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Em vídeo - para a segunda submissão do trabalho

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Em vídeo - para a segunda submissão do trabalho

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Analise em vídeo das isometrias da nossa criação.

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Realizámos a mesma reflexão que o artista, juntando todas as caras e caudas do peixe, criando este barulho de imagem.

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Peixes que representam juntos uma tartaruga

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Peixes que representam juntos uma tartaruga

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Os peixes do centro, tal como os seus olhos, são feitos por reflexão por um eixo. As cores foram escolhidas depois.

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Com este trabalho enfrentei grandes desafios.

A criação de algo original e abstrato pode ser bastante difícil neste programa... mas só se não praticarmos e insistirmos a enfrentar os problemas. Um fator que me incomodou bastante foi o selecionar de cada figura, cada pequeno polígono, cada segmento para o refletir, ou manipular com outro tipo de isometria. Com o passar de algumas horas consegui perceber que poderia simplesmente arrastar o rato e selecionar todos os elementos ao mesmo tempo.

Envolvi-me ativamente neste trabalho, e pude mostrar o meu lado artístico, o que sempre é muito agradável de realizar nas UC's deste curso. Agradeço a liberdade que nos foi dada para a execução da obra.

Algo mais importante do que realizar trabalhos, é ter gosto ao produzi-los, e devo admitir que cada pequeno passo foi muito divertido de ultrapassar. Consegui explorar funções do Geogebra que nunca nos tinham sido mostradas (a nível de construção: elipses, circuncirculos; e a nível estético: padrões, tipos de linhas) e tudo num mar desconhecido.

Sempre que produzia alguma isometria sentia que podia ir mais além. Talvez tenha aprofundado muito, mas foi tudo pela minha admiração ao grande artista Maurits Cornelis Escher.

Quanto à minha formação académica, posso dizer que me tornei quase «pró» no programa do Geogebra (há de haver algum humor mesmo em questões académicas!). Acredito que se na próxima cadeira de matemática nos sugerirem novamente o programa, não terei dificuldades. Quanto à minha formação pessoal, pude expressar de uma forma muito diferente do habitual a minha arte. Nunca tinha pensado em utilizar formas geométricas para produzir figuras de animais ou de humanos. Com a realização deste trabalho o meu futuro processo criativo ficará influenciado.

Finalmente, foi muito interessante refletir sobre as diferentes formas que a arte incorpora a matemática.

Para além da matemática ser universal, quando se junta à arte, esta também o é. Reflitamos como em cada compasso musical cabem diferentes tempos, e sempre simétricos entre si; ou as diferentes frequências que as notas apresentam; ou na dança, como diferentes géneros implementam diferentes números de passos... os exemplos são infinitos. E esta é a importância da matemática.

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Maurits Cornelis Escher, mais conhecido como M.C. Escher, foi um artista gráfico holandês nascido em 17 de junho de 1898 e acabou por falecer a 27 de março de 1972.

Escher teve uma infância difícil, marcada pela doença e pela morte de sua mãe. Aos 13 anos, mudou-se com a família para Arnhem, onde frequentou a Escola de Arquitetura e Artes Decorativas de Haarlem. Descontente com o curso de arquitetura, transferiu-se para o curso de Artes Decorativas, onde estudou com Samuel Jessurun de Mesquita, que o influenciou profundamente.

Ao terminar a formatura procurou aprimorar as suas habilidades e em 1922 mudou-se para Itália onde desenvolveu seu estilo único, explorando temas como a relatividade, a perceção e a infinidade.

Podemos observar simetrias muitas das obras de Escher como:

“Céu e Água” (1938)

Translações tanto nos peixes como nos pássaros.

Reflexão presente em toda a figura.

“Relatividade” (1953)

A que mais se percebe é a rotação na pintura inteira.

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Nadir Afonso viveu de 1920 a 2013, foi um arquiteto e pintor português, pioneiro da arte em movimento.

Nascido em Chaves, formou-se em arquitetura no Porto. Já em Paris, estudou pintura e dedicou-se à abstração geométrica, explorando a luz, a cor e o movimento.

Abandonou a arquitetura em 1965 para se dedicar exclusivamente à pintura.

É um pinto reconhecido internacionalmente, recebeu diversos prémios, incluindo o Prémio Nacional de Pintura (1967).

Podemos encontrar diversas simetrias nas suas maiores obras, como em:

“Linhas de Força” (1959):

Translação nas diversas figuras geométricas, como nos triângulos, quadrados e retângulos.

Rotação nos círculos, podem ser girados em torno de um eixo central sem que a sua forma se altere, demonstrando simetria rotacional.

“A Cidade dos Príncipes”  (1999):

Rotacional no centro da pintura, nos círculos coloridos.

Traslação nos quadrados ou nos retângulos.

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José Escada nasceu em Lisboa (1934) e faleceu em Lisboa (1980), foi um pintor português.

A suas obras caracterizavam-se por uma abstração lírica, com ênfase na cor, na luz e na textura.

O pintor português frequentou a Escola de Artes Decorativas de Lisboa, no curso de Pintura. Quando concluiu o curso (1958), começou a participar em exposições individuais e coletivas em Portugal e no estrangeiro.

Aprofundou a sua técnica e utilizava diversos materiais nas suas pinturas, como óleo, acrílico, guache e colagens. As suas obras exploravam temas como a memória, a identidade e a espiritualidade.

Podemos observar diversas simetrias em muitas das obras de José Escada como:

“Recorde Branco” (1968) ou “Recorte em relevo” (1968)

Nestas pinturas está notoriamente representada a reflexão, é como se o nosso cérebro imaginasse uma linha ao centro e ao dobrar a pintura carimbasse de um lado.

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Pieter Cornelis Mondrian foi um pintor holandês nascido em 7 de março de 1872 e falecido a 1º de fevereiro de 1944.

Mondrian cresceu em uma família religiosa e teve um interesse precoce pela arte. Aos 20 anos, mudou-se para Amsterdam para estudar arte na Academia Real de Belas Artes.

Em 1912, mudou-se para Paris, onde se juntou ao grupo de artistas cubistas e experimentou com a fragmentação da forma e a utilização de cores primárias.

Mondrian acreditava que a arte deveria ser universal e livre de referências ao mundo natural.

Podemos encontrar diversas simetrias nas suas maiores obras, como em:

Econtramos sem duvida as translações entre retangulos, essa normalmente acontece em muitos dos seus quadros. “Composition with gray and light Brown” (1918).

Percebemos uma rotação ou uma reflexão deslizante em todo o quadro “composition with grid IX” (1919), nos quadrados, apenas alterava a cor.

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A calçada portuguesa, um símbolo da cultura portuguesa, moldado ao longo dos séculos. Sua origem remonta à época renascentista e dos descobrimentos, quando a procura por um espaço público mais limpo, funcional e agradável impulsionou a sua criação.

Mais do que um mero revestimento do solo, a calçada portuguesa transformou-se numa forma de arte, traduzindo a alma portuguesa através de mosaicos de pedra. Os padrões geométricos, meticulosamente elaborados, narram histórias, celebram tradições e refletem a criatividade do povo português.

Ao longo do tempo, a calçada portuguesa evoluiu, incorporando novas técnicas e materiais, sem jamais perder sua essência. Hoje, decora  ruas, praças e monumentos em Portugal e pelo mundo, encantando os olhos e inspirando artistas.

Conseguimos encontra de todas as simetrias nos diferentes desenhos das calçadas e ao apercebermo-nos das simetrias parece que a calçada ganha mais valor porque deixa de ser meramente bonita e património para vermos todo o trabalho e pensamento que houve por trás da sua construção.

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Spem In Alium (Thomas Tallis) - Tallis Scholars

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Spem In Alium (Thomas Tallis) - Tallis Scholars

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Ao elaborar este trabalho percebo que esta presente em tudo - da natureza à arte e à matemática . Parece ser um código que organiza o mundo para c4iar beleza e harmonia.

Na natureza, vemos a simetria nas pétalas das flores, nas asas das borboletas e nas estrelas no céu. Na arte, ela é usada para criar composições equilibradas e esteticamente agradáveis. Na matemática, a simetria é fundamental para entender a ordem e a estrutura do universo.

Por isso, questiono-me sobre seu significado. É apenas uma coincidência? Ou há algo mais profundo na sua presença? A simetria parece nos lembrar que mesmo no caos, existe uma estrutura que dá sentido ao mundo.

Ao refletir sobre a simetria, sinto admiração e gratidão pelo universo. Agradeço a oportunidade de experienciar sua beleza e me inspiro a viver uma vida mais simétrica e harmoniosa.

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J.S. Bach - Toccata and Fugue in D minor BWV 565

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J.S. Bach - Toccata and Fugue in D minor BWV 565

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Alguns dos peixes dos lados foram igualmente refletidos por eixos (fim da cauda).

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Outros sofreram de reflexão deslizante. Utilizando o exemplo dos peixes verdes, em que refletimos pelo eixo (fim da cauda castanha) e direcionámos por um vetor o peixe para a esquerda).

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Tartarugas com a pequena tartaruga no centro

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Tartarugas com a pequena tartaruga no centro

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Estas tartarugas são resultado de reflexão em relação a cada eixo (x e y).

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O recurso das tartarugas e peixes.

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O recurso às tartarugas

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As bolhas grandes foram feitas por rotação por amplitude de 45º. Igualmente às bolhas mais pequenas. As circunferências foram utilizadas para dar um efeito de mandala e infinidade.

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Um quadro tão pacifico e belo, e tão apropriado ao nosso tema.

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Os peixes azuis sofreram de reflexão em relação a um ponto (os lábios). Os peixes laranja sofreram de rotação com o centro (lábios dos peixes) e amplitude de 90º. Jogámos com as diferentes funções do programa, dando texturas aos triângulos, e pintando polígonos irregulares de branco para dar um efeito de listras nos peixes laranjas. Cada detalhe nos peixes foi refletido por um ponto.

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O conjunto dos peixes azuis e laranjas foi manuseado por rotação com a amplitude de 45º. Acrescentámos peixes cor de rosa com o mesmo tipo de isometria.

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As bolhas anteriormente feitas sofreram de translação por um vetor, como mostramos na imagem, para um local exterior às circunferências.

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E imitámos o efeito das bolhas anteriores, manipulando-as com rotação de 45º cada uma.

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E acrescentámos mais bolhas, com rotação de 45º.

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Novamente com rotação, objeto, amplitude de 45º.

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Utilizamos texturas na pérola: clicando no botão esquerdo do rato aparecerá (propriedades do objeto) - (estilo)- (enchimento) - (Favo_de_Mel).

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Realizámos as conchas em espiral através do arco circular (com base em circunferências que depois apagámos).

As conchas com pérolas foram construídas com semicircunferências para o topo e arcos circuncirculares de 3 pontos para a base.

Os dois elementos sofreram de rotação por amplitude de 45º.

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Reflexão em relação a um eixo.

(São feitas apartir de arcos circuncirculares pretos, e o mesmo a cinzento para criar volume).

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Rotação por amplitude 47º.

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Formada por semicircunferências e os riscos são feitos por arcos circuncirculares. O brilho foi feito com uma elipse com o preenchimento translucido.

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Alforrecas - reflexão em relação aos eixos x e y.

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O corpo é uma elipse, e todas as suas patas são polígonos irregulares refletidos para a outra metade da figura.

Os olhos são circunferências concêntricas refletidas.

Já as garras são polígonos irregulares juntamente a uma semicircunferência, igualmente refletidas.

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Sofreram de uma translação por um vetor de 2,26 de distância de cada um.

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András Schiff - Bach. French Suite No.6 in E Major BWV817

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András Schiff - Bach. French Suite No.6 in E Major BWV817

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A figura foi refletida e depois sofreu de translação com 2,26 de distância. Esta translação foi para a direita com a direção levemente para cima.

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Beethoven - Moonlight Sonata - Sonata ao Luar - Sonata Op. 27 n. 2 (Full)

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Beethoven - Moonlight Sonata - Sonata ao Luar - Sonata Op. 27 n. 2 (Full)

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Arnold Schönberg - Fünf Klavierstücke, op. 23 (Hajo Sanders)

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Arnold Schönberg - Fünf Klavierstücke, op. 23 (Hajo Sanders)

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Wiener Philharmoniker - Maurice Ravel - Bolero - Regente Gustavo Dudamel  (HD)

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Wiener Philharmoniker - Maurice Ravel - Bolero - Regente Gustavo Dudamel  (HD)

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Através de um vetor no centro das figuras direcionámo-las para o outro lado da mandala.

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Tirando inspiração de uma grande obra de Escher colocámos toda esta representação das profundezas... num olho!!

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E já agora... se fizemos tantas isometrias, porque não refletir o olho?

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Achavam que tinhamos acabado por aqui? Não. Bem avisámos que iríamos dar significado à palavra «originalidade». Tendo em conta as nossas inspirações, não poderiamos finalizar o trabalho de melhor forma: com uma cara, imitando o seu autoretrato.

Aqui utilizámos a reflexão de vários arcos circuncirculares.

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Escolhemos «olhares» pela representação dos olhos no geogebra e por tudo o que eles «vêem». A construção dos olhos foi baseada numa grande obra de Escher intitulada por «Oog Eye». Dentro do olho desta obra aparece escondida uma caveira, e dentro do nosso olho colocámos uma espécie de mandala do mar. Sabendo que as mandalas dão um efeito de infinidade, atribuímos o adjetivo «infinitos» no título.

Já que o tema principal desta construção é o mar, e toda ela é composta por isometrias, colocámos «navegar na simetria do mar», dando o efeito utópico que os olhos navegam no mar.

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Foi-nos proposto realizar uma reflexão individual para o trabalho de grupo, na cadeira de matemática IV. Realizei o trabalho de grupo com a Adriana Rojo e a Adriely Miranda.

O trabalho realizado no Geogebra foi desafiador, não sabíamos que tema escolher e nem por onde começar. E ainda não sabíamos utilizar nenhuma das ferramentas das simetrias, então aos poucos fomo-nos organizando. Começamos por pensar num tema, fomos desenhando várias ideias e aos poucos chegamos a uma ideia inicial, a um ponto de partida. O nosso tema escolhido tinha sido o mar, os animais marinhos.

Depois decidimos começar por explorar as simetrias em diversas obras de arte, “mergulhamos num mar matemático”. Na pesquisa que fizemos acabamos por retirar ainda mais ideias para o nosso trabalho como por exemplo a inspiração que tivemos em Escher, no autorretrato e no olho- Pensamos em “Uma visão matemática”. Observamos pinturas incríveis que nunca tínhamos visto.

Analisarmos as obras de artistas como Escher, Mondrian, Nadir Afonso e José Escada, percebemos imensas simetrias, onde cada elemento parecia encaixa-se perfeitamente.

Através do Geogebra, tentamos fazer algumas adaptações a esses padrões geométricos, e ao mesmo tempo explorar os diversos tipos de simetria. Como é o caso da tartaruga central da nossa composição, foi inspirada nos peixes de Escher.

Gostei muito de realizar este trabalho, no início quando a professora nos apresentou o trabalho que era pretendido realizar fiquei um pouco assustada porque me pareceu um trabalho muito complexo e que demoraria muito tempo. Estava enganada, pois até que me diverti a realizar o trabalho. Diverti-me a explorar o Geogebra, a pesquisar mais sobre a arte e a matemática como as incríveis calçadas portuguesas que temos e não lhes damos os devidos valores ou a dança e a música. A matemática está por todo o lado onde andamos só precisamos de “ver com olhos de ver” para a identificar.

Este trabalho vai ser muito útil para a nossa futura profissão para ensinar a matemática de forma mais dinâmica, para não deixar os mais  pequeninos a não gostarem da matemática. O Geogebra ajuda a desenvolver um espírito critico e curioso para a matemática, além de ser um programa digital e eles adoram as novas tecnologias.

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Foi nos pedida a realização de um trabalho no âmbito da UC Matemática IV, com o recurso do software Geogebra. Durante as aulas desta UC manuseamos o software e descobrimos as várias funções autonomamente. Este último trabalho visa uma construção artística original utilizando todos os tipos de isometrias, explorando as funções de rotação, translação e reflexão do Geogebra. E se nos foi proposta a «originalidade» porque não fazer por isso?

Navegue connosco neste mar matemático, e analise como utilizamos as:

-translações (onde todos os pontos do plano sofrem uma deslocação com a mesma «quantidade» numa dada direção ou sentido. No Geogebra funciona através de um vetor que tem um dado sentido, direção e comprimento que selecionarmos);

-rotação (a figura é transformada pelo centro de rotação- um ponto da própria figura- e os restantes pontos movimentam-se em torno do centro. No Geogebra funciona através da seleção do objeto e de um centro e amplitude);

-reflexão (transformação do plano através do eixo de reflexão, todos os pontos e segmentos convertem-se em espelho para o outro lado do eixo. No Geogebra a reflexão pode ser manuseada por um ponto ou eixo);

-e reflexão deslizante (isometria que combina a reflexão com a translação, portanto a figura reflete para o outro lado do eixo e desliza para qualquer lado. No Geogebra pode ser efetuado refletindo a figura e selecionar um vetor que a movimente para outra direção);

de um modo extremamente criativo.