# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Cos'è lo studio di funzione?

Per studio di funzione si intende trovare dei punti caratteristici di una funzione, come le intersezioni con l'asse y, con l'asse x (cioè gli zeri o radici), i massimi, i minimi e i punti di flesso, per poterla descrivere.

Come si trovano questi punti?

Si inizia calcolando le prime tre derivate della funzione. Poi si trovano gli zeri della funzione come anche delle derivate. Gli zeri sono soluzioni dell'equazione

. I punti estremanti si trovano solo negli zeri della funzione, cioè bisogna risolvere l'equazione

per trovare gli eventuali punti estremanti. In un punto di flesso la derivata seconda deve essere uguale a

, cioè bisogna risolvere l'equazione

(per vedere se uno zero della derivata è un punto stazionario, e che tipo è, si può utilizzare il criterio delle derivate successive).

Perché nelle scuole lo studio di funzione non è così tanto approfondito?

È un po' inutile se si pensa che bisogna fare calcoli senza capire ciò che si sta facendo. Per questo oggigiorno si incontrano esercizi in cui si deve ragionare sul tipo di punti che si stanno considerando, piuttosto che semplicemente doverli calcolare.

Posso vedere un esempio?

Certo, vediamo lo studio della seguente funzione

.

{{{
Mathepower lavora con questa funzione: Qui vedi il grafico della tua funzione.

Dein Browser unterstützt den HTML-Canvas-Tag nicht. Hol dir einen neuen. :P

Zeri in -1; 0; 1

Intersezione con l'asse y in (0|0)

massimi/minimi in (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)

Punti di flesso obliqui in (0|0)

Mathepower ha calcolato come segue:

Punti stazionari:
Si estraggono le radici da

| +

I punti stazionari sono i seguenti: ; ; }

Simmetria:
è simmetrica rispetto all'origine.

Intersezione con l'asse delle ascisse: si eguaglia la funzione a 0
Si inserisce 0 nella funzione :

Allora l'intersezione con l'asse delle y è (0|0)

Si deriva la funzione

Si deriva la funzione :

La derivata di è allora .

La derivata prima è la seguente:

La derivata seconda, cioè la derivata della funzione, è: :

Si deriva la funzione :

La derivata di è allora .

Semplificazione della derivata:
La derivata seconda è la seguente:

La derivata terza, cioè la derivata della funzione, è: :
La derivata di è
La derivata terza è la seguente:

Si cercano i punti estremanti.
Criterio importante: trovare gli zeri della derivata prima.
Si estraggono le radici da ; }
Probabili punti stazionari in:
Si inseriscono gli zeri della derivata prima nella derivata seconda:
Si inserisce -0.577 nella funzione :

-3.464 che è minore di 0. Allora in è presente un massimo.
Si inserisce -0.577 nella funzione :

punto di massimo (-0.577|0.385)
Si inserisce 0.577 nella funzione :

3.464 che è maggiore di 0. Allora in è presente un minimo.
Si inserisce 0.577 nella funzione :

punto di minimo (0.577|-0.385)

Si cercano i punti di flesso obliqui
Criterio importante: trovare gli zeri della derivata seconda.
Si estraggono le radici da }

| :

Probabili punti di flesso obliqui in
Si inseriscono gli zeri della derivata seconda nella derivata terza:
Poiché nella derivata terza la variabile x non è più presente, l'inserimento dello zero risulta in 6
6 è maggiore di 0. Allora in è presente un punto di flesso obliquo ascendente (concavità in basso -> alto).
Si inserisce 0 nella funzione :

punto di flesso obliquo (0|0)

# data[].attributes.attachment_link.title
Calcolatrice grafica online per lo studio di fuzione - zeri, punti stazionari e critici di una funzione

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Inserisci qui una funzione e Mathepower ne svolge il suo studio gratuitamente con spiegazioni dettagliate e passaggi.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Come vi abbiamo promesso, prima di rimandarvi alla sezione di esercizi vogliamo proporvi un esempio guidato sullo studio di funzione. Prenderemo in esame una funzione piuttosto impegnativa, in modo da mettere in evidenza le difficoltà che possono manifestarsi nello studio di una funzione.

Suddivideremo l'esempio nei vari passaggi previsti dalla procedura e, all'inizio di ogni passo, riporteremo il link alla relativa lezione della guida per lo studio di funzione. Se ritenete che l'esempio sia troppo difficile, non scoraggiatevi. È volutamente impegnativo: diciamo che, su una scala da 1 a 10, alle scuole superiori un esercizio del genere si colloca su 9,5 e al primo anno di Ingegneria corrisponde a 8.

Nessun problema comunque, perché nella pagina dedicata agli esercizi sullo studio di funzione potete reperire esercizi risolti di ogni livello di difficoltà, dai quelli più banali ai più complicati. ;)

Esempio guidato sullo studio di funzione

Proponiamoci di studiare la funzione

Insieme di definizione

Per determinare l' insieme di definizione della funzione dobbiamo individuare gli eventuali termini critici che compaiono nell'espressione analitica. L'unico problema riguarda la presenza delle radici, che sono ad indice pari e dunque impongono che il radicando sia maggiore-uguale a zero.

Due radici, due condizioni. Tali condizioni vanno messe a sistema perché dobbiamo determinare il sottoinsieme su cui valgono entrambe

La seconda condizione è una disequazione con valore assoluto, ma attenzione: non serve alcun calcolo! Il valore assoluto infatti è per definizione una quantità maggiore o uguale a zero, per cui possiamo scrivere

e il sistema si riduce alla sola condizione . Usando la notazione degli intervalli possiamo dunque scrivere l'insieme di definizione della funzione

Parità / disparità della funzione

Non ha senso controllare la parità/disparità della funzione, perché il dominio non è simmetrico rispetto a .

Intersezioni con gli assi e segno

Come abbiamo spiegato nella lezione sullo studio del segno, possiamo abbreviare la procedura di studio della funzione calcolando le eventuali intersezioni con gli assi in concomitanza con lo studio del segno.

Consideriamo la disequazione

e ricordiamoci che dobbiamo lavorare sul dominio della funzione . La disequazione che ne consegue

è una disequazione irrazionale di semplice risoluzione: poiché le radici ad indice pari sono funzioni non negative, possiamo elevare direttamente al quadrato entrambi i membri senza discuterne il segno (come si suol fare quando si impostano i sistemi per la risoluzione delle disequazioni irrazionali).

Per risolvere la disequazione con valore assoluto dobbiamo considerare l'unione delle soluzioni di due sistemi di disequazioni, che ci permettono di studiare il segno dell'argomento del modulo

da cui ricaviamo

Unendo le soluzioni dei due sistemi di disequazioni otteniamo

e concludiamo che la disequazione ammette come soluzioni . Tenendo conto del dominio si capisce che:

- la funzione è positiva per

- la funzione è nulla in

- la funzione è negativa per

Riguardo alle intersezioni con gli assi:

- abbiamo una sola intersezione con l' asse x in , data dal punto

- l'intersezione con l' asse y si ottiene valutando la funzione in , ed è data da

Limiti agli estremi del dominio

Passiamo a calcolare i limiti agli estremi del dominio.

Ricordiamoci che l'insieme di definizione è un intervallo illimitato superiormente e chiuso a sinistra: .

Poiché la funzione è definita nell'estremo sinistro non è necessario calcolare alcun limite e possiamo limitarci ad una valutazione diretta, che peraltro abbiamo già effettuato nel calcolo dell'intersezione con l'asse y

L'unico limite che dobbiamo calcolare è quello per

Poiché dobbiamo ragionare in un intorno di +infinito, possiamo eliminare il modulo

Il limite genera una forma indeterminata e per calcolarlo possiamo applicare una razionalizzazione inversa

che ci consente di sfruttare la regola per la differenza di due quadrati

A denominatore possiamo limitarci a considerare gli infiniti di ordine principale e passare al limite equivalente

dove il risultato viene dedotto facilmente con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi. Abbiamo scoperto che la funzione presenta un asintoto orizzontale per di equazione ; inoltre, essendo il rapporto dell'ultimo limite positivo per , esso si avvicenda positivamente al valore . In altre parole il grafico della funzione dovrà avvicendarsi all'asintoto orizzontale da sopra.

Studio della derivata prima

È giunto il momento di studiare la derivata prima e di scoprire quanto il modulo può rompere le uova nel paniere dello studio di funzione. Quando abbiamo a che fare con uno o più valori assoluti ci sono diversi possibili approcci, tant'è che abbiamo ideato un'apposita scheda di esercizi sullo studio di funzioni con valori assoluti; noi qui adottiamo la strategia più elementare, che prevede di riscrivere come funzione definita per rami e specificando il segno dell'argomento del modulo su ciascun ramo

Ricordiamoci sempre del dominio!

Ragioniamo sui due rami: entrambe le funzioni sono derivabili nei punti interni agli intervalli di definizione e per capirlo basta fare riferimento ai soliti teoremi sulle classi di funzioni derivabili. L'estremo non ci interessa granché, perché la funzione è ivi valutabile; il dubbio riguarda il punto di raccordo in cui dobbiamo studiare la derivabilità di mediante la definizione.

Ci servono i due limiti del rapporto incrementale da destra e da sinistra.

Poiché il limite viene calcolato da destra dobbiamo scegliere il ramo destro per la valutazione in accordo con la definizione per rami. Teniamo anche presente che

Il limite genera una forma indeterminata . Dato che non ci sembra il caso di scomodare la tecnica di calcolo dei limiti con Taylor, che tra l'altro non è oggetto di studio alle scuole superiori, facciamo appello alla nostra creatività e ricorriamo ad un piccolo trucco algebrico

Usiamo la solita tecnica di derazionalizzazione

e con qualche semplice calcolo ricaviamo

Altri calcoletti

In buona sostanza il precedente limite equivale al seguente

e da qui capiamo subito che la funzione non è derivabile in .

Per il limite del rapporto incrementale da sinistra

scegliendo il ramo sinistro per , e con un calcolo del tutto analogo al precedente, giungiamo al limite equivalente

In definitiva la funzione cela in corrispondenza di un punto di non derivabilità del tipo cuspide.

Il dominio della derivata prima , inteso come sottoinsieme di dei punti in cui la funzione è derivabile, è

e con questa informazione possiamo studiare serenamente il segno della derivata prima. Calcoliamola derivando i due rami con le usuali regole di derivazione

Per agevolarci il compito esprimiamo le radici come potenze con esponente fratto, in modo da applicare la formula per la derivata di una potenza

Non dimentichiamoci di applicare il teorema per la derivata della funzione composta

da cui

Risolviamo la disequazione sui rispettivi intervalli di competenza, e ribadiamo come sempre che il problema delle condizioni di esistenza non si pone

Otteniamo

Sul dominio della derivata prima il denominatore è positivo e possiamo cancellarlo. Ci rimane

dove la disequazione è immediata perché per il membro di sinistra è positivo mentre quello di destra è certamente negativo.

Riguardo al segno del secondo ramo

con considerazioni analoghe alle precedenti arriviamo a

che non ammette soluzioni. Ciò significa che non è verificata per alcun , ossia risulta per .

Si noti che il teorema per massimi e minimi non ci consente di individuare alcun punto di massimo né di minimo, perché non ci sono punti in cui la derivata prima si annulla in . D'altra parte ci restano da controllare i punti di non derivabilità e per farlo effettuiamo una serie di semplici considerazioni:

1) abbiamo l'estremo sinistro del dominio , in cui la funzione vale .

2) Abbiamo il punto di cuspide , in cui la funzione vale .

3) Abbiamo una variazione di monotonia in . La derivata prima è positiva per ed è negativa per , di conseguenza la funzione cresce su e decresce su .

4) è una funzione continua su tutto il proprio dominio e per decresce dal valore avvicendandosi all'asintoto orizzontale per .

* è un punto di minimo, ed è di minimo assoluto; il corrispondente minimo assoluto è

* è un punto di massimo, ed è di massimo assoluto; il corrispondente massimo assoluto è .

Studio della derivata seconda

Per concludere dobbiamo studiare la derivata seconda. Osservando l'espressione per rami della derivata prima ci rendiamo subito conto che essa è derivabile su tutto e per vederlo basta ricorrere ai soliti teoremi sulle classi di funzioni derivabili. Di conseguenza

Calcoliamo la derivata seconda. Prepariamoci esprimendo le radici come potenze con esponente fratto

e procediamo

Esprimiamo la derivata seconda in una forma più compatta

Cerchiamo gli eventuali punti di flesso e studiamo la convessità della funzione risolvendo la disequazione

considerando i rispettivi rami

Tale disequazione si traduce in

Elevando entrambi i membri al quadrato e facendo i conti, otteniamo

Il polinomio a primo membro può essere scomposto mediante la regola di Ruffini:

e arriviamo ad una disequazione risolvibile con la regola dei segni, in cui il secondo fattore produce una disequazione di secondo grado con Delta negativo

Limitando le soluzioni all'intervallo di riferimento, ossia a , scopriamo che la derivata seconda è positiva per , nulla in e negativa per .

Studiamo il segno del secondo ramo

Con semplici calcoli giungiamo a

ed essendo il Delta negativo, concludiamo che per ogni .

In conclusione la funzione è:

- concava per

- convessa per e per

- presenta un punto di flesso in , in cui la funzione assume il valore

Grafico qualitativo

Con tutte le informazioni di cui siamo in possesso siamo in grado di tracciare un grafico qualitativo della funzione. Eccone una rappresentazione precisa effettuata con il calcolatore

È veramente tutto. :) Ora non vi resta che cimentarvi con gli esercizi sullo studio di funzione, in cui avete a disposizione sia esercizi svolti che proposti. Ricordatevi che qui su YM ci sono tantissimi risorse e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: esempio guidato e interamente svolto di studio di funzione completo.

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# data[].attributes.attachment_link.description
Esempio di studio completo di una funzione: esercizio guidato e svolto con tutti i passaggi dello studio di funzione.

# data[].attributes.attachment_link.title
Funzione derivata. Calcolatrice passo passo

# data[].attributes.attachment_link.description
Calcolatore derivata passo dopo passo online. Regola delle funzioni complesse, addizione, moltiplicazione, divisione e modulo. Con spiegazioni!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Dopo aver introdotto le derivate successive di una funzione, si illustra la "formula di Taylor" per l'approssimazione polinomiale di una funzione.

Materia: Matematica, Informatica e Chimica
Destinatari: Classe V a indirizzo liceale
Professoresse: Antonella Tentella, Paola De Paolis, Roberta Storti

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La formula di Taylor | Matematica | Rai Scuola

# data[].attributes.attachment_link.description
La formula di Taylor - Calcolo Differenziale/3 Derivata di una funzione e calcolo numerico

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Questa lezione è di estrema importanza per tutti gli studenti universitari che affrontano un qualsiasi corso di Analisi 1. Qui e nelle successive trattiamo un argomento cruciale per lo studio delle funzioni reali di variabile reale: gli sviluppi in serie di Taylor.

Le applicazioni, come potete intuire, sono tante perché Taylor fornisce una rappresentazione locale alternativa della funzione; non solo alternativa, anche semplice, infatti è di tipo polinomiale.

Indice

Teorema: formula di Taylor (cos'è uno sviluppo di Taylor)

Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto, se esiste, è una rappresentazione della funzione nell'intorno del punto come polinomio con infiniti termini; arrestando lo sviluppo di Taylor a un certo ordine, è possibile esprimere la funzione come somma di un polinomio con un numero finito di termini e un'altra opportuna funzione.

Partiamo dal teorema di Taylor nella forma più generale, e ricordiamo che il punto esclamativo come operatore indica il fattoriale.

Sia una funzione, sia e supponiamo che sia derivabile volte in un intorno di di .

Vale la formula per lo sviluppo di Taylor di in :

Se supponiamo che la funzione sia derivabile volte in un intorno di , vale la formula per lo sviluppo di Taylor di con centro e ordine :

Esplicitamente:
Significato della formula con ordine
Sviluppare una funzione in serie di Taylor in un punto equivale, sotto opportune ipotesi di derivabilità, a fornire una rappresentazione esatta della funzione nell' intorno del punto.

Tale rappresentazione avviene per mezzo di un polinomio di grado e di una funzione , detta resto.

Nella versione generale del teorema non sappiamo a priori che forma abbia la funzione , e nemmeno ci interessa: la formula ha valore teorico. Però, possiamo dire di più e avere informazioni qualitative o quantitative su di essa.

Vi sono due principali tipi di resto che possiamo prendere in considerazione: il resto di Peano e il resto di Lagrange. Attenzione ai dettagli, e soprattutto alle ipotesi rispetto all'enunciato generale!

Teorema (Formula di Taylor con resto di Peano)

Sia una funzione, sia e supponiamo che la funzione sia derivabile volte in un intorno di .

Se esiste la derivata di ordine nel punto , ossia , vale la formula di Taylor con resto di Peano, con ordine :

L'ultimo termine dell'uguaglianza prende il nome di resto di Peano di ordine :

Il termine , per definizione di o-piccolo, è tale da essere un infinitesimo di ordine superiore a per :

Se siete interessati alla dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano, la proponiamo nel relativo approfondimento.
Significato del resto di Peano (è qualitativo)
Il resto di Peano fornisce informazioni di tipo qualitativo.

È cruciale capire da subito che non importa sapere quale sia esattamente la funzione che rende vera l'uguaglianza; piuttosto, è importante capire qual è il suo comportamento qualitativo.

Il termine esprime una semplice proprietà: per che tende a tende a zero più velocemente di . Tanto basta.

Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)

Sia una funzione, sia e supponiamo che la funzione sia derivabile volte in un intorno di .

Se la funzione è derivabile volte in , allora esiste un punto tale che:

L'ultimo termine dell'uguaglianza è detto resto di Lagrange:

Per la dimostrazione relativa al resto di Lagrange vi rimandiamo al relativo approfondimento.
Significato del resto di Lagrange (è quantitativo)
Il resto di Lagrange, a differenza di quello di Peano, fornisce informazioni quantitative sul resto.

Anche in questo caso non sappiamo né ci interessa capire quale sia il punto per cui vale l'uguaglianza. È sufficiente sapere che esiste e che la valutazione della derivata -esima in tale punto conduce ad una rappresentazione esatta.

Nomenclatura: sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin, polinomio di Taylor e affini

Per concludere questa prima lezione sull'argomento, vogliamo precisare la nomenclatura relativa agli sviluppi di Taylor, onde evitare fraintendimenti. Useremo i seguenti nomi.

Sviluppo di Taylor con centro : è il polinomio infinito che equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

Sviluppo di Taylor all'ordine con centro : è la somma tra il polinomio di grado e il resto dello sviluppo, ed equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

Sviluppo in serie di Mc Laurin, o sviluppo di Taylor-Mc Laurin: è uno sviluppo in cui il centro è .

Polinomio di Taylor all'ordine con centro : è il polinomio di grado , senza il resto dello sviluppo, che approssima la funzione nell'intorno del centro di sviluppo.

Vogliamo passare all'azione e vedere un po' di sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari? Ne parliamo nella prossima lezione; ma se siete impazienti, potete già passare alla spiegazione pratica sul calcolo degli sviluppi di Taylor.

Nel frattempo vi invitiamo a dare uno sguardo agli esercizi svolti della scheda correlata, e in caso di necessità a usare il tool per gli sviluppi di Taylor online e la barra di ricerca interna: qui su YouMath abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;)

సలాము, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Sviluppo in serie di Taylor: definizione, formula e tipi di resto

# data[].attributes.attachment_link.description
Lo sviluppo in serie di Taylor, con resto di Peano o di Lagrange: spiegazione con enunciato e dimostrazione delle formule per gli sviluppi di Taylor.

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Tutto sulle derivate, con spiegazioni, esempi, esercizi risolti e consigli per capire e risolvere gli esercizi.

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Le derivate fondamentali, o derivate notevoli, sono le derivate delle funzioni elementari e delle funzioni più ricorrenti: vengono ricavate con la definizione, una volta per tutte, e successivamente utilizzate nei calcoli dandole per buone.

In questa lezione elenchiamo tutte le derivate notevoli. Se state pensando che dovrete saperle a memoria... Avete ragione! Ma niente paura: sarà sufficiente fare un po' di esercizi per ricordarle automaticamente. Dunque, vi sconsigliamo di impararle come se si trattasse di una poesia: studiate le dimostrazioni e usatele di volta in volta negli esercizi. Il resto verrà da sé. ;)

Conoscere le derivate fondamentali è molto utile perché, insieme all'Algebra delle derivate e ai teoremi di derivazione che studieremo nelle lezioni successive, ci permetteranno di calcolare velocemente la derivata di una qualsiasi funzione .

Tabella delle derivate fondamentali

A seconda dei contesti le derivate fondamentali possono riferirsi a:

le derivate delle funzioni elementari, che vengono dimostrate mediante la definizione di derivata;

le derivate delle funzioni più ricorrenti, tra cui le funzioni elementari e non solo.

In tabella elenchiamo le funzioni, le relative derivate e il link alle rispettive dimostrazioni. Con [DEF] indichiamo quelle che si dimostrano con la definizione; con [AD] quelle che si calcolano con l' Algebra delle derivate e con [DFI] quelle che si ricavano con il teorema di derivazione della funzione inversa.

Se state seguendo le lezioni nel loro ordine, sappiate che affronteremo l'Algebra delle derivate e il teorema per la derivata dell'inversa nelle lezioni successive.
Derivate ricorrenti ma non fondamentali
Le derivate della funzione tangente, della funzione cotangente, della funzione secante, della funzione cosecante, del seno iperbolico e del coseno iperbolico sono elencate per completezza ma non sono propriamente derivate fondamentali, perché si possono ricavare dalle altre con l'Algebra delle derivate.

Un discorso analogo vale per le derivate di arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente, perché il modo più semplice per calcolarle si basa sul teorema di derivazione della funzione inversa.
Derivate di radici e di funzioni fratte
In tabella non abbiamo elencato le derivate delle radici né delle funzioni fratte del tipo con , perché ricordarle a memoria è inutile.

Ad esempio, per derivare una radice della forma

basta riscriverla secondo la definizione di radicale, come potenza con esponente fratto:

Quindi, grazie alla derivata della potenza indicata in tabella:

Se invece dovessimo derivare il reciproco di una potenza come

sarebbe sufficiente riscriverla come potenza ad esponente negativo

e usare la derivata della potenza:

Alcune dimostrazioni delle derivate fondamentali

Vediamo le dimostrazioni di alcune derivate notevoli con la definizione, in estrema sintesi e a titolo esemplificativo. Sappiate che in generale sono semplici e vanno sapute; se volete approfondire i passaggi, come pure leggere quelle che non menzioniamo qui, potete fare riferimento alle pagine linkate in tabella.

Come anticipato, le derivate delle funzioni elementari si deducono applicando la definizione. Dovremo sempre calcolare il limite del rapporto incrementale in un generico punto .

Spesso dovremo usare uno dei limiti notevoli per portare a termine il calcolo, e attenzione: qui è che tende a zero, non .

1. Se è costante, allora .

2. Se , allora .

3. Se , con , allora .

Raccogliamo la tra parentesi:

Raccogliamo a numeratore:

Dividiamo e moltiplichiamo per a denominatore

e infine applichiamo il limite notevole:

4. Se , allora .

Raccogliamo , e per una nota proprietà delle potenze:

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato il limite notevole dell'esponenziale.

Si ragiona in modo analogo se , per cui troviamo .

5. Se , allora .

Per una nota proprietà dei logaritmi, il logaritmo di un rapporto è la differenza dei logaritmi, e viceversa:

Dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo:

Dividiamo e moltiplichiamo per a denominatore

e applichiamo il limite notevole del logaritmo:

In modo analogo se , allora .

6. Se , allora .

Usiamo la formula di sommazione degli angoli per il seno:

Spezziamo il limite in modo opportuno:

Ora, per risulta che , quindi il primo limite vale zero. Sul secondo applichiamo il limite notevole del seno:

In modo analogo si prova che se , allora .

Vi aspettiamo nella prossima lezione!

Se qualcosa non fosse chiaro, vi invitiamo a cercare qui su YouMath: ci sono migliaia di lezioni, approfondimenti ed esercizi risolti; a titolo di cronaca c'è anche un comodo calcolatore di derivate online. ;)

Adjö, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Derivate fondamentali: tabella e dimostrazioni

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Tabella con tutte le derivate fondamentali, ossia le derivate delle funzioni elementari da conoscere, con le relative dimostrazioni.

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Wordwall - Crea lezioni stimolanti e divertenti in poco tempo

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Telequiz - Un quiz a risposta multipla cronometrato, con vite e un round bonus.

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Derivate nella vita reale: un'applicazione pratica

indice

7. Team

6. Conclusioni

5. Applicazioni derivate nell'ingegneria

4. Applicazioni derivate nella fisica

3. Applicazioni derivate nell'economia

2. Dove vengono utilizzate

1. Introduzione alle derivate

Introduzione alle derivate

Le derivate sono uno strumento matematico importante che ha molte applicazioni nella vita reale. Le derivate rappresentano il tasso di variazione di una funzione in un punto specifico. In altre parole , le derivate ci dicono quanto velocemente sta cambiando una funzione in un determinato punto.

Introduzione alle derivate

dove vengono utilizzate...

Tasso di crescita di una azienda

Velocità oggetti

Ingegneria

Fisica

Economia

Applicazioni delle derivate nell'economia

Le derivate sono ampiamente utilizzate nell'economia per analizzare i mercati finanziari e gestire il rischio. Ad esempio, le opzioni sono contratti che conferiscono al titolare il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare o vendere un bene ad un prezzo prestabilito in futuro. Le derivate vengono utilizzate per calcolare il prezzo delle opzioni e per valutare il rischio associato ad esse.Inoltre, le derivate sono utilizzate per costruire portafogli diversificati e per proteggere gli investimenti da fluttuazioni di mercato indesiderate.

Inoltre, le derivate sono utilizzate per descrivere le onde elettromagnetiche e le proprietà dei materiali. Le derivate sono quindi uno strumento fondamentale per la comprensione del mondo fisico.

Le derivate sono utilizzate nella fisica per descrivere il movimento degli oggetti e per calcolare la velocità, l'accelerazione e la forza. Ad esempio, la legge di Newton sulla gravità utilizza le derivate per calcolare la forza gravitazionale tra due oggetti in base alla loro massa e alla distanza tra di loro.

Applicazioni delle derivate nella fisica

Le derivate sono utilizzate nell'ingegneria per progettare e ottimizzare sistemi complessi. Ad esempio, le derivate sono utilizzate per calcolare la velocità e l'accelerazione di un veicolo in movimento e per progettare circuiti elettronici.

Applicazioni delle derivate nell'ingegneria...

le derivate nello studio dell'accelerazione...

Piccolo video dimostrativo sull'applicazione delle derivate per calcolare la velocità istantanea e il moto uniformemente accellerato.

Inoltre, le derivate sono utilizzate per analizzare il flusso di fluidi e la resistenza aerodinamica. Le derivate sono quindi uno strumento essenziale per gli ingegneri che lavorano in una vasta gamma di settori, dalla meccanica all'elettronica.

Applicazioni delle derivate nell'ingegneria...

In conclusione, le derivate sono uno strumento essenziale per chiunque lavori in campi che richiedono una solida conoscenza matematica. La comprensione delle derivate può aprire molte opportunità professionali e consentire di affrontare problemi complessi in modo efficace ed efficiente.

Team:

Roberta

Davide

Bruno

# data[].attributes.attachment_link.description
Calcolatrice fattoriale online. n! = 1 * 2 * 3 * ... * n.

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Valerio Pattaro - Fisica Matematica Logica

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Serie di Taylor e approssimazioni di funzioni