# data[].attributes.body
Unidad minima de comunicación grafica , no  tiene area , volumen , longitud ni dimensiones en un plano 2d solo necesitamos dos coordenadas para ubicarlo. se representa con una letra . A (x,y)   K(4,5)

# data[].attributes.body
Linea formada por una serie continua de puntos, no tiene ángulos ni curvas .solo se necesitan dos puntos para hacer una.

Decreciente de los cuadrantes II–IV.

Creciente de los cuadrantes I–III.

# data[].attributes.headline
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS O LONGITUD DE UNA RECTA.

# data[].attributes.subject
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS O LONGITUD DE UNA RECTA.

# data[].attributes.body
Si l a recta es paralela al:

Eje x:    d=(x ₁-x ₂) =| d |

Eje y    d=(y ₁-y ₂) =| d |

Si la recta es inclinada :

d= √(x ₁-x ₂)²+(y ₁-y ₂)²

# data[].attributes.body
Punto

Recta

Distancia entre dos puntos.

Punto medio de una recta.

Pendiente.

Ecuaciones Cartesianas.

Cónicas , tipos , elementos , ecuaciones canónicas y generales.

# data[].attributes.body
sea cual sea la recta

P m=(x ₁-x ₂)/2  , (y ₁-y ₂)/2

# data[].attributes.body
Es la inclinación o ángulo  de la recta respecto al eje positivo del eje x.

m=(y ₂–y ₁)/(x ₂–x ₁)

m=arc tan xº

m=arc tan(y ₂–y ₁)/(x ₂–x ₁)

# data[].attributes.body
Punto pendiente:

tenemos pendiente (m) y el y–intersecto (b)

y=mx +b

Pendiente -punto:

tenemos la pendiente (m) y un punto

(y–y ₁)=m(x–x ₁)

# data[].attributes.body
son todas las curvas que se obtienen de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano , generatriz(g)  del cono

No degeneradas: el plano de proyección no contiene al vertice.( en estas nos enfocaremos)

Degeneradas :cuando el plano de proyección contiene el vertice.

# data[].attributes.body
< se proyectan en el plano cartesiano como se ve en la figura .
excentricidad:es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. en su respectivo orden de izquierda a derecha:

circunferencia : el plano  es perpendicular al eje del cono, no tiene excentricidad porque es el punto de referencia para esta.

parabola: el plano es paralelo a una generatriz  y corta solo una hoja de las superficies cónicas, su excentricidad =1.

Elipse: el plano tiene un angulo mayor respecto al eje del cono que las generatrices, su excentricidad  < 1 .

Hipérbola: el plano tiene un angulo menor respecto al eje del cono que las generatrices , su excentricidad > 1.

# data[].attributes.body
Con centro en (h,k) y punto de la circunferencia p (x,y)  .tambien         r=√(x–h)2 + (y–k)²

si ,C(0,0)    x ²+y ²=r ²

# data[].attributes.body
f  = foco

d= directriz

eje de simetriapasa por f y es perpendicular a d

el punto de intersección de la parabola con el eje es el vertice.

la cuerda que pasa por f y es perpendicular al eje es el lado recto.

p es la distancia del foco al vertice

# data[].attributes.body
tenemos los necesarios en cónicas:

centro (h,k)

radio (r)

un punto sobre la circunferencia p(x,y)

# data[].attributes.body
Ax +By+C=0

Al despejarla  encontramos a la ecuación
punto-pendiente  donde    m=–A/B
que tambien es una ecuación lineal lista para empezar a reemplazar en x

# data[].attributes.body
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es  la distancia entre los dos focos, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse

# data[].attributes.body
Focos: Son los puntos  F y F’

Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c

Radio vectores: Son los segmentos PF’ y PF

Centro de la hipérbola: Punto O donde se cortan los eje

Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’. A y A’

A y A’ son los puntos de corte del eje real con la hipérbola. Sus coordenadas son (a,0) y (-a,0) respectivamente.

B y B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro en el punto A y radio «c». Sus coordenadas son (b,0 ) y (-b,0) respectivamente.

Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a

Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b

Semieje real: Es la longitud «a»

Semieje imaginario: Es la longitud «b»

Semidistancia focal: Es la longitud «c»

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje real

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

# data[].attributes.body
f =(h,p+k)

directriz de la parabola  paralela a y,   y=k-p    y en x ,x =h-p

eje de simetria  paralelo al eje x  , x=h  ,paralelo al eje y, y=k

en la imagen que se son ecuaciones cuando el vertice es (h,k) y la primera ecuación es para  eje de simetria paralelo al eje y, y la segunda al x. ambos hacia el lado positivo. tiene que en estos dos casos cuando p es negativo se cambia respectivamente el signo –4p...

cuando  el vertice es (0,0)  y el foco esta en y ,  x ²=4py ,  cuando es en x , y ²=4px.

es importante decir que en las anteriores ecuaciones el valor de los positivos o negativos depende de la orientación de la parabola.

# data[].attributes.body
viendo los elementos arribas presentes y  teniendo :
a>b>0  ,   a²=b²+c2

Centro en (0,0) :

eje focal paralelo a eje y:                                             x ²/b ²+y ²/a ²=1
eje focal  paralelo al eje x:
x ²/a ²+y ²/b ²=1

Centro en (h,k):

eje focal paralelo a eje y:
(x-h)²/b ²+(y-k)²/a ²=1
eje focal  paralelo al eje x:
(x-h)²/a ²+(y-k)²/b ²=1

# data[].attributes.body
Centro (h,k) y eje real:

Paralelo al eje x:   (x-h)²/a ²-(y-k)²/b ²=1
Paralelo al eje y:     (y-h)²/a ²-(x-k)²/b ²=1
a,b,c>0 , a y c²=a²+b²

Con centro en (0,0):

# data[].attributes.body
Tenemos que factorizar la ecuación canonica  por producto notable o bien si c= (0,0)

r=√(x–h)2 + (y–k)²

x²-2xh+h²+y²-2yk+k²=r²

x ²-2xh+h ²+y ²-2yk+k 2`-r ² =0

x ²+y ²-2xh-2yk+h ² +k ²-r ²=0 organizándola

reemplazando en la ecuación:
D=-2h ,   E=-2K , F=h+k –r2

x²+Dx+y²+Ey+F=0

x ²+y ²+ Dx+ Ey+F=0 , el orden de los factores no altera el producto.

Los resultados de esta ecuación

D ²/4+E ²/4-F>0,circunferencia

r=0 , punto

D ²/4+E ²/4-F<0 , circunferencia imaginaria

# data[].attributes.body
Factorizamos con trinomio cuadrado perfecto y producto común, luego se organizan en factor de x , y  sesustituyen las letras .En la ecuación general como en la canonica tambien se tiene en cuenta si su eje es paralelo al eje x o y.
vertice (h,k)

1. eje de simetria paralelo al eje y positivo:

(x-h)²=4p(y-k)

x²-2xh+h²=4py-4pk factorizado

x ²-2xh-4py+h ²+4pk=0

Al sustituir :
D=-2h , E=-4p , F=h²+4pk
nos queda la ecuacion general:

X ²+Dx+Ey+F=0

2.El eje de simetria es paralelo al eje x:

(y-k)²=4p(x-h)

y²-2yk+k²=4px-4ph ,factorizado

y ²-4px-2yk+k ²+4ph=0

Al sustituir
D=-4p  ,  E=-2k  ,   F =k²+4ph
ecuación  general:

y ²+Dx+Ey+F=0

# data[].attributes.body
procederemos con el eje focal paralelo a x:
(x-h)²/a ²+(y-k)²/b ²=1
multiplicamos por a²b2
b ² (x-h)²+ a ²(y-k)²= a ² b 2

realizamos los productos notables
b ²(x ²-2xh+h ²)+a ²(y ²-2yk+k ²)=a ² b 2

b ² x ²-2b ² xh+b ² h ²+a ² y ²-2 a ² yk+a ² k ²-a ² b ²=0     , al efectuar las operaciones .

Al sustituir
A=b2    C=a² , D=-2b²h , E=-2a²k  ,
F =b²h²+a²k²-a²b2     (a,b,h y k son constantes)

la ecuación general de la elipse con el eje focal paralelo al eje x es:

Ax ²+Cy ²+Dx+Ey+F=0 , A ≠C y ambas del mismo signo.

con la elipse de eje focal paralelo al eje y  ,se procedera de igual manera procedimental. teniendo en cuenta los cambios de letra y eje.

# data[].attributes.body
procederemos con  centro(h,k) y eje real paralelo al eje x:              (x-h)²/a ²-(y-k)²/b ²=1
multiplicamos por a²b2

b ²(x-h)²-a ²(y-k)²=a ² b ²

realizamos los productos notables y las  multiplicaciones
b ²(x 2_ 2xh+h ²)-a ²(y ²-2yk+k ²)=a ² b 2
b ² x ²-2b ² xh+b ² h ²-a ² y ²+2a ² k-a ² k ²-a ² b ²=0
al sustituir         A=b²    ,   C=a² , D=-2b²h , E= 2 a²k                     ,   F=b²h²-a²k-a²b2
(a,b,h y k son constantes)

con A y A,C≠0 nos queda:

Ax ²-Cy ²+Dx+Ey+F=0

Con centro (h,k) y eje real  paralelo a y , se realiza el mismo procedimiento y quedaria:

Cy ²- Ax ²+Dx+Ey+F=0

# data[].attributes.body
Hallar el perimetro del poligono:
P₁(2,2)    ,  P₂(7,5)  ,  P₃(7,2) .   utilizando las ecuaciones de distancia entre dos puntos.

d(P1,P₃)=(x ₁-x ₂) =| d |
d=(2-7)=| 5 |
d(P2 ,P₃)= d=(y ₁-y ₂) =| d |
d=(5-2)=| 3 |
d(P1, P₂)=d= √(x ₁-x ₂)²+(y ₁-y ₂)2
d=√(2-7)²+(2-5)2          d=√25+9
d=√34  =5.83

P= 5+3+5.83= 18.83u

# data[].attributes.body
Hallar la ecuación general de la recta que tiene   dos puntos P (5,-3)  y Q (7,8)
Primero hallaremos la pendiente
m=(y ₂–y ₁)/(x ₂–x ₁)
m=(8-(-3)/(7-5) =11/2=5.5
ahora hallaremos el y- intersecto que necesitaremos para la ecuación general de la recta.
y=mx +b
al despejarla nos queda :y es cualquiera de las dos coordenadas y que nos dan los puntos

b=-mx+y      b=-11/2x+8
b=5/2=2.5
8=-5.5x+2.5   ahora reemplazaremos y despejaremos en la ecuación general:            Ax+By+C=0
5.5x+8-2.5=0

# data[].attributes.body
COLEGIO TECNICO  SUPERIOR                                         DE NEIVA                                Profesora:Maria Cristina Andrade              Alumna: Maria Jose Foyain Son              Grado: 1001 j.m                                          Area :Matemáticas                                  2019

# data[].attributes.body
identificar el radio , el centro y el punto de la circunferencia de la siguiente ecuación canonica de la circunferencia.
r=√(x–h)2 + (y–k)2
√(2+3)²+(8-5)²=r

√25+9=r

r=5.83      C(-3,5)   P (2,8)