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Nombre: Francisco José Torres Guevara
Número de lista: 33
Unidad: Álgebra elemental
Tema: Las fracciones combinadas, simplificación y operaciones combinadas
Nombre del docente: Juan Correa
Fecha: 17/05/23

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En esta guía miraremos la simplificación y operaciones combinadas de fracciones algebraicas, se presentará una pequeña introducción acerca de estás y de toda la teoría que se tiene que conocer, ejemplos, ejercicios y por último la conclusión y utilidad de este contenido, espero que les sea de su agrado, muchas gracias.

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Las fracciones algebraicas, también conocidas como fracciones racionales o expresiones racionales, son expresiones matemáticas que involucran tanto polinomios en el numerador como en el denominador. En general, una fracción algebraica se representa como el cociente de dos polinomios.

Es importante tener en cuenta que una fracción algebraica puede tener restricciones en su dominio debido a que no se pueden dividir entre cero. Por lo tanto, es posible que ciertos valores de la variable hagan que el denominador sea igual a cero, lo que resultaría en una expresión no definida.

https://economipedia.com/definiciones/fracciones-algebraicas.html

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Pasos para simplificar una fracción algebraica 

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Pasos para simplificar una fracción algebraica 

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Para poder simplificar una fracción algebraica debemos de realizar los siguientes pasos:

1. Factoriza el numerador y el denominador: Identifica si existen factores comunes tanto en el numerador como en el denominador de la fracción algebraica y factorízalos.

2. Cancela los factores comunes: Divide tanto el numerador como el denominador por los factores comunes que identificaste en el paso anterior. Esto simplificará la fracción.

3. Elimina los términos semejantes: Si la fracción algebraica tiene términos semejantes en el numerador y el denominador, réstalos o divídelos para simplificar aún más.

4. Verifica si puedes simplificar más: A veces, es posible factorizar aún más los términos restantes en el numerador y el denominador. Si es posible, repite los pasos anteriores hasta que la fracción esté completamente simplificada.

Tenemos que recordar que la simplificación de una fracción algebraica implica reducir al máximo los términos y factores comunes, lo que resulta en una expresión más sencilla.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/fracciones-algebraicas.html#tema_simplificacion-de-fracciones-algebraicas

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Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador .

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1) , este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m . de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.) . (No confundir con M.C.D, Máximo Común Divisor)

Para calcular el m.c.m. factorizamos

Multiplicamos los factores y queda que es lo mismo que y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a 2 b 2 ) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a 2 b 2 ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que "los términos que faltan" se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables .

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d)

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas .

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Ver: PSU: Matematica

Pregunta 01_2010

Pregunta 18_2010

Pregunta 25_2010

Fuentes Internet:

http://www.geolay.com/pagehtm/algeb03.htm

http://www.geolay.com/index.htm

http://www.geolay.com/guias/fracciones%20algebraicas.pdf

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas

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Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad.

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Ejercicios de simplificación de fracciones algebraicas 

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Ejercicios de simplificación de fracciones algebraicas 

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https://m.youtube.com/watch?v=zYM93DA5S7A

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Ejercicios de simplificación de fracciones algebraicas 

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Ejercicios de simplificación de fracciones algebraicas 

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https://m.youtube.com/watch?v=NzxhS3u_9tY

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https://m.youtube.com/watch?v=HgeQpdmPbeU

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https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/suma-y-resta-de-fracciones-algebraicas.html

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas 

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas 

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https://m.youtube.com/watch?v=GGdtD9r4W08

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas 

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas 

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https://m.youtube.com/watch?v=0Ih-cnzGa_s

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https://trigonometriacompleja.weebly.com/

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Las fracciones algebraicas son muy importantes ya que son utilizadas en diversos campos de las matemáticas, como el álgebra, el cálculo y la teoría de ecuaciones, se aplican en la simplificación de expresiones, la resolución de ecuaciones y la representación de funciones racionales, además de esto, si las aprendemos en tiempo y forma facilitarán nuestro aprendizaje en la universidad notoriamente, apoyándonos con una buena base para nuestra carrera.

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Las fracciones algebraicas son importantes en el ámbito de las matemáticas y en varias áreas de la ciencia debido a su utilidad y aplicabilidad en diversos problemas y situaciones, como en la simplificación y manipulación de expresiones algebraicas, representación de cantidades fraccionarias, resolución de ecuaciones e inecuaciones, etc y en muchas situaciones del mundo real, como divisiones de recursos, proporciones de mezclas, diluciones químicas, tasas de crecimiento y decaimiento, pueden ser representadas y analizadas mediante fracciones algebraicas permitiendo comprender mejor y resolver problemas prácticos en diversas disciplinas científicas.

https://emtic.educarex.es/crea/matematicas/fracciones/para_qu_se_usan_las_fracciones.html#:~:text=Las%20fracciones%20se%20usan%20para...&text=Ya%20conocemos%20que%20las%20fracciones,%221%22%20en%20el%20denominador

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https://matematicasmodernas.com/fracciones-algebraicas-2/

https://content.nroc.org/DevelopmentalMath.HTML5/U15L1T4/TopicText/es/textbook.html#:~:text=Una%20fracci%C3%B3n%20compleja%20es%20el,simplificarse%20usando%20divisi%C3%B3n%20o%20fracciones.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/suma-y-resta-de-fracciones-algebraicas.html

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Fracciones_algebraicas

https://economipedia.com/definiciones/fracciones-algebraicas.html

https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html