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초대형 노트

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포물선에 대해서 알아보기

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포물선에 대해서 알아보기

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예시) 2529 최보아

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

2. 자신의 진로 희망 분야는?

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

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1.기하 과목을 선택하게 된 계기는?

수학이란 과목을 좋아해서

2.자신의 진로 희망 분야는?

기계공학

3.기하 수업 시 바라는 점은?

딱히 없음

4.기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

딱히 없음

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

건축학과를 희망해서

2. 자신의 진로 희망 분야는?

건축학과

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

놀아요

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

< 친구 혼자 외롭게 두기>

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

공간지각능력이 부족하다보니 수학 중에 도형이 약해서 도형에 대해서 더 배워보고 싶었다.

2. 자신의 진로 희망 분야는?

정보 컴퓨터 분야를 희망한다.

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

짝활동 뿐만 아니라 팀활동도 해보고 싶다.

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없다.

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

진로계열이 자연계열 분야이기 때문에 선택했고 기하를 배움으로 수학에 도형에 대해 좀더 깊이있게 배우고 싶어서 선택하게 되었습니다.

2.자신의 진로 희망 분야는?

자연계열: 바이오생명공학

2. 기하 수업 시 바라는 점은?

기하에 개념에 대해 상세하게 다뤄서

설명해주세요

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없습니다^

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

보아쌤이 수업하신다고 해서

2. 자신의 진로 희망 분야는?

건축

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

시험 보지 말고, 자리 바꾸지 말고, 놀아요!

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

자리바꾸기!

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

저의 진로와 가장 연관성이 높은 수업이기도 하고, 작년 수학주제탐구 과제를 수행하면서 생긴 흥미를 넘어서 더 깊게 알아가보고 싶기에 선택하게 되었습니다.

2. 자신의 진로 희망 분야는?

천문학 분야를 희망합니다.

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

친구들과 친해질 수 있는 기회들이 생겼으면 좋겠습니다.

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없습니다.

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

다른 과목보다 나을 것 같아서

2. 자신의 진로 희망 분야는?

자연계열, 생명공학

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

자리 바꾸기

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없다

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

희망하는 학과에 가기 위해서는 기하를 배워야 하고 도형에 대해 더 알아보기위함

2. 자신의 진로 희망 분야는?

생명공학

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

자리고정!

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없음

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기?

해야해서

2. 자신의 진로 희망 분야는?

생명공학 화학공학

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

없음

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

많은 발표

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

기하가 진로과목에 포함되어서, 중학과정을 다지기 위해

2. 자신의 진로 희망 분야는?

공학계열, 금속공학과

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

딱히 없음

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

잦은 발표수업

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1. 기하 과목을 선택한 계기

컴퓨터 관련 직종을 할려면 들어야 하는 과목이라고 들어서

2. 자신의 진로 희망 분야

정보보안 전문가

3. 기하 수업 시 바라는 점

없다

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점

발표

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

희망하고 있는 분야로 진학하기 위해서는 기하를 선택해야 하기 때문에

2. 자신의 진로 희망 분야는?

생명계열

3. 기하 수업시 바라는 점은?

자리 고정!

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없음

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기하 과목을 선택하게 된 

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

진로 희망 분야인 컴퓨터 공학쪽인 공학계열 진로의 직업을 갖기 위해서는 수학과 관련된 과목인 기하의 이수도 필요할 것 같았기 때문에 선택했다.

2. 자신의 진로 희망 분야는?

컴퓨터 공학계열

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

수업하는 시간도 물론 필요하겠지만 수업을 하지 않고 다른 활동을 하는 시간도 꽤 있었으면 좋겠다.

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

문제 등의 풀이 발표를 원하는 사람이 아닌 아무나 시키는 것

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1.기하 과목을 선택하게 된 계기는?

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1.기하 과목을 선택하게 된 계기는?

사랑하는

2.자신의 지로 희망 부야는?

국민을 위해 봉사하다

3.기하 수업 시 바라는 점은?

그는 재미있는 과목이다

4.기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없다

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

수학을 잘 못해서 앞으로는 기하를 열심히 배우고 잘 하고 싶어서 기하 과목을 선택하게 되었다.

2.자신의 진로 희망 분야는?

식품영양

3.기하 수업 시 바라는 점은?

없음

4.기하 수업 시 하지 않았으면 하는점은?

없음

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

무엇을 배우는지 궁금해서

2. 자신의 진로 희망 분야는?

공학 계열

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

재미있는 수업

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

없다

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1. 기하 과목을 선택하게 된 계기는?

수학적 능력을 보여줄 수 있는 과목이라 선택했습니다. 자신의 수학적 능력이 다소 부족하다는 것을 늘 인지하고 있기 때문에, 더욱이 선택하고자 했습니다. 수시에서도 부족하다고 해서 회피하는 것보다는 부족하더라도 부딪히는 모습을 보이는 쪽이 더 긍정적으로 여겨지지 않을까 싶기도 했습니다.

2. 자신의 진로 희망 분야는?

보건계열이며, 최종 목표는 간호학과입니다.

3. 기하 수업 시 바라는 점은?

보아 쌤 짱이기 때문에 (real) 딱히 없습니다. 저 자신이 보아 쌤 속도를 맞출 수 있을 지 긴장될 뿐입니다. 그래도 하나 뽑자면 컴퓨터 활용하는 수업 많이 했으면 좋겠습니다.

4. 기하 수업 시 하지 않았으면 하는 점은?

팀플....인 것 같습니다. 그래도 해야한다면 합니다...읽어주셔서 감사합니다.

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[카드뉴스] 역사와 함께해온 다리, 그 속에 숨겨진 과학적 원리

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[시선뉴스 박진아 / 디자인 최윤수 수습] 보행자, 자동차, 철도교통의 통로로 사용되는 ‘다리’. 이 다리는 인류의 역사와 함께 발전해왔습니다. 더 길고 안전한 다리를 만들기 위해 수학이나 과학이 이용되고 있는 사실 알고 계셨나요?다리는 중력에 버틸 수 있도록 만들어졌는데 처음에는 작

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[티비냥] 공간지각력 시험하는 입체적 도형 문제 모음🎲 생각보다 어렵지 않아요~ | #문제적남자

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10월 21일 대한민국 자체 기술로 개발한 위성 발사체 누리호의 1차 발사가 있었다. 성공적으로 700km 이상의 상공에는 도달했지만, 발사체에서 분리된 위성 모사체는 아쉽게도 지구 주위를 도는 위성 궤도에 오르지 못했고 호주 남쪽 바다에 떨어졌다.[1] 인공위성이 되기 위한 속도에 도달하지 못했기 때문이다. 좀 더 정확한 로켓 발사체의 비행 궤적 분석 결과가 나오면 누리호가 목표 속도에 도달하지 못한 구체적인 원인이 밝혀질 것으로 보인다.

로켓 발사체의 발사를 계획하거나 발사 결과를 분석할 때, 발사체가 어떻게 날아가는지 그 궤적을 계산하는 것이 필요하다. 하지만 이 계산은 간단한 문제가 아니다. 로켓의 추진력, 연료를 사용하면서 시간에 따라 줄어드는 발사체 질량, 발사체가 날아가는 각도 등 고려해야 할 것들이 많다. 대기권 안에서 날아갈 때는 공기저항도 영향을 끼친다. 반면 공기저항이 없는 우주에서 추진력 없이 날아가는 경우는 의외로 계산이 어렵지 않다. 궤도역학으로 비교적 간단하게 계산할 수 있기 때문이다.

지구 주위를 도는 인공위성과 우주정거장은 타원 모양으로 돈다. 케플러의 행성운동 법칙을 이용하면 타원 모양의 궤도를 거의 정확하게 설명할 수 있다. 이 법칙은 17세기 초에 태양 주위를 도는 행성의 움직임을 천체망원경으로 관측해서 찾은 법칙이다. 태양은 지구로, 행성은 인공위성으로 바꾸면 지구 주위를 도는 인공위성과 우주정거장의 타원 궤도를 설명할 수 있다. 17세기 후반에는 뉴턴이 운동법칙과 만유인력의 법칙을 확립하면서 케플러의 행성운동 법칙을 수학, 물리학적으로 정확하게 설명했다. 이후 중력의 영향 속에서 움직이는 로켓과 우주선에도 적용할 수 있는 궤도역학으로 발전했다.

타원 모양의 궤도로 설명할 수 있는 것은 지구 주위를 도는 인공위성이나 우주정거장의 움직임 뿐만이 아니다. 지구 주위를 완전히 돌지 못하고 중간에 떨어지는 경우를 설명하는데도 유용하다. 로켓 추진을 마친 후, 관성만으로 우주를 날아가는 움직임은 타원 모양이기 때문이다. 단지 지구에 가로막혀 타원의 일부분만 나올 뿐이다. 대륙간 탄도 미사일의 후반부 움직임이 이 부분에 해당한다.

지상에 떨어진 누리호의 위성 모사체에도 타원 궤도를 적용할 수 있다. 날아간 궤적만 보면 대륙간 탄도 미사일과 다를 바가 없기 때문이다. 3단 연소를 마친 후에 분리된 위성 모사체는 로켓 추진 없이 관성으로만 날아갔다. 이 부분에 타원 궤도를 적용하면, 최고높이와 날아간 거리로부터 위성 모사체의 속도를 추정할 수 있다. 누리호가 올라간 최고 높이는 700km와 750km 사이고, 이후 5000km 가량 더 날아간 것으로 알려졌다.[2] 대기권에 재진입한 후에 공기저항으로 속도와 날아간 거리가 감소한 것까지 고려하면, 이 궤적은 최고 높이에서의 초속 6.4km 정도로 날아갈 때의 궤적에 가깝다. 이 높이에서 인공위성이 되기 위한 속도는 초속 7.5km인데, 이보다 초속 1km 이상 부족한 상황이었다.

타원 모양의 궤도는 중력에 갇힌 경우에 나타난다. 중력을 완전히 벗어나 아주 먼 곳까지 멀어지려면 중력 탈출 속도나 그 이상의 속도가 필요하다. 이 경우에 날아가는 궤도의 모양은 타원 모양이 아니다. 중력을 완전히 벗어나는 궤도의 모양은 두 가지가 있다. 첫번째는 포물선 모양의 궤적으로 정확하게 중력 탈출 속도로 날아가는 경우다. 아주 먼 곳에서의 속도가 거의 0이 될 정도로 아슬아슬하게 중력을 벗어나는 경우다. 중력 탈출 속도보다 조금이라도 작은 속도에서는 타원 모양 궤도가 나오기 때문에, 포물선 모양의 궤도는 타원 모양 궤도의 경계면에 있다. 중력을 벗어나는 두번째 궤도의 모양은 쌍곡선으로 중력 탈출 속도보다 빠르게 날아가는 경우에 나타난다. 이 경우에도 마찬가지로 속도가 중력 탈출 속도에 아주 가까워지면 포물선 모양에 가까워진다. 쌍곡선의 경계면에 포물선이 있는 것이다.

중력탈출 속도는 중력을 제공하는 천체로부터 얼마나 떨어져 있는가에 따라 다르다. 지구의 경우 통상 중력 탈출 속도는 11.2km로 본다. 이 속도는 지구 해수면에서의 속도다. 하지만 실제 상황에서는 대기의 공기저항 때문에 이 속도로는 지구중력을 벗어날 수 없다. 달 표면처럼 대기가 없다고 가정했을 때나 가능하다. 누리호가 목표한 최고 높이인 지구 700km 상공에서의 지구 중력 탈출 속도는 초속 10.6km다. 이 높이에서 원 모양의 궤도를 도는 인공위성의 속도는 초속 7.5km인데 중력 탈출 속도는 이의 √2=1.414배인 초속 10.6km다. 700km 상공에서 이 속도로 날아가는 우주선은 포물선 모양으로 날아가기 시작한다.

그런데 다른 천체들이 존재한다는 문제가 있다. 이들의 중력은 날아가는 우주선의 궤적에 영향을 끼친다. 예를 들어 지구 700km 상공에서 초속 10.6km로 날아는 우주선은 처음에는 포물선 모양으로 날아간다. 하지만 지구에서 멀어지면서 태양과 달의 중력으로 인해 포물선 모양에서 벗어나기 시작한다. 지구와 달 모두에서 충분히 멀아지면 태양 중력이 훨씬 더 중요해지기 때문에 우주선은 태양의 중력에 갇혀 태양 주위를 타원 모양으로 돌기 시작한다.

태양의 중력을 벗어나는 포물선 모양의 궤도가 나오려면 우주선의 속도는 태양 중력 탈출 속도로 커져야 한다. 지구가 태양주위를 도는 궤도의 위치에서 태양 중력 탈출 속도는 초속 42km정도다. 쌍곡선 궤도가 나오려면 태양 중력 탈출 속도보다 더 큰 속도여야 한다. 지구에서 출발하는 경우는 지구 공전 속도인 초속 29.8km를 덤으로 얻고 대신 지구 중력을 벗어나야 하기 때문에 제2 우주속도인 초속 16.7km가 필요하다. 한편, 태양 중력을 벗어나는 속도로 날아간다고 해도, 도중에 다른 행성 근처를 지나가면 행성 중력의 영향으로 궤도의 모양이 변한다.

속도가 중력 탈출 속도보다 커서 쌍곡선 모양의 궤도로 날아가는 대표적인 경우로 우주 탐사선 보이저 1호와 2호를 들 수 있다.[3] 이들은 태양을 기준으로 쌍곡선 모양으로 날아가면서 태양에서 멀어진다. 태양으로부터 230억km 이상 떨어져 있는 보이저 1호는 태양으로부터 초속 17.0km로 멀어지고 있다. 아주 먼 미래에 태양 중력이 거의 미치지 않는 곳에 도달하면 속도는 초속 16.7km로 약간 더 낮아질 것으로 보인다. 태양으로부터 190억km 이상 떨어져 초속 15.4km로 멀어지고 있는 보이저 2호도 아주 먼 미래에는 속도가 초속 14.9km로 약간 더 낮아질 것으로 보인다. 보이저 1호와 2호 모두 쌍곡선 궤도의 후반부를 지나가고 있다고 보면 되겠다.

쌍곡선 모양의 궤도를 날아가는 또 다른 경우로 '오무아무아'를 들 수 있다. 태양계 밖 외계에서 날아온 이 길쭉한 천체는 쌍곡선 모양의 궤도로 태양에 다가왔다 멀어졌다. 그 속도가 태양 중력 탈출 속도보다 크다는 얘기다. 하지만 태양 근처를 지나는 동안 가속되면서 궤도의 모양이 약간 변한 것이 관측되었다.[4]

우주 탐사선이 행성 근처를 지나가면서 속도를 높이거나 줄이고 방향도 바꾸는 중력도움 항법에서도 부분적으로 쌍곡선 모양의 궤적을 볼 수 있다. 단, 행성에 비교적 가까운 위치에서 행성의 위치를 기준으로 볼 때에 한해서다. 이 경우 행성으로부터의 거리가 같으면 탐사선이 행성에 다가오는 속도와 멀어지는 속도가 같다. 하지만 태양을 기준으로 보면 탐사선의 속도에 행성의 공전 속도가 더해지면서 우주 탐사선은 쌍곡선과는 많이 다른 모양의 궤적을 날아간다. 이 때문에 행성에 어떻게 접근하는가에 따라 탐사선의 속도가 더 빨라지기도 하고 느려지기도 하고 방향도 바뀐다.

우주 비행 또는 천체의 움직임에 나타나는 타원, 포물선, 그리고 쌍곡선 모양의 공통점은 고등학교 수학에서 배우는 기하에 나오는 모양이다. 중력을 제공하는 천체의 중심은 이들 모양의 초점에 위치한다. 어떤 모양의 궤도가 나오는가는 중력 속에서 움직이는 물체의 속도가 중력 탈출 속도보다 작은가, 같은가, 또는 큰가에 달려 있다. 속도의 미세한 차이로 타원 모양의 궤도가 되기도 하고 포물선 모양의 궤도가 되기도 하고 쌍곡선 모양의 궤도가 되기도 한다. 타원, 포물선, 그리고 쌍곡선이 서로 연결되어 있음을 알 수 있는 부분이다.

윤복원/미국 조지아공대 연구원(전산재료과학센터·물리학)

bwyoon@gmail.com

주)

1. "우리가 쏜 꿈, 우주를 날았다", 이근영, 한겨레 미래&과학, 2021년 10월 21일, https://www.hani.co.kr/arti/science/science_general/1016175.html

"'누리호 = 우주독립'인 이유?...이것만은 알고 보자[과학을읽다]", 김봉수, 아시아경제, 2021년10월 20일, https://view.asiae.co.kr/article/2021102010560911174

"발사후 16분 7초간 누리호 운명 결정...성공 확인엔 30분", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 20일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211020138200017?input=1195m

2. "누리호, 이륙 후 모든 비행 절차 수행...최종 성공 근접", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 21일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211021149251017

"3단엔진 빨리 꺼진 이유는? 누리호 비행계측 분석 내일 착수", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 24일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211023015000017?input=1195m

3. Voyager Mission Status, Jet Propulsion Laboratory, https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/

4. "Our Solar System's First Known Interstellar Object Gets Unexpected Speed Boost", 미항공우주국, 2018년 6월 27일

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궤도역학으로 본 누리호의 우주비행 궤적

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10월 21일 대한민국 자체 기술로 개발한 위성 발사체 누리호의 1차 발사가 있었다. 성공적으로 700km 이상의 상공에는 도달했지만, 발사체에서 분리된 위성 모사체는 아쉽게도 지구 주위를 도는 위성 궤도에 오르지 못했고 호주 남쪽 바다에 떨어졌다.[1] 인공위성이 되기 위한 속도에 도달하지 못했기 때문이다. 좀 더 정확한 로켓 발사체의 비행 궤적 분석 결과가 나오면 누리호가 목표 속도에 도달하지 못한 구체적인 원인이 밝혀질 것으로 보인다.

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[핫클립] 빗살무늬토기 속 수학 / YTN 사이언스

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가장 강력한 무기를 생각하라는 질문을 듣는다면, 대부분 핵폭탄을 생각할 것이다. 맞다. 지금 우리가 사는 시대에는 핵폭탄이 가장 강력한 무기다. 그렇다면 프랑스혁명 시기에는 어떤 무기가 가장 강력했을까? 그것은 바로 대포였다. 최초의 화약은 중국에서 발명되었다. 화약을 사용한 대포는 점점 더 강력하게 변화했고, 프랑스혁명이 일어나기도 전에 대포는 전쟁의 양상을 바꾸어 놓았다.

대포는 점차 진화하고 있었다. 오스만 튀르크의 마호메드 2세는 대포를 사용해 콘스탄티노플의 성벽을 무너뜨리고. 동로마 제국을 점령했다. 이후 인류는 갈릴레오와 뉴턴의 물리학을 접목해 포탄의 움직임을 수학 계산을 통해 예측할 수 있게 되었다.

프랑스혁명 정부는 흙수저 청년들의 애국심을 동원할 수 있었다. 프랑스는 에콜 폴리테크닉에서 청년들에게 수학을 가르쳐 포병을 양성했다. 프랑스 포병들은 수학 공식에 따라 표준화된 절차에 따라 적을 공격할 수 있었다. 오스트리아의 포병은 오랜 시간 훈련한 귀족이 주축이 되어 매우 강력했다. 그러나 프랑스는 수학을 통해 오스트리아보다 포병을 빨리 양성할 수 있었다. 전쟁이 장기화될수록 오스트리아의 피해는 커질 수밖에 없었다. 흙수저도 국가 안보에 기여할 수 있게 된 프랑스는 이제 유럽에서 가장 강력한 강대국이 되었다. 대 프랑스 동맹국은 프랑스를 점령할 수 없었다.

오스만 튀르크와 콘스탄티노플 함락

1451년 오스만 튀르크의 술탄 마호메드 2세는 동로마 제국의 콘스탄티노플을 공격했다. 콘스탄티노플은 천혜의 요새로 수많은 이슬람 정복자들이 공격했지만 실패한 곳이었다. 새로운 정복자 마호메드 2세는 콘스탄티노플의 악명을 이미 알고 있었지만 아랑곳하지 않았다. 마호메드 2세는 헝가리의 대포 공학자 우르반에게 강력한 대포를 만들도록 명령했다. 우르반은 거대한 대포 "바실리카(Basilica)"를 제작했다. 바실리카 대포는 길이가 8미터에, 270킬로그램의 포탄을 1.6킬로미터까지 날려 보낼 수 있었다 전해진다. 바실리카 대포는 너무 강력해서 단단한 콘스탄티노플의 성벽을 부술 수 있었다. 성벽이 무너진 콘스탄티노플은 결국 오스만 튀르크에게 패배한다. 동로마 제국이 끝나는 순간이었다. 대포의 힘은 나라를 망하게 할 수 있었다.
갈릴레오와 뉴턴 - 자연의 움직임을 수학으로 예측
시간이 지나 이탈리아의 갈릴레오와 영국의 뉴턴은 과학혁명을 일으킨다. 갈릴레오와 뉴턴은 이 세상을 수학으로 이해하려고 했고, 그들의 연구 결과는 수학의 언어로 과학을 이해하자는 새로운 관점을 제시했다. 인류는 수학 계산을 통해 자연의 움직임을 예측할 수 있게 되었다.

이탈리아의 갈릴레오는 과학계에 새로운 관점을 제시했다. 갈릴레오는 빗면 낙하 실험을 통해 아리스토텔레스의 자연 철학 이론을 깨고, 과학적 모델 방법론을 제시한다. 과학적 모델 방법론이란 실험을 통해 깨달은 자연의 법칙을 수학의 언어로 정리하는 것이었다. 갈릴레오의 과학적 모델 방법론은 과학혁명을 일으켰다. 갈릴레오가 세상을 떠나고 1년 후 영국에서 태어난 뉴턴은 물리학의 역사를 바꾸었다.

뉴턴은 갈릴레오의 생각을 정리해 세상의 모든 움직임을 수학으로 표현할 수 있음을 알려주었다. 세상의 모든 움직임은 뉴턴의 3법칙(관성의 법칙, 가속도의 법칙, 작용-반작용의 법칙)을 통해 이해할 수 있었다. 그리고 미적분학을 발전시켜 물체의 움직임을 예측할 수 있는 수학적 도구를 제공했다. 이러한 뉴턴의 방법을 고전 역학이라 부른다. 인류는 뉴턴이 만든 고전역학의 수학 공식을 계산하여 물체의 미래를 예측할 수 있게 되었다.
이차함수와 포물선
갈릴레이와 뉴턴의 생각은 대포에 적용되었다. 갈릴레오는 책상 위에 경사면을 만들어 공이 등가속도로 움직이게 한 다음, 경사면을 거쳐 책상 아래로 떨어지는 공의 궤적을 조사했다. 이 실험을 통해 날아가는 물체의 궤도가 포물선임을 확인했다.

뉴턴의 고전역학 공식을 이용하면 대포가 날아가는 궤적(이하 포물선)과 대포의 미래 움직임을 정확히 계산할 수 있었다. 증명과정은 복잡하기에 모두 이야기할 수 없지만, 중력이 작용하는 지구에서 대포를 쏘면 그 궤적이 이차함수 모양을 그리게 된다는 사실을 알 수 있다.

뉴턴과 갈릴레이의 연구는 탄도학에 혁명을 가져왔다. 포를 조준해서 맞추는 지식이 수학화되었고, 손쉽게 복제가 가능하게 되었기 때문이다. 뉴턴과 갈릴레오 이전에도 대포를 쏘는 사람들은 있었지만, 수학을 쓰지 않고 수많은 반복을 통해 감을 잡아야만 했다. 수많은 연습을 한 대포의 장인만이 대포를 잘 다룰 수 있었던 것이다.

그러나 이제 대포를 쏘아 표적을 맞추는 것은 이차함수 문제를 푸는 것과 동일해졌다. 이차함수 문제를 풀 수 있다면, 대포를 쏘아서 맞출 수 있게 되는 것이다. 수학은 공부하기 매우 힘들지만, 공식대로 풀면 누구나 동일한 답을 얻을 수 있다. 대포를 쏘는 지식이 수학화 되는 순간 누구나 얻을 수 있는 지식이 되었다. 이전에는 포만 몇십 년을 운용한 장인만이 가질 수 있던 지식이었다.

에콜 폴리테크닉

프랑스혁명 정부는 조국을 구할 젊은이들에게 강력한 무기인 대포 사용법을 가르쳐주었다. 프랑스의 흙수저 젊은이는 국가로부터 포를 쏘는 지식을 에콜 폴리테크닉에서 배울 수 있었다. 에콜 폴리테크닉의 설립 목적은 "뛰어난 실력을 가진 기술자와 우수한 포병을 양성"하는 것이었다. 에콜 폴리테크닉의 교수들은 해석학(analysis), 역학(mechanics), 동역학(dynamics), 사영 기하학(projective geometry), 일반 물리학(physics)등을 가르쳤다. 에콜 폴리테크닉에 다니는 학생들은 수학을 배움으로써 탄도학에 관련된 지식을 얻을 수 있었다. 즉, 에콜 폴리테크닉을 졸업한 학생은 대포를 쏘는 지식을 알고 있었다. 그리고 혁명전쟁에 뛰어들어 포병 임무를 수행했다.

프랑스 포병이 해야 할 일

프랑스 포병이 대포로 적을 맞추는 과정은 크게 5가지로 구분할 수 있다. 첫째, 적을 관측하여 좌표를 기록한다. 둘째, 이차함수 공식을 세운다. 셋째, 접선의 방정식 세운다. 넷째, 삼각비 공식으로 각도를 구한다. 다섯째, 대포를 발사한다. 예를 들어, 프랑스 포병은 3km 거리에 있는 적군을 대포로 맞추기 위해 다음과 같은 일을 했을 것이다.
(1) 적 관측
프랑스 항공 군단(French Aerostatic Corps)의 도움으로 적의 위치를 파악한다. 파악된 적의 위치는 3km 떨어져 있다. 따라서 아군의 위치는 (0,0)으로, 적군의 위치는 (3,0)으로 기록한다.
(2) 이차함수 공식 세우기
적을 맞추기 위한 포물선 공식을 설계한다. 인수분해 공식을 토대로 포물선의 이차함수 공식을 설계하고, 이차함수 그래프를 그린다. 아군의 위치는 x로 적군의 위치는 (x-3)으로 두고 인수분해 형태의 이차함수 공식을 만든다.
(3) 접선의 방정식 세우기
: 발사할 각도를 알려주는 접선의 방정식을 세운다. 일차함수 식을 세우고, 판별식 D=0의 조건을 이용해 수식을 완성한다. 일차함수의 공식은 y=+3x으로 계산되었다. 일차함수의 기울기 값인 +3이라는 숫자는 포구의 각도에 대한 정보를 알려준다.

접선인 y=+3x의 그래프를 그린다. 대포의 포구 방향을 파란색 접선인 y=+3x와 일치시키고, 대포를 발사하면, 빨간색 곡선인 y=-x(x-3)을 따라간다. 3km 위치에 떨어진 적은 포물선 위에 놓여 있으므로 대포를 맞을 수밖에 없다. 대포 포구를 접선과 위치시키기 위해서는 포구의 각도가 얼마인지 알아야 한다.
(4) 삼각비 공식
삼각비의 정의와 삼각함수를 이용해 포구의 각도를 찾는다. 그리고 맞춰 포를 방열한다. 접선의 기울기가 +3인 경우 삼각비를 찾으면 tan값이 3으로 계산된다. 삼각함수의 역함수 공식을 이용하면, 이 경우에 각도는 71.56도로 계산된다. 이제 포병은 71.56도에 맞춰 포구를 맞추면 된다.
(5) 대포 발사
포구의 각도도 71.56도에 맞췄다. 대포를 발사한다. 3km 거리에 떨어진 적은 포탄을 맞게 된다. 명중한 것이다.

이렇게 프랑스에서는 대포를 발사하는 절차가 표준화되었다. 이렇게, 저렇게 대충 감으로 때려 맞추는 것이 아니라, 논리적인 계산에 입각해 적을 공격하는 것이다. 프랑스에서는 이차함수에 대해 제대로 이해한 포병이라면 누구든 적군을 맞출 수 있는 능력을 가지고 있었다.

오스트리아는 만만치 않은 상대였다. 실제로는 프랑스와 싸운 오스트리아의 포병의 실력이 더 좋았다고 한다. 오스트리아 포병의 명중률은 평균 65% 정도로 같은 대 프랑스 동맹국인 영국의 28%나 프로이센의 35%보다 높은 수치였다. 오스트리아의 포병은 귀족이 주축이 되었고, 선조로부터 대대로 물려받은 지식을 가지고 있었다. 당연히 오랫동안 포병으로 일해온 오스트리아 귀족의 지식을 프랑스 포병이 뛰어넘을 수는 없었다. 일대일로 붙을 경우 오스트리아 귀족은 프랑스 포병에게 많은 피해를 줄 수 있었다.

그러나 프랑스에서는 많은 포병을 빠르게 배치할 수 있었다. 대포를 쏘는 지식은 수학 공식으로 누구나 배울 수 있었기 때문이다. 프랑스는 오스트리아와 달리 신분을 따지지 않고 조국을 지킬 의지가 있는 젊은이에게 포병 지식을 가르쳤다. 대한민국 기준으로 이차함수와 삼각비는 중학교 3학년이 1년 동안 배우는 과정에 포함되어 있다. 우리나라 학생들은 중학교 3학년 시기를 지나면 대포를 쏠 수 있는 지식을 갖추게 되는 것이다. 수학은 매우 어려웠지만 오스트리아 귀족이 훈련받는 것보다는 빠르게 포를 쏘는 지식을 습득할 수 있는 방법이었다.

프랑스에서 포병이 빠르게 교육받을 수 있다는 점은 오스트리아를 불리하게 만들었다. 전쟁 과정에서 프랑스도 오스트리아 병사도 모두 손해를 입게 되는데, 실력은 뛰어나지만 소수의 포병을 가진 오스트리아의 군대의 피해가 전략적으로는 더 큰 손실이기 때문이었다. 전쟁이 오래 지속될수록 오스트리아가 얻을 피해는 점점 커질 수밖에 없었다. 오스트리아가 프랑스를 공격하면 할수록, 프랑스를 지키려는 젊은이들은 수학을 통해 포병으로 변신하여 오스트리아를 괴롭혔다.

이제 프랑스는 가장 강력한 나라가 되었다. 프랑스에서는 흙수저까지 외세와 싸울 수 있었기 때문이다. 조국을 지킬 의지만 있다면 학교에서 배운 수학을 통해 매우 강력한 무기인 대포를 사용할 수 있었다. 반면 대 프랑스 동맹국들은 귀족들이 주축이 되어 전쟁에 참여했다. 귀족들이 가진 지식은 프랑스의 흙수저 병사들보다 뛰어났지만, 귀족들의 수는 많지 않았다. 대 프랑스 동맹국들이 전투에서 승리할 경우 프랑스를 지키려는 청년들을 자극했고, 이것은 프랑스를 더욱더 강하게 만들 뿐이었다. 대 프랑스 동맹국은 전쟁에서 승리할 수 없었다. 프랑스 국민의 의지를 꺾는 전쟁의 목표를 달성할 수 없게 되었기 때문이었다.

이때 강대국이 된 프랑스 혁명군을 어떻게 사용할지 알고 있는 천재가 등장했다. 그의 이름은 나폴레옹이었다. 나폴레옹은 새롭게 변한 프랑스의 군대를, 전쟁에서 승리하려는 젊은이들의 의지를 이용할 줄 아는 장군이었다. 나폴레옹의 천재적인 전략과 전술에 힘입어 프랑스는 대 프랑스 동맹을 와해하고, 영국을 제외한 모든 다른 나라들을 프랑스 앞에 무릎 꿇게 했다.

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06 프랑스혁명 : 수학과 대포

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프랑스는 수학을 통해 많은 포병을 빠르게 양성했다. | 가장 강력한 무기를 생각하라는 질문을 듣는다면, 대부분 핵폭탄을 생각할 것이다. 맞다. 지금 우리가 사는 시대에는 핵폭탄이 가장 강력한 무기다. 그렇다면 프랑스혁명 시기에는 어떤 무기가 가장 강력했을까? 그것은 바로 대포였다. 최초의 화약은 중국에서 발명되었다.

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자동차 헤드라이트 설계에 활용되는 포물선

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자동차 헤드라이트 설계에서 포물선은 빛을 특정 방향으로 집중시키는 데 중요한 역할을 합니다. 포물선 형태의 반사경을 사용하여 전구에서 나오는 빛을 효율적으로 모아 도로를 밝히는 방향으로 반사할 수 있습니다. 이는 운전자의 시야를 넓히고 도로를 선명하게 비춰 주어 안전한 주행을 돕습니다. 본 글에서는 포물선 반사경이 자동차 헤드라이트 설계에 어떻게 활용되는지 그 원리와 장점에 대해 설명하겠습니다.1. 포물선의 기하학적 특성포물선은 초점을 가진 이차 곡선으로, 특정 방향에서 들어오는 빛이나 파동을 한 점(초점)으로 모으거나, 초점에서 나온 빛을 평행하게 반사시키는 성질이 있습니다. 포물선의 방정식은 다음과 같습니다:$$ y = ax^2 $$또는 초점이 \( (0, f) \)인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있…

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[수학사랑] 포물선 구슬 실험기

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[스포츠 연구소] 농구판에 무지개를 쏘다

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스포츠 연구소 농구판에 무지개를 쏘다 무지개같은 포물선 그리는 레인보 3점슛의 마법 -韓도 美도 레인보 슈터가 접수 NBA 커리·오리온 허일영 등 3점슛 성공률 50%안팎 정상급 슛 발사 각도, 평균보다 큰 55도 슈팅도 정지 없이 한박자로 던져 운동신경 약해 정통 슈팅 어려워 포물선 높여 3점슛 달인으로 변신

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자동차 헤드라이트 설계에 활용되는 포물선

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자동차 헤드라이트 설계에서 포물선은 빛을 특정 방향으로 집중시키는 데 중요한 역할을 합니다. 포물선 형태의 반사경을 사용하여 전구에서 나오는 빛을 효율적으로 모아 도로를 밝히는 방향으로 반사할 수 있습니다. 이는 운전자의 시야를 넓히고 도로를 선명하게 비춰 주어 안전한 주행을 돕습니다. 본 글에서는 포물선 반사경이 자동차 헤드라이트 설계에 어떻게 활용되는지 그 원리와 장점에 대해 설명하겠습니다.1. 포물선의 기하학적 특성포물선은 초점을 가진 이차 곡선으로, 특정 방향에서 들어오는 빛이나 파동을 한 점(초점)으로 모으거나, 초점에서 나온 빛을 평행하게 반사시키는 성질이 있습니다. 포물선의 방정식은 다음과 같습니다:$$ y = ax^2 $$또는 초점이 \( (0, f) \)인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있…

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네이버 블로그 | 돌담소리

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어릴 때 즐겨 하던, 인터넷 혹은 게임 기구로 할 수 있는 스포츠 게임에서 보면 포물선 운동을 이용한 스포츠 경기들이 굉장히 많았다.

예를 들어 투포환 던지기, 농구, 양궁 등등 올림픽 종목뿐만 아니라 여러 운동들에 포물선 운동 원리가 나도 모르는 사이에 스며들어 있었다. 어렸을 때는 그런 것에 상관없이 그저 게임만 즐겼었지만, 크면서 생각해 보니 스포츠 경기에서 이기기 위해서는 직접적으로 전략에 이용할 수 있는, 근본적인 승리의 원인인 포물선에 대해 관심을 갖게 되었다.

그래서 이 포물선 운동이 무엇인지, 왜 이 운동이 스포츠에서 이용되어야 하는지, 포물선 운동의 원리가 무엇인지에 대해서도 궁금증이 생겨 자료를 찾아 연구하게 되었다

포물선 운동이란 일정한 크기와 방향을 가지는 힘이 작용하는 공간에서 물체가 힘의 방향과 일정 각도를 이루어 던져졌을 때 그 이동 경로가 포물선을 그리는 운동이다.

지표면에서 지면과 일정한 각도를 이루어 던져진 물체는 지면에 수직인 방향으로만 일정한 크기를 가지는 중력의 영향을 받는다. 수평 방향으로는 등속도 운동을 하며 수직 방향으로는 등가속도 직선 운동을 하게 된다.

이렇게 모든 지점에서의 힘의 크기와 방향이 같은 공간에서 물체가 힘의 방향과 일정 각도를 이루어 던져질 때 이 물체는 결과적으로 아래 [그림1]과 같은 형태의 포물선을 그리게 되며 이때 물체가 그리는 궤적을 포물선 운동이라고 칭한다. [그림2]에서 노란색 점은 시간이 1초씩 흐를 때마다 실험 기기로 측정한 물체의 x 축 위치를, 파란색 점은 물체의 y 축 위치를 나타내며 각 점 사이의 간격을 관찰하면 단위 시간당 물체의 x 축 방향으로의 이동 거리, 즉 물체의 x 축 방향으로의 속도는 일정하지만 단위 시간당 물체의 y축 방향으로의 이동 거리는 점진적으로 증가하여 가속 운동을 하고 있음을 확인할 수 있다. 이때 단위 시간당 늘어나는 빨간색 점간의 간격의 길이는 일정하며 그 값은 중력 가속도의 크기인 9.8m/s2이다.

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포물선 운동과 스포츠에 대한 탐구

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포물선 운동과 스포츠에 대한 탐구 탐구 동기 어릴 때 즐겨 하던, 인터넷 혹은 게임 기구로 할 수 있는 스...

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포물건의 정의의 활용 문제풀이 (개념유형 15p 5-1)

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김성화 이선중

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포물선의 접선의 방정식

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포물선의 접선의 방정식

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포물선의 접선의 방정식 문제만들기

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타원에 대해서 알아보기

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타원에 대해서 알아보기

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타원의 성질🥏을 알고 있다면!!! 당신의 당구의 신이 될 수 있습니다‼️ㅣ과학원리체험@home 시즌3

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멀어도 잘들리는 신비한 '타원'

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Applications of Ellipse: From Medicine to Pool 🏥 🎱

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타원의 초점과 위성 궤도 운동의 관계

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타원(Ellipse)은 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 정의됩니다. 타원은 기하학적 특성뿐만 아니라 물리학, 천문학, 공학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 합니다. 특히, 위성 궤도 운동에서는 타원의 초점이 중심적인 의미를 가지며, 이는 케플러의 제1법칙(행성운동의 법칙)과 밀접한 관련이 있습니다. 본 글에서는 타원의 정의와 초점의 개념, 위성 궤도 운동에서의 타원의 적용 및 수학적 분석을 다룹니다.타원의 정의와 초점1. 타원의 정의타원은 다음과 같이 정의됩니다:$$ \{(x, y) \mid \text{두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합}\} $$2. 타원의 표준 방정식중심이 원점에 있고, 장축이 x축을 따라 있을 때, 타원의 표준 방정식은 다음과 같습니다.$$ \f…

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타원의 성질 및 실생활의 활용

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타원에서 입사각과 반사각이 같음을 확인해 보자. 위의 그림에서 안쪽이 거울로 되어 있는 타원의 한 초점에 광원을 두면, 에서 나오는 광선은 타원에서 반사되어 또 하나의 초점인에 도달한다. 이것은 17세기에 증명되었는데 치과병원에서 환자를 치료할 때 환자의 입속이 잘 보이게 타원 반사경을 이용한다. 열도 빛과 같은 법칙으로 반사하므로, 위의 경우 한 초점에 열원을 놓으면 또 다른 초점으로 열이 모이게 된다. 이러한 원리를 이용하여 직화가 아닌 방법으로 음식을 조리할 수 있다. 소리도 빛과 열과 같은 반사법칙을 따른다. 미국 국회의사당의 내셔널 스태츄어리 홀(Nation Statuary Hall), 영국 런던의 세인트 폴 대성당의 속삭이는 화랑은 타원의 성질을 이용하여 설계된 건물로 한 초점의 위치에서 두…

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사실 행성은 원 모양으로 공전하지 않습니다. (케플러 운동 법칙)

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케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)도 처음에는 행성이 원 운동을 할 것이라고 생각했으나 관측 자료를 분석한 결과 행성이 타원 궤도를 따라 운동한다는 것을 밝혀내었다. 태양계의 행성 이외에 혜성들 중에도 타원 궤도를 따라 움직이는 것들이 있다.

1705 년 핼리(Halley, E. ; 1656~1742)는 1531년, 1607년, 1682년에 나타난 혜성의 궤도가 서로 일치하는 것을 확인하였다. 그는 같은 혜성이 태양 주위를 약 76년에 한 번씩 돌고 있다고 생각하고, 이 혜성이 1758년에 다시 나타날 것이라고 예언하였다.

핼리는 자신의 예언이 실현되는 것을 보지 못하고 세상을 떠났지만, 1758년 그가 예언한 대로 혜성이 다시 나타났다. 그 후 사람들은 그의 공로를 기념하여 이 혜성을 핼리 혜성이라고 부르기로 하였다.

과학자들은 핼리 혜성이 2062년에 지구를 다시 찾을 것으로 예상하고 있다.

○ 타원의 성질을 이용한 기기

이것은 '타원의 한 초점에서 나간 빛은 타원에 반사된 후 다른 초점을 지나간다.'는 타원의 광학적 성질에 의한 것이다.

[ 그림 1]과 같이 의 연장선 위에 의 이등분선을 직선 이 되도록 점 R를 잡는다. 또, ∠F'PR 이라고 하고, 위에 P와 다른 점 Q를 잡는다.

[그림 1]

⑴ 이다. ∠QPR=∠QPF, , 는 공통이므로

따라서

그러므로 가 성립한다.

⑵ 직선 은 타원의 접선이다.

이므로 점 Q는 타원 위의 점이 아니다. 즉, 직선 과 타원의 교점은 점 P하나뿐이다.

따라서 직선 은 점 P에서의 타원의 접선이다.

[ 그림 2] 와 같이 직선 PQ 위에 점 S를 잡으면 직선 이 ∠FPR의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠F'PS=∠FPQ이다.

타원의 광학적 성질은 의료 기기나 건축물의 설계에 이용되고 있다.

치과에서 사용하는 조명등도 타원의 광학적 성질을 이용하여 만든 것이다.

영국 런던의 세인트 폴 대성당에 있는 '속삭이는 회랑 '은 이와 같은 타원의 광학적 성질을 이용하여 설계된 건물이다. 이 회랑은 타원을 회전시킨 입체를 절반으로 자른 형태로 되어 있는데, 타원의 한 초점에 해당하는 위치에 서서 속삭이면 다른 위치에 있는 사람은 들을 수 없어도 다른 초점의 위치에 서 있는 사람은 들을 수 있다. 타원의 한 초점에서 난 소리가 타원 모양의 벽에 반사된 후 다른 초점으로 모이기 때문이다.

미국 국회의사당의 내셔널 스태추어리 홀(National Statuary Hall)도 '속삭이는 회랑' 효과를 낸다고 알려져 있다.

타원을 이용하여 활용되는 기기나 분야는 다양할 것이다. 그중 타원이 활용되는 기기나 건물등에 대하여 알아보았다.

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실생활에서 타원의 이용 찾기

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■ 실생활에서 타원의 이용 찾기 ○ 태양계 천체의 운동 태양계의 행성들은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 코페르니쿠스(Copernicus, N. ; 1473~1543)는 천동설을 뒤집고 지동설을 주장했지만, 고대의 천문학자들과 마찬가지로 행성이 원 운동을 한다고 생각하였다. 천문학자와 수학자들이 고대로부터 행성이 원 운동을 할 것이라고 생각한 이유 중 하나는 원이 가장 완전한 도형이라고 여겼기 때문이다.

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지구가 공 모양이 아니라고?

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10월 21일 대한민국 자체 기술로 개발한 위성 발사체 누리호의 1차 발사가 있었다. 성공적으로 700km 이상의 상공에는 도달했지만, 발사체에서 분리된 위성 모사체는 아쉽게도 지구 주위를 도는 위성 궤도에 오르지 못했고 호주 남쪽 바다에 떨어졌다.[1] 인공위성이 되기 위한 속도에 도달하지 못했기 때문이다. 좀 더 정확한 로켓 발사체의 비행 궤적 분석 결과가 나오면 누리호가 목표 속도에 도달하지 못한 구체적인 원인이 밝혀질 것으로 보인다.

로켓 발사체의 발사를 계획하거나 발사 결과를 분석할 때, 발사체가 어떻게 날아가는지 그 궤적을 계산하는 것이 필요하다. 하지만 이 계산은 간단한 문제가 아니다. 로켓의 추진력, 연료를 사용하면서 시간에 따라 줄어드는 발사체 질량, 발사체가 날아가는 각도 등 고려해야 할 것들이 많다. 대기권 안에서 날아갈 때는 공기저항도 영향을 끼친다. 반면 공기저항이 없는 우주에서 추진력 없이 날아가는 경우는 의외로 계산이 어렵지 않다. 궤도역학으로 비교적 간단하게 계산할 수 있기 때문이다.

지구 주위를 도는 인공위성과 우주정거장은 타원 모양으로 돈다. 케플러의 행성운동 법칙을 이용하면 타원 모양의 궤도를 거의 정확하게 설명할 수 있다. 이 법칙은 17세기 초에 태양 주위를 도는 행성의 움직임을 천체망원경으로 관측해서 찾은 법칙이다. 태양은 지구로, 행성은 인공위성으로 바꾸면 지구 주위를 도는 인공위성과 우주정거장의 타원 궤도를 설명할 수 있다. 17세기 후반에는 뉴턴이 운동법칙과 만유인력의 법칙을 확립하면서 케플러의 행성운동 법칙을 수학, 물리학적으로 정확하게 설명했다. 이후 중력의 영향 속에서 움직이는 로켓과 우주선에도 적용할 수 있는 궤도역학으로 발전했다.

타원 모양의 궤도로 설명할 수 있는 것은 지구 주위를 도는 인공위성이나 우주정거장의 움직임 뿐만이 아니다. 지구 주위를 완전히 돌지 못하고 중간에 떨어지는 경우를 설명하는데도 유용하다. 로켓 추진을 마친 후, 관성만으로 우주를 날아가는 움직임은 타원 모양이기 때문이다. 단지 지구에 가로막혀 타원의 일부분만 나올 뿐이다. 대륙간 탄도 미사일의 후반부 움직임이 이 부분에 해당한다.

지상에 떨어진 누리호의 위성 모사체에도 타원 궤도를 적용할 수 있다. 날아간 궤적만 보면 대륙간 탄도 미사일과 다를 바가 없기 때문이다. 3단 연소를 마친 후에 분리된 위성 모사체는 로켓 추진 없이 관성으로만 날아갔다. 이 부분에 타원 궤도를 적용하면, 최고높이와 날아간 거리로부터 위성 모사체의 속도를 추정할 수 있다. 누리호가 올라간 최고 높이는 700km와 750km 사이고, 이후 5000km 가량 더 날아간 것으로 알려졌다.[2] 대기권에 재진입한 후에 공기저항으로 속도와 날아간 거리가 감소한 것까지 고려하면, 이 궤적은 최고 높이에서의 초속 6.4km 정도로 날아갈 때의 궤적에 가깝다. 이 높이에서 인공위성이 되기 위한 속도는 초속 7.5km인데, 이보다 초속 1km 이상 부족한 상황이었다.

타원 모양의 궤도는 중력에 갇힌 경우에 나타난다. 중력을 완전히 벗어나 아주 먼 곳까지 멀어지려면 중력 탈출 속도나 그 이상의 속도가 필요하다. 이 경우에 날아가는 궤도의 모양은 타원 모양이 아니다. 중력을 완전히 벗어나는 궤도의 모양은 두 가지가 있다. 첫번째는 포물선 모양의 궤적으로 정확하게 중력 탈출 속도로 날아가는 경우다. 아주 먼 곳에서의 속도가 거의 0이 될 정도로 아슬아슬하게 중력을 벗어나는 경우다. 중력 탈출 속도보다 조금이라도 작은 속도에서는 타원 모양 궤도가 나오기 때문에, 포물선 모양의 궤도는 타원 모양 궤도의 경계면에 있다. 중력을 벗어나는 두번째 궤도의 모양은 쌍곡선으로 중력 탈출 속도보다 빠르게 날아가는 경우에 나타난다. 이 경우에도 마찬가지로 속도가 중력 탈출 속도에 아주 가까워지면 포물선 모양에 가까워진다. 쌍곡선의 경계면에 포물선이 있는 것이다.

중력탈출 속도는 중력을 제공하는 천체로부터 얼마나 떨어져 있는가에 따라 다르다. 지구의 경우 통상 중력 탈출 속도는 11.2km로 본다. 이 속도는 지구 해수면에서의 속도다. 하지만 실제 상황에서는 대기의 공기저항 때문에 이 속도로는 지구중력을 벗어날 수 없다. 달 표면처럼 대기가 없다고 가정했을 때나 가능하다. 누리호가 목표한 최고 높이인 지구 700km 상공에서의 지구 중력 탈출 속도는 초속 10.6km다. 이 높이에서 원 모양의 궤도를 도는 인공위성의 속도는 초속 7.5km인데 중력 탈출 속도는 이의 √2=1.414배인 초속 10.6km다. 700km 상공에서 이 속도로 날아가는 우주선은 포물선 모양으로 날아가기 시작한다.

그런데 다른 천체들이 존재한다는 문제가 있다. 이들의 중력은 날아가는 우주선의 궤적에 영향을 끼친다. 예를 들어 지구 700km 상공에서 초속 10.6km로 날아는 우주선은 처음에는 포물선 모양으로 날아간다. 하지만 지구에서 멀어지면서 태양과 달의 중력으로 인해 포물선 모양에서 벗어나기 시작한다. 지구와 달 모두에서 충분히 멀아지면 태양 중력이 훨씬 더 중요해지기 때문에 우주선은 태양의 중력에 갇혀 태양 주위를 타원 모양으로 돌기 시작한다.

태양의 중력을 벗어나는 포물선 모양의 궤도가 나오려면 우주선의 속도는 태양 중력 탈출 속도로 커져야 한다. 지구가 태양주위를 도는 궤도의 위치에서 태양 중력 탈출 속도는 초속 42km정도다. 쌍곡선 궤도가 나오려면 태양 중력 탈출 속도보다 더 큰 속도여야 한다. 지구에서 출발하는 경우는 지구 공전 속도인 초속 29.8km를 덤으로 얻고 대신 지구 중력을 벗어나야 하기 때문에 제2 우주속도인 초속 16.7km가 필요하다. 한편, 태양 중력을 벗어나는 속도로 날아간다고 해도, 도중에 다른 행성 근처를 지나가면 행성 중력의 영향으로 궤도의 모양이 변한다.

속도가 중력 탈출 속도보다 커서 쌍곡선 모양의 궤도로 날아가는 대표적인 경우로 우주 탐사선 보이저 1호와 2호를 들 수 있다.[3] 이들은 태양을 기준으로 쌍곡선 모양으로 날아가면서 태양에서 멀어진다. 태양으로부터 230억km 이상 떨어져 있는 보이저 1호는 태양으로부터 초속 17.0km로 멀어지고 있다. 아주 먼 미래에 태양 중력이 거의 미치지 않는 곳에 도달하면 속도는 초속 16.7km로 약간 더 낮아질 것으로 보인다. 태양으로부터 190억km 이상 떨어져 초속 15.4km로 멀어지고 있는 보이저 2호도 아주 먼 미래에는 속도가 초속 14.9km로 약간 더 낮아질 것으로 보인다. 보이저 1호와 2호 모두 쌍곡선 궤도의 후반부를 지나가고 있다고 보면 되겠다.

쌍곡선 모양의 궤도를 날아가는 또 다른 경우로 '오무아무아'를 들 수 있다. 태양계 밖 외계에서 날아온 이 길쭉한 천체는 쌍곡선 모양의 궤도로 태양에 다가왔다 멀어졌다. 그 속도가 태양 중력 탈출 속도보다 크다는 얘기다. 하지만 태양 근처를 지나는 동안 가속되면서 궤도의 모양이 약간 변한 것이 관측되었다.[4]

우주 탐사선이 행성 근처를 지나가면서 속도를 높이거나 줄이고 방향도 바꾸는 중력도움 항법에서도 부분적으로 쌍곡선 모양의 궤적을 볼 수 있다. 단, 행성에 비교적 가까운 위치에서 행성의 위치를 기준으로 볼 때에 한해서다. 이 경우 행성으로부터의 거리가 같으면 탐사선이 행성에 다가오는 속도와 멀어지는 속도가 같다. 하지만 태양을 기준으로 보면 탐사선의 속도에 행성의 공전 속도가 더해지면서 우주 탐사선은 쌍곡선과는 많이 다른 모양의 궤적을 날아간다. 이 때문에 행성에 어떻게 접근하는가에 따라 탐사선의 속도가 더 빨라지기도 하고 느려지기도 하고 방향도 바뀐다.

우주 비행 또는 천체의 움직임에 나타나는 타원, 포물선, 그리고 쌍곡선 모양의 공통점은 고등학교 수학에서 배우는 기하에 나오는 모양이다. 중력을 제공하는 천체의 중심은 이들 모양의 초점에 위치한다. 어떤 모양의 궤도가 나오는가는 중력 속에서 움직이는 물체의 속도가 중력 탈출 속도보다 작은가, 같은가, 또는 큰가에 달려 있다. 속도의 미세한 차이로 타원 모양의 궤도가 되기도 하고 포물선 모양의 궤도가 되기도 하고 쌍곡선 모양의 궤도가 되기도 한다. 타원, 포물선, 그리고 쌍곡선이 서로 연결되어 있음을 알 수 있는 부분이다.

윤복원/미국 조지아공대 연구원(전산재료과학센터·물리학)

bwyoon@gmail.com

주)

1. "우리가 쏜 꿈, 우주를 날았다", 이근영, 한겨레 미래&과학, 2021년 10월 21일, https://www.hani.co.kr/arti/science/science_general/1016175.html

"'누리호 = 우주독립'인 이유?...이것만은 알고 보자[과학을읽다]", 김봉수, 아시아경제, 2021년10월 20일, https://view.asiae.co.kr/article/2021102010560911174

"발사후 16분 7초간 누리호 운명 결정...성공 확인엔 30분", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 20일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211020138200017?input=1195m

2. "누리호, 이륙 후 모든 비행 절차 수행...최종 성공 근접", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 21일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211021149251017

"3단엔진 빨리 꺼진 이유는? 누리호 비행계측 분석 내일 착수", 오수진, 연합뉴스, 2021년 10월 24일, https://www.yna.co.kr/view/AKR20211023015000017?input=1195m

3. Voyager Mission Status, Jet Propulsion Laboratory, https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/

4. "Our Solar System's First Known Interstellar Object Gets Unexpected Speed Boost", 미항공우주국, 2018년 6월 27일

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궤도역학으로 본 누리호의 우주비행 궤적

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10월 21일 대한민국 자체 기술로 개발한 위성 발사체 누리호의 1차 발사가 있었다. 성공적으로 700km 이상의 상공에는 도달했지만, 발사체에서 분리된 위성 모사체는 아쉽게도 지구 주위를 도는 위성 궤도에 오르지 못했고 호주 남쪽 바다에 떨어졌다.[1] 인공위성이 되기 위한 속도에 도달하지 못했기 때문이다. 좀 더 정확한 로켓 발사체의 비행 궤적 분석 결과가 나오면 누리호가 목표 속도에 도달하지 못한 구체적인 원인이 밝혀질 것으로 보인다.

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3단 분리 물로켓 만들기, 발사는 성공? 실패? | Arduino Project

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타원의 접선의 방정식 유도과정

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타원의 접선의 방정식 유도과정

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쌍곡선에 대해서 알아보기

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쌍곡선에 대해서 알아보기

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쌍곡선 기하학 공간의 세계, 눈으로 직접 보자 (유클리드 기하학 #4)

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GPS에 필요한 요소는 무엇일까? [핫클립] / YTN 사이언스

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쌍곡선 거울을 이용한 전자기파 반사 연구

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쌍곡선 거울은 두 초점에 대한 특유의 반사 특성을 가지고 있어 전자기파 반사에 유용하게 사용됩니다. 특히, 쌍곡선의 반사 성질을 이용하면 전자기파를 특정 지점에서 다른 지점으로 효율적으로 전달하거나 집중시킬 수 있습니다. 이러한 특성은 전파 망원경, 광학 시스템, 레이저 장치 등에서 전자기파를 정확히 반사하고 초점에 모으기 위한 다양한 용도로 활용됩니다. 이 글에서는 쌍곡선 거울의 구조와 반사 특성, 그리고 이를 이용한 전자기파 반사의 응용에 대해 설명하겠습니다.1. 쌍곡선 거울의 구조와 특성쌍곡선은 평면 위의 두 초점에서의 거리 차가 일정한 점들의 자취로 이루어진 곡선입니다. 쌍곡선 거울은 이러한 쌍곡선의 한 면을 반사면으로 사용하여, 한 초점에서 발생한 파가 반사되어 다른 초점으로 향하게 되는 특성을…

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쌍곡선과 포물선의 차이점과 실생활 예제

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쌍곡선(hyperbola)과 포물선(parabola)은 이차 곡선(conic sections)의 두 가지 중요한 형태입니다. 이들은 평면에서 원뿔과 평면이 만나는 방식에 따라 정의되며, 수학, 공학, 천문학, 건축 등 다양한 실생활 분야에서 활용됩니다. 본 글에서는 쌍곡선과 포물선의 정의, 수학적 특징, 주요 차이점, 그리고 실생활에서의 활용 예제를 비교 분석합니다.쌍곡선과 포물선의 정의1. 쌍곡선(Hyperbola)쌍곡선은 두 초점으로부터의 거리 차이가 일정한 점들의 집합으로 정의됩니다. 쌍곡선은 두 개의 분리된 곡선으로 구성됩니다.표준 방정식 (중심이 원점인 경우):$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{또는} \quad \frac{y^2}{b^…

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멀리 떨어져 있는 두 기지에서 항해 중인 배로 동시에 전파를 보낸다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 된다.

( 단, c는 전파의 속력)

배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 된다. A기지와 또 다른 한 기지인 C에서 전파를 보내서 거리의 차를 구하면, 위와 마찬가지 방법으로 배가 위치하는 A와 C를 초점으로 하는 쌍곡선을 구할 수 있다. 이제 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선과 A, C를 초점으로 하는 쌍곡선의 교점을 구하면 배의 정확한 위치를 알 수 있다.

■ 쌍곡선의 성질를 이용한 활용

포물선의 초점에서 반사된 빛은 축과 평행하게 나아갑니다. 또, 타원의 한 초점에서 나아간 빛은 타원에서 반사되어 다른 초점을 향하여 나아갑니다. 쌍곡선에도 이와 같은 광학적 성질을 가지고 있다. 즉, 쌍곡선의 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에서 반사된 후 다른 초점에서 나온 빛처럼 진행합니다.

쌍곡선 이라 하고,

⑴ 이다.

위에 이 되도록 점 R를 잡는다.

∠QPR=∠QPF, , 는 공통변이므로

따라서

이다.

그러므로 이 성립한다.

⑵ 직선 은 쌍곡선의 접선이다 .

과 쌍곡선의 교점은 점 P 하나뿐이다. 따라서 직선 은 점 P에서의 쌍곡선의 접선이다.

[ 그림 2] 와 같이 직선 F'P 위에 점 S를, 직선 점 위에 T 를 잡으면 직선 이 ∠FPF'의 이등분선이라는 가정과 맞꼭지각의 성질에 의하여 ∠FPT=∠QPS이다.

이제 쌍곡선의 초점이 있는 안쪽면을 거울로 두고 한 초점 F에 광원을 놓았다고 하자. 그러면 입사각과 반사각의 성질에 의하여 초점 F에서 나온 광선은 쌍곡선 거울에 반사한 뒤 다른 초점 F'에서 나온 광선인 것처럼 퍼져 나간다. (출처 : 동아출판사)

■ 쌍곡면을 이용한 냉각탑

냉각수를 재 냉각하는 냉수장치의 하나로 다른 냉수 장치에 비해 점유 면적당의 냉각효과가 각별히 높기 때문에 가장 많이 실용화되고 있다. 송풍기에 의해 탑 내에 공기류를 만들고, 물과 직접 접촉시켜서 열교환을 한다. 공기와 물의 접촉면적, 접촉시간을 크게하기위해 스프레이로 물을 분무하고, 다시 충전물을 설치한다. 전열 및 수분의증발은 충전물에 따라 흐르는 수막에서 수로 이루어지는 수막형과 중전물의 하단에서 낙하하는 수적에 주로 의존하는 수적형으로 나뉘어진다. 공기와 물의 흐름방향에서는 향류 냉각탑과 직교류 냉각탑이다. 이는 쌍곡선의 원리를 이용하였다. 냉각탑은 원자력 발전소를 식혀주는 역할을 하기 때문에 안정성을 매우 중요한 건축물이다. 이런 건축물이 안정적으로 지어지지 않게 된다면, 미래에 안전을 보장할 수 없다. 냉각탑의 안전성은 원자력 발전소의 안전성과도 직접적인 연관이 있기에 매우 중요하다. 그래서 생각해 낸 것이 쌍곡선을 이용한 것이다. 쌍곡선 (정확히는 쌍곡면)을 이용한 구조물은 수직 구조물보다 외부의 힘에 보다 안정적으로 ​ 버틸 수 있는 장점이 있지만, 사용할 수 없는 공간이 많아 공간 효율성이 낮다는 담점이 있다. 하지만 세계 여러나라는 냉각탑에 쌍곡선을 이용한다. 물론 공간 효율성이 낮아서 공간을 많이 차지 할수도 있지만 원자력 발전소 같은 경우는 그 지역의 안전이 달려있기 때문에 외부 힘에 대해서 더 안정적으로 버틸 수 있는 쌍곡선을 이용한다.

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쌍곡선의 활용(실생활 이용)

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멀리 떨어져 있는 두 기지에서 항해 중인 배로 동시에 전파를 보낸다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 된다. ( 단, c는 전파의 속력) 배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 된다.

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[지오지브라] 도형의 내부를 색칠하는 방법

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2330 홍재원 <재해석한 에펠탑>

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2330 홍재원 <재해석한 에펠탑>

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https://www.geogebra.org/calculator/yda7uzhu

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기하 2506김은수

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Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

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2112 신승헌 <방구석 프로그래머>

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2112 신승헌 <방구석 프로그래머>

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https://www.geogebra.org/classic/xt7vccbe

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2404 김민지<노인의 디지털 기술 접근 장벽 완화 픽토그램>

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2404 김민지<노인의 디지털 기술 접근 장벽 완화 픽토그램>

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Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!

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기하수행(픽토그램) 2224 이선중

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픽토그램 활동지 (2417 이다은)

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2326 최율찬 완벽대칭성 곰

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2326 최율찬 완벽대칭성 곰

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2507김은찬 dna,적혈구,펩타이드결합,염색체

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2507김은찬 dna,적혈구,펩타이드결합,염색체

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2507김은찬 기하수행