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Fichero Jugar con números y algo más.
Actividades didácticas para preescolar

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El Programa Escuelas de Tiempo Completo está destinado a lograr que los alumnos y alumnas de las escuelas públicas de educación básica cuenten con ambientes que les permitan el logro de mejores aprendizajes y de un desarrollo integral mediante la ampliación y uso eficaz de la jornada escolar y de mecanismos de mejora en el aprendizaje que hagan un alto a la deserción educativa y que favorezcan la retención escolar.

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¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático?

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¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático?

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Irma Fuenlabrada

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Cuaderno para hacer matemática en preescolar.

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Cuaderno para hacer matemática en preescolar.

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Uruguay

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Libro de la educadora Libro de Preescolar

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Catálogo de libros de educación básica. Ciclo Escolar 2020 - 2021. Libro de la educadora Generación Preescolar

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10 actividades y juegos de matemáticas para niños en preescolar

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10 actividades y juegos de matemáticas para niños en preescolar

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Estudios recientes demuestran que las habilidades matemáticas de un niño, al ingresar a preescolar, pueden ser un elemento que apunte a futuro rendimiento académico en matemáticas y lectura a lo largo de la primaria. El aprendizaje de las matemáticas promueve la memoria de trabajo, mejora la atención y aumenta otras capacidades cognitivas básicas.

Contenido relacionado: 7 maneras de mejorar la memoria de tu hijo

.A través de actividades lúdicas, como éstas, tu hijo cobrará más interés por el tema y podrá desarrollar una base sólida para comprender las matemáticas.

Conceptos numéricos

El conteo es importante porque ayuda a los niños a aprender la secuencia numérica, pero incluso antes de contar, necesitan adquirir una comprensión básica de los números.

Tres conceptos numéricos importantes son la correspondencia uno a uno (cada objeto se cuenta sólo una vez); cardinalidad (el último objeto contado es el número total de objetos); e invariancia (el número de objetos no cambia si se configuran de manera diferente, por ejemplo, extendidos o colocados en un círculo). Aquí hay algunas maneras de fomentar dicha comprensión:

1. Cuenta objetos en contextos cotidianos (con él)

Cuenten la cantidad de botones en la camisa de tu hijo a medida que los abotones, la cantidad de naranjas que él te ayuda a poner en la bolsa de supermercado, la cantidad de tenedores necesarios para poner la mesa o la cantidad de escaleras que se suben desde una puerta principal. Comienza con números pequeños (no más de cinco) y ve aumentando la cantidad cuando esté listo para ello.

2. Pon objetos pequeños en una fila

Reúne algunas monedas y haz que tu hijo las cuente. Después de que las haya contado, reorganízalas en un círculo, en una fila, o extiéndelas, y pídele nuevamente que cuente los objetos. No te sorprendas si tiene que hacerlo de nuevo desde cero. Pero si responde automáticamente sin contar, sabrás que ha dominado la invariancia numérica.

3. Encuentren objetos que vayan en pares

Si tu hijo tiene dificultades con la correspondencia uno a uno, busca objetos que se combinen bien, como cucharas y tenedores, tazas y platillos, figuras de caballos y vaqueros, y pídele que los combine. Mientras lo hace, dile que cuente cada conjunto de objetos para reforzar la idea de que cada par consta del mismo número.

4. Jueguen juegos de mesa que impliquen contar

Los juegos simples de dados y casillas son excelentes para ayudar a los niños a reconocer números y contar movimientos. Otros juegos más complejos se valen de dos dados, en lugar, o de uno y de duplicar el número que aparece para cada movimiento. También la baraja o el juego de Uno (hasta cinco y luego hasta diez) sirve para este propósito. ¡La suma más alta de dos cartas gana!

Geometría y comprensión espacial

Los niños pueden desarrollar una comprensión básica de la geometría y las relaciones espaciales jugando con bloques y otros juguetes de construcción. Fomenta las habilidades relacionadas con la geometría con estas ideas.

5. Identifiquen formas en el hogar

Jueguen un juego sencillo de encontrar formas básicas en el hogar, como rectángulos en interruptores de luz, cuadrados en cristales, círculos en relojes, etc. Pídele a tu hijo que explique cómo diferencia cada forma por sus características definitorias (por ejemplo, un triángulo tiene tres lados conectados) y no definitorias (como la posición o el tamaño del triángulo).

6. Hablen sobre la disposición de imágenes en un libro

Cuando lean un libro de cuentos, usa un lenguaje espacial para hablar sobre la ubicación de las imágenes. Haz preguntas relacionadas como "¿Dónde está la luna? ¿Encima del árbol? ¿Debajo del árbol?" O haz referencia a los tamaños preguntando: "¿El hipopótamo es más grande que el mono? ¿Qué animal es más grande? ¿Cuál es más pequeño?"

Contenido relacionado: 4 maneras de ayudar a los niños a enamorarse de los libros

7. Tracen un mapa de tu casa

Practiquen un lenguaje más espacial. Ayuda a tu hijo a hacer un mapa de su habitación o del patio trasero. A medida que coloque y espacie muebles, ventanas y armarios, o jardines, árboles y arbustos, pregúntale dónde están ubicados y qué tan juntos están.

Medición

Hay muchas formas de medición para aprender (longitud, altura, peso, tamaño, cantidades) y muchas herramientas para medir. Incluye conceptos de medición en las actividades cotidianas.

8. Lleven a cabo mediciones mientras cocinas u horneas

Llenen tazas medidoras con agua o harina y cucharas medidoras para presentarle a tu hijo el concepto de números enteros y fracciones. Realiza preguntas como "¿Puedes llenar media taza? ¿O puedes llenar una cucharadita?"

9. Adivinen el peso de productos en el supermercado

La próxima vez que vayan el supermercado, saca dos artículos diferentes de los estantes y pregúntale a tu hijo cuál es más pesado: "¿La lata de sopa o la caja de galletas?" Así aprenderá a entender los conceptos de pesadez y ligereza.

10. Comparen los tamaños de sus pies

Coloca tu pie al lado del pie de tu hijo y pregúntale cuál es más largo o más grande. Ten a la mano una regla o cinta métrica para comparar los tamaños y hacerle diferenciar entre largo y corto, grande y pequeño.

Como podrás apreciar, no todos los ejercicios para que tu hijo aprenda matemáticas tienen por qué parecerle aburridos. Si logras llevarlo a comprender estos diversos de matemáticas mediante actividades entretenidas, tu hijo habrá ganado conocimiento indispensable para la vida, más allá del ámbito escolar, y quizá hasta pueda desarrollar un gusto especial por las matemáticas.

Es de suma importancia que los alumnos de preescolar empiecen a adquirir el conocimiento que les servirá para la primaria, por ello en el Colegio Chimalistac empleamos un programa educativo que busca cubrir varios aspectos de su aprendizaje: Critical Thinking, Communication, Collaboration, Creativity. Conoce más sobre nuestro preschool.

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Manual Exploración de habilidades básicas en lectura, escritura y conteo

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Chango Maniaco te ofrece la llave para mejorar el aprendizaje y la enseñanza en matemáticas, ciencias e inglés, interactuando con las mejores plataformas estés donde estés en cualquier momento.

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Tutorial. Numeración y conteo para niños de Educación Infantil. Matemáticas para niños.

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Tutorial. Numeración y conteo para niños de Educación Infantil. Matemáticas para niños.

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Matemáticas para niños - Tutorial: Numeración y conteo para Educación Infantil

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© Wolters Kluwer España, S.A., 2008

c/ Collado Mediano, 9
28230 Las Rozas (Madrid)
Primera edición: Diciembre 2008
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autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la Ley.
Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos,
www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de
esta obra.

1. Se posee competencia matemática cuando se sabe una cosa, pero

además se sabe aplicar. Esto quiere decir que se conoce la forma de
emplear este conocimiento en la vida real, en situaciones concretas
que nos afectan. No se trata de demostrar que se pueden resolver
los problemas de los exámenes del instituto o los ejercicios de los
libros de texto.
2. Se posee competencia matemática cuando sus conceptos formales
se aplican a diferentes contextos, no sólo a aquél en el que se han
ensayado o practicado. De este modo, con las matemáticas no sólo
nos extendemos a otras ciencias más o menos afines (física o
química), sino que nos valemos de ellas para estudiar fenómenos
históricos o geográficos, o nos permiten crear algoritmos formales
útiles para descubrir las características estilísticas de un autor
literario, por ejemplo.
3. Se posee competencia matemática cuando su lenguaje, sus
métodos y sus procedimientos nos permiten integrar saberes
distintos, organizar realidades complejas, aportar una base lógica y
predecible a apariencias confusas. Galileo decía que el libro de la
naturaleza estaba escrito en lenguaje matemático. O dicho de otra
forma: el elemento integrador de todo lo existente es la
matemática.
4. Se posee competencia matemática cuando somos capaces de
obtener, por medio de su empleo, resultados de alto valor personal y
social. Por ejemplo, cuando no conocemos cuál es la mejor

(2) Martínez Montero, J. (1984). Programación del cálculo en la EGB por las bases y los
cuadros. Madrid: Escuela Española.
Ver Texto

1.Aprender a aprender, puesto que aprender por uno mismo será

algo que tendrá que practicar el sujeto durante un tiempo mucho
más dilatado que el que pase en la escuela.
2.Aprender a hacer, puesto que la sociedad sólo es viable cuando
cada uno de sus miembros sabe ser útil y desempeñarse
productivamente tanto para sí mismo como para los demás.
3.Aprender a ser, porque sólo la persona equilibrada, dueña de
todas sus potencialidades, puede situarse ante la vida, darle sentido
y desempeñar un papel positivo.
4.Aprender a convivir, puesto que vivimos con otros muchos, en
espacios muy reducidos, con escasez de recursos, que juzgamos los
acontecimientos desde diferentes mentalidades, religiones y
concepciones del mundo.

Algunos años antes la OCDE había emprendido el Programa INES, de

indicadores de los sistemas educativos de los países miembro. La idea
era clara: la productividad y el alto nivel económico de las sociedades
dependerían en el futuro del grado de formación que adquirieran los
estudiantes. Un conjunto de indicadores serviría para describir los
diversos mecanismos de enseñanza, compararlos y poner de
manifiesto sus potencialidades, puntos débiles y líneas de actuación y
mejora. Sin embargo, la información obtenida no se juzgó suficiente,
por lo que se decidió avanzar un paso más y poner en marcha el

la capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo

tareas diversas de forma adecuada. Supone una combinación de
habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos,
actitudes, emociones y otros componentes sociales y de
comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una
acción eficaz.

Presenta tres rasgos diferenciales:

1. Un saber hacer aplicado. Por tanto no puede prescindir de ninguno

de los dos verbos.
2. Es susceptible de adecuarse a una diversidad de contextos, tan
diferentes como sólo puede ofrecerlos el devenir cotidiano.
3. Tiene carácter integrador, abarcando conocimientos,
procedimientos y actitudes.

Junto a todo lo anterior se constata, de manera cierta y con la

suficiente generalidad, que el incremento general de la duración de la
escolaridad no garantiza una mejor preparación de las personas. Se

1. La capacidad de aplicar los conocimientos y de medir la aptitud de

los sujetos precisamente por esa aplicabilidad. Ello es lo que va a
permitir desarrollar sus potencialidades para enfrentarse
adecuadamente a las nuevas situaciones. (1)

2. La capacidad de articular coherentemente conocimientos,

aptitudes, valores y actitudes, demostrada en el comportamiento y
las reacciones del sujeto en los quehaceres diarios. (2)

22
3. La capacidad de utilizar todo lo anteriormente citado en relaciones
interpersonales, contextos sociales o entornos profesionales. (3)

No queremos establecer aquí una definición propia de lo que son las

CCBB, pues es mucho lo que se ha escrito sobre el tema y no se trata
ahora de repetirlo. Sin embargo, más que una fórmula o un conjunto
de oraciones mejor o peor trabadas, para el enfoque práctico que
pretende este libro tiene más sentido enumerar sus características
más importantes. En cuatro de ellas suelen coincidir todas las fuentes:
1. Tienen un carácter integrador. Nos referimos a que deben ser
capaces de organizar en un todo lleno de sentido los diversos
conceptos, conocimientos y destrezas. Por poner un ejemplo, cuando
un médico atiende a un paciente debe tener capacidad para integrar lo
que ha estudiado en la carrera y lo que ha aprendido en la práctica
para establecer un diagnóstico y proponer un tratamiento. Del mismo
modo, una competencia básica matemática debe integrar todo lo que
se sabe y las destrezas que se poseen para solucionar las situaciones
reales a que nos enfrentamos. Así, si queremos calcular el agua que
cabe en una piscina sin necesidad de llenarla cubo a cubo, tendremos
que integrar los conocimientos de geometría (áreas y volúmenes de
cuerpos geométricos), de magnitudes (unidades de volumen), de
equivalencia entre magnitudes (unidades de volumen y su relación con
las de capacidad), y las destrezas de cálculo necesarias para
determinar la solución correcta.
2.Son transferibles y, por tanto, susceptibles de aplicarse en diferentes
contextos. Se revisten así de las características de los modelos
formales. En el ejemplo anterior del cálculo del volumen de una
piscina, la competencia que lo hace posible es aplicable a otras muchas
situaciones, con otras variables relacionadas con formas, volúmenes o
contenidos.
3. Tienen un carácter dinámico, capaz de transformarse y generar
nuevas competencias que a su vez son aplicables a distintas
situaciones. Siguiendo con el ejemplo de la piscina, no se trata tanto
de aplicar una fórmula y dominar los códigos en que se desenvuelven
las unidades numéricas empleadas, cuanto de descubrir las profundas
relaciones existentes entre los elementos concernidos por el problema

La incorporación de competencias básicas al currículo permite

poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideran
imprescindibles, desde un planteamiento integrador y orientado a
la aplicación de los saberes adquiridos. De ahí su carácter básico.
Son aquellas competencias que debe haber desarrollado un joven
o una joven al finalizar la enseñanza obligatoria para poder lograr
su realización personal, ejercer la ciudadanía activa, incorporarse
a la vida adulta de manera satisfactoria y ser capaz de desarrollar
un aprendizaje permanente a lo largo de la vida.

2.3. Competencias básicas y currículum

La inclusión de las CCBB en el currículum persigue diferentes
finalidades, conforme se explica en los reales decretos que las
establecen tanto en la Enseñanza Primaria como en la Secundaria. En
lo que se refiere a Primaria, en la disposición legal ya citada se dice:

25
complementarias y extraescolares puede reforzar el desarrollo del
conjunto de las competencias básicas.

En definitiva, el nuevo currículum presenta una nueva cara y adquiere

unas características distintas y novedosas que, en esencia, son:
1. Se acentúa el sentido de "saber para hacer" por encima del "saber
por saber". Hay que saber aplicar los conocimientos y conceptos en
contextos concretos y situaciones prácticas. No se trata de olvidar el
cúmulo de saberes escolares que forma parte de nuestra tradición
docente, pero sí de olvidarse de los saberes que no pasan de ser pura
gimnasia mental, inaplicables y que pierden toda su funcionalidad y
sentido tan pronto el alumno abandona la escuela o cambia de nivel.
2. El sentido del currículum en la educación obligatoria es el de
preparar a todos los alumnos para que se encuentren en las mejores
condiciones posibles para llevar a cabo su proyecto de vida. El objetivo
no puede seguir siendo preparar para los estudios superiores, ni puede
ser el criterio último de evaluación, exigible a todos, el haber
alcanzado el dominio de los saberes necesarios para acceder a una
enseñanza superior. Hay que repetirlo: la educación obligatoria no es
un largo periodo de diez años cuyo fin es que el sistema tenga el
tiempo necesario para seleccionar con garantías al alumnado capaz de
cursar estudios preuniversitarios o universitarios. Esta idea, que ya se
intentaba desterrar con la Ley General de Educación y con la extinta
EGB, se fortalece con la LOGSE. Pero ahora es, con la introducción de
las CCBB, cuando se le proporciona una herramienta que permitirá
alcanzar esos fines con mayor facilidad.
3. La nueva concepción de la educación obligatoria supone una
renovación profunda del papel de los docentes. Cuando se trataba de
seleccionar, bastaba con que cada grupo de alumnos dispusiera de una
persona suficientemente preparada, con amplio dominio de la materia
y con capacidad para discriminar qué alumnado daba la talla y cuál no.
Ahora se trata de otra cosa: de poner en marcha e integrar todos los
recursos de un centro para conseguir el máximo desarrollo de cada
alumno pensando en las necesidades futuras de la gran mayoría de
ellos, y no en la minoría brillante, capaz de seguir los estudios sin
mayores ayudas. El docente no sólo enseña su materia, sino que tiene

3.2. Competencias básicas, operaciones y problemas en

la Educación Primaria
Si el dominio de una competencia básica se pone de manifiesto en la
solución de problemas y situaciones de la vida real, en contextos
concretos o generalizables, entonces nos encontramos ante un proceso
en el que, al menos, se dibujan cuatro etapas:
1. La situación real o imaginaria que se propone al alumno, o, en su
caso, la situación en que se ve envuelta la persona y que requiere una

(2) Rychen y Hershsalganik (2004). Definir y seleccionar las competencias fundamentales

para la vida. México: FCE. Tiana. (2004). Developing Key Competences in Education:
Some Lessons from International and National Experience. París: UNESCO.
Ver Texto

En la primera combinación se han reunido las unidades. Pero siguen

ahí escritas. Si se ha obtenido con su reunión una decena y 3 unidades,
no pueden seguir existiendo el 8 y el 5. Lo mismo ocurre cuando
combina las decenas. Ha obtenido 16, que es el resultado de reunir la
decena obtenida en las unidades más las 6 y las 9 decenas de los
sumandos. Se "lleva" la centena y la reúne con las 9 y las 2 que hay
en el resultado: ya tiene la suma: 1.263 unidades. Sin embargo, la
cuenta es falsa: lo que tenemos ahí son, en realidad, 2.516 unidades:
las 968 del primer sumando, las 295 del segundo sumando, y las 1.263
del resultado. ¿Les suena extraño? Hagan la prueba con los alumnos.
Lleven a cabo la siguiente experiencia:
Se disponen sobre la mesa de un niño ocho trozos de papel en una
línea, y otros ocho en la línea inferior, alineándolos como si fuera una
cuenta, tal y como podemos ver en la figura 1. Con tiza se puede
dibujar la raya de separación y la cruz que indica la suma. Junto a esta
peculiar cuenta se dispone otro montón de papeles a disposición del
estudiante que vaya a realizar la cuenta. Se le pide al niño o a la niña
que haga la cuenta como si fuera una suma. ¿Qué hacen todos, se
trate del curso que se trate? Cogen del montón de papeles dieciséis, y
los ponen en la zona del resultado. Ya está hecha la cuenta. Por mor
de la no consunción de los sumandos, 8 + 8 acaban siendo 32.

40
tipo de cuentas radica en el formato, la disposición, la manera de
presentar los datos. Pocas tareas matemáticas como las cuentas
resultan tan perjudicadas (al tiempo que pierden su esencia formativa)
debido simplemente a la manera en que se presentan. El formato
actual impide pensar, ahoga la flexibilidad, destierra la posibilidad de
adaptación a los diferentes ritmos de los alumnos. También obliga a
que los números que entran en la operación se desmenucen y pierdan
su sentido global, y por si fuera poco fuerza a que la obtención de los
cálculos se salga fuera del ámbito matemático y pase a depender de
que no haya errores en la colocación de los dígitos.
¿En qué nos basamos para afirmar todo lo anterior? En que el formato
indicado presenta unas características muy particulares que podemos
precisar en cinco pinceladas:

1. La disposición es vertical, y es trascendente el modo de colocación

de los números. De tal modo es así, que una inadecuada colocación
invalida todos los cálculos que se efectúen.
2. Se opera fragmentando cifra a cifra el número representado en
cada sumando, siguiendo el orden de unidades. No importa que el
alumno no comprenda ese número ni sea capaz de hacerse una idea
sobre su magnitud.
3. Se comienza a operar siempre por la derecha, partiendo del
orden de unidades (salvo en la división).
4. Los cálculos se realizan de orden a orden de unidades, una sola
vez para cada orden. Ni se puede fragmentar un mismo orden de
unidades ni se pueden juntar dos órdenes distintos.
5. El resultado se obtiene al final. Mientras se está trabajando, el
resultado parcial que se va formando carece por completo de
sentido.

En los capítulos siguientes destacaremos estos rasgos y los

contrapondremos a los de otro tipo de algoritmos. La forma en que el
formato clásico perjudica los aspectos matemáticos del cálculo
quedará así más de manifiesto.
Queremos concluir este pequeño apartado recordando algo que no

1.Sumas. Hay que hacer sumas de dos y tres sumandos, con

centenas y algún millar. Por ejemplo: 628 + 564 + 89; 1569 +753.
2.Restas. De dimensiones similares deben ser las sustracciones. Al
fin y al cabo se trata del camino inverso de un mismo proceso. Por
ejemplo: 4584 - 1268; 2000 - 753.
3.Multiplicaciones. No debería pasar de un multiplicador de dos
números y de un multiplicando de tres o de cuatro. Por ejemplo:
1456 x 8; 907 x 72.
4.Divisiones. Por sus características especiales, las divisiones deben
comprender hasta las decenas de mil repartidas entre números de
dos cifras. Por ejemplo: 14289 : 78; 6540 : 9.

Lo demás, si se nos permite la expresión, es carne de calculadora.

De acuerdo: ya sabemos que hay que cambiar las actuales cuentas y
cuál es el contenido concreto de los nuevos cálculos. Sin embargo,
¿cómo se hacen? Para responder a esta pregunta, debemos pasar
página.

1. Los cálculos que implica la operación se pueden abordar en el

orden que más convenga a la persona que los realiza. A priori no hay
ninguna indicación, ni el éxito de la resolución del cálculo depende de
por dónde se empiece o por dónde se acabe.
2. No es obligatorio sumar un orden de unidades cada vez. El mismo
orden de unidades se puede desglosar o desdoblar en tantos cálculos

No obstante, tal flexibilidad presenta una vertiente más: el progreso

de la operación puede realizarse acumulando un sumando en el otro, o
bien a la inversa, o bien sucesivamente en uno o en otro. El ejemplo
de la tabla 11 es ilustrativo al respecto:

Tabla 11.

1. En la primera fila se comienza pasando cinco unidades del

sumando más bajo al más alto.
2. En la segunda fila se advierte que si se añade una unidad al 89 del
segundo sumando, se obtienen 90, cifra que redondea el primer
sumando (410 + 90 = 500). El asterisco indica que se ha añadido
una unidad que habrá que sustraer de la suma final. Y de momento
quedan 600 en el sumando más grande.

1. En la primera columna se han escrito ambos sumandos.

2. En la segunda ha detraído 4 del sumando mayor para "cerrar" la
decena (desde 8.936 hasta 8.940).
3. En la tercera columna detrae 60, otra vez del sumando mayor
(pasa de 11.474 a 11.414), y así redondea hasta 9.000.
4. En la cuarta y última columna acumula las 9.000 al sumando
mayor para obtener el resultado final.

Ya está la operación acabada. Es una lección de sentido común, de

tanteo, de búsqueda de la economía y la parsimonia. Algo que tiene
poco que ver con la ciega aplicación de las recetas o instrucciones
previamente asimiladas que, en el fondo, es en lo que consiste la
resolución clásica de las operaciones de sumar.
El siguiente ejemplo (tabla 13) se resuelve como en el caso anterior,

54
acumulando unas veces en un sumando y otras veces en otro.

Tabla 13.

1. Como un experto, desde el primer momento intenta eliminar la

mayor cantidad posible del primer sumando, pasándola al segundo.
Así, acumula 1.100 y obtiene un segundo sumando de 6.783.
2. Parte 34 en dos diecisietes. Una parte la utiliza para redondear la
centena del sumando mayor. Pasa así a 6.800.
3. El último paso es muy sencillo: acumula los 17 restantes y
termina la operación: 6.817.

En el capítulo anterior señalábamos cinco características negativas de

los antiguos formatos. Es hora de que las recordemos y las
contrapongamos con las ventajas de los nuevos:

1. En la primera fila el alumno ha buscado redondear a 8.000 el

último sumando. Para ello, ha detraído 200 del primero y 1.000 del
segundo.
2. En la segunda fila ha redondeado a 70, acumulando 36 unidades
del primer sumando y 1 del segundo.
3. En la tercera fila redondea a 100, detrayendo 30 unidades del
segundo sumando. Ya ha redondeado a centenas completas.
4. En la cuarta fila acumula las 400 del primer sumando, que
desaparece.
5. En la última fila acumula las 63 unidades restantes del segundo
sumando y termina la operación.

1. En la primera fila acumula 3.000 del primer sumando en el

sumando mayor.
2. En la segunda fila añade 400 del primer sumando.
3. En la tercera fila añade 60 del segundo sumando.
4. En la cuarta fila añade sólo 1 del segundo sumando. Ya ha
redondeado el tercer sumando.
5. En la quinta fila acumula los restos de los dos primeros sumandos
(28 y 18).

5. SECUENCIACIÓN EN LA PRÁCTICA DEL ALGORITMO

Normalmente, la secuencia de progreso en el aprendizaje de la suma
sigue las siguientes doce fases:

a) Fases 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se trabajan como ejercicios de cálculo

mental. Para ello se deben graduar de forma que los primeros
ejercicios sean los más sencillos y se aborden los más difíciles (que
apenas hay) cuando se resuelvan muy bien los más fáciles. Esta

En resumen, los ejemplos de utilización del ABN serían los que recoge
la tabla 16.

a) Saber utilizar los recursos de cálculo espontáneo de los niños.

1. Comenzar por las combinaciones del 1, del 0 y del 10.
2. Trabajar a fondo los complementarios a 10 (parejas de números

7. EL ALGORITMO ABN Y LOS PROBLEMAS DE SUMAR

El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas matemáticos
requiere otro tratamiento, y son muchos los trabajos, libros e
investigaciones que se han ocupado del tema. Por ello aquí sólo
daremos unos apuntes sobre la relación entre los diversos tipos de
problemas de sumar y el ABN.
De acuerdo con las teorías más recientes, existen siete problemas
nucleares distintos a la hora de sumar. De acuerdo con su
denominación (que aparece entre paréntesis) son los que siguen. El
enunciado es telegráfico.
1. "Antonio tiene en su hucha 5 euros. Después mete 3 euros más que le da su
tía. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?" (Cambio 1).
Es el problema más sencillo de todos. Refleja la situación en la que se parte de una
determinada cantidad y se le añade otra de la misma naturaleza. Tiene traslación directa
al ABN.
2. "Luisa tiene 5 bombones rellenos y 3 normales. ¿Cuántos bombones tiene en
total?" (Combinación 1)
Es el típico problema parte-parte-todo: una situación en la que se tienen dos cantidades
que se diferencian en alguna característica, y se pregunta por la cantidad total que se
obtiene cuando se reúnen ambas. Tiene traslación directa al ABN.
3. "Marcos tiene 8 euros. Si le dieran 5 euros más tendría los mismos que Rafael.

1.Contar. Hace referencia a todos los procesos de aprendizaje de la

cadena numérica y del establecimiento de una correspondencia
biunívoca entre ésta y un conjunto ordenado de objetos.
2.Partir. Se refiere a la capacidad del alumno para descomponer un
número dado en otros inferiores. No se trata sólo de que
descomponga un número (por ejemplo, 458) en centenas, decenas y
unidades, sino que lo haga siguiendo múltiples criterios y
estableciendo cada vez unidades arbitrarias de partición.
3.Agrupar. Es la destreza inversa a la anterior: si el niño es capaz
de descomponer un número en dos o tres partes, a partir de dos o
tres partes debe ser capaz de componer el número mayor que los
engloba a todos.
4.Relacionar. Tiene que ver con las relaciones que es capaz de
establecer el estudiante entre las cifras que forman el número.
5.Transcodificar. Es la capacidad del alumno para representar con
el mismo número una realidad numérica que presenta distintas
configuraciones; y también la capacidad para representar con
números diferentes una única realidad numérica.

El propósito de este trabajo es acabar con las operaciones

tradicionales. No tenemos tiempo ni espacio, además de que no es
nuestro objetivo, para entrar en detalles sobre las potencialidades de
la numeración ni sobre las actividades y ejercicios que las desarrollan.
Tan sólo nos vamos a ocupar, de entre todas ellas, de las necesarias

Tras estos ejercicios, también trabajaremos las variantes, tanto en

sentido ascendente como descendente. Por ejemplo, si hemos partido
del 23 y llegamos al 73, ¿cuántos números hemos contado? O si

Tras estos ejercicios trabajaremos las variantes en ambos sentidos.

Por ejemplo, si partimos del 56 y llegamos a 79, ¿cuántos números
hemos contado? O si llegamos al 79 después de contar 56, ¿de qué
número hemos partido?
En este ejercicio hay que insistir en que el alumno salte o retroceda
por decenas completas a partir de los números que se le indican. Si,
por ejemplo, tiene que contar 63 a partir del 31, debe hacerlo así: 31-
41-51-61-71-81-91-92-93-94. La práctica es igual en sentido
ascendente o descendente. Así, si tiene que retroceder 46 a partir del
98, lo ha de hacer siguiendo esta serie: 98-88-78-68-58-57-56-55-54-
53-52.
Cuando los ejercicios impliquen centenas, se debe seguir la misma
línea de progresión. Mostramos dos ejemplos:

3. LAS DESTREZAS DE PARTIR

Es la destreza fundamental que debe adquirir el alumnado para todos
los cálculos, especialmente la adición y la sustracción. En esencia se
trata de tener la capacidad de dividir y subdividir un número en
función de diversos criterios. Hay tres parcelas a cubrir.
a) Consideración de todos los órdenes de unidades. Es frecuente

b) Dada una parte de la descomposición o partición, hallar la

otra. Se asciende ahora un nivel de dificultad, aunque en realidad
estos ejercicios sólo aplican las destrezas aprendidas en el paso
anterior. El alumno sabe el número que se descompone y una de las
partes en que se ha descompuesto. Él debe buscar el resto.
Para que los lectores se hagan una idea exacta, ponemos una tabla
con el ejercicio y a continuación la misma tabla, pero incluyendo las

69
respuestas.

SOLUCIÓN:

Para alcanzar el dominio de esta destreza hay que seguir una

progresión que consta de los siguientes pasos:

1. Es la que corresponde a la primera fila del ejercicio y la que

tradicionalmente se trabaja en la escuela: descomposición simple, en
la que se identifica el orden que ocupa la unidad con el número que
aparece en él.
2. En la segunda fila se ha procedido a agrupar dos órdenes de
unidades o, lo que es más exacto, a considerar tan sólo el número
de centenas, olvidando el de las unidades de millar (o millares). En
cualquier caso, sólo se pregunta por un orden de unidades.
3. En la tercera fila se considera parcialmente un orden de unidades
(las unidades de millar), y el resto se transforma y se acumula al
orden siguiente, que es la centena. Así, se debe detraer la cantidad

c) Descomponer números con criterios libres y sin mención a

los órdenes de unidades. Tras la gimnasia anterior, los ejercicios
que vienen ahora resultan muy sencillos. Su objetivo es que los niños
sean capaces de dividir y subdividir el número hasta encontrar la
combinación más deseable para realizar el cálculo. En estas
particiones no hay mención a los órdenes de unidades.
El tipo de ejercicios que aparecen en la figura 2 son muy
representativos de lo que queremos exponer. Se van encadenando
sucesivas descomposiciones que pueden llegar a un nivel de
simplicidad muy grande o, por el contrario, venir revestidas de gran
dificultad. En este caso se parte del número 253. Hay dos particiones:
una es 250 + 3; la otra, 150 + 50 + 30 + 23. A partir de cualquier
número se van sucediendo las posibilidades y las exploraciones.

Figura 3.

Estos ejercicios ofrecen muchas posibilidades y muy distintas

alternativas de solución para cada cuestión planteada. Cada alumno
completará de forma diferente el ejercicio con soluciones correctas.
También se pueden aplicar variantes que obliguen a los alumnos a una
ejercitación determinada. Por ejemplo, se les puede indicar que
reúnan la cantidad solicitada con el mayor número posible de billetes
de cincuenta, o de veinte, etc. Otra alternativa es ofrecerle una
respuesta parcial y pedirle que complete el dinero que falta.

Los tres últimos ejercicios de la primera columna van eliminando

órdenes de unidades, y los de la segunda columna van alternando el
orden en que se presentan éstas.
b) Agrupamientos mixtos y con encabalgamientos de los
órdenes de unidades.Este tipo de ejercicios plantea a los alumnos
más dificultades que el anterior. Se rompen los límites tradicionales y
se pasa a componer números expresados en órdenes de unidades que
se solapan. Un caso sencillo puede ser el siguiente: "Escribe el número

Para los ejercicios de partición y de agrupamiento es conveniente

emplear abundantes tablas que permitan a los alumnos realizar los
cálculos de acuerdo con una estructura que facilite su comprensión. La
siguiente muestra lo que queremos decir, aplicándola al ejercicio que
aparece en el quinto escalón de la tabla anterior:

Tabla 2.

Tabla 6.
Nueva repetición de la secuencia. Ahora, en la tabla 6, se halla la
diferencia de 6 a 10 y se escribe el resultado. Naturalmente, nos

85
llevamos una.

Tabla 8.

Cada una de las variantes que contempla esta operación es más o

menos adecuada para los diversos tipos de restas, como más adelante
veremos. Sin embargo, antes de llegar a ello hemos de pasar algunas
etapas. En primer lugar, explicar la transición del algoritmo tradicional
basado en cifras (ABC) al nuevo algoritmo basado en números (ABN).
En segundo lugar, mostrar algunas de las características de la nueva
operación. En tercer lugar, desarrollar de manera detallada los cuatro
modelos que sirven a cada una de las variantes citadas. Por último,
veremos algunas recomendaciones de uso de una u otra variante.
2.2. Paso del algoritmo tradicional al nuevo

Tabla 12.
En la tabla 12 se refleja cómo queda la operación, en ambos formatos,
una vez realizado el segundo paso. No hay mucho que señalar en ABC.

1. Primera fila: El alumno comenzó quitando cien a minuendo y

sustraendo.
2. Segunda fila: A continuación restó cincuenta a ambos términos,
con lo que se acercó mucho a la solución final.
3. Tercera y cuarta fila: ¿Cómo abordó el paso de quitar 3 ó 13 de
50, es decir, la famosa llevada? No se complicó la vida. Primero quitó
10 de las dos cantidades, y luego restó el 3. Así llegó al resultado.

¿Es más o menos inteligente resolver la cuenta de esta manera o con

el algoritmo tradicional? ¿Es más o menos matemático hacer los
cálculos de una forma o de otra? ¿Se controlan mejor o peor los
números, los procesos, con este formato que con el tradicional? Las

98
caso dos números bien metidos en la centena) y que, al mismo
tiempo, no fuera capaz de descomponer el número 84.

De la anterior secuencia no todas las fases deben ser abordadas

utilizando el ABN, pues algunas sólo requieren cálculo mental,
expresando el resultado con muy pocas o ninguna apoyatura.
Especificando:

4. BREVES INDICACIONES SOBRE LA TABLA DE RESTAR

Ya hemos indicado lo necesario que es abordar los hechos numéricos
de la resta como inversos de la suma. Al fin y al cabo, no hay sumas ni
restas por separado, sino que existe una sola estructura que adopta
diversas formas según en cuál de sus elementos pongamos la
interrogación:

Actuando de esta forma contamos con dos ventajas muy notables:

* La práctica de las combinaciones básicas de la sustracción

complementará y aclarará dudas sobre las combinaciones básicas de
la suma, reforzándose mutuamente su aprendizaje.
* Tan pronto como sea posible hay que introducir el principio de
complementariedad de la suma y la resta. Esto es, se han de
manejar situaciones que impliquen sumas y restas, y en las que sea
sencillo pasar de una a otra a partir de cualquiera de ellas. Actuar así
refuerza la seguridad en los cálculos, puesto que a la hora de tener

104
dudas en un hecho básico de cualquier operación, se puede buscar la
solución en la otra opción.

La sustracción admite un tratamiento diferencial en lo que se refiere a

las combinaciones básicas. Son las "familias de diferencias". Forman
una misma familia todas las parejas de números cuya diferencia sea la
misma. Por ejemplo, las parejas 8 - 8, 13 - 13, 800 - 800, etc.,
formarán parte de la familia del 0 (cero).
También resulta útil distinguir entre familias principales y relacionadas.
Las primeras son las correspondientes a las parejas de números cuya
diferencia sea menor a 10: por ejemplo, la familia del 3, del 8, etc. O
por ejemplo, las combinaciones que pertenecen a la familia del 4: 8 -
4; 88 - 84; 251 - 247; 66 - 62; 12 - 8, etc.
Las familias relacionadas son las correspondientes a diferencias iguales
o superiores a 10. Así, por ejemplo, la pareja 56 - 44 pertenece a la
familia del 2, y dentro de ella, a la familia relacionada 1. La diferencia
entre ambos números está formada por el grado de relación (en el
ejemplo que seguimos, el 1) y la familia a la que pertenece (2): 56 -
44 = 12.
La tabla 25 ofrece ejemplos ilustrativos de familias relacionadas:

Tabla 25. Familias relacionadas.

Utilizar el artificio de las familias relacionadas tiene sentido en los
periodos de iniciación al cálculo, como forma de hacer comprender a
los niños la estructura de los números y las distancias entre ellos. Una
vez conseguida cierta soltura y conocimiento de la sustracción, esta
forma de designar las diferencias de una pareja de números carece de
utilidad.
5. EL ALGORITMO BASADO EN NÚMEROS Y LOS
PROBLEMAS DE RESTAR
El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas matemáticos

Tabla 4.
Las tablas 5, 6, y 7 resuelven la misma cuenta, pero según el antiguo
formato basado en las cifras.

Tabla 5.
En primer lugar se ha multiplicado 8 por 6, y se ha procedido a escribir
sólo la cifra de las unidades, reservando el 4 (que así es cómo se

113
enseña, como 4, no como 40) para el paso siguiente.

119
Tabla 16.

Tabla 17.

Tabla 18.

124
podemos ejemplificarlo con el producto de 13 por 16.

La explicación del procedimiento es muy sencilla y se desprende de la

observación de la multiplicación clásica en el formato en columnas, tal
y como se presenta en la tabla 20. En el paso uno es obvia su
consideración. En el paso 2 se compone de la suma de los productos
de 3 por 1 y de 1 por 6. En el paso 3 siempre la cifra de las centenas
es uno (más lo que se arrastre), porque siempre se multiplica 1 por 1.

Hemos de señalar aquí, de nuevo, que no se trata de que los niños

memoricen las 81 combinaciones básicas, sino de que las realicen con
rapidez y seguridad. Tampoco hemos de olvidar que los alumnos han
de saber componer los cálculos con cualesquiera unidades, y que a
esta tarea hay que dedicarle tiempo. Se intenta que adquieran una
herramienta muy potente, lo que conlleva un esfuerzo. Por otro lado,
tampoco se pretende que todos estos cálculos se hagan sin papel ni
lápiz. Queremos que se hagan con la cabeza, pero no importa si es
necesario depositar los cálculos intermedios en el papel. Véase el
ejemplo de la multiplicación 1.700 x 14:
1.700 x 14 = _ _ _00 1.700 x 14 = _ _.800 1.700 x 14 = _3.800 1.700 x 14 = 23.800
Primero escribe a la derecha del signo igual los dos ceros del 1.700. A
continuación va anteponiendo los resultados parciales de los cálculos.
Finalmente, lee el número que resulta. El mismo procedimiento se
puede usar en otros casos. Por ejemplo, 300 por 8.400. Se apartan los

1. El alumno realiza mental y automáticamente todos los productos

que se corresponden con las tablas que van desde el 0 hasta el 11,
aplicados a los órdenes de unidades que correspondan dentro del
tamaño de los números que maneje: 5 x 8; 7 x 9; 70 x 3; 500 x 80,
etc.
2. El alumno realiza mentalmente, aunque necesite apoyo en el
papel, todos los productos de dígitos por bidígitos, aplicados a los
órdenes de unidades que correspondan dentro del tamaño de los
números que maneje: 3 x 34; 40 x 230, etc.
3. El alumno realiza mentalmente, aunque necesite apoyo en el
papel, todos los productos de bidígitos por bidígitos de la segunda
decena, aplicados a los órdenes de unidades que correspondan
dentro del tamaño de los números que maneje: 13 x 14; 140 x 180,
etc.
4. El alumno realiza con ABN los productos de dígitos por centenas o
por millares: 356 x 8; 9.621 x 5, etc.
5. El alumno realiza con ABN los productos de bidígitos por centenas
o millares: 23 x 560; 34 x 1.879, etc.
6. El alumno realiza el resto de las multiplicaciones con la
calculadora.

5. LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICAR

La gran diferencia entre los problemas que implican estructuras
aditivas (suma y resta) respecto a las multiplicativas (producto y
división) radica en la naturaleza de las cantidades. Por ello, y en lo que
respecta a la Educación Primaria, hablamos de cinco tipos de
problemas distintos. Son los que siguen:
1. "El camarero de un bar arroja cada día 8 botellas al contenedor de vidrio.
¿Cuántas habrá depositado en 6 días?" (Grupos iguales 1).
Es una multiplicación sencilla, que resume y simplifica una suma. El resultado (botellas) es

131
Cuadro 2.
f) Cero al cociente al final de la cuenta. Es parecido al caso
anterior, pero situado al final de la cuenta. Es una situación que origina
multitud de errores en los niños, porque no saben si han terminado o
si tienen que poner un cero o dos en el cociente. El cuadro 3
ejemplifica esta situación. El peligro está en que el alumno no ponga
nada en el cociente porque crea que ya ha acabado la cuenta, y deje el
resultado reducido a "43" (en este ejemplo). La forma de obviar este
inconveniente es que el niño compare esta cuenta con una idéntica,
pero que en la última cifra del dividendo aparezca un 2 en vez de un 1.
Se trata de que se dé cuenta de lo que haría en este otro supuesto y,
al mismo tiempo, compare lo que ocurre en el cociente en ambos
casos.

Cuadro 3.

Cuadro 10.
Primera fila: busca el número que más se aproxima a 9.164. Es el
7.000. Ello quiere decir que puede repartir un millar a cada uno. Por

Cuadro 11.

Cuadro 13.

Para seguir la operación, en el paso 3 se han elegido las 151 centenas

del dividendo (1 DM, 5 M y 1 C). Aquí el alumno, al enfrentarse a un
cálculo más complicado, ha preferido asegurarse y utilizar la técnica
del resto parcial. Por ello ha repartido 2 centenas, que ha puesto en su
lugar en el cociente, ha quitado del dividendo 126, y ha establecido el
nuevo dividendo. Ahora lo que se divide es 2.504 entre 63.
En el paso 4 ha elegido las 250 decenas (2 millares y 5 centenas) del

En el paso 5, por aquello del 6 x 8 = 48, se han escogido las 614

unidades restantes. Se escriben las 8 unidades repartidas en el
cociente y se efectúa el cálculo. Se establece el resto parcial y se llega
a una nueva división: 110 entre 63.
La prudencia anterior en la estimación del cálculo obliga a la acción del
paso 6. El alumno hace el único reparto posible, anota la nueva
unidad, que sitúa debajo de las que ya había repartido, y establece el
resto final. Ya no puede continuar y procede a los ajustes finales.
Suma los cocientes parciales y obtiene el definitivo: 1.249. Se han
quedado sin poder repartir 47 unidades, que constituyen el resto.
5. DIVISIONES CON DECIMALES
No añaden dificultades nuevas a las ya conocidas. El enfoque
tradicional aconseja que primero se traten las que tienen la parte
decimal en el dividendo, después las que sólo tienen parte decimal en
el divisor, y finalmente las que la tienen en ambos términos. Del
último caso no nos vamos a ocupar, ya que una vez producidos los

En el paso 1 se reparten y eliminan 48 de las 58 centésimas. Se

colocan las 2 repartidas en el cociente y se escribe el nuevo dividendo:
639,10.
En el paso 2 se reparte una unidad, con lo que se "gastan" 24 de las
39 existentes (3 decenas y 9 unidades). Se llega a la división 615,10 :
24.

En el paso 3 se localizan 48 décimas dentro de las 51 existentes. Se

reparten 2 y se ajusta el dividendo nuevo: 610, 30.
El paso 4 vuelve a las centésimas. Se reparte 1 de las 30 existentes y
se reajusta el dividendo: 610,06.

En el paso 7 se va a eliminar lo máximo posible de las 120 unidades.

Reparte 4 y gasta 96. Ajusta el dividendo a 24,46.
Y en el paso 8 culmina la división. Efectúa dos cálculos a la vez.
Reparte las 24 unidades (1 en el cociente) y las 46 centésimas (otra
centésima en el cociente). Resta y llega al final. Reúne los cocientes
parciales y ya tiene el resultado: un cociente de 26,64 y un resto de

Como se ve en el ejemplo, la decena del cociente representa al grupo

"una unidad en el orden superior" (centena) y "una unidad en su
orden" (decena). Las siete unidades del cociente son los siete grupos
"1 decena-1 unidad".
En el caso del divisor decimal la agrupación se produce "en su orden-
en el orden posterior". Si en el ejemplo anterior dividiéramos entre
1,1 en lugar de entre 11, la operación sería la siguiente:

Paso 5.
6. LOS PROBLEMAS DE DIVIDIR

164
165
Webgrafía
Aclaración muy elemental: la diferencia entre el número de citas
recogidas en la bibliografía y las reseñadas aquí es muy grande. Ello
se debe a que con los libros o las revistas no se puede navegar, esto
es, pasar de uno a otro de manera automática y sin tener que
disponer de la página previamente. Por eso, el lector que quiera
consultar las páginas web que aquí se muestran encontrará múltiples
accesos a otras muchas. Esta, y no otra, es la razón de la parquedad
en las citas. Todas las páginas se han consultado por última vez
durante la semana final de octubre de 2008.
Sobre competencias básicas y conocimientos matemáticos de alumnos
en Infantil y primer Ciclo de Primaria.

http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2002125.

Competencias básicas y currículum. Estándares y pruebas. Portal del

Gobierno del Reino Unido.

http://www.ccea.org.uk/.

Agencia de Competencias Básicas en el Reino Unido.

http://archive.basic-skills.co.uk/.

Marco de Referencia Europeo. Competencias clave para un aprendizaje

a lo largo de la vida. Educación y Formación 2010.

http://www.educastur.princast.es/info/calidad/indicadores/doc/comision_europe

Definición de las Competencias Básicas en el programa PISA.

https://www.pisa.oecd.org/dataoecd/47/61/35070367.pdf.

Proyecto DeSeCo. Definición y Selección de Competencias.

http://www.deseco.admin.ch/.

Portal de la OCDE. Página para la Educación Infantil y Primaria.

166
http://www.oecd.org/topic/0,3373,en_2649_39263231_1_1_1_1_37455,00.htm

Desarrollo conceptual de las Competencias Básicas en la Educación

Obligatoria. De Eurydice.

http://www.vsy.fi/eaea/policy/70Q653_eurydice_EN.pdf.

Página de educación de la Comisión Europea.

http://ec.europa.eu/education/index_en.htm.

Portal del Centro de Investigación y Documentación Educativa del

Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Acceso a múltiples
recursos y a páginas internacionales. Se recomienda para acceder a
EURYDICE.

http://www.mepsyd.es/cide/index.htm.

Portal del Instituto de Evaluación del Ministerio de Educación, Política

Social y Deporte. Acceso a múltiples recursos, pero en especial al
Programa PISA, al Sistema Estatal de Indicadores de la Educación, a
estudios nacionales e internacionales de evaluación, etc.

http://www.institutodeevaluacion.mec.es/.

Portal del Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Partiendo

de esta página se tiene acceso a las de las Consejerías de Educación
de las Comunidades Autónomas y a infinidad de recursos y medios
didácticos.

http://www.mepsyd.es/educacion.html.

169

# data[].attributes.attachment_link.title
Competencias básicas en Matemáticas_ Una nueva práctica - Jaime Martínez Montero.pdf

# data[].attributes.attachment_link.description
c/ Collado Mediano, 928230 Las Rozas (Madrid)Primera edición: Diciembre 2008Los autores y editores no asumen responsabilidad alguna por los dañoso perjuicios que pudieran sufrir los usuarios derivados de su actuacióno falta de actuación como consecuencia de cualquier informacióncontenida en esta publicación.El objeto de esta publicación es proporcionar información al usuario,por