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Estratificação etária e matriz de contactos:

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Estratificação etária e matriz de contactos:

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Para capturar de forma mais realista a dinâmica de transmissão da COVID-19 na Malásia, é adotado um modelo SIR estratificado por faixa etária, no qual a população é dividida em faixas etárias: crianças, adolescentes, adultos e idosos. Cada grupo apresenta diferentes padrões de interação e susceptibilidade, o que exige uma modelagem diferenciada da taxa de contágio entre as faixas etárias.

Como aplicar:
Dividir a população em grupos etários.
Para cada grupo, definir uma matriz de contactos (quem contacta com quem e com que frequência).
No modelo SIR, as taxas de transmissão entre grupos serão ponderadas por esta matriz, refletindo que, por exemplo, crianças têm mais contactos entre si do que com idosos.

Vantagem:
Permite simular o impacto de intervenções específicas (ex: fechar escolas afeta principalmente crianças) e prever a propagação diferenciada entre faixas etárias.

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Os dados indicaram que intervenções como rastreio de contactos e quarentena foram eficazes na deteção e isolamento de casos.

O modelo mostrou uma redução imediata na transmissão após o início do confinamento, apesar do impacto socioeconómico significativo dessas medidas.

Durante o confinamento, a transmissão foi reduzida para cerca de 40% da capacidade habitual.

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Mantém os mesmos três grupos (S, I, R), mas adapta a forma como o vírus é transmitido, para refletir as medidas de controlo como o confinamento.

βt (beta variável no tempo): Em vez de ser fixa, a taxa de transmissão diminui com o tempo.

z (termo fracionário): Reduz com a transmissão, refletindo o impacto das medidas.

A reprodução efetiva é dada por Rᵗ = z βt × período de transmissão, permitindo medir o impacto direto das medidas de saúde pública.

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Como aplicar:
Adicionar um compartimento V (vacinados) ao modelo.
Incluir um parâmetro de perda da imunidade (ω), permitindo que indivíduos vacinados ou recuperados retornem ao estado suscetível após certo tempo (modelando reinfeções).

Vantagem:
Permite avaliar o impacto de campanhas de vacinação e prever possíveis ondas futuras devido à perda de imunidade.

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Período analisado: 18 de março a 28 de abril de 2020 (período do MCO — Movement Control Order).

Objetivo: capturar a tendência de depleção precoce nos casos com medidas públicas em vigor.

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O estudo teve como objetivo validar um modelo SIR modificado, capaz de refletir a redução progressiva da transmissão da COVID-19 e comparar as previsões do modelo com os casos observados durante o período de confinamento na Malásia. Este objetivo foi alcançado através da utilização de uma função logarítmica de declínio exponencial variável no tempo para βt com um termo fracionário z, que representa a eficácia das intervenções em reduzir a propagação do vírus.

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O modelo SIR clássico foi ajustado aos casos observados de COVID-19 antes do confinamento para estimar o número básico de reprodução R₀.

O modelo SIR modificado foi desenvolvido para simular a dinâmica de transmissão precoce da COVID-19 incorporando fatores como taxas de contacto reduzidas e eficácia das intervenções.

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O artigo aplica uma estratégia de calibração em dois momentos: primeiro com o modelo SIR clássico no período antes do confinamento, e depois com o modelo modificado durante o confinamento.

Foram usadas três janelas de dados, com 14, 28 e 42 dias, e em cada uma delas o modelo originou previsões para uma e duas semanas à frente.

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Ajuste com o modelo SIR clássico antes do confinamento.

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Aumento rápido no número de casos, revelando um padrão de crescimento exponencial.

Médias móveis diárias de novas infeções subiram constantemente, apoiando as restrições.

Modelo SIR clássico indicava crescimento contínuo de infeções sem intervenção.

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Tendência temporal de casos diários confirmados de COVID-19 na Malásia. As partes (A) a (F) apresentam a tendência temporal do I diário para COVID-19 e o erro percentual associado (PE) ao longo do tempo na Malásia. (A) Montagem até 31 de março de 2020, com projeção até 14 de abril de 2020. (B) Adaptação até 14 de abril de 2020, com projeção até 28 de abril de 2020. (C) Montagem até 28 de abril de 2020, com projeção até 12 de maio de 2020. (D) PE do modelo equipado de 18 a 31 de março de 2020, com projeção até 14 de abril de 2020. (E) PE do modelo equipado de 18 de março a 14 de abril de 2020, com projeção até 28 de abril de 2020. (F) PE do modelo equipado de 18 de março a 28 de abril de 2020, com projeção até 12 de maio de 2020.

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Este gráfico demonstra que o modelo SIR modificado conseguiu acompanhar a evolução real dos casos diários de COVID-19 e identificar desvios ao longo do tempo.

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O impacto dos pontos de dados no MAPE do ajuste e projeção do modelo. As partes (A) a (D) apresentam o MAPE do ajuste e projeção do modelo com 14, 28 e 42 pontos de dados para I total, I, R e I diário, com e sem casos importados (CIs).

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Este gráfico mostra que a precisão do modelo melhora com o aumento dos dados disponíveis, conforme evidenciado pelo MAPE em diferentes horizontes de previsão.

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Período analisado: 27 de fevereiro a 17 de março de 2020 (2ª vaga da COVID-19 na Malásia).

Objetivo: estimar o R₀ inicial e os parâmetros básicos da transmissão antes de intervenções públicas.

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É um modelo matemático que divide a população em três grupos:

S (Susceptíveis): pessoas que podem ser infetadas.

I (Infetados): pessoas que têm o vírus e podem transmitir.

R (Removidos): pessoas que recuperaram ou morreram.

Descreve as transições entre eles através de duas taxas fixas: a força de infecção βI/N​, que determina a passagem de S para I com base no coeficiente de transmissão β e na fração de indivíduos infetantes I/N; e a taxa de remoção δ, controla a transferência de I para R. Neste modelo, β e δ são constantes ao longo do tempo, de modo que a dinâmica epidémica resulta exclusivamente do esgotamento de suscetíveis conforme a doença se propaga, levando ao valor de reprodução básica R0=β×R0​=β× período de transmissão ​.

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As pessoas movem-se de S → I → R ao longo do tempo.

A velocidade dessa transição depende de:

β (beta): taxa de transmissão (quantas pessoas um infetado contagia por dia).

δ (delta): taxa de remoção (velocidade com que os indivíduos passam de I →R)

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Modelo SIR modificado mostrou queda imediata da taxa de casos, achatando a curva.

Casos ativos caíam cerca 4,7% ao dia durante o confinamento.

MAPE(erro percentual absoluto médio) baixo, prevendo casos eficazmente e superando o modelo SIR clássico.

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dS/dt = -βIS/N: descreve a taxa de variação do número de indivíduos susceptíveis (S) ao longo do tempo (t), é negativa porque indivíduos suscetíveis estão a deixar o grupo suscetível ao serem infetados.

β: A taxa ou coeficiente de transmissão. Probabilidade de um contacto entre um indivíduo suscetível e um indivíduo infetado dar origem a uma nova infeção.

I: O número de indivíduos infetados.

N: A dimensão total da população (S + I + R).

I/N: A proporção da população que está infetada.

βI/N: A força de infeção, que calcula a taxa a que os indivíduos suscetíveis adquirem uma infeção.

dI/dt = βIS/N - δI: descreve a taxa de variação do número de indivíduos infetados (I) ao longo do tempo (t), é positiva porque os indivíduos estão a ser adicionados ao grupo de infetados a partir do grupo de susceptíveis.

δ é a taxa de remoção. Representa a proporção de indivíduos infetados que são removidos por unidade de tempo. É o recíproco do período de infeção.

dR/dt = δI: descreve a taxa de variação do número de indivíduos removidos (R) ao longo do tempo (t).

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dS/dt = -zβtIS/N: descreve a taxa de variação do número de indivíduos suscetíveis (S) ao longo do tempo (t) no modelo modificado.

dI/dt = (zβtIS/N) - δI: descreve a taxa de variação do número de indivíduos infetados (I) ao longo do tempo (t) no modelo modificado.

dR/dt = δI: descreve a taxa de variação do número de indivíduos removidos (R) ao longo do tempo (t) no modelo modificado. É a mesma que no modelo clássico.

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Estrutura do Modelo: O modelo clássico SIR foi utilizado como base, com os 3 compartimentos para os indivíduos e o modelo SIR modificado incorporou uma força de infeção variável ao longo do tempo para refletir o impacto das intervenções.

Fontes de Dados: Os dados sobre os casos de COVID-19 na Malásia, incluindo o total de casos, casos ativos, casos confirmados diários e casos recuperados ou removidos, foram obtidos pelo Ministério da Saúde da Malásia.

Ajuste do modelo, projeção e validação: O modelo SIR clássico foi ajustado aos casos observados de I e R entre 27 de fevereiro e 17 de março de 2020 para estimar os parâmetros β e R0 para a COVID-19 na Malásia. O modelo SIR modificado foi ajustado aos casos observados de I total, I e R em três períodos distintos. O desempenho do modelo foi avaliado utilizando erro percentual e erro percentual absoluto médio.

Estimativa de Parâmetros: Os parâmetros p, z e δ foram estimados ajustando o modelo aos casos observados de COVID-19 durante o confinamento.

Ferramentas: O ajuste do modelo foi realizado utilizando métodos de mínimos quadrados e o método Markov Chain Monte Carlo. E a solução das equações diferenciais foi processada com o package “deSolve”.

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Resumo dos valores estimados para os parâmetros p, z e δ nas três sequências e MAPE para o ajustamento modelo, projecções de 7 e 14 dias, com inclusão e exclusão de casos importados (ICs)

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A calibração foi feita com métodos de Mínimos Quadrados e o método Markov Chain Monte Carlo, e envolveu a estimativa de três parâmetros fundamentais: p, que mede a rapidez da redução da taxa de transmissão; z, que representa a fração de infetados ainda capazes de transmitir o vírus; e δ, a taxa de remoção.

Para validar o modelo, os autores usaram o MAPE e o erro percentual ao longo do tempo. O desempenho foi muito bom, sobretudo para o número total de casos, com erro médio abaixo dos 2% no ajuste e abaixo dos 6% nas projeções.

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Criámos um modelo SIR para a COVID-19 segmentado por grupos etários e simulámos a sua evolução temporal com dados reais da Malásia.

Construir o modelo de rede dinâmica com compartimentos para suscetíveis, infetados e recuperados em cada grupo etário ao considerar interações realistas entre grupos com base numa matriz de contactos específica para a população.

Definir a matriz de contactos (C) e assim permitir que a transmissão entre grupos etários reflicta padrões reais de socialização e diferentes riscos de infeção, indo além das hipóteses de mistura homogénea do modelo SIR clássico.

Ajustar parâmetros do modelo com base nos dados reais de incidência por grupo etário, garantindo que o ponto de partida da simulação corresponde à situação epidemiológica observada.

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Casos diários por faixa etária entre 27 de Fevereiro de 2020 e 7 de Maio de 2020.

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Nesta nova abordagem, a população foi dividida em quatro grupos etários (0-11, 12-17, 18-59, 60+). Este gráfico apresenta a evolução simulada dos infetados ativos por faixa etária na Malásia, usando o modelo SIR estratificado com matriz de contactos realista. Observa-se que os adultos atingem o pico mais elevado de infeções, seguidos pelas crianças, adolescentes e idosos. A curva descendente após o pico reflete o impacto das medidas de contenção e a dinâmica natural da imunidade de grupo. Este resultado evidencia que a transmissão não é igual entre idades: adultos têm mais contactos, logo mais infeções, enquanto idosos e adolescentes têm menor impacto, mas continuam em risco.

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Matriz de contactos, que define como a doença se propaga entre as faixas etárias.

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A matriz de contactos mostra o número médio de interações diárias entre pessoas de diferentes faixas etárias. Por exemplo, cada criança tem em média 7.5 contactos com outras crianças, 2.8 com adolescentes, 1.2 com adultos e 0.6 com idosos. O valor 7.5 nas crianças representa 7.5 contatos, em média, por dia com outras crianças, um bom exemplo para explicar este valor é a interação escolar, nomeadamente salas de aula e intervalos. Estes dados foram retirados de Prem et al. (2021) e permitem simular de forma realista como o vírus circula na sociedade, refletindo comportamentos como a frequência à escola, convívio familiar e social.

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Suscetíveis, por faixa etária, entre 27 de Fevereiro de 2020 e 7 de Maio de 2020.

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Este gráfico representa o número de suscetíveis à COVID-19, separados por faixa etária, durante a primeira vaga da pandemia. Durante as primeiras semanas, a maioria dos suscetíveis em todas as faixas etárias ficam infetados e passam para o compartimento “I” (infetados), provocando um declínio abrupto em S. Os adultos começam com cerca de 13,5 M e descem para praticamente zero em poucos dias, refletindo que são o grupo que mais contribui para a transmissão pelo maior número de contactos. Seguem-se as crianças (~9,3 M) e os adolescentes (~5,3 M), que também esgotam rapidamente o número de suscetíveis. Os idosos (~4,4 M) apresentam o mesmo padrão, mas com volume absoluto mais baixo.

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Infetados ativos, por faixa etária, entre 27 de Fevereiro de 2020 e 7 de Maio de 2020.

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Este gráfico apresenta os casos diários reais de COVID-19 na Malásia, separados por faixa etária, durante a primeira vaga da pandemia. Os adultos (18-59 anos) são consistentemente o grupo com maior número de novos casos diários, seguindo-se as crianças e, em menor número, adolescentes e idosos. A comparação com as simulações do modelo estratificado mostra que o padrão modelado acompanha a realidade, validando a abordagem baseada na matriz de contactos e dados etários.

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Gráficos do Modelo recriados com o MEWpy

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Gráficos do Modelo recriados com o MEWpy

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Para recriar estes gráficos, utilizámos o programa MEWpy devido às suas capacidades avançadas de modelação matemática e simulação dinâmica. O MEWpy permitiu-nos definir sistemas de equações diferenciais, ajustar parâmetros e visualizar a evolução temporal de variáveis epidemiológicas, tal como apresentado nos gráficos do artigo original.

O programa facilitou a implementação das equações e a comparação direta entre os resultados do nosso modelo e os resultados publicados, assegurando que a dinâmica e os efeitos das intervenções modeladas fossem corretamente representados.

Desta forma, o MEWpy revelou-se uma ferramenta essencial para validar o nosso modelo, permitindo a recriação rigorosa dos gráficos do artigo e a análise detalhada do comportamento das variáveis epidemiológicas sob diferentes cenários.

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Recorrendo ao MEWpy, foi possível replicar fielmente os seguintes gráficos do modelo do artigo:

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Gráfico de βₜ em função de t, para dois valores diferentes de p, ilustrando a taxa de decréscimo.

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Este gráfico mostra como o coeficiente de transmissão decresce ao longo do tempo para diferentes valores de (p), simulando o efeito de intervenções na redução da transmissão.

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R₀ estimado antes do confinamento e Rₜ durante o confinamento.

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Este gráfico apresenta a evolução do número de reprodução efetivo antes e durante o confinamento, para diferentes valores do período de infeciosidade.

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Dinâmica de transmissão da COVID-19 na Malásia antes e durante o confinamento, ajustada com modelos SIR clássico e modificado:

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Dinâmica de transmissão da COVID-19 na Malásia antes e durante o confinamento, ajustada com modelos SIR clássico e modificado:

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Os três gráficos seguintes, comparam os dados observados de casos diários e acumulados com as previsões dos modelos SIR clássico e modificado, incluindo projeções e percentagens de erro ao longo do tempo.

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Ajuste e projeção até 31 de março de 2020.

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Ajuste e proteção até 14 de Abril de 2020.

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Ajuste e projeção até 28 de Abril de 2020.

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Criámos um modelo SIRV para a COVID-19, segmentado por grupo etário, e simulámos a sua evolução temporal com dados reais.

Construir o modelo de rede dinâmica com compartimentos para suscetíveis, infetados, recuperados e vacinados em cada grupo etário.

Definir uma equação diferencial que inclua não só as transições clássicas do modelo SIR, mas também a vacinação (entrada no compartimento V) e a perda de imunidade (parâmetro ω), permitindo que recuperados e vacinados regressem ao estado suscetível, modelando assim possíveis reinfeções.

Ajustar parâmetros do modelo com base nos dados reais de incidência por grupo etário.

Simular e otimizar estratégias, como diferentes taxas de vacinação e cenários de perda de imunidade, ao avaliar o impacto de campanhas de vacinação e prevendo potenciais novas ondas epidémicas devido à diminuição da imunidade ao longo do tempo.

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Evolução temporal do número de infetados (linhas contínuas) e vacinados (linhas tracejadas) por grupo etário na Malásia, considerando o efeito de todas as quarentenas implementadas.

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O gráfico ilustra a evolução dos infetados e vacinados por grupo etário na Malásia, tendo em conta as diferentes quarentenas implementadas entre março e maio de 2020 e as taxas iniciais de vacinação. As linhas tracejadas mostram o número de vacinados, que é mais elevado nos adultos e idosos e diminui gradualmente ao longo do tempo devido à perda de imunidade. As linhas contínuas representam os infetados, sendo evidente um pico inicial, sobretudo no grupo 0-17, seguido de uma descida acentuada após o início das quarentenas.

A implementação das quarentenas tem um efeito imediato e significativo na redução do número de infetados, interrompendo a propagação do vírus e levando a uma estabilização dos casos em níveis baixos. Este efeito é mais notório nos grupos com maior percentagem de vacinados, onde os picos de infeção são mais baixos e o controlo da epidemia é mais eficaz. Por outro lado, o grupo 0-17, com menor cobertura vacinal, apresenta maior suscetibilidade e um pico de infeção mais elevado.

A vacinação, ao reduzir o número de suscetíveis, contribui para limitar a propagação do vírus, especialmente nos grupos etários mais vulneráveis. No entanto, a perda de imunidade faz com que o número de vacinados diminua lentamente ao longo do tempo, o que pode abrir espaço para futuras ondas de infeção se não forem mantidas campanhas de vacinação ou outras medidas de controlo.

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Law, K. B., Zain, S. M., Goh, H. P., & Goh, B. H. (2020).
Tracking the early depleting transmission dynamics of COVID‑19 with a time‑varying SIR model. Scientific Reports, 10, 21721.

Prem, K., van Zandvoort, K., Klepac, P., Eggo, R. M., Davies, N. G., et al. (2021).
Projecting contact matrices in 177 geographical regions: An update and comparison with empirical data for the COVID-19 era. PLOS Computational Biology, 17(7), e1009098.

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dV/dt = nu S - omega V

1. ν (nu): Taxa de vacinação

Representa a proporção de indivíduos suscetíveis (S) vacinados por unidade de tempo.

Exemplo: Se ν = 0.02, 2% dos suscetíveis são vacinados a cada dia.

2. ω (omega): Taxa de perda de imunidade

Representa o inverso da duração média da imunidade da vacina.

É uma formulação clássica para modelar a dinâmica de vacinação em modelos epidemiológicos. O termo νS representa a taxa com que indivíduos suscetíveis (S) são vacinados, enquanto ωV representa a taxa de perda de imunidade entre os vacinados (V), permitindo simular como a população vacinada evoluiria ao longo do tempo.A inclusão da perda de imunidade torna o modelo mais realista ao capturar a necessidade de doses de reforço e a eficácia temporal da vacinação.

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Não consegue prever a redução precoce nos casos logo após o início do confinamento.

Assume transmissão constante, não tendo em conta o efeito das intervenções.

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Capta variações no comportamento populacional e intervenções.

Projeções realistas e úteis para planeamento de políticas públicas.

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Recuperados/removidos, por faixa etária, entre 27 de Fevereiro de 2020 e 7 de Maio de 2020.

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Este gráfico representa o número de recuperados/ removidos (faleceram) em relação à COVID-19, separados por faixa etária, durante a primeira vaga da pandemia. Os adultos são consistentemente o grupo com maior contingente removido, atingindo cerca de 13,5 milhões, seguidos pelas crianças com aproximadamente 9,3 milhões. Em terceiro lugar vêm os adolescentes, com cerca de 5,3 milhões e por fim, os idosos, com um total em torno de 4,3 milhões de removidos. Em suma, os recuperados/removidos tendem a aumentar até que não exista ninguém infetado.

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Artigo analisado, bem como os seus modelos.