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Die Bank Gewinnt! Leider immer!

Spielsucht und das Tauben-Experiment

https://www.youtube.com/watch?v=zARjpQF2WCs

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Ist Mathematik nur ein Werkzeug des Menschen – oder die geheime Ordnung hinter allem?

Die Zahl Phi

bestimmt über das Wachstum von Pflanzen, die Zapfen von Pinien folgen Spiralformen.

Doch warum tauchen dieselben Muster immer wieder auf?

Ist das Zufall – oder steckt dahinter ein universelles Prinzip?

Diese Folge geht den faszinierenden Verbindungen zwischen Zahlen und Natur nach.

Mathematik gilt vielen als abstraktes Schulfach – trocken, schwierig, weltfremd.

Doch was, wenn sie in Wahrheit die verborgene Ordnung hinter allem ist?

Mathematik ist verblüffend präsent in unserem Alltag: Sie steckt in den Blättern und Blüten von Pflanzen. Selbst Bienen – das zeigt die neueste Forschung – haben so etwas wie einen Sinn für Mathematik.

Pflanzen etwa orientieren sich häufig an der sogenannten Fibonacci-Folge – einer Zahlenreihe, die entsteht, indem man immer wieder die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen addiert.

Der Pflanzenbiologe David Spencer zeigt anhand von Sonnenblumen und Romanesco, wie sich aus einfachen mathematischen Regeln faszinierende Muster ergeben.

Selbst Insekten scheinen ein Gespür für Mathematik zu haben: Die Verhaltensforscherin Aurore Avarguès-Weber hat in Experimenten mit Bienen gezeigt, dass diese nicht nur Mengen unterscheiden, sondern sogar einfache Rechenaufgaben lösen können.

Doch ist Mathematik wirklich die Sprache der Natur?

Für die Mathematikerin Sarah Hart ist klar: Mathematik und ihre Formeln sind ein Schlüssel zu den Vorgängen im Universum.

Der Physiker und Computerpionier Stephen Wolfram geht noch einen Schritt weiter: Er entwirft das kühne Bild eines Universums, das selbst wie ein gigantisches Rechenprogramm funktioniert – gesteuert durch einfache Regeln, die wir gerade erst beginnen zu verstehen.

https://youtu.be/2TleXndK6MI

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Wieviel Mathematik steckt im Universum?  | 42 - Die Antwort auf fast alles | ARTE

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https://de.serlo.org/mathe/57668/abiturkurs-geometrie

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Dieser Kurs befindet sich noch im Aufbau!

Inhalt des Kurses

Dieser Kurs soll dem Leser das zentrale Grundwissen, das für das bayrische Abitur relevant ist, vermitteln. Dabei werden alle zentrale Formeln und Sachverhalte kurz genannt und an Beispielen erklärt.

Falls gewisse Sachverhalte noch unklar sein sollten, gibt es Links zu ausführlicheren Erklärungen. Falls weitere Fragen offen bleiben, könnt ihr gerne die Kommentarfelder nutzen!

Vorkenntnisse

Das ist ein Überblickskurs, der eine kompakte Zusammenfassung für die Abiturvorbereitung bieten soll. Deshalb solltest du bereits die elfte und zwölfte Klasse besucht haben.

Kursdauer

Je nachdem, an wie viel du dich noch erinnern kannst, kann es kurz oder lange sein.

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Dieser Kurs soll dem Leser das zentrale Grundwissen, das für das bayrische Abitur relevant ist, vermitteln. Dabei werden alle zentrale Formeln und Sachverhalte kurz genannt und an Beispielen erklärt. Falls gewisse Sachverhalte noch unklar sein sollten, gibt es Links zu ausführlicheren Erklärungen. Falls weitere Fragen offen bleiben, könnt ihr gerne die Kommentarfelder nutzen!

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https://www.geogebra.org/materials?lang=de

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Finde über 1 Million kostenlose und von unserer Community erstellten Simulationen, Aktivitäten, Unterrichtseinheiten und Spiele für Mathe & Naturwis...

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Mathematik als Instrument der Aufklärung:

Wählerwille, Wahlsysteme und Wahlsieger

Mathematische Analyse der Wahlsysteme

Mathematische Optimierung von Wahlkreisen:

Vielseitige Anwendbarkeit mathematischer Methoden

https://www.youtube.com/watch?v=rErMcS4LS5A

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Materialien

https://www.deltaplus.bayern.de/materialien-aus-den-sinus-programmen/

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Grundwissen Unter- und Mittelstufe

5. Klasse G9

M5 – Vorderseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

M5 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

5.Klasse – Übungen zum Grundwissen

5.Klasse – LÖSUNGEN zum Grundwissen

6. Klasse G9

M6 – Vorderseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

M6 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

6.Klasse – Übungen zum Grundwissen

6.Klasse – LÖSUNGEN zum Grundwissen

7. Klasse G9

M7 – Vorderseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

M7 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

7.Klasse – Übungen zum Grundwissen

7.Klasse – LÖSUNGEN zum Grundwissen

8. Klasse G9

M8 – Vorderseiten – G9 (odf zum Ausdrucken)

M8 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

8.Klasse – Übungen zum Grundwissen

8.Klasse – LÖSUNGEN zum Grundwissen

9. Klasse G9

M9 – Vorderseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

M9 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

9.Klasse – Übungen zum Grundwissen

9.Klasse – LÖSUNGEN zum Grundwissen

10. Klasse G9

M10 – Vorderseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

M10 – Rückseiten – G9 (pdf zum Ausdrucken)

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Die Wahre Geschichte unserer Zahlen

https://youtu.be/NIf5q6FDigw

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Der Siegeszug der Mathematik - Die Odyssee der Zahlen (2/3) | Doku HD | ARTE

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Die Ursprünge der Zahlen

https://youtu.be/YtpY0Q0-ixg

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Wie alles begann - Die Odyssee der Zahlen (1/3) | Doku HD | ARTE

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Kann man die Natur vermessen? | Harald Lesch | Ganze Folge | Terra X

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https://www.isb.bayern.de/fileadmin/user_upload/Berufliche_Schulen/FOS_BOS/Material/Formelsammlung_Physik_Techno_Chemie/Formelsammlung_ph_tenat_c_digitalversion_2019.pdf

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Grenzen der Mathematik

Funktionalität oder Chaos

| Mathewelten | ARTE

Das mathematische Entscheidungsproblem

Man stelle sich eine Welt vor, in der sich mit einer Maschine die Wahrheit berechnen lässt.

Man legt der Maschine eine Aussage vor, und sie antwortet mit „richtig“ oder „falsch“ – ohne sich je zu irren.

Kann es eine solche Maschine geben?

Das mathematische Entscheidungsproblem hat das Ende der Mathematik in Aussicht gestellt – und ganz nebenbei die Informatik erschaffen.

https://www.youtube.com/watch?v=Wz-rFzH55Fs

Graphentheorie - der schnellste Weg zum Ziel

Vom Zauberwürfel über U-Bahn-Netze bis hin zu Routenplanern – sowohl einfache als auch hochkomplexe Anwendungen basieren auf Modellierungen mit Hilfe der Graphentheorie. Eine der kniffligeren Fragen der Disziplin ist die Suche nach der Optimierung, dem schnellsten und ökonomischsten Weg von A nach B.

https://www.youtube.com/watch?v=HWxr5C-dDA0

Chaostheorie - Ordnung in der Unordnung

1972 hält Edward Lorenz, Wegbereiter der Chaostheorie, einen Vortrag mit dem Titel: „Vorhersagbarkeit: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?“. Der „Schmetterlingseffekt“ wird zur Metapher für die Grenzen des Determinismus, die Poincaré ein Jahrhundert zuvor beschrieben hat.

https://www.youtube.com/watch?v=mI4aCYe6VG0

Welche Macht haben Gedanken? | 42 - Die Antwort auf fast alles Reupload | ARTE

Ob man will oder nicht, ständig rast ein Gedanke durch den Kopf. Sogar, wenn man versucht, an nichts zu denken oder beim schlafen. Und obwohl schon seit über 5.000 Jahren daran geforscht wird, ist noch immer nicht klar, wie ein Gedanke entsteht und was das genau ist. Denn der Gedanken an sich, der ist nicht greifbar, messbar oder fassbar ...

Wie Gedanken entstehen, ist immer noch eines der größten Rätsel der Wissenschaft. Doch bereits seit der Antike ist bekannt, dass sie einen enormen Einfluss auf die Gesundheit haben. Damals nannte man es noch „Einbildungskraft“, aber seitdem Forschende wie die Neurowissenschaftlerin Ulrike Bingel vom Universitätsklinikum Essen den Placeboeffekt durch bildgebende Verfahren sichtbar machen können, ist das Interesse an menschlicher Gedankenmacht explodiert.

Gedanken wirken auf den Körper. Für die Psychologin Ellen Langer sind sie sogar die stärkste Medizin. In zahlreichen Experimenten wies sie nach, dass Gedanken den Blutzuckerspiegel beeinflussen, beim Abnehmen helfen und sogar messbar verjüngen können. Allerdings sind Gedanken schwer zu kontrollieren: Der Großteil ist unbewusst und durch alte Denkmuster geprägt.

Während man noch dabei ist zu verstehen, wie der Mensch ihre Macht für sich nutzen kann, ist man seit ein paar Jahren in der Lage, die Gedankenkraft durch Neurotechnologien zu erhöhen. Der brasilianische Arzt und Neurowissenschaftler Miguel Nicolelis war der Erste, der eine Schnittstelle zwischen Gehirn und Computer herstellte und so einer Ratte dazu verhalf, Dinge außerhalb ihres Körpers zu bewegen. Mittlerweile kann man auf ähnliche Weise sogar Flugzeuge steuern.

Allerdings können Gedanken über Neurotechnologie auch manipuliert werden. Wer passt darauf auf, dass sie frei bleiben?

https://www.youtube.com/watch?v=eofF7aBu4p4

| Mathematik | SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT

Die Ungeplanten Ergebnisse der Mathematik

Abstrakte Formeln können zu alltäglichen Anwendungen führen. Das dauert allerdings bisweilen Jahrhunderte – und lässt sich nicht erzwingen, wie sieben Geschichten belegen:

Teil 1: Quaternionen, Einsteins Äquivalenzprinzip und Kusszahlproblemen

https://www.spektrum.de/news/die-ungeplanten-ergebnisse-der-mathematik/1116948

Teil 2:

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Das Entscheidungsproblem - Grenzen der Mathematik | Mathewelten | ARTE

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https://mundo.schule/search?search=SODIX

ISB-Bayern Mittelschule

https://www.lehrplanplus.bayern.de/serviceinformation/l341132

GHS-Piktogramme

Arbeitsblatt

Arbeitsblatt zu den GHS-Piktogrammen

Methodenspeicher im Fach Natur und Technik

Veranschaulichung

Hilfen zum > Protokollieren > Dokumentieren von Experimenten und Modellen > Feedback geben > Tabellen und Diagramme auswerten > Filme und Videos analysieren > E-book erstellen > Befragungen durchführen > Erklärvideos drehen

NT-Operatoren mit Erläuterungen und Beispielen

Natur und Technik spezifische Operatorenliste; gegliedert in Anforderungsbereiche mit Angabe von Beipielen

Richtlinie zur Sicherheit im Unterricht - Naturwissenschaft, Technik/Arbeitslehre, Hauswirtschaft, Kunst und Musik (RiSU)

Grundlegende, von der Kultusministerkonferenz festgelegte, Sicherheitsrichtlinien für den Unterricht in der Schule.

Sicherheitshinweise zum Experimentieren

Veranschaulichung

Plakat zu Sicherheitshinweisen beim Experimentieren

Versuchsprotokoll-Anleitung

Arbeitsblatt

Informationsblatt zum Versuchsprotokoll

Versuchsprotokoll-Leervorlage

Arbeitsblatt

Leervorlage eines Versuchsprotokolls

mebis (2)

Link/Richtlinie zur Sicherheit im Unterricht - Naturwissenschaft, Technik/Arbeitslehre, Hauswirtschaft, Kunst und Musik (RiSU)

Link zur aktuellen Richtlinie für Sicherheit im Unterricht.

Sicher experimentieren im NT Unterricht an Mittelschulen

teachSHARE-Kurs

Fachliche Grundlagen sowie praktische Hinweise zur Erstellung von Gefährdungsbeurteilungen

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https://www.kmk.org/fileadmin/Dateien/pdf/Bildung/Auslandsschulwesen/Kerncurriculum/Auslandsschulwesen-Operatoren-Naturwissenschaften-02-2013.pdf

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Komplexität:

Komplexe Zahlen und Realität

Die Macht der Komplexe Zahlen

Die Macht der Gedanken

Dokumental Video:

https://www.youtube.com/watch?v=eofF7aBu4p4

Werden wir immer dümmer?

https://www.youtube.com/watch?v=_dAtdSVeiLM

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Welche Macht haben Gedanken? | 42 - Die Antwort auf fast alles Reupload | ARTE

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https://www.youtube.com/watch?v=lj__MvehEqA

https://www.experimentis-shop.de/anamorphosen-magische-bilder-detail-195.html

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http://www.raschweb.de/

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Alle Blätter dürfen privat und für Unterrichtszwecke von Schülern und Lehrern verwendet werden.

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Bruchgleichungen

Wiederholung zur Bruchrechnung

Aufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen

Rechnen mit Bruchtermen

Beispiele Bruchterme und Bruchgleichungen

Beispiele Bruchgleichungen

Bruchgleichungen 1

Bruchgleichungen 2

Bruchgleichungen 3

Bruchterme und Bruchgleichungen

Textaufgaben zu Bruchgleichungen

Bruchterme und Bruchgleichungen

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Geogebra: https://www.geogebra.org/classic/p6x6mg7v

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https://www.dilertube.de/kanaele/oer-video-channel/matthias-gmeiner-schuleamsee-at.html

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Matthias Gmeiner - DiLerTube | OER Lehr- und Lernvideos

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https://www.maths2mind.com/suche?s=komplexe

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Deine Suche hat folgende Treffer ergeben

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https://www.isb.bayern.de/schularten/gymnasium/leistungserhebungen/jahrgangsstufentests/mathematik/

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Jahrgangsstufentests Zu Schuljahresbeginn werden in einigen Jahrgangsstufen zentral erstellte Jahrgangsstufentests abgehalten in den Fächern Deutsch, Mathematik, Englisch und Latein.

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Zu Schuljahresbeginn werden in den Jahrgangsstufen 8 und 10 zentral erstellte Jahrgangsstufentests in Mathematik abgehalten.

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So konstruiert man eine Ellipse
https://www.youtube.com/watch?v=tAdnDXbtEYU

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Beispiel - Stochastik in der Grundschule 

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Beispiel - Stochastik in der Grundschule 

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Oberstufeprojekt

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https://eplus.uni-salzburg.at/obvusbhs/content/titleinfo/5054714/full.pdf

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Mathematik und Natur / Mathematik und Menschen

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Mathematik und Natur / Mathematik und Menschen

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Mythen und Tabus

Mythos Mathematik
https://www.br-klassik.de/video/mythos-mathematik-studium-122.html

alt link : https://www.br.de/mediathek/video/mythos-mathematik-nur-etwas-fuer-cracks-und-nerds-av:5de154fd99815b001ae236e6

Sind Mathematiker*innen nerds?
https://www.youtube.com/watch?v=CBdohBOT9-g

Was sind Tabús?

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Mythos Mathematik Nur etwas für Cracks und Nerds?

Wer Mathe studiert, muss ein Talent für das Fach haben! Das Studium gilt als besonders schwer. Jeder Zweite bricht wieder ab. Damit hat Mathe die höchste Abbruchquote aller MINT-Fächer. Ist ein Mathestudium also tatsächlich nur etwas für Überflieger? Und stimmt der Ruf, dass Mathestudenten "Nerds" sind? | Bildquelle: BR

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Mythos Mathematik: Nur etwas für Cracks und Nerds? | BR-Klassik

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Wer Mathe studiert, muss ein Talent für das Fach haben! Das Studium gilt als besonders schwer. Jeder Zweite bricht wieder ab. Damit hat Mathe die höchste Abbruchquote aller MINT-Fächer. Ist ein Mathestudium also tatsächlich nur etwas für Überflieger? Und stimmt der Ruf, dass Mathestudenten "Nerds" sind?

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Interaktive Checklisten - Diagnoseaufgaben
https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/interaktiv_digital/checklisten

https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/interaktiv_digital/checklisten/diagnose8/index.html

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https://unterrichten.zum.de/wiki/Hauptseite

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ZUM-Unterrichten ist ein Projekt der Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet e. V. - einem Zusammenschluss von LehrerInnen und Interessierten für die Verbreitung von freien Lehr- und Lernangeboten im Internet.

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ZUM-Unterrichten ist eine offene, nicht-kommerzielle Plattform für Unterrichtsmaterialien und -ideen. (OER)

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Interaktives lernen:

https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/interaktiv_digital/checkout-klassenstufe-5-bis-10

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Quellen und Lizenzen der nicht LBS-Bilder:

Bildausschnitt Basketballwurf Parabel von Elena Jedtke [ CC-BY-SA 3.0 ] via „unterrichten.zum.de"

Geodreieck von mbnachhilfe_de [ Pixabay Lizenz] via Pixabay

In Zeiten immer heterogener werdender Klassen gewinnen individualisierte Unterrichtsmethoden an Bedeutung.

Mithilfe dieser Checklisten können SchülerInnen selbstständig Themen erarbeiten oder überprüfen, in welchen Teilgebieten sie noch Schwierigkeiten haben.

Um diesen adäquat zu begegnen, besteht einerseits die Möglichkeit, passende Lernvideos vom MINT-Preis-Gewinner Sebastian Stoll anzuschauen.

Andererseits können die SchülerInnen individualisierte Übungen über einen Link/ QR-Code bearbeiten. Damit ist der Einsatz dieses Materials auch für Tablet-Klassen oder den PC-Raum geeignet.

Ebenso erprobt ist der Einsatz für die Klassenarbeitsvorbereitung oder als differenzierte Hausaufgabe.

Die Summe aller Bögen eines Schuljahres kann auch in ritualisierten Unterrichtsstunden des Individuellen Lernens genutzt werden.

Der Einsatz am Ende eines Schuljahres und in den Sommerferien, um gelerntes Wissen aufrecht zu erhalten und individuelle Lücken zu schließen, wurde auch erfolgreich erprobt.

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Interaktive Checklisten - Diagnoseaufgaben mit passenden Lernvideos und interaktiven Übungen

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Jedem gerecht werden - Differenzieren leicht gemacht

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Wie viel Mathematik in Musik steckt
Von Euklid, Pythagoras bis Leonardo da Pisa und heute
https://www.youtube.com/watch?v=lkdaXrJOR1c&t=2s

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https://de.serlo.org/mathe/1795/ableitung

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Animation: Histogramm / Säulendiagramm zu binomialverteilten Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich mit Histogrammen / Säulendiagrammen übersichtlich darstellen. Diese Darstellungen bilden die Grundlage für das Verständnis der Stochastik

Darstellung eines Histogramms für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n und p.
https://www.geogebra.org/m/TKGwwzcY

Einseitiger Signifikanztest:
https://www.geogebra.org/m/WAJHXgc6

Einseitiger Signifikanztest, Anzeige des Ablehnungsbereichs:
https://www.geogebra.org/m/mYRsM6qh

Dynamische Animation zu "binomialverteilte Zufallsvariablen"
"Wahrscheinlichkeit (P(X=k)"
"Gesamtwahrscheinlichkeiten über einem Intervall (P(X<=k); P(X>=k))" und
die entsprechende "Gegenwahrscheinlichkeiten"

Animation zur dynamischen Veranschaulichung von Ablehnungsbereichen und dem Fehler 1. Art bei einseitigen Signifikanztests

Mit Hilfe dieser Animation können Annahme- und Ablehnungsbereich bei einseitigen Tests im Histogramm dargestellt werden.

Weiter lässt sich die Irrtumswahrscheinlichkeit beim Fehler erster Art veranschaulichen.

# data[].attributes.attachment_link.description
Wählt man die Testart, kann der Ablehnungsbereich angezeigt werden, dieser lässt sich mit dem Schieberegler für alpha einstellen.

# data[].attributes.body
Einseitige Signifikanztests
(mit Fehler 1. Art)

Bei einem Signifikanztest wird eine Nullhypothese H0 verworfen, wenn das Testergebnis in einem zuvor über das Signifikanzniveau α festgelegten "Ablehnungsbereich" liegt.

Wird eine Nullhypothese versehentlich verworfen (weil das Testergebnis zufälligerweise ein seltenes Ergebnis hervorgebracht hat), so spricht man von einem Fehler erster Art.

Die nachfolgende Animation hilft beim Verständnis von rechtsseitigen und linksseitigen Hypothesentests. Mit ihr können zudem sämtliche Aufgaben zu einseitigen Tests mit Fragestellungen zum Fehler 1. Art gelöst werden.

Schieberegler für:

der Testumfang n (bis maximal 250),

die Wahrscheinlichkeit p für die Nullhypothese sowie

das Signifikanzniveau α eingestellt werden.

Klickt man auf eine der beiden Schaltflächen wird durch Setzen eines Häkchens bei "Ablehnungsbereich" dieser für die gewählte Testart visualisiert - passend zum eingestellten Signifikanzniveau α.

Zieht man den Schieberegler für k ihn in den Ablehnungsbereich, beschreibt die angezeigte Wahrscheinlichkeit den Fehler 1. Art.

Bitte beachten Sie, dass der erste Seitenaufruf etwas dauern kann.
Leider ist die Online-Version bei großen Werten für n sehr langsam. Wir stellen daher die zugehörige GeoGebra-Datei zum Download zur Verfügung. Dort können Sie beim Stichprobenumfang n Werte bis 500 einstellen.

Download der zugehörigen GeoGebra-Datei

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Linkliste
Links zum Thema Daten und Zufall

Zufallsexperimente
Sesam - Unterrichtsmodul des LMZ

lehrer-online

Auf dieser Seite finden Sie folgende Unterrichtseinheiten zum Thema Wahrscheinlichkeit:

Folien
Foliensatz für die Realschule von Dieter Welz zum Thema Daten und Zufall.

Lernpfad Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dieser Lernpfad ermöglicht Ihren SchülerInnen einen aktiven und entdeckenden Einstieg in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Mathematische Grundlagen
Stichwortverzeichnis zu Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mathe online

Wahrscheinlichkeitsrechnung für Anfänger
Das kostenlose Online-Mathematikbuch

Zufallsexperimente mit excel
Augensummen beim Werfen zweier Würfel

Mathe Prisma
Auf den Seiten der Bergischen Universität Wuppertal findet man folgende Lernmodule zur Stochastik:

Gruppenarbeit
zum Thema Zufall und Wahrscheinlichkeitsrechnung unter Einsatz eines Tabellenkalkulations- und Präsentationsprogramms.

Materialsammlung
Umfangreiche Materialsammlung von Dieter Welz

Materialsammlung 2
Materialsammlung von Andreas Meier: Das arithmetisches Mittel - Spannweite - Median (Zentralwert)- Modalwert -Zusammenfassende Übung

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Deterministisches Wahrscheinlichkeit:

Quanten

Video: Schrödingers Katze – tot oder lebendig?
https://www.zdf.de/dokumentation/terra-x/lesch-und-co-schroedingers-katze-104.html

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Integralrechnung mit Geogebra:
https://www.geogebra.org/classic/wkuf8yaa

Integralrechner im Internet:
https://www.integralrechner.de/

# data[].attributes.body
Für Mathematik und auch für anderen Fächer: https://de.serlo.org/

YouTube Kanal:
https://www.youtube.com/watch?v=2OjVWmAr5gE&t=9s

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Stochastik

Quelle: https://de.serlo.org/mathe/1290/stochastik

Stochastik und mehr Mathematik

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Hier findest du alle Artikel und Aufgaben zur Kombinatorik. Kombinatorik beschäftigt sich mit dem geschicktem Zählen von Möglichkeiten und ist damit ein wichtiges Hilfsmittel der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

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Stochastik (Themenbereich) - lernen mit Serlo!

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Statistikgrundlagen - ebook

Quellen:

https://www.youtube.com/StatistikGrundlagenmitFiveProfs

ebook - https://statistikgrundlagen.de/ebook/

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Liebe Statistik Freunde, meine Name ist Patrick Planing und ich bin Professor für Wirtschaftspsychologie an der Hochschule für Technik in Stuttgart. Statistik muss nicht langweilig und trocken sein. Ich versuche Ihnen mit diesem Kanal in kurzen Videos rund um meine Burgerkette FiveProfs die Welt der Statistik auf unterhaltsame Weise näher zu bringen.

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Mengen-Operationen

Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen gibt die Menge der Elemente an, die sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören:

A ∩ B := {x ∣ x ∈ A und x ∈ B}
Durchschnittsmenge oder Durchschnitt

Die Vereinigung A ∪ B der Mengen A und B ist die Menge, die aus den Elementen besteht, die zu mindestens einer der beiden Mengen gehört:

A ∪ B := {x ∣ x ∈ A oder x ∈ B}
Vereinigungsmenge

Die Differenzmenge A ∖ B besteht aus den Elementen von A, die nicht in B liegen:

A ∖ B := {x ∣ x ∈ A und x ∉ B}

Die symmetrische Differenz A Δ B von A mit B ist die Menge der Elemente, die in A oder in B, aber nicht gleichzeitig in A und B liegen:

A Δ B := (A ∪ B) ∖ (A ∩ B)

Aus zwei Mengen X und Y kann das kartesische Produkt X x Y oder die Paarmenge gebildet werden.
Die Menge besteht aus den geordneten Paaren (x,y) und ergibt sich sich folgendermaßen:

X×Y := {(x, y) ∣ x ∈ X und y ∈ Y}

Für X = {x1, x2, x3}
und Y = {y1, y2} ergibt sich:
X×Y = {(x1,y1), (x2,y1), (x3,y1),
(x1,y1), (x2,y1), (x3,y1)}

y1  | (x1,y1) | (x2,y1) | (x3,y1) |
y2 | (x1,y1) | (x2,y1) | (x3,y1) |
x1          x2           x3

Wählt man sowohl für X wie für Y die reellen Zahlen und stellt man das Produkt entsprechend dar, so erhält man mit R × R alle Punkte der Ebene im kartesischen Koordinatensystem. Diese Beobachtung erklärt den Namen 'kartesisches Produkt'.

Rechenregeln für Mengen
seien A,B,C drei Mengen. Dann allgemein gilt:

Assoziativgesetze:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Distributivgesetze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

de Morgan'sche Regeln:
A ∖ (B ∩ C) = (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)
A ∖ (B ∪ C) = (A ∖ B) ∩ (A ∖ C)

Quelle und Aufgaben:
Überprüfe die Gesetze mithilfe von Venn-Diagramme
Venn Diagramm, 3 Mengen (uni-paderborn.de)
https://groups.uni-paderborn.de/reiss/AnalyseBuch/Grundlagen/Einfuehrung/Venn3DiagrammInput.html?b=index

Weitere Statistik für Fortgeschrittene:
https://math.ch/csf/mathematik/BioMath.pdf

# data[].attributes.body
Projektion: Skalarprodukt

L = a→ ∘ b→ = |a| ∘ |b| ∘ cos g

Flächeninhalt: Vektorprodukt

A = | b→ x c→|

Volumen: Spatprodukt

Unter dem Spatprodukt dreier Vektoren

V = a→ ∘ ( b→ x c→ )

versteht man das skalare Produkt aus einem der Vektoren und dem aus den beiden anderen Vektoren gebildeten Vektorprodukt.

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Mathe Abi 2024: die 10 wichtigsten Stochastik-Aufgabentypen für Dein Mathe Abi

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Von der Statistik zu der Wahrscheinlichkeiten

# data[].attributes.subject
Von der Statistik zu der Wahrscheinlichkeiten

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Gesetz der großen Zahlen (Video)

Ein empirischer Kennwert der relative Häufigkeit k / n mit zunehmender Anzahl an Versuchen, um den theoretischen Wert der Wahrscheinlichkeit stabilisiert.

1. Schwaches Gesetz für relative Häufigkeiten
2. Schwaches Gesetze der Großen Zahlen
3. Starkes Gesetz der großen Zahlen

https://www.youtube.com/watch?v=CnSsTBM92dY

Quelle: Statistik Verstehen
https://www.youtube.com/channel/UCLFWrerVdADlB-Xouk8UGrA

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen

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Wahrscheinlichkeiten:

1.      LAPLACE-EXPERIMENT

Ein Zufallsversuch heißt Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse {Ei} aus dem Ergebnisraum Ω die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Alle Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.

Es ist die Menge oder Ergebnisraum Ω aus n verschiedenen Elementarereignissen gegeben.

Die Wahrscheinlichkeit P(A) des Eintretens eines Ereignisses A wird gesucht.

Laplace-Wahrscheinlichkeit
Mächtigkeit
von Ω wird |Ω| = n und
von A wird |A| = k geschrieben

P(A) = Mächtigkeit von A durch Mächtigkeit von Ω
P(A) = k / n

2.     BAUMDIAGRAMM

Ein Zufallsversuch wird mehrfach ausgeführt.

Baumdiagramm zeichnen und
Pfadregeln anwenden.

3.     VIERFELDERTAFEL

Mengen "interagieren" miteinander.

Es treten Schnitt- und Komplementmegen auf.

Formulierungen wie "sowohl als auch" oder "weder noch"

Vierfeldertafel zeichnen, ausfüllen und Wahrscheinlichkeiten ablesen

4.    ADDITIONSSATZ

Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungsmenge ist gesucht.

Addiere die Einzelwahrscheinlichkeiten
und subtrahiere die Wahrscheinlichkeit des Schnittes

5.    STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT

es ist explizit nach "stochastischer Unabhängigkeit" gefragt

Prüfe, ob das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeit des Schnittes entspricht.

6.     BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT

Nebensätze mit Partizip II, die eine Bedingung oder eine weitere Auswahl beschreiben.

Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit:
"Schnitt durch Bedingung"

7.     ERWARTUNGSWERT

Es wird explizit nach dem Erwartungswert gefragt.

Es taucht das Wort "fair" auf.

Bilde die Summe aus
den Produkten von k und p für jedes k.

8.     BINOMIALVERTEILUNG

Der Zufallsversuch hat genau 2 Ausgänge.

Der Zufallsversuch wird n.-mal ausgeführt

Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt konstant p

Wir interessieren und für k Treffer.

Formel für die Binomialverteilung

9.     HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG

Ein Zufallsversuch wird "ohne Zurücklegen" ausgeführt.

"Menge aus Menge aus Menge"

Formel für die hypergeometrische Verteilung.
Es tauchen 3 Binomialkoeefizienten auf.

10.    3M--AAUFGABE

Es taucht 3 mal das Wort "mindestens" auf.

kleine Herleitung oder
direkt den Quotienten eintippen.

Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=4wZqYbXOi30

Arbeitsblätter

1.  Laplace Experimente

Aufgaben zu Ereignissen

Gesetz der großen Zahl

Kombinatorik: Aufgaben (PowerPoint)

Aufgaben zu Laplace-Experimenten

Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten (PowerPoint mit Lösung)

Aufgaben zu Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Zusätzliche Aufgaben zu Laplace-WK (PowerPoint)

Zusätzliche Aufgaben zu Laplace-WK

Wiederholung Wahrscheinlichkeitsrechnung (8. Klasse)

2.  Baumdiagramme
Mehrstufige Wahrscheinlichkeit Experimente

Arbeitsblatt Permutationen und Teilmengen

5 Aufgaben zu Kombinatorik

5 Aufgaben zum Baumdiagramm (mit Lösungen)

Vermischte Aufgaben zur Kombinatorik (mit Ergebnissen)

Historische Aufgaben zur Kombinatorik

3.  Mehrfeldertafeln
Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramme und Mehrfeldertafeln

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Baumdiagramme Oster-Aufgaben

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusatzaufgaben

Weitere Aufgaben

absolute und relative Häufigkeit

Mehrfeldertafel-1

Mehrfeldertafel-2

Baumdiagrammen

Kombinatorik (10. Klasse)

9.   Hypergeometrische Verteilung - Kombinatorik

Teilmengen und Permutationen

Gemischte Kombinatorikaufgaben

Kombinatorikaufgaben-1

Kombinatorikaufgaben-2

Axiome von Kolmogorow

Ereignisalgebra-1

Ereignisalgebra-2

Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

AB-bedingten Wahrscheinlichkeiten

WDH-Kombinatorik

8. Binomialverteilung

Wiederholungsaufgaben zur Kombinatorik

Zufallsgrößen

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Bernoulli-Ketten (Aufgaben mit Lösungen)

Binomialverteilung

Abi-Aufgaben zur Binomialverteilung

Alternativtest

AB-Alternativtest

AB-Signifikanztest (Abi-Vorbereitung)

AB-Vierfeldertafel und bedingten WK

Abituruafgaben zum Testen von Hypothesen

Aufgabenblatt zum Test

Weitere Aufgabenblätter zur Stochastik

Rrelativen Häufigkeiten

Ereignisalgebra mit Lösungen

Rechengesetze für die Ereignisalgebra

Mehrfeldertafeln (mit Lösungen)

AB zur Kombinatorik (mit Ergebnissen)

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Historische Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

AB Baumdiagrammen (mit Ergebnissen)

Aufgaben zur Bernoulli-Kette (mit Lösungen)

Quelle: http://www.raschweb.de/

Formulierung und Baumdiagram vom Simple Math:
https://www.youtube.com/watch?v=mygSTraEAkU

# data[].attributes.body
Grundwissen im Internet:

http://sikore.schiffner-tischer.de/: online Kopfrechnen üben

www.mathe-mv.de: interessante Knobelaufgaben

www.strobl-f.de: Grundwissen, sowie Übungsaufgaben mit Lösungen für die Klassen 5-12 passend zum bayerischen Lehrplan

www.raschweb.de: Übungsaufgaben mit Lösungen, sowie Tests für die Klassen 6-12 passend zum bayerische Lehrplan; interaktive Arbeitsblätter

www.unterricht.de: Auf dieser Seite können kostenlos online Übungsaufgaben gelöst werden. Es handelt sich hierbei um Multiple-Choice-Aufgaben, d.h. es werden verschiedene Antwortmöglichkeiten zur Auswahl gestellt. Das Programm bietet die Möglichkeit, sich Tipps zur Aufgabe anzeigen zu lassen. Nach Auswahl der richtigen Antwort wird der Lösungsweg erläutert.

SMART (uni-bayreuth.de): SMART ist eine Aufgabendatenbank für die Klassen 5-12. Sie wurde von einem Arbeitskreis des ISB zusammen mit der Uni Bayreuth erstellt. Man kann selbst Aufgaben zu einem Lehrplanthema auswählen und sich somit ein eigenes Übungsblatt zusammenstellen. Die Lösungen befinden sich bei den Aufgaben.

http://rmg.zum.de/wiki/Mathematik/Mathematik_-_Grundwissen

Grundwissen – Übersicht auf der Seite des Gymnasium Werdenfels (Karteikarten ganz unten zum Download)

Operatoren im Fach Mathematik (ISB)

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Die Mathematik-Lernplattform MATHEGYM steht kostenfrei zu nutzen für die Schüler und Schülerinnen der Schulen, die ein Vertrag geschlossen haben.
Ohne Registrierung geht's auch, aber mann kann kein eigenes Account legen.

Es handelt sich um ein Programm, das Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zu vielen Themen aller Jahrgangsstufen bereitstellt, die online, ohne Installation einer zusätzlichen Software, gelöst werden können.
Das Programm kontrolliert die Ergebnisse und verfügt außerdem über zahlreiche Hilfen wie z.B. Musterlösungen und Erklärvideos.

Beispielaufgaben für Übergang Klasse 4/5:

Addition und Subtraktion in ℕ - rechnen

Multiplikation und Division in ℕ

Natürliche Zahlen - runden

Gerade in der besonderen Situation einer Schulschließung hat sich die Nutzung von Mathegym als sehr nützlich erwiesen und kann den Distanzunterricht sinnvoll unterstützen.

Eltern:

Wenn Sie Ihr Kind noch nicht registriert haben, können Sie das weiterhin tun unter

https://mathegym.de/anmelden-als-schueler

Zur Freischaltung ist die Abgabe einer Datenschutzerklärung notwendig, die Sie im Zuge des Registrierprozesses per Mail zugesandt bekommen und die ausgedruckt und unterschrieben in der Schule abgegeben werden muss.

Unten können Sie noch einmal die Informationen zu Mathegym, die bereits im letzten Schuljahr an die Eltern gingen, downloaden. Weitere Infos zur Lernplattform finden Sie auf

Elternbrief Mathegym

Datenschutzerklärung

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Online üben mit Mathe-Aufgaben für Gymnasium und Realschule

Zum Aufgabenbereich

Erfolgreich Mathe lernen mit Mathegym

von Lehrern am Gymnasium und an der Realschule entwickelt

unterschiedlich schwere Aufgaben zu fast allen Themen der Schulmathematik in den Klassen 5-12, passend zu dem Lehrplan im jeweiligen Bundesland

Kontrolle der Ergebnisse und zahlreiche Hilfestellungen inkl. Erklärvideos

Schritt-für-Schritt-Lösung komplexer Aufgaben, mit Rückmeldung nach jedem Einzelschritt

Mathegym wurde mehrfach ausgezeichnet

P-Seminar "Mathe digital lernen": 1. Platz von 10 getesteten Mathe-Lernportalen im Zeitraum 2019-2021

Giga-Maus: "bestes Mathe-Lernprogramm für Kinder ab 10"

Comenius EduMedia: Auszeichnung mit der Comenius-EduMedia-Medaille 2016.

Eva-CBTM: Die wissenschaftliche Studie zählt Mathegym zur Spitzengruppe der kommerziellen Mathe-Lernprogrammen.

Internet-ABC: "Gesamtbewertung: 5 von 5 Sternen"

Für Schüler

Motiviert Mathe lernen und online üben

Mathe-Aufgaben zu fast allen Themen der Klassen 5-12

Checkos sammeln und mit deinen Freunden und Klassenkameraden messen (optional)

Für Eltern

Unterstützung für Ihr Kind durch eine mehrfach prämierte Lernhilfe, die auch von 426 Schulen eingesetzt wird

Komplett werbefreie Lernumgebung für Ihr Kind

Wöchentliche Information über Lernzeit und Lernerfolg

Für Lehrer & Schulen

Geeignete Themen und Aufgaben auswählen und für Ihre Schüler zu Arbeitsaufträgen zusammenstellen

Übersichtliche Auswertungen und Kontrolle der Übungsergebnisse

Von Lehrern für Lehrer gemacht

So üben und lernen Schüler Mathe mit unserem Lernprogramm

In diesem Video wird der Übungsbereich von Mathegym vorgestellt. Es wird erklärt, wie man passende Matheaufgaben und Online-Übungen findet und wie man die vielen Hilfen, die diese Lernplattform beim Mathe-Üben bietet, bestmöglich für sich nutzt.

Feedback von Pädagogen

Dr. Hubert Skudlik, Lehrer und Fachbetreuer am Gymnasium Sonthofen

" Mathegym ist zu einem festen (und für die Lehrkräfte entlastenden) Medium der Förderung geworden. Ich habe meist ca. 10 SchülerInnen in der "individuellen Lernförderung" und profitiere davon, immer aktuell überprüfen zu können, welcher Schüler in welchem Gebiet wie viele Aufgaben auf welchem Niveau mit welchem Erfolg geübt hat. Diese stetige Kontrolle (little Big Brother) ist wirklich sehr motivationsfördernd!"

Gerline Kuhla, Lehrerin an der VHS Gilching

" Kurzer Erfahrungsbericht aus meinem letzten Kurs: Alles Jungs, zwei aus der 9. Klasse und einer aus der 10., die sich sofort die Laptops schnappten und nach meiner sehr kurzen Einführung in das Programm sofort anfingen zu arbeiten. Ich war arbeitslos und sie waren sicher hinter ihren Laptops. Diese Arbeitsatmosphäre blieb bis zum Ende des Kurses, d.h. sie fragten nicht nach Pausen, mussten nicht auf die Toilette und auch Trinken im Unterricht war kein Thema. Zuerst arbeitete jeder an dem Gebiet, das er mir als seine Lücke vorher angegeben hatte. Daran hielten sie sich auch sehr genau. Einer vo..."

Jörg Dollhäupl, Elternbeirat an den Maria-Ward-Schulen (Gymnasium und Realschule) in Nürnberg

" Ich möchte mich einfach einmal persönlich für Ihre gute Idee von Mathegym und die sehr gelungene Umsetzung bedanken. Ich wäre in meiner Schulzeit froh gewesen, wenn ich auf eine solche Plattform hätte zugreifen können."

Dieter Roth, Oberstudiendirektor a.D. und langjähriger ehemaliger Lehrbuchautor (Basismathematik (bsv) u.a.)

" Kompliment für mathegym. Für die weitere Entwicklung des Mathematikunterrichts sicher zunehmend bahnbrechend. Als Whiteboardfan könnte ich mir zwar noch das ein oder andere zusätzliche Feature für Ihre Plattform denken, bin aber sicher, dass mathegym seine stürmische Entwicklung fortsetzen wird. Vor 35 Jahren habe ich an der Uni Bochum einen Vortrag über die Möglichkeiten und Grenzen medienintegrierender Lehrbücher und eines entsprechenden Unterrichts gehalten. Sie verwirklichen heute damalige Visionen. Mit meinen beiden Klassen (seit 8 Jahren bin ich für den Matheunterricht reaktiviert) hänge..."

David Haigermoser, Lehrer am Karlsgymnasium Bad Reichenhall

" Hi Mathegym-Team, erst einmal vielen Dank für Eure großartige Arbeit. Ich kann derzeit nicht eine Stunde in meiner 5. Klasse in Mathe halten, ohne mich erklären zu müssen, warum wir denn heute nicht in den Computerraum gehen um dort an Mathegym zu arbeiten. Die Schüler lieben die Intensivierungsstunden dort. Und auch für mich ist es einfach genial, den Unterricht abwechslungsreich zu gestalten und die Schüler an vielfältige Aufgabenstellungen, die man so im Buch nicht immer findet, heranzuführen."

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Zum Aufgabenbereich

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Mathe Lernplattform, Aufgaben online rechnen und lösen | Mathegym

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Zum Aufgabenbereich von Lehrern am Gymnasium und an der Realschule entwickelt unterschiedlich schwere Aufgaben zu fast allen Themen der Schulmathematik in den Klassen 5-12, passend zu dem Lehrplan im jeweiligen Bundesland Kontrolle der Ergebnisse und zahlreiche Hilfestellungen inkl. Erklärvideos Schritt-für-Schritt-Lösung komplexer Aufgaben, mit Rückmeldung nach jedem Einzelschritt P-Seminar "Mathe digital lernen": 1.

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Wer Spaß an Mathe hat, kann sich an zahlreichen Wettbewerben beteiligen und attraktive Preise gewinnen.

Hier eine Auswahl geeigneter Mathematik-Wettbewerbe (alphabetische Auflistung):

• Adam-Ries-Wettbewerb
Mathematischer Wettbewerb für Schülerinnen und Schüler der 5. Klassen. Freude am Knobeln und Rechnen und bietet Anregungen zum historischen Streifzug in die Regional- und Mathematik Geschichte. Wer neugierig auf alte deutsche Maß- und Geldeinheiten ist und sich mit dem Werk von Adam Ries befassen will, findet hier eine altersgerechte Möglichkeit.

• Bundeswettbewerb Mathematik
Der Wettbewerb richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die eine zur allgemeinen Hochschulreife führende Schule besuchen. Mit interessanten und anspruchsvollen Aufgaben möchte er sie anregen, sich eine Zeit lang intensiv mit Mathematik zu beschäftigen. Neben dem mathematischen Schulwissen muss man zur Teilnahme vor allem auch etwas Ausdauer mitbringen. Obwohl grundsätzlich als Einzelwettbewerb ausgelegt, werden in der ersten Runde auch Gruppenarbeiten zugelassen.

• Fürther Mathematikolympiade (FüMO)
Die FüMO ist ein Mathematik Wettbewerb mit Aufgaben, die man zu Hause lösen darf. Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler der Klassenstufen 5 bis 8 an Realschulen und Gymnasien in Bayern und Thüringen.

• Känguru-Wettbewerb
Wettbewerb für Schülerinnen und Schüler der Klassenstufen 3-13, der als Multiple-Choice-Wettbewerb mit vielfältigen Aufgaben zum Knobeln, zum Grübeln und zum Schätzen gestaltet ist. Bei diesem Wettstreit gibt es nur Gewinner, denn alle Teilnehmer erhalten eine Urkunde mit den erreichten Punktzahlen und einen Erinnerungspreis - für die Besten gibt es Bücher, Spiele, Puzzles, T-Shirts und Reisen in ein internationales Mathe-Camp.

• Landeswettbewerb Mathematik Bayern
Der Landeswettbewerb Mathematik Bayern richtet sich als Hausaufgabenwettbewerb vornehmlich an die Mittelstufe. Teilnahmeberechtigt ist, wer in Bayern eine Realschule oder Gymnasien besucht. Zu gewinnen gibt es Urkunden und Buchpreise. Die besten Teilnehmer dürfen an einem mehrtägigen mathematischen Seminar teilnehmen.

• Mathematik im Advent
Das Warten aufs Christkind kann man sich alle Jahre im Dezember bei diesem mathematischen Adventskalender versüßen. 24 Türchen bergen Aufgaben, die Spaß machen und die insbesondere Anwendungen der Mathematik im Alltag behandeln. Teilnehmen können Schülerinnen und Schüler bis Klasse 9 im Einzel- oder Klassenspiel.

• Mathematik-Olympiade
Bei diesem jährlich bundesweit angebotenen Wettbewerb können Schülerinnen und Schülern ihre besondere Leistungsfähigkeit auf mathematischem Gebiet unter Beweis stellen. Die Olympiade ist für die 5. bis 13. Klasse in acht Altersstufen ausgeschrieben und erfordert logisches Denken, Kombinationsfähigkeit und kreativen Umgang mit mathematischen Methoden.

(Alle Links: Stand 09.10.21)

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https://learningapps.org

Lineare Funktionen

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https://learningapps.org/index.php?category=2&subcategory=868&s=

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Grundlagen 8 bis 10 für die 11. Klasse
http://stemue-web.de/11_d.html

Aufgaben:
http://www.schlauistwow.de/MSS_Fit.pdf

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Betrachtet man jetzt keine Geraden mehr, sondern beispielsweise eine quadratische Funktion, so ist eine Aussage über die Steigung nicht mehr ganz so einfach. Anders als bei einer Geraden, die überall gleichmäßig ansteigt oder abfällt, ändert sich die Steigung einer Kurve offenbar von Punkt zu Punkt.

Man muss daher zwei Geschwindigkeiten unterscheiden. Da ist zum einen die Durchschnittsgeschwindigkeit , die zum Beispiel 60km/h beträgt, wenn ich den 30km entfernten Ort in einer halben Stunde erreicht habe. Diese sagt aber nichts über die Momentangeschwindigkeit aus. Natürlich kann man auch bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60km/h mit 100km/h geblitzt werden.

Die Mathematiker benutzen andere Begrifflichkeiten und reden von einer Änderungsrate. In der folgenden Tabelle ist die Übersetzung zwischen Physik und Mathematik dargestellt.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Mittlere Änderungsrate

Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten

Momentangeschwindigkeit

Momentane Änderungsrate

Steigung der Tangente in einem Punkt

Die Berechnung der mittleren Änderungsrate erfolgt, wie man es von früher kennt, mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Einzig spricht man jetzt nicht mehr von den Punkten P 1 und P 2 mit den Koordinaten (x|y), sondern von einer Stelle x 0 und einer weiteren Stelle, die um ein kleines Stückchen (nennen wir es "h") weiter rechts liegt, also: x 0+h. Für die y-Koordinate schreibt man f(x 0) bzw. f(x 0+h). Als Formel für die Berechnung der Steigung spricht man nun vom Differenzenquotienten.

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Betrachtet man jetzt keine Geraden mehr, sondern beispielsweise eine quadratische Funktion, so ist eine Aussage über die Steigung nicht mehr ganz so einfach. Anders als bei einer Geraden, die überall gleichmäßig ansteigt oder abfällt, ändert sich die Steigung einer Kurve offenbar von Punkt zu Punkt. Man muss daher zwei Geschwindigkeiten unterscheiden.

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Memory: https://mathe-lernen.net/?cat=147

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Skip to content

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Aufgaben Raschweb.de zu Expotential- und Logarithmusfunktionen:

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum 1

Exponentielles Wachstum 2

Aufgaben zur Exponentialfunktion

Rechnen mit Logarithmen

Exponentialgleichungen 1

Exponentialgleichungen 2

Graphische Lösung von Exponentialgleichungen

Anwendung:

Akustik: Die Dezibel- und Phon-Skala

Chemie: Das pH-Wert

Noch ein Video: https://www.youtube.com/watch?v=t437O6mOwB8

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Exponentialfunktion und Logarithmus | Gehe auf SIMPLECLUB.DE/GO & werde #EinserSchüler

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https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien

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Abiturprüfung ISB (Gymnasium)
https://www.isb.bayern.de/schulartspezifisches/leistungserhebungen/abiturpruefung-gymnasium/mathematik/c

Übungsaufgaben zum Abitur

Übungsaufgaben Abitur 1

Übungsaufgaben Abitur 2

Übungsaufgaben Abitur 3

Übungsaufgaben Abitur 4

Übungsaufgaben Abitur 5

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Hier finden Sie eine Übersicht über die Prüfungen, Vergleichsarbeiten und weitere Leistungserhebungen der verschiedenen Schularten in Bayern.

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GeoGebra
https://www.geogebra.org/classic

Tutorials
https://www.youtube.com/channel/UCAu9ifk2TygWFnj5O0z3TUQ

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Padlet: Digitale Medien im Mathematikunterricht

# data[].attributes.subject
Padlet: Digitale Medien im Mathematikunterricht

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https://padlet.com/jenslindstr/DigiMedMathe

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Eine Work-In-Progress Sammlung zu digitalen Tools, Apps und Quellen zum Mathematikunterricht. www.jenslindstroem.de

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Elementares Rechnen

Grundrechenarten in ℚ

Spezielle Rechenmethoden

Vedisches Rechnen - Rechenvorteile

Elementare Algebra

Gesetze der Algebra

Terme vereinfachen

Gleichungen lösen

Funktionen darstellen

Elementare Geometrie

Ebene und räumliche Geometrie

Grundlegende Konstruktionen

Lehrsätze im Dreieck

Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeit

Darstellung von Daten

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit

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Padlet: Die Welt von zuhause aus entdecken

# data[].attributes.subject
Padlet: Die Welt von zuhause aus entdecken

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https://padlet.com/lammatini/cnnyy9zy425nqriq

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Austellung für Mathematik - Inspirata

https://www.inspirata.de/
https://experiwatt.de/

Oberstufe und Universität

https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10040500/_temp_/Bine-Examensarbeit-final.pdf

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INSPIRATA – Zentrum für mathematisch-naturwissenschaftliche Bildung e.V.

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Besuch gern unsere Ausstellung an unserem besuchsoffenen Samstag. Alle Informationen zu deinem Besuch, findest du hier https://www.inspirata.de/ihr-besuch/.
\n

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https://www.michael-holzapfel.de/mathe/funktionen/funktionen.htm

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Unter einer , die jedem Wert x genau einen Wert y zuordnet. Die Menge aller Zahlen, die x annehmen darf, heißt Funktion f versteht man eine Abbildung x ↦ Definitionsmenge D f von f. y = f(x)

Meist ist eine Funktion f in Form einer Gleichung y = f(x) gegeben und als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen ℝ . Die Menge der reellen Zahlen ℝ umfasst die Menge der natürlichen Zahlen ℕ, der ganze Zahlen ℤ, der rationalen Zahlen (Brüche und Dezimalbrüche) ℚ und der irrationalen Zahlen (Wurzeln).

Funktionen lassen sich graphisch auf dem Computer auch mit Hilfe von Geometriesoftware , w.z.B geogebra , darstellen.

Zur Vereinfachung wird als Bruchstrich das Zeichen / verwendet statt - .
a)Lineare Funktion
f(x) = 2x - 3, D Beispiel: f = ℝ

Der Graph G f von f ist eine Gerade, die durch 2 Punkte gegeben ist,
z.B. f(0) = - 3 und f(2) = 1 liefert die Punkte (0; -3) und (2; 1)

Graphische Darstellung G f

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse gilt: f(x) = 0

2x - 3 = 0 oder 2x = 3 oder x = 1,5 (Nullstelle)

f(x) = mx + t, D f = ℝ

m gibt die Steigung und t den y-Abschnitt an.

Graphische Darstellung G f

Graphische Darstellung mit variablen m und t (Schieberegler)

b) Quadratische Funktion

f(x) = x 3, D Beispiel: 2 - 2x - f = ℝ

Der Graph der Funktion hat die Form einer Parabel, die sich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und Anwendung der binomischen Formel günstiger darstellen lässt:

f(x) = x 2 - 2x + 1 - 1 - 3|quadratische Ergänzung mit 1 = 2:2 zur

f(x) = (x - 1) 2 - 4| Anwendung der binomischen Formel

f(x) = (x - 1) 2 - 4 ist die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung.

Daraus lässt sich der Scheitelpunkt S der Parabel ablesen, durch den eine senkrechte Symmetrieachse verläuft:

S( 1 ; - 4 )

Graphische Darstellung G f mit f(0) = f(2) = - 3 und f(-1) = f(3) = 0

Nullstellen der Funktion: f(x) = 0 für x = - 1 und x = 3

Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung

f(x) = a(x - b) 2 + c, D f = ℝ

Scheitelpunkt S(b ; c)

Graphische Darstellung für a = 0.5, b = 1, c = - 2

Graphische Darstellung mit variablen a, b und c (Schieberegler)

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

f(x) = ax 2 + dx + e, D f = ℝ

Umformung in Scheitelpunktform:

f(x) = a( x (d/2a) (d/2a) 2 + d/a ٠ x + 2 - 2 ) + e | quadratische Ergänzung

f(x) = a (x + d/2a) 2 - a ٠ d 2 /4a 2 + e | binomische Formel anwenden

f(x) = a(x - (- d/2a)) 2 - d 2 /4a + e

Scheitelpunkt S(- d/2a; e - d 2 /4a)

c) Polynomfunktionen
Unter einer Polynomfunktion vom Grad n versteht man eine Funktion mit folgender Funktionsgleichung

f(x) = a 0 +a 1x + a 2x² + ... + a nx n , x ϵ ℝ; a 0, a 1, a 2, ... a n-1 ϵ ℝ, a n ϵ ℝ\{0}

1. Beispiel: f(x) = x³ - 6x² - 12x, x ϵ ℝ

Der Graph G f der Funktion hat an der Stelle x 1 = 1 ein lokales Maximum und an der Stelle x 2 = 3 ein lokales Minimum
(Bestimmung mit Hilfe der Ableitung der Funktion f)

2x 2. Beispiel: f(x) = x 4 - - 2 1, x ϵ ℝ

Der Graph G1 und x f der Funktion hat an der Stelle x 1 = - 2 = 1 ein lokales Minimum und an der Stelle x 2 = 3 ein lokales Maximum
(Bestimmung mit Hilfe der Ableitung der Funktion f)

1. Beispiel: f(x) = 1/x, x ϵ ℝ\{0}

An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert und besitzt eine senkrechte Asymptote.

Die Funktionswerte nähern sich zunehmend der Asymptote für x gegen 0.

2. Beispiel: f(x) = 3x / (2x - 4) , x ϵ ℝ\{2}

An der Stelle x = 2 ist die Funktion nicht definiert und besitzt die senkrechte Asymptote x = 2.

Der Graph G f der Funktion besitzt auch die waagrechte Asymptote y = 1,5 für x gegen ∞ bzw. x gegen - ∞.

Die Asymptoten werden von den Funktionswerten nicht berührt, die Funktionswerte nähern sich nur zunehmend den Asymptoten.

3. Beispiel: f(x) = 4 / (x² + 1 ) , x ϵ ℝ

Der Graph G f der Funktion besitzt die waagrechte Asymptote y = 0 für x gegen ∞ bzw. x gegen - ∞.

Der Graph G f hat bei x = 0 ein lokales Maximum.

f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) , x ϵ ℝ

f(x) = a sin(b(x - c)) + d, x ϵ ℝ

allgemeine Sinusfunktion mit variablen a, b, c oder d (Schieberegler)

f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x), x ϵ ℝ\{± 1/2 π, ± 3/2 π, ± 5/2 π, ...}

Der Graph G der Funktion f besitzt an den Stellen f
x = ±(2n - 1)/2 π, n ϵ ℕ senkrechte Asymptoten.

Die Nullstellen der Funktion sind dieselben wie bei der Sinus-Funktion.

Exponentialfunktion f: f(x) = a x , x ϵ ℝ, a > 0 und a ≠ 1
Umkehrfunktion zu f ist die Logarithmusfunktion: f-1 (x) = log a x, x ϵ ℝ+
(lies: „Logarithmus von x zur Basis a, x ist Element aus der Menge der positiven reellen Zahlen")

Beispiel: a 1 = 2; a 2 = 1,5

Die Graphen der Exponentialfunktion und der zugehörigen Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion sind an der Winkelhalbierenden y = x des I. und III. Quadranten gespiegelt.

f(x) = a bx + c, x ϵ ℝ, a > 0 und a ≠ 1, b ≠ 0

Für a > 1 und b > 0 oder 0 < a < 1 und b < 0 steigt der Graph G für zunehmendes x, f ist Wachstumsfunktion ( f exponentielles Wachstum)

Für 0 < a < 1 und b > 0 oder a > 1 und b < 0 fällt der Graph G für zunehmendes x, f ist Zerfallsfunktion ( f exponentieller Zerfall)

Der Graph von y = a -x ist im Vergleich zum Graphen von y = a x an der y-Achse gespiegelt.

Der Graph G f besitzt die Asymptote y = c.

allgemeine Exponentialfunktion mit variablen a, b, c (Schieberegler)
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Unter einer , die jedem Wert x genau einen Wert y zuordnet. Die Menge aller Zahlen, die x annehmen darf, heißt Funktion f versteht man eine Abbildung x ↦ Definitionsmenge D f von f. y = f(x) Meist ist eine Funktion f in Form einer Gleichung y = f(x) gegeben und als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen ℝ .

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Geschichte der Zahlen
Manche finden sie superschwer, andere - gähn! - einfach nur langweilig. Dabei kann Mathematik richtig Spaß machen! Genau das zeigen wir euch in unserer neuen Serie

https://www.geo.de/geolino/mensch/abenteuer-mathe-geschichte-der-zahlen-30169030.html

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Manche finden sie superschwer, andere - gähn! - einfach nur langweilig. Dabei kann Mathematik richtig Spaß machen! Genau das zeigen wir euch in unserer neuen Serie

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Der Goldene Schnitt in Natur und Architektur

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Der Goldene Schnitt in Natur und Architektur

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Kann man die Natur vermessen?

Warum sind Früchte häufig rund, was haben Kängurus und Brücken gemeinsam?

Die Welt, die uns Menschen umgibt, funktioniert perfekt. Die Formen, Muster und Strukturen der Welt existieren nicht zufällig. Sie folgen der Macht universeller Codes, die in der Natur verborgen sind.

Erstaunliche Zusammenhänge, faszinierende Naturwunder und Sternstunden der Geschichte, in denen Menschen oft eher zufällig Entdeckungen machten oder Ideen hatten, die unser Leben und Denken für immer verändert haben.

Die vielleicht berühmteste universelle Logik, die Fibonacci-Folge, entdeckte der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, im frühen 13. Jahrhundert.

Die Zahlenfolge ergibt sich ausgehend von den natürlichen Zahlen 1 und 2 durch Addieren der beiden vorausgegangenen Zahlen:

1 + 1 = 2,
1 + 2 = 3,
2 + 3 = 5 und so weiter.

Fibonaccis Formel ist eine entscheidende Entdeckung. Sie ist so etwas wie der kosmische Bauplan der Natur. Unzählige natürliche Phänomene folgen ihr und werden durch sie verständlich.

Aber nicht nur die Fibonacci-Folge, auch die unendliche Konstante Pi, als Kreiszahl bekannt, das Hexagon, das sich nicht nur die Bienen zunutze machen, die Kugel oder die Parabel sorgen dafür, dass die Welt so ist, wie sie ist: nämlich nahezu perfekt.

https://www.youtube.com/watch?v=UOLqwRPk8-4

Geheimnisvolle Ordnung der Natur

Das spektakulärste Beispiel für das Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich in der Anordnung von Blättern und Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zweier aufeinander folgender Blätter den Vollkreis im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Als Beispiel seien hier die Blütenblätter der Rose genannt.

Aber auch in der Architektur finden sich Hinweise auf die Verwendung des Goldenen Schnittes, der bei vielen Bauwerken der griechischen Antike zu beobachten ist. Berühmtestes Beispiel hierfür ist der Parthenon-Tempel auf der Athener Akropolis. Die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes ist historisch allerdings nicht nachweisbar.

Podcast: https://www.br.de/radio/bayern2/sendungen/radiowissen/mensch-natur-umwelt/goldener-schnitt-102.html

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Mathematik-Programme - Cinderella und Geogebra:

Konstruktion der goldene Schnitt:
http://www.hirnwindungen.de/wunderland/

Die Fibonacci Spirale:
https://www.geogebra.org/m/MxKzAaMP

Berechnung der Zahlen: https://www.geogebra.org/m/GgMNhhYj

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Der goldene Schnitt in der Architektur und in der Kunst

Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert.
Johannes Kepler (Harmonices Mundi, 1619)

Die Geschichte des Goldenen Schnittes ist schon sehr alt. So alt, dass es nicht mal eine einstimmige Meinung darüber gibt, auf wen er denn nun eigentlich zurückzuführen ist.

http://kauernet.de/hendes/html/h2031_arch.htm

http://www.hirnwindungen.de/wunderland/cinderella/goldenschnitt_kunst.html

Der goldene Scnhitt in der Natur

http://kauernet.de/hendes/html/h2034_nat.htm

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Vom Differenzenquotient zur Differentialquotient und Ableitung 

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Vom Differenzenquotient zur Differentialquotient und Ableitung 

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Grundwissen:

Geradengleichung

Steigung

Sekante

Tangente

Differenzen- und Differentialquotient:

Differenzen- und Differentialquotient

Aufgaben zum Differentialquotient

weitere Aufgaben zum Differenzialquotient

Differenzenquotient =
= Durchschnittliche Änderungsrate
= Steigung der Sekante
(Gerade, die f(x) in den Punkte x0 und x1 schneidet)

Ableitung:

Aufgaben zum Differentialquotient (mit Lösungen)

weitere Aufgaben zum Differenzialquotient

Der Graph der Ableitungsfunktion  Blatt 1

Graphen von Ableitungsfunktionen Blatt 2

Ableitung =
= Momentan Änderungsrate
= Steigung der Tangente
(Gerade, die f(x) in dem Punkt x0 Punkt berührt)

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https://anton.app/

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Grundwissen 9. /10. Klasse

MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=i9GY4n9aIkA

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https://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/29-pythagoras-baustelle100.html

Empfehlung:
Mit den Qualiaufgaben kannst du auch Textverständnis üben!!!

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Und weitere Sätze am rechtwinkligen Dreieck

https://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/grundkurs-mathematik/grundkurs-mathematik-rechtwinkliges-dreieck100.html

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Fragen / Hilfestellung / Hausaufgaben abgeben:

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Fragen / Hilfestellung / Hausaufgaben abgeben:

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Mache ein Foto deiner Hausaufgabe und poste die Lösung hier! oder

Lege mir die Hausaufgaben in das Lehrerpostfach über die Rezeption! oder

Sende deiner Fragen oder Lösungen mir per E-Mail!

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Das ist ein Eintrag von meinem Lehrer, bei der Limesfunktion war ich letztes Jahr nicht mehr dabei

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Also an sich verstehe ich das Prinzip von gebrochen rationalen Funktionen, aber als letztes Jahr die Limesfunktion gemacht wurde, war ich nicht da und auf der zweiten Seite verstehe ich die Erklärung deswegen nicht.

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Geogebra Übung: Vom Differenzenquotient zur Ableitung

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Geogebra Übung: Vom Differenzenquotient zur Ableitung

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Veranschaulichung des Differenzenquotienten – GeoGebra
https://www.geogebra.org/m/c8kDG5tr

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Mit diesem Applet kann man für beliebige Funktionen den Differenzenquotienten darstellen und ausrechnen lassen.

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Mein letzter Hefteintrag aus dem Unterricht.

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Ganzrationaler Funktionen / Polynomen / Iris G.

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Ganzrationaler Funktionen / Polynomen / Iris G.

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Faktorisieren und Polynomdivision

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Regel von Horner / Nullstellen

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Ableitungen mit Geogebra:

Ganzrationale Funktionen,
Sinus- und Exponentialfunktion
https://www.geogebra.org/classic/g5pktxdh

Andere Funktionen:
https://www.geogebra.org/classic/z6v9fbwp

Ableitungsrechner im Internet:

https://www.ableitungsrechner.net/

Arbeitsblätter zu Ableitungsregeln und Kurvendiskussion:

Ableitungsregeln (Wiederholung)

Aufgaben zur 2. Ableitung

Aufgaben zu Wendepunkten

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AB zum Thema: Analysis - Differentialrechnung

Ableitungsregeln:

Potenz- Faktor- und Summenregel

Ableitung von Polynomfunktionen

Produkt- und Quotientenregel

4 Aufgaben zur Quotientenregel

Kettenregel - weitere Aufgaben

Graph von Ableitungsfunktion:

Der Graph der Ableitungsfunktion 1

Graphen von Ableitungsfunktionen 2

Schnittwinkel zwischen zwei Graphen / Tangentengleichung:

Schnittwinkelaufgaben

Schnittwinkel zweier Graphen

Quelle:
http://www.raschweb.de/
https://www.mathematik-oberstufe.de/