# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6,7,,8,9,10,11,12,15,17 str. 148-156
zeszyt ćwiczeń str. 60-63

# data[].attributes.attachment_link.title
Przedstawianie danych – wykresy punktowe i liniowe #3 [ Obliczenia praktyczne - tabele i wykresy ]

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3 str. 143
zad. 4,5,6,7 str. 144
zad. 9,10 str. 145
zeszyt ćwiczeń str. 58-59

# data[].attributes.attachment_link.title
Prawdopodobieństwo - wprowadzenie #1 [ Prawdopodobieństwo ]

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6,7 str. 141
zeszyt ćwiczeń str. 56-57

# data[].attributes.attachment_link.title
Stosunek dwóch wielkości tego samego rodzaju #1 [ Proporcje ]

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał zawiera 2 filmy, 20 ćwiczeń, w tym 8 interaktywnych. Filmy - stosunek dwóch wielkości w sytuacjach praktycznych. Ćwiczenia - stosunek liczb, stosunek danych wielkości, również w sytuacjach praktycznych.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 136
zad. 3,4 str. 137
zad.5 str. 138
zad. 6 str. 139
zeszyt ćwiczeń str. 55

# data[].attributes.attachment_link.title
Diagramy procentowe #9 [ Procenty - zastosowania ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Diagram słupkowy przedstawia procentowy podział ludności na świecie według wieku.
Dane pochodzą z lipca roku. (Wikipedia)

Z diagramu możemy odczytać kilka ważnych informacji.

Kołowy diagram pokazuje procentowy rozkład ludności świata na poszczególnych kontynentach.

Z tego diagramu możemy wywnioskować, że:

sześciu na dziesięciu mieszkańców kuli ziemskiej mieszka w Azji,

mieszkańców Europy jest sześciokrotnie mniej niż Azjatów,

Europejczyków i obywateli Ameryki Północnej razem jest tyle samo, co ludzi w Afryce,

mieszkańców Australii i Oceanii jest tak niewielu, że nie stanowią nawet jednego procenta wszystkich ludzi na świecie.

Diagram przedstawia procentową oglądalność czterech najpopularniejszych stacji telewizyjnych dla dzieci: PROMYK, GWIAZDA, KIDS , KIDS w latach , i .

Z diagramu odczytujemy, że:

największą popularnością w czasie trzech omawianych lat cieszyła się GWIAZDA, najmniejszą zaś KIDS ,

w roku zdecydowanie największą popularnością cieszyła się telewizja GWIAZDA,

telewizja KIDS prawie podwoiła swoją popularność w roku w stosunku do roku , a popularność stacji GWIAZDA w roku stanowiła nieco więcej niż trzecią część popularności w roku .

# data[].attributes.attachment_link.description
Diagram słupkowy przedstawia procentowy podział ludności na świecie według wieku.Dane pochodzą z lipca roku. (Wikipedia) Z diagramu możemy odczytać kilka ważnych informacji. Kołowy diagram pokazuje procentowy rozkład ludności świata na poszczególnych kontynentach.

# data[].attributes.body
Diagramy procentowe służą do graficznego przedstawiania danych.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 131
zad. 2,3,4,5,6 str. 132
zad. 7,8,9 str. 133
zeszyt ćwiczeń str. 54

# data[].attributes.headline
Schemat do obliczania podatków VAT i PIT

# data[].attributes.subject
Schemat do obliczania podatków VAT i PIT

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str.127
zad. 5,6,7,8,9 str. 128
zad. 10,11 str. 129
zeszyt ćwiczeń str. 51-53

# data[].attributes.attachment_link.title
Lokaty bankowe #6 [ Procenty - zastosowania ]

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 122
zad. 5,6,7,8 str. 123
zad. 9,10,11,12 str. 124
zeszyt ćwiczeń str. 50-51

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1 str. 181
zad. 2,3,4,5,6 str. 182
zad. 7 str. 183
zeszyt ćwiczeń str. 70-71

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ludzie od najdawniejszych czasów tworzyli budowle o geometrycznych kształtach. Kiedy szukamy najbardziej znanych przykładów ostrosłupów w architekturze, najczęściej trafiamy na egipskie piramidy. W dawnym Egipcie powstały: Wielka Piramida Cheopsa, Piramida Chefrena i Piramida Mykerinosa oraz kilka mniejszych. Piramida Cheopsa została nawet zaliczona do siedmiu cudów świata.

Podstawą piramidy jest kwadrat, a ściany boczne są jednakowymi równoramiennymi trójkątami.

Powstało wiele budynków i obiektów mających kształt zbliżony do piramid. Nie nazwiemy ich piramidami, ponieważ podstawami nie są kwadraty lecz na przykład: trójkąt, sześciokąt lub inne wielokąty. Jeżeli pozostałe ściany są w kształcie trójkąta, to mówimy, że budynki i obiekty mają kształt ostrosłupa.

Jednym z ciekawszych ostrosłupów jest konstrukcja umieszczona przed budynkiem Muzeum Luwr w Paryżu.

Kształt ostrosłupa mogą mieć dachy domów, kościołów czy zamków.

Siatka ostrosłupa

Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja 3D pokazuje dwie siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które składają się w jednakowe ostrosłupy. Ostrosłup zamienia się w drewniany klocek leżący między innymi klockami.

Siatka ostrosłupa

Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka - powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja 3D pokazuje drewniane klocki w kształcie brył. Kreślone są krawędzie jednego klocka - powstaje ostrosłup. Następnie dwa jednakowe ostrosłupy rozkładają się na dwie różne siatki ostrosłupa.

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: "Ostrosłupy i ich własności", "Siatki ostrosłupów". Materiał zawiera 5 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 4 filmy, 10 ćwiczeń, w tym 7 interaktywnych. Filmy - rysowanie ostrosłupów, siatki ostrosłupów w 3D. Ćwiczenia - rodzaje, własności i siatki ostrosłupów

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 175
zad.3,4,5,6,7,8,9 str. 176
zad. 10,11 str. 177
zeszyt ćwiczeń str. 68-69

# data[].attributes.attachment_link.title
Odcinki w graniastosłupach #2 [ Graniastosłupy ]

# data[].attributes.attachment_link.description
E‑podręczniki to bezpłatne i dostępne dla wszystkich materiały edukacyjne.

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 170
zad. 5,6,7,8,9,10 str. 171
zad. 12,13,14,15,16 str. 172
zad. 17,18 str. 173
zeszyt ćwiczeń str. 66-67

# data[].attributes.attachment_link.description
Z tego filmu dowiesz się: jak narysować siatkę dowolnego graniastosłupa, w jakich sytuacjach praktycznych wykorzystujemy obliczenia pól powierzchni graniastosłupów.

# data[].attributes.attachment_link.title
Objętość graniastosłupa #3 [ Graniastosłupy ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami.

Przykłady siatek graniastosłupów prostych

Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.

Rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa prostego. Oblicz sumę długości krawędzi tego graniastosłupa.

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość . Suma ich długości jest równa

Podstawą jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnej długości . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość drugiej przyprostokątnej.

Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi.

Odpowiedź:
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi .

Znajomość siatki graniastosłupa pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości w i krawędzi podstawy

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy i wysokości

Podstawą graniastosłupa jest romb o wysokości i kącie ostrym . Pole powierzchni bocznej jest równe . Oblicz wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej.

Podstawą graniastosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę , a wysokość jest równa . Z własności trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej i kącie ostrym leżącym naprzeciw tej przyprostokątnej o mierze wynika, że długość przeciwprostokątnej jest równa .
Zatem bok rombu ma długość .

Odpowiedź:
Wysokość graniastosłupa jest równa , a pole powierzchni jest równe .

Zadania

# data[].attributes.attachment_link.description
Rozcinając kartonowy model graniastosłupa i rozprostowując go na płaszczyźnie, otrzymujemy siatkę graniastosłupa. Siatka składa się z prostokątów (lub równoległoboków) będących ścianami bocznymi i dwóch wielokątów, będących podstawami. Przykłady siatek graniastosłupów prostych Siatką prostopadłościanu jest figura płaska, z której można złożyć model prostopadłościanu. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par przystajacych prostokątów.

# data[].attributes.attachment_link.title
Jednostki objętości. Objętość graniastosłupa - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: “Jednostki objętości

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2 str. 108
zad. 3,4,5,6,7,8,9 str. 109
zad. 10,11,12,13,14,15,16 str. 110
zad. 17,18,19,20,21,22,23 str. 111
zeszyt ćwiczeń str. 47-48

# data[].attributes.attachment_link.title
Dowody matematyczne - rachunek kątów (część 1) #2 [ Zadania dowodowe - geometria ]

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
.zad. 1,2,3,4,5 str. 104
zad. 8,9,10,11,12 str. 105
zeszyt ćwiczeń str. 45-46

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
jak obliczyć długość dowolnego odcinka w układzie współrzędnych,

jak wyznaczyć współrzędne środka dowolnego odcinka w układzie współrzędnych.

Lista wszystkich autorów Lista materiałów wykorzystanych w filmie

# data[].attributes.attachment_link.title
Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych

# data[].attributes.attachment_link.description
jak obliczyć długość dowolnego odcinka w układzie współrzędnych, jak wyznaczyć współrzędne środka dowolnego odcinka w układzie współrzędnych. Lista wszystkich autorów Lista materiałów wykorzystanych w filmie

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ola ma 160 cm wzrostu, a jej brat Marcin 190 cm. Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb 160 i 190 , czyli

Na osi liczbowej liczba 175 jest jednakowo oddalona od obu liczb 160 i 190 .

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.

Punkty i są końcami odcinka AB . Wyznacz współrzędne środka odcinka AB .

RpuNL7rUygSOe 1

Współrzędne punktu S , który jest środkiem odcinka o końcach w punktach i , są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka AB .

Animacja pokazuje punkty A, B oraz punkt S. Należy tak ustawić punkt A, aby środkiem odcinka AB był punkt S. W dalszej części animacji dany jest punkt S i odcinek AB. Należy tak ustawić punkt S, aby był środkiem podanego odcinka AB. Współrzędne punktów zmieniają się.

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach , B=(-3,6) i jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.

Zauważ, że drugie współrzędne punktów B i C są równe 6 , co oznacza, że odcinek BC jest równoległy do osi Ox . Jego długość jest równa

Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór. Wtedy

Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.
Obwód trójkąta jest równy

Oblicz długość przekątnej prostokąta ABCD o wierzchołkach w punktach: A B=(5,-5) i . Wyznacz współrzędne wierzchołka D .=(-5,-1),

Przekątna prostokąta ABCD jest równa długości odcinka

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie S , który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej AC jest również środkiem przekątnej BD .
Środek S przekątnej AC ma współrzędne

Niech .
S=(1,-1 2 ) jest środkiem odcinka BD , a zatem

Wynika z tego, że D=(-3,4).

Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka C w trójkącie o wierzchołkach w punktach

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Naprzeciw wierzchołka C leży bok AB , którego środek ma współrzędne

Środkowa poprowadzona z wierzchołka C leży na prostej CS i ma równanie y=ax+b.
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a punkt C= jest jej punktem przecięcia z osią Oy . Wynika z tego, że b=4.
Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C ma postać

Punkty A =(-3,7) i są wierzchołkami rombu ABCD , a punkt jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt jest środkiem przekątnej AC , zatem

czyli

Podobnie obliczymy współrzędne punktu D .

# data[].attributes.attachment_link.description
Ola ma 160 cm wzrostu, a jej brat Marcin 190 cm . Oblicz średni wzrost rodzeństwa.Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb 160 i 190 , czyli Na osi liczbowej liczba 175 jest jednakowo oddalona od obu liczb 160 i 190 .

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4 str. 99
zad. 5,6,7,8,9,10 str. 100
zad. 11,12,13 str. 101
zeszyt ćwiczeń str. 43-44

# data[].attributes.headline
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.subject
Zadania do rozwiązania na lekcji online lub do samodzielnego rozwiązania:

# data[].attributes.body
zad. 1,2,3,4,5,6,7 str. 95
zad. 8,9 str. 96
zeszyt ćwiczeń str. 40-42

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Zależność między długością d przekątnej kwadratu a długością x jego boku jest określona wzorem

Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości boku kwadratu wzrasta długość jego przekątnej, zgodnie ze wzorem d(x) = x razy pierwiastek z dwóch.

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2 .

Zależność między wysokością h trójkąta równobocznego a długością a jego boku jest określona wzorem:

Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości boku trójkąta równobocznego wzrasta wysokość trójkąta, zgodnie ze wzorem h(a) = a pierwiastek z trzech dzielone przez dwa.

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości boku trójkąta równobocznego wzrasta wysokość trójkąta, zgodnie ze wzorem h(a) = a pierwiastek z trzech dzielone przez dwa.

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 3 2 .

jest prosta przechodząca przez punkty i . Wykres ten jest zbiorem punktów x,y , które spełniają równanie y=2 x, czyli prostą opisaną równaniem y=2 x.

jest prosta opisana równaniem y=-3 x, przechodząca przez punkty i .

jest prosta opisana równaniem y=5 4 x, przechodząca przez punkty i .

jest prosta opisana równaniem y=-1,4⋅x, przechodząca przez punkty i .

RI32Vp4uhW8xh 1

Animacja pokazuje, że zmieniając współczynnik proporcjonalności a zmienia się położenie wykresu funkcji liniowej f(x) =a razy x w układzie współrzędnych. Dla a>0 prosta leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i przechodzi przez początek układu współrzędnych. Dla a<0 prosta leży w drugiej i czwartej ćwiartce i przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Zależność między obwodem L koła a promieniem tego koła jest określona wzorem:

Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości promienia okręgu wzrasta jego obwód, zgodnie ze wzorem L(r) = 2 pi r.

shuffle Odtwarzanie losowe skip_previous Poprzedni skip_next Następny repeat Powtórz

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2 π.

Funkcja liniowa
Przejdźmy teraz do funkcji opisanych tym samym wzorem co proporcjonalność prosta, a więc , ale określonych dla dowolnej liczby rzeczywistej O liczbie nie będziemy już zakładać, że musi być dodatnia. Zastanówmy się, jak wygląda wykres takiej funkcji.

a więc

Zatem wykresem funkcji jest prosta równoległa do prostej o równaniu

jest prosta równoległa do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt , czyli prosta o równaniu

jest prosta równoległa do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt , czyli prosta o równaniu

jest prosta równoległa do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt , czyli prosta o równaniu

# data[].attributes.attachment_link.description
Zależność między długością d przekątnej kwadratu a długością x jego boku jest określona wzorem Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2 . Zależność między wysokością h trójkąta równobocznego a długością a jego boku jest określona wzorem: Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 3 2 .