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Ecuaciones simultáneas de primer grado y sistema de ecuaciones lineales, pueden quedar en fracción.

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Monomios y Polinomios se quedan en fracción.

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Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + ....+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....+a2nxn = b2

...........................................

am1x1 + am2x2 + ....+amnxn = bm

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

aij y b i  .

m, n  ;

m > n, ó, m = n, ó, m < n.

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, elsistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Incompatible

No tiene solución.

Compatible

Tiene solución.

Compatible determinado

Solución única.

Compatible indeterminado

Infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones escalonados

En los sistemas de ecuaciones escalonados cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

x + y +   z =  3
y + 2 z = - 1
z = - 1

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z=-1.

Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.

Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x= 3.

También es un sistema escalonado:

x + y + z = 4
y +  z =  2

Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.

x + y = 4 − z
y = 2 − z

Consideraremos z= λ , siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.

x + y = 4 − λ
y = 2 − λ

Las soluciones son:

z = λ   y = 2 − λ   x = 2.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Ejemplos

3x | +2y | + z | = | 1 |
5x | +3y | +4z | = | 2
x | + y | - z | = | 1

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única.

Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Ejemplo

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Uploaded by andrea livier gutierritos on 2016-05-24.

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SE ACOMODA TAL COMO UNA MULTIPLICACION COMUN

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La imaginación espacial permite encontrar la forma de figuras o imágenes desconocidas a partir de algunos datos, empleando a fondo la experiencia, lógica e imaginación. Al igual que en las sucesiones numéricas y series espaciales, la imaginación espacial no depende de muchos conocimientos matemáticos, sino que se desarrolla gradualmente, como resultado de un entrenamiento continuo; es necesario imaginarse bien “desde distintos puntos de vista” los cuerpos y figuras que se plantean en el problema. La imaginación espacial tiene gran importancia en la resolución de problemas geométricos, ya que es fundamental a la hora de trabajar e imaginarse correctamente el dibujo, examinarlo y explicar todos los casos que se presentan.

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es una característica cuantitativa del espacio ocupado por un sólido o sustancia. El volumen del sólido o la capacidad de un recipiente se define por su forma y tamaño lineal.

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Definición. Medir áreas. El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa. El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes fórmulas matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes (con regla podemos "leer" directamente la longitud de un segmento). Unidades de superficie Para medir superficies se toma como unidad la superficie que corresponde a un cuadrado de un metro de lado. A esta unidad se le denomina metro cuadrado y se simboliza m2 . En el gráfico se puede ver que mientras que un metro es igual a diez decímetros, un metro cuadrado equivale a cien centímetros cuadrados. Las unidades de superficie varían de 100 en 100. • Para pasar de una unidad a su inmediatamente posterior deberemos dividir por 100. • Para pasar de una unidad a su inmediatamente anterior deberemos multiplicar por 100. En la medida de la superficie de terrenos se suele utilizar como unidad el área, que equivale a un decámetro cuadrado o a cien metros cuadrados. Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro. El área no puede medirse de forma directa, hay que recurrir a fórmulas indirectas.

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Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! |

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

| Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

|
Veamos si las áreas son la misma:
32 + 42 = 52
Calculando obtenemos:9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

| a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c252 + 122 = c225 + 144 = 169c2 = 169c = √169c = 13 | a2 + b2 = c292 + b2 = 15281 + b2 = 225Resta 81 a ambos ladosb2 = 144b = √144b = 12

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UN POLIGONO ES UNA FIGURA PLANA DELIMETADA POR TRES O MAS LADOS RECTOS. UN POLIGONO RECTANGULAR ES EL QUE TIENE TODOS SUS LADOS Y TODOS SUS ANGULOS IGUALES ES DECIR ES EQEUILATERO Y EQUIANGULO.

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MODULO 2: GEOMETRIA,FORMA,ESPACIO Y MEDIDA

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MODULO 2: GEOMETRIA,FORMA,ESPACIO Y MEDIDA

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se acomodan las variables con la misma literal y se suman o se resta dependiendo el signo (acomodandolos como una suma o resta comun depediendo el caso )

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es una expresion que consta de mas de un termino como :
a+b
a+x-y
x3+2x2+x+7

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solo se puede dividir cuando el grado del numero es mayor al denominador
para dividir monomios se resta los exponentes de cada variable

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es la llama multiplicacion de monomios ala multiplicacio de un solo termino por otro termino

se suman los exponentes de las literales iguales

se escriben las literales diferentes en un solo termino resultado

en multiplicacion se suma los exponentes de las mismas literales

primero se multiplica el signo

ejemplos:
2a2(3a3)=6a5                    (1/4x)(8x)=8/4x2
5(X)=5x
(-xy2)(-5mx4y3)=5x5y5m

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sólo un pocos sumar monomios semejantes .
la suma y resta de los monomios es con otro cuyo coeficientes es la suma o resta de los coeficientes ejemplos:
5x+11x+8x+3x=27x

2a-4b=2a-4b

7x3y4-(-8x3y4)=15x3y4
1/4-2/4=-1/4
CUANDO SON SUMAS Y RESTAS EL EXPONENTE NO SUMA

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un monomio es una expresion algebraica que consta de un solo elemento 3a,-5b.

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Es En general, se refiere a la utilizacion de letras Representando ONU Números, en las Expresiones matemáticas.