 84,

(13, 20, 21) с площадью 126.

По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел ( a, b, c) с a < b < c была тройкой Герона, необходимо, чтобы

или, что то же самое,

было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей.

1. ↑ В. Серпинский. Пифагоровы треугольники. - М.: Учпедгиз, 1959. - 111 с.

2. Robson, Eleanor (February 2002), , <↑ Words and pictures: new light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . - Т. 109 (2): 105-120, doi:10.2307/2695324 http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf>

3. ↑ D. E. Joyce. Euclid's Elements. - Clark University, June 1997. - С. Book X, Proposition XXIX.

4. ↑ Douglas W. Mitchell. An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples // The Mathematical Gazette. - July 2001. - Т. 85, вып. 503. - С. 273-5.

5. ↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 2000. - Т. II. - С. 120. - ISBN 978-0-88385-721-2.

6. ↑ Eli Maor. The Pythagorean Theorem. - Princeton University Press, 2007. - С. Appendix B.

7. ↑ 1 Sierpinski, 2003.2 3

8. Несуществование решения, в котором и a, и b являются квадратами, первоначально доказано ↑ Пьером Ферма. Для других случаев, в которых c является одним из квадратов, см. в книге Стиллвела.

9. ↑ Это следует из факта, что одно из чисел a или b делится на четыре, и из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами

10. ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

11. ↑ 1 Trautman, 1998.2

12. Последовательность ↑ A093536 в OEIS.

13. Последовательность ↑ A225760 в OEIS.

14. Дальнейшее обсуждение отношения "родитель - потомок" - ↑ Pythagorean triple (Wolfram), Alperin, 2005.

15. ↑ Gauss, 1832 См. также Werke, 2:67-148.

16. ↑ 1988 Preprint Архивная копия от 9 августа 2011 на Wayback Machine См. рисунок 2 на с. 3. Позднее это было напечатано в Fässler 1991

17. Nahin, Paul. ↑ An Imaginary Tale: The Story of p. 25-26.

18. ↑ A Collection of Algebraic Identities: Sums of n Squares.

19. ↑ Sum of consecutive cubes equal a cube (недоступная ссылка). Архивировано 15 мая 2008 года.

20. ↑ Michael Hirschhorn. When is the sum of consecutive squares a square? // The Mathematical Gazette. - November 2011. - Т. 95. - С. 511-2. - ISSN 0025-5572.

21. ↑ John F. Jr. Goehl. Reader reflections // Mathematics Teacher. - May 2005. - Т. 98, вып. 9. - С. 580.

22. ↑ John F. Goehl, Jr. Triples, quartets, pentads // Mathematics Teacher. - May 2005. - Т. 98. - С. 580.

23. ↑ Scott Kim. Bogglers // Discover. - May 2002. - С. 82. сложнее, лишь в 1988 году после 200 лет безуспешных попыток математиков доказать невозможность решить уравнение
УравнениеНоам Элкис из Гарварда нашёл контрпример - 2.682.440⁴ + 15.365.639⁴ + 18.796.760⁴ = 20.615.673⁴:

Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ // Mathematics of Computation. - 1988. - Т. 51. - С. 825-835.

24. ↑ S. Kak, M. Prabhu. Cryptographic applications of primitive Pythagorean triples // Cryptologia. - 2014. - Т. 38, вып. 3. - С. 215-222.

R. D. Carmichael. The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. - Dover Publ, 1959. - С. Diophantine analysis.

Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. - 2012. - Т. 96.

Paul Yiu. Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. - 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.

Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2-3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9

Дмитрий Викторович Аносов. Взгляд на математику и нечто из неё. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2003. - Т. 3. - 32 с. - (Библиотека "Математическое просвещение"). - 3000+1500 экз. - ISBN 5-94057-111-5. Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine

Paul Yiu. Recreational Mathematics // Course Notes, Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. - 2003.

Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. - 2005. arXiv

Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Heron triangles and moduli spaces // Mathematics Teacher. - May 2008. - Т. 101.

Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.. - 1832. - Т. 4.

Albert Fässler. Multiple Pythagorean number triples // American Mathematical Monthly. - 1991. - Т. 98, вып. 6.

Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagorean triangles with legs less than n. - 2002. - Т. 143. - doi:10.1016/S0377-0427(01)00496-4.

Ernest J. Eckert. The Group of Primitive Pythagorean Triangles // Mathematics Magazine. - 1984. - Т. 57.

Noam Elkies. Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90.

Artemas Martin. Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. - Annals of Mathematics, 1875. - Т. 3, вып. 2. - С. 47-50. - doi:10.2307/2635906.

Andrzej Trautman. Geometric universe / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. - 1998.

Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

# data[].attributes.attachment_link.title
Пифагорова тройка

# data[].attributes.attachment_link.description
Пифаго́рова тро́йка - упорядоченный набор из трёх натуральных чисел удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами . Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты задолго до него. Поскольку уравнение однородно, при умножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка.

# data[].attributes.headline
Нужно выбрать задания из Открытого банка ФИПИ

# data[].attributes.subject
Нужно выбрать задания из Открытого банка ФИПИ

# data[].attributes.attachment_link.title
Открытый банк заданий ОГЭ

# data[].attributes.headline
Задача про Пиццу

# data[].attributes.subject
Задача про Пиццу

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема Пифагора - фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.

История теоремы

На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос. Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае. Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.

Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее. Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках. Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в "Началах" Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.

Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить , и президента США Джеймса Гарфилда.

Доказательства

В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.

Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:

единицу в случае с квадратом - S = a^2;

приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником - S = (sqrt(3)/4)a^2;

Пи в случае с кругом - S = pi × R^2.

Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a^2, где F - некоторый коэффициент.

Прямоугольный треугольник - удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:

S = F × гипотенуза^2

В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:

S1 = F × c^2 - исходный треугольник;

S2 = F × a^2 - первый подобный треугольник;

S3 = F × b^2 - второй подобный треугольник.

Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:

F × c^2 = F × a2 + F × b^2

Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:

c^2 = a^2 + b^2,

что и требовалось доказать.

Пифагоровы тройки

Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки - это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a^2 + b^2 = c^2. Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол. Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам:

При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач.

Применение теоремы Пифагора

Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни.

Выбор пиццы

В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше - это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц?

Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга - это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка - это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 50^2 = 30^2 + 40^2. Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см. Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношениеc^2 = a^2 + b^2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.

Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки.

Заключение

Теорема Пифагора - фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c^2 = a^2 + b^2.

Для всякой тройки положительных чисел a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} , такой, что a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , существует прямоугольный треугольник с катетами a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} и гипотенузой c {\displaystyle c} . Шаблон:/рамка

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A , B и C построенных на сторонах с длиной a , b и c , имеем:

A a 2 = B b 2 = C c 2 , {\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,} ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C . {\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника ( A и B ), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 .

Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},\,}

где θ - угол между сторонами a и b .

Если θ равен 90 градусов, тогда cos θ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c . В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r . Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s , как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:

a 2 + b 2 = c (r + s) . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}

Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC - подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,

c a = a r . {\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}}\ .}

Так же отражение другого треугольника,

c b = b s . {\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\ .}

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

c r + c s = a 2 + b 2 , {\displaystyle cr+cs=a^{2}+b^{2}\ ,}

что и требовалось доказать.

Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы

Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов. (квадраты - частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.

Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h . Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.

Комплексные числа

Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе , и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками ( a, b ) и ( c, d ) равно

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.\ }

Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами . Например, расстояние s между 0 + 1 i и 1 + 0 i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

s = (− 1) 2 + 1 2 = 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}.\ }

Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами ( a , b ) и ( c , d ); a , b , c , и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице в следующем виде: пусть разница a − c = p + i q , где p - действительная часть разницы, q - мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть b − d = r + i s . Тогда:

s = (p + i q) (p + i q) ¯ + (r + i s) (r + i s) ¯ = (p + i q) (p − i q) + (r + i s) (r − i s) = p 2 + q 2 + r 2 + s 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}s&={\sqrt {(p+iq){\overline {(p+iq)}}+(r+is){\overline {(r+is)}}}}\\&={\sqrt {(p+iq)(p-iq)+(r+is)(r-is)}}\\&={\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}}},\end{aligned}}}

где z ¯ {\displaystyle {\overline {\mathit {z}}}} - это комплексное сопряженное число для z {\displaystyle {\mathit {z}}\ } . Например, расстояние между точками и , рассчитаем разницей и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим

s = (− i) ⋅ (− i ¯) + 1 ⋅ 1 ¯ = (− i) ⋅ i + 1 ⋅ 1 = 2 . {\displaystyle s={\sqrt {(-i)\cdot ({\overline {-i}})+1\cdot {\overline {1}}}}={\sqrt {(-i)\cdot {i}+1\cdot {1}}}={\sqrt {2}}.\,}

Модуль определен следующим образом:

∥ p ∥ = p ⋅ p ¯ = | p 1 | 2 + | p 2 | 2 + ⋯ + | p n | 2 , {\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {\mathbf {p\cdot {\overline {p}}} }}={\sqrt {|p_{1}|^{2}+|p_{2}|^{2}+\dots +|p_{n}|^{2}}}\ ,}

Стереометрия

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа , названная в честь Ж.-П. де Гуа : если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как " n -мерная теорема Пифагора":

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

B D ¯ 2 = B C ¯ 2 + C D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B D ¯ 2 , {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}

или, если все записать одним уравнением:

A D ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 + C D ¯ 2 . {\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}

Этот результат - это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие { v k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

∥ v ∥ 2 = ∑ k = 1 3 ∥ v k ∥ 2 . {\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:

∑ k = 1 n ∥ v k ∥ 2 = ∥ ∑ k = 1 n v k ∥ 2 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\|v_{k}\|^{2}=\left\|\sum _{k=1}^{n}v_{k}\right\|^{2}.}

Если { v k } {\displaystyle \{v_{k}\}{\frac {}{}}} - это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида - и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля .

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше. (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности ) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a , b и c ), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии - сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов .

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A + B = C . Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c .

Сферическая геометрия

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a , b , c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) cos ⁡ (b R) . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов , которое справедливо для всех сферических треугольников:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) sin ⁡ (b R) cos ⁡ γ . {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .} c h c = c h a c h b {\displaystyle \mathrm {ch} c=\mathrm {ch} a\,\mathrm {ch} b}

где ch - гиперболический косинус . Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:

c h c = c h a c h b − s h a s h cos ⁡ γ , {\displaystyle \mathrm {ch} c=\mathrm {ch} a\ \mathrm {ch} b-\mathrm {sh} a\ \mathrm {sh} \ \cos \gamma \ ,}

где γ {\displaystyle \gamma } - это угол, вершина которого противоположна стороне c .

d s 2 = ∑ i , j n g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}

где g ij называется метрическим тензором . Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:

d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}

Векторное произведение

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:

∥ a × b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 − (a ⋅ b) 2 {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}\,}

в этой формуле используется скалярное произведение . Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b , что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях. Используем определение угла в n -мерном пространстве:

(a ⋅ b) = a b cos ⁡ θ , {\displaystyle (\mathbf {a\cdot b})=ab\ \cos \theta \ ,}

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

∥ a × b ∥ 2 = a 2 b 2 (1 − cos 2 ⁡ θ) . {\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|^{2}=a^{2}b^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).\,} x 2 + y 2 = z 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}

Формулировка "Великой теоремы Ферма " аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Упоминание в художественной литературе

Теорема Пифагора упоминается в повести Евгения Велтистова "Электроник - мальчик из чемодана", где Электроник в роли Сыроежкина на уроке математики в школе утверждает, что может доказать теорему Пифагора двадцатью пятью способами и приводит некоторые из них, чем поражает класс и учителя математики Таратара.

См. также

Примечания

1. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / М. Л. Титаренко. - М. : Восточная литература РАН, 2009. - Т. 5. - С. 939-941. - 1055 с. - ISBN 9785020184299 .

2. History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы - 80.

2. Длина катета равняется 84, гипотенузы - 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей - 75.

2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей - 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) - 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич

# data[].attributes.attachment_link.title
Расширенная теорема пифагора. Калькулятор теоремы пифагора

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема Пифагора - фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи. На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос.

# data[].attributes.attachment_link.title
Различные способы доказательства т. Пифагора

# data[].attributes.headline
Кто придумал теорему Пифагора

# data[].attributes.subject
Кто придумал теорему Пифагора

# data[].attributes.body
Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

# data[].attributes.headline
Иллюстрация теоремы с песком

# data[].attributes.subject
Иллюстрация теоремы с песком

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Наверное, во всех странах школьники учат теорему Пифагора, и во многих музеях науки можно встретить иллюстрирующий её экспонат, чаще не с песком, а с водой.

И в том, и в другом случаях важно следить, чтобы квадраты были заполнены полностью - речь же идёт про равенство площадей! Технически и визуально этому могут помочь закрытые от взора наблюдателя полосы между квадратами с "запасами" песка или воды.

Обратим внимание ещё на одну важную деталь. Квадрат, построенный на гипотенузе, разделён на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

Технически это позволяет работать с меньшими объёмами и, соответственно, с меньшими погрешностями. А главное, это наблюдение позволяет построить уже не иллюстрации, а настоящие доказательства теоремы Пифагора типа "Смотри!". Причём по сути аналогичные приведённому в "Началах". Эти красивые и элементарные доказательства можно посмотреть на странице ‍Теорема Пифагора: доказательство Евклида .

© 2002-2021, Фонд "Математические этюды".
Коммерческое использование запрещено

Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук

Математические этюды

https://etudes.ru/models/pythagorean-theorem-sand-proof/

И в том, и в другом случаях важно следить, чтобы квадраты были заполнены полностью - речь же идёт про равенство площадей! Технически и визуально этому могут помочь закрытые от взора наблюдателя полосы между квадратами с "запасами" песка или воды.

Обратим внимание ещё на одну важную деталь. Квадрат, построенный на гипотенузе, разделён на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

Технически это позволяет работать с меньшими объёмами и, соответственно, с меньшими погрешностями. А главное, это наблюдение позволяет построить уже не иллюстрации, а настоящие доказательства теоремы Пифагора типа "Смотри!". Причём по сути аналогичные приведённому в "Началах". Эти красивые и элементарные доказательства можно посмотреть на странице ‍Теорема Пифагора: доказательство Евклида .

© 2002-2021, Фонд "Математические этюды".
Коммерческое использование запрещено

Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук

Математические этюды

https://etudes.ru/models/pythagorean-theorem-sand-proof/

И в том, и в другом случаях важно следить, чтобы квадраты были заполнены полностью - речь же идёт про равенство площадей! Технически и визуально этому могут помочь закрытые от взора наблюдателя полосы между квадратами с "запасами" песка или воды.

Обратим внимание ещё на одну важную деталь. Квадрат, построенный на гипотенузе, разделён на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

Технически это позволяет работать с меньшими объёмами и, соответственно, с меньшими погрешностями. А главное, это наблюдение позволяет построить уже не иллюстрации, а настоящие доказательства теоремы Пифагора типа "Смотри!". Причём по сути аналогичные приведённому в "Началах". Эти красивые и элементарные доказательства можно посмотреть на странице ‍Теорема Пифагора: доказательство Евклида .

© 2002-2021, Фонд "Математические этюды".
Коммерческое использование запрещено

Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук

Математические этюды

https://etudes.ru/models/pythagorean-theorem-sand-proof/

Обратим внимание ещё на одну важную деталь. Квадрат, построенный на гипотенузе, разделён на две части продолжением высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Оказывается, меньший из образовавшихся прямоугольников по площади равен квадрату, построенному на меньшем катете, а больший - квадрату, построенному на большем катете.

Технически это позволяет работать с меньшими объёмами и, соответственно, с меньшими погрешностями. А главное, это наблюдение позволяет построить уже не иллюстрации, а настоящие доказательства теоремы Пифагора типа "Смотри!". Причём по сути аналогичные приведённому в "Началах". Эти красивые и элементарные доказательства можно посмотреть на странице ‍Теорема Пифагора: доказательство Евклида .

© 2002-2021, Фонд "Математические этюды".
Коммерческое использование запрещено

Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук

Математические этюды

https://etudes.ru/models/pythagorean-theorem-sand-proof/

Технически это позволяет работать с меньшими объёмами и, соответственно, с меньшими погрешностями. А главное, это наблюдение позволяет построить уже не иллюстрации, а настоящие доказательства теоремы Пифагора типа "Смотри!". Причём по сути аналогичные приведённому в "Началах". Эти красивые и элементарные доказательства можно посмотреть на странице ‍Теорема Пифагора: доказательство Евклида .

© 2002-2021, Фонд "Математические этюды".
Коммерческое использование запрещено

Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук

Математические этюды

https://etudes.ru/models/pythagorean-theorem-sand-proof/

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
познавательная

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
увлекательные

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
многогранники

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
рачинский 1001 задача для умственного счета

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора: иллюстрация с песком / Модели // Математические этюды

# data[].attributes.attachment_link.description
Навер­ное, во всех стра­нах школь­ники учат тео­рему Пифагора, и во многих музеях науки можно встре­тить иллю­стри­рующий её экс­по­нат, чаще не с пес­ком, а с водой. И в том, и в другом слу­чаях важно сле­дить, чтобы квад­раты были запол­нены пол­но­стью - речь же идёт про равен­ство площа­дей!

# data[].attributes.body
Пифагор Самосский — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.
Античные биографии Пифагора содержат множество легенд. По наиболее распространённой версии, Пифагор родился на острове Самос. В молодости много путешествовал и учился (в различных легендах фигурируют египетские жрецы, халдеи, маги, Заратуштра и т. д.). По возвращении на Самос из-за разногласий с тираном Поликратом был вынужден эмигрировать в Италию. По прибытии в полис Кротон он создал собственную школу. Школу Пифагора сравнивают с прообразом христианских монастырей и масонских лож. Постепенно её политическое влияние возрастало. Она как таковая не находилась при власти. Речь шла о возросшем влиянии отдельных членов общества во властных структурах.
Пифагор среди прочего проповедовал метемпсихоз (учение о переселении душ), вегетарианство, гармонию сфер и др. Власть некоего тайного общества пифагорейцев вызывала недовольство. Оно вылилось в заговор Килона, который вместе со сторонниками напал на собрание пифагорейцев. Существует несколько легенд относительно дальнейшей судьбы Пифагора. Большинство из них завершаются тем, что философ умер в храме муз Метапонта. Несмотря на смерть Пифагора и разгром общества в Кротоне, пифагореисты продолжили свою деятельность в других полисах античного мира.
Пифагор не оставил сочинений, в связи с чем точная реконструкция его первоначального учения, а также отделение от более поздних напластований весьма затруднительны. Пифагору приписывали все открытия пифагореистов. Вне зависимости от авторства тех или иных утверждений, учение Пифагора стало основой для открытий в области математики, астрономии, теории музыки. Пифагореизм оказал воздействие на философию Платона, а через платонизм на философию Нового и Новейшего времени. О влиянии учения Пифагора на развитие науки и их собственные открытия говорили среди прочих Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Исаак Ньютон и Альберт Эйнштейн.

# data[].attributes.headline
План работы над проектом:

# data[].attributes.subject
План работы над проектом:

# data[].attributes.body
1. Определить цели и задачи проекта.
2. Решить, что же будет продуктом
3. Распределить кто, что будет делать, кто в каких способах доказательства теоремы будет разбираться и представлять их на защите проекта

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Елена Бочарова

# data[].attributes.attachment_link.title
Наглядное доказательство теоремы Пифагора

# data[].attributes.headline
6 способов доказательства наглядно

# data[].attributes.subject
6 способов доказательства наглядно

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Екатерина Журавлева

# data[].attributes.attachment_link.title
6 способов доказательства теоремы Пифагора

# data[].attributes.headline
Здесь ученый дядька объясняет как всё доказывается, видео смотреть с 10:30 по 15:30 мин.

# data[].attributes.subject
Здесь ученый дядька объясняет как всё доказывается, видео смотреть с 10:30 по 15:30 мин.

# data[].attributes.attachment_link.title
Красота математических моделей: первое прикосновение к математике

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора: доказательство методом Гарфилда (видео 21) | Подобие. Геометрия | Математика

# data[].attributes.headline
Тип проекта: творческий

# data[].attributes.subject
Тип проекта: творческий

# data[].attributes.body
Творческий проект в наибольшей степени учитывает индивидуальные интересы и способности его исполнителей. Такие проекты, как правило, не имеют детально проработанной структуры, она только намечается и далее развивается, подчиняясь принятой логике и интересам участников проекта. В лучшем случае можно договориться о желаемых, планируемых результатах (совместной газете, сочинении, видеофильме, спортивной игре, экспедиции, пр.).

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
познавательная

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
увлекательные

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
многогранники

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
рачинский 1001 задача для умственного счета

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора: интерактивная головоломка / Этюды // Математические этюды

# data[].attributes.attachment_link.description
Красивое интерактивное доказательство теоремы Пифагора.

# data[].attributes.body
Задача 1
 
На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.
Решение:
Записать формулу
c² = a² + b²
Подставить известные значения
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
x = √25
x = 5
Ответ: длина гипотенузы равна 5.
Задача 2
 
Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.
Решение:
Записать формулу
c² = a² + b²
Подставить известные значения
13² = 12² + b²
169 = 144 + b²
169 – 144 = b²
25 = b²
√25 = b
5 = b
Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5

# data[].attributes.headline
Доказательство теоремы

# data[].attributes.subject
Доказательство теоремы

# data[].attributes.body
на ЯКласс

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора - урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Теорема Пифагора. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс - онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.headline
ТЕОРЕМА И ЕЁ ДОКОЗАТЕЛЬСТВО

# data[].attributes.subject
ТЕОРЕМА И ЕЁ ДОКОЗАТЕЛЬСТВО

# data[].attributes.body
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².
Доказательство
Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру
 
Нужно доказать, что c² = a² + b²:
Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:
1.	Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: A = (a + b) (a + b);
2.	Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²;
3.	Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе: 4ab/2 = 2ab;
4.	Сумма наименьшего квадрата и треугольников: A = c² + 2ab;
5.	Площадь большого квадрата (A = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:
(a + b) (a + b) = c² + 2ab
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²
Что и требовалось доказать.
"Пифагоровы штаны на все стороны равны"
Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора
 
На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.
Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):
 
Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).
1.	Общая площадь исходного треугольника (С) равна сумме двух новых, маленьких (A и B): С = А + B;
2.	Делим "Пифагоровы штаны" на 3 похожие фигуры:
 
3.	Все 3 треугольника подобны друг другу (A, B, C) и из-за этого "фигуры-домики" также являются подобными.
4.	Значит соотношение площади A и a² будет одинаковым с площадью B и b², но и с площадью C и c². Т. е.: A/a² = B/b² = C/c² = β (назовём это соотношение греческой буквой бета);
5.	Площадь каждого треугольника, через площадь каждого из квадратов, равна: A = βa², B = βb², C = βc²;
6.	Вспомним, что С = А + B, т. е. βc² = βa² + βb², это равно c² = a² + b².
Что и требовалось доказать.

# data[].attributes.headline
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ

# data[].attributes.subject
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ

# data[].attributes.body
Это основные следствия теоремы:
1.	В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из двух катетов.
2.	Если применить формулу теоремы Пифагора (c² = a² + b²) и равенство будет верным, (т.е. если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон), то треугольник прямоугольный.
3.	Из формулы теоремы Пифагора также можно посчитать любой из катетов: a² = c² − b² либо b² = c² − a².
4.	Любой косинус (cos) острого угла будет меньше 1.