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Menciona los elementos de la circunferencia:

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Menciona los elementos de la circunferencia:

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Lectura complementaria

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En esta sección vamos a estudiar los conceptos básicos relacionados con el objeto geométrico llamado circunferencia.

La circunferencia muy frecuentemente se confunde con el círculo, que aunque están siempre juntos, son diferentes una figura geométrica de la otra.

Circunferencia

Es la figura geométrica formada por todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia fija se conoce como el radio de la circunferencia.

En la figura previa, el radio es la distancia del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos. Por eso, también llamamos radio al segmento de recta que va del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia. El centro de la circunferencia está en su centro y está denotado por la literal

.

Los elementos de la circunferencia son los siguientes:

Segmento de recta que tiene sus puntos extremo sobre la circunferencia.

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Todo diámetro de una circunferencia es el eje de simetría de la misma. El diámetro es la mayor cuerda que se puede trazar a una circunferencia.

Parte de la circunferencia delimitada por dos puntos de la misma. Estos puntos se llaman extremos del arco.

Recta que toca a la circunferencia en un punto solamente.

Punto de tangencia

El punto donde la recta tangente toca a la circunferencia a la cual es tangente.

Un elemento más que podemos definir, como una generalización del concepto de tangente es el de secante:

Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Algunos elementos más que frecuentemente se requieren en las discusiones geométricas son:

Semicircunferencia

Arco que abarca la mitad de la circunferencia.

Semicírculo

La mitad de un círculo.

Y estos elementos se muestran en la siguiente figura:

Por la forma de la circunferencia es claro que todas las circunferencias son semejantes entre sí, independientemente de la medida de su radio. De este hecho se desprende que si dividimos el perímetro de la circunferencia entre su diámetro siempre obtenemos el mismo cociente. Este resultado se establece como un teorema.

La razón de la circunferencia al diámetro es constante para todas las circunferencias.

Este teorema da origen a la siguiente definición.

Matemáticamente, tenemos:

Este número irracional es muy importante en matemáticas y frecuentemente lo aproximamos usando el valor

para facilitar los cálculos. Otro concepto relacionado con el de circunferencia es el de círculo.

Región del plano delimitada por una circunferencia.

Es decir, la curva que delimita al círculo es una circunferencia. En otras palabras, el círculo es el área que queda encerrada por la circunferencia. Nosotros podemos calcular el área de un círculo, pero no así para la circunferencia. Igualmente, podemos calcular el perímetro de una circunferencia, pero no así del círculo. La fórmula para calcular el área del círculo se da en el siguiente teorema.
El área del círculo de radio es igual a:
La demostración de este teorema no es difícil de dar, aunque requiere de la idea de límite, que estudiaremos hasta el curso de cálculo diferencial. De cualquier manera, enseguida se da una idea general de la demostración.

Demostración

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En esta sección vamos a estudiar los conceptos básicos relacionados con el objeto geométrico llamado circunferencia. La circunferencia muy frecuentemente se confunde con el círculo, que aunque están siempre juntos, son diferentes una figura geométrica de la otra. Es la figura geométrica formada por todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de un punto fijo llamado centro.

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La Circunferencia, es una de las figuras geométricas básicas y una pieza fundamental en el mundo que nos rodea. Desde los neumáticos de los coches en los que te desplazas, hasta la forma que tienen los engranajes en cualquier máquina, ¡las circunferencias se encuentran en todos lados!

En este post, explicaremos los conceptos detrás de la circunferencia, definiendo sus partes y explicando detalladamente los ángulos y posiciones en ella. Dedicaremos una sección para discutir la diferencia entre círculo y circunferencia, para finalizar con ejercicios resueltos.

Esto es lo que vas a aprender

¿Qué es una circunferencia?

Es una línea curva cerrada conformada por un conjunto de puntos en un mismo plano, situados a la misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.

Esta distancia fija a la que se encuentran los puntos de la circunferencia se denomina radio de la circunferencia. Similar al radio, el diámetro es la distancia medida entre dos puntos opuestos en la circunferencia y cuya magnitud es igual al doble del radio.

El diámetro posee otra característica importante. Pasa por el centro de la circunferencia y es la línea (también llamada cuerda, definición que veremos más adelante) de mayor longitud que se puede trazar dentro de una circunferencia.

Círculo y Circunferencia

Existe una gran confusión respecto a estas dos figuras, muchas veces empleadas como sinónimos, que guardan grandes similitudes, pero una diferencia bastante importante: la circunferencia es el lugar geométrico y el círculo una región del plano.

La circunferencia es una línea curva cuyos puntos distan igual respecto del centro. Por otro lado, el círculo es una región de puntos, un área, una superficie cuyos puntos se encuentran a una distancia no mayor al radio respecto del centro.

Tomando como referencia la imagen anterior, podríamos pensar en la circunferencia como el trazo de un lapicero y al círculo como el interior pintado con crayones.

Elementos de la Circunferencia

Dentro y fuera de la circunferencia, tienen lugar distintos elementos notables como rectas y puntos, que se emplean con frecuencia en los problemas tipo examen para incrementar su complejidad.

La necesidad de conocerlos, radica en dos cosas:

Algunos datos cruciales pueden darse en términos de estos elementos notables

Pueden ser útiles para llegar a la solución del problema

Radio de la circunferencia. Tal como se mencionó antes, es el segmento de recta que va desde el centro a cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda. Se llama así, a todo segmento rectilíneo que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Diámetro. Definido con anterioridad, es un segmento de recta que une dos puntos opuestos de la circunferencia y que, a su vez, pasa por el centro. Su magnitud es 2 veces la del radio.

Secante. Es secante toda recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. La diferencia con la cuerda, es que una secante tiene sus extremos prolongados.

Tangente. Recta que pasa por un único punto de la circunferencia. Tiene la propiedad de ser perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.

Flecha o sagita. Es segmento que se traza perpendicular a una cuerda hasta tocar un punto en la circunferencia.

Porciones de círculo

Arco de circunferencia. Es un sector de la circunferencia delimitado por dos radios y cuya apertura es igual al menor ángulo entre los radios.

Sector circular. Es el área de círculo que se forma entre dos radios y el arco de circunferencia frente a ellas.

Segmento circular. Es la región formada entre una cuerda y el arco de circunferencia frente a ella.

Semicírculo. Es el área delimitada por un diámetro en la circunferencia y cualquiera de las dos semicircunferencias que se establecen alrededor de ella.

Longitud de la circunferencia

Al igual que en un polígono regular, podemos medir el perímetro de la circunferencia a través de una fórmula matemática. Para ello, necesitamos conocer el radio o diámetro de la misma.
Perímetro de una circunferencia.
Área de un círculo

Por otro lado, podemos calcular el área que encierra una circunferencia mediante la siguiente fórmula:
Área encerrada por una circunferencia.
Ángulos en la Circunferencia

Ahora, toca examinar algunos ángulos que se forman entre los distintos segmentos notables dentro y fuera de la circunferencia. Aprende a reconocerlos muy bien, ya que suelen ser el talón de Aquiles para muchos estudiantes durante los exámenes y eso los maestros lo saben muy bien.

Ángulo central. Es el ángulo formado entre dos radios de la circunferencia, también, entre un diámetro y un radio. El vértice del ángulo central es el centro de la circunferencia.

El ángulo central {\alpha }_{c} es igual al arco de circunferencia formado.

Ángulo inscrito. Es el ángulo formado entre dos cuerdas de la circunferencia que tienen un extremo en común y dicho extremo común es el vértice del ángulo inscrito.

El ángulo inscrito {\alpha }_{i} es la mitad del ángulo central formado.

{\alpha }_{i}=\frac{{\alpha }_{c}}{2}

Ángulo semiinscrito. El vértice del ángulo se encuentra sobre la circunferencia y lo forman la intersección entre una cuerda y una secante.

El ángulo semiinscrito {\alpha }_{si} es igual a la mitad del ángulo central entre los radios punteados.

{\alpha }_{si}=\frac{{\alpha }_{c}}{2}

Ángulo interior. Se forma en la intersección entre dos cuerdas dentro de la circunferencia. El vértice del ángulo interior es el punto de intersección entre las cuerdas.

El ángulo interior {\alpha }_{in} es igual a la semisuma de los ángulos centrales formados.

{\alpha }_{in}=\frac{{\alpha }_{c1}+{\alpha }_{c2}}{2}

Ángulo exterior. Es el ángulo que tiene como vértice a un punto exterior a la circunferencia, el cual es la intersección entre dos rectas secantes a la circunferencia.

El ángulo exterior {\alpha }_{e} es igual a la semirrecta entre los ángulos centrales que se forman.

{\alpha }_{e}=\frac{{\alpha }_{c2}-{\alpha }_{c1}}{2}

Posiciones relativas de dos circunferencias

En esta sección, se estudian las posiciones que pueden tener dos circunferencias entre sí.

Circunferencias concéntricas. Son circunferencias con el mismo centro, pero distinto radio.

Circunferencias exteriores. Son aquel par de circunferencias donde la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

d\left({c}_{1},{c}_{2}\right)>{r}_{1}+{r}_{2}

Circunferencia interior. Se llama circunferencia interior, a una circunferencia {c}_{1} de radio {r}_{1} cuyos puntos se encuentran dentro de la región encerrada por otra circunferencia {c}_{2} de radio {r}_{2} . Donde se cumple que:

d\left({c}_{1},{c}_{2}\right)<{r}_{1}+{r}_{2}

Circunferencias tangentes. Se presenta cuando dos circunferencias se tocan en un único punto. La tangencia puede ser exterior, cuando los puntos de ambas circunferencias son mutuamente exteriores o interna, cuando los puntos de una de las circunferencias están dentro de la otra.

Tangentes exteriores.

Tangente interior.

Circunferencias secantes. Son circunferencias que se tocan en dos puntos. En este caso, la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios.

Un caso especial de circunferencias secantes, sucede cuando los radios son perpendiculares entre sí en los puntos de intersección. Se denominan entonces circunferencias ortogonales.

Se cumple que:

d\left({c}_{1},{c}_{2}\right)=\sqrt{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}}

Elementos de la circunferencia ejercicios resueltos

En base a la situación planteada en la figura, ¿cuál es la distancia entre los puntos T y T' en función del radio de la circunferencia?
Solución:
Para calcular la distancia entre T y T\text{'} , debemos aplicar la ley de los cosenos la cual dice que:

T{T}^{\text{'}2}={R}^{2}+{R}^{2}-2RR\mathrm{cos}{\alpha }_{c1}

El ángulo {\alpha }_{c1} corresponde al ángulo central mayor de la circunferencia, el cuál podemos calcular aplicando la fórmula del ángulo exterior:

{\alpha }_{e}=\frac{{\alpha }_{c1}-{\alpha }_{c2}}{2}

Despejando:

{\alpha }_{c1}=2{\alpha }_{e}+{\alpha }_{c2}

Sustituimos el valor de ambos ángulos.

{\alpha }_{c1}=2\left(30°\right)+10°=70°

Sustituimos el ángulo en la primera ecuación.

T{T}^{\text{'}2}=2{R}^{2}-2{R}^{2}\mathrm{cos}70

T{T}^{\text{'}}=R\sqrt{2-2\mathrm{cos}70}=R\sqrt{2-0.684}=\sqrt{1.316}R

TT´=\sqrt{1.316}R

Calcule el área que encierran las dos circunferencias concéntricas.
Solución:
El área que encierran ambas circunferencias se calcula como la resta del área menor al área mayor. La circunferencia de radio igual a 4 unidades encierra más área que la de radio 3 unidades, por tanto:

A=\pi {4}^{2}-\pi {3}^{2}=16\pi -9\pi =7\pi

El área entre las circunferencias es igual a 7\pi unidades cuadradas.

Para dos circunferencias secantes entre sí, ¿cuánto debe medir el radio de una de ellas para que se cumpla la ortogonalidad entre ellas? Sepa que: {r}_{1}=1 \mathrm{m} , d\left({r}_{1},{r}_{2}\right)=2 \mathrm{m} .
Solución:
Dos circunferencias son secantes entre ellas si se cortan en dos puntos, ahora para que dicha intersección sea ortogonal, sebe cumplirse además que:

d{\left({r}_{1},{r}_{2}\right)}^{2}={r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}

Es decir, que se forme un triángulo rectángulo entre los radios y la distancia entre ellos. En este caso, tenemos la distancia entre los centros y el radio {r}_{1} , despejamos a {r}_{2} .

{r}_{2}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}

Concluimos que: para que la intersección sea ortogonal, el radio de la segunda circunferencia debe ser \sqrt{3} metros.

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Elementos de la circunferencia: ejemplos y ejercicios resueltos

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La Circunferencia, es una de las figuras geométricas básicas y una pieza fundamental en el mundo que nos rodea. Desde los neumáticos de los coches en los que te desplazas, hasta la forma que tienen los engranajes en cualquier máquina, ¡las circunferencias se encuentran en todos lados!

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Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella

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Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

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Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

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Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

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Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

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¿Conoces estos elementos?

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La circunferencia