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Podcast : Modelagem de Sistemas Elétricos: Do circuito à aplicação real

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Podcast : Modelagem de Sistemas Elétricos: Do circuito à aplicação real

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Podcast 1: Modelagem de Sistemas Elétricos: Do circuito à aplicação real

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Podcast – Fundamentos da Modelagem Matemática: a arte de traduzir o real em equações

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Podcast – Fundamentos da Modelagem Matemática: a arte de traduzir o real em equações

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Podcast 4 – Fundamentos da Modelagem Matemática: a arte de traduzir o real em equações

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Podcast  – Modelagem de Sistemas Mecânicos: a dinâmica do movimento em equações

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Podcast  – Modelagem de Sistemas Mecânicos: a dinâmica do movimento em equações

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Podcast 5 – Modelagem de Sistemas Mecânicos: a dinâmica do movimento em equações

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Podcast – Modelagem Empírica: quando os dados falam mais alto.

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Podcast – Modelagem Empírica: quando os dados falam mais alto.

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Podcast 6 – Modelagem Empírica: quando os dados falam mais alto.

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Podcast  – Modelagem de Sistemas de Processos: da planta à equação

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Podcast  – Modelagem de Sistemas de Processos: da planta à equação

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Podcast 2 – Modelagem de Sistemas de Processos: da planta à equação

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Podcast – Análise Dinâmica de Sistemas: entendendo o tempo nas engenharias

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Podcast – Análise Dinâmica de Sistemas: entendendo o tempo nas engenharias

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Podcast 3 – Análise Dinâmica de Sistemas: entendendo o tempo nas engenharias

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A modelagem elétrica é uma técnica usada para descrever matematicamente o comportamento de circuitos elétricos através de equações diferenciais baseadas nas leis físicas fundamentais. Em outras palavras, é como traduzir um circuito elétrico físico para uma linguagem matemática capaz de prever como ele vai se comportar ao longo do tempo.

Essa técnica permite:

Prever a evolução temporal das variáveis elétricas, como tensão, corrente e carga.

Facilitar a análise de estabilidade e desempenho de sistemas elétricos usados em automação e controle.

Projetar sistemas robustos, como fontes de alimentação, sensores eletrônicos, controladores e circuitos digitais.

A modelagem de sistemas elétricos é um pilar fundamental para engenheiros que desejam projetar sistemas confiáveis e eficientes na prática industrial.

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KASCHNY, J. R. Componentes eletrônicos: resistores, capacitores e indutores. [S.l.]: [s.n.], 2013.

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Para realizar a modelagem matemática de circuitos elétricos, é essencial entender os três componentes elétricos fundamentais: resistor (R), indutor (L) e capacitor (C). Cada um possui características específicas e é representado por equações matemáticas simples, porém fundamentais:

🔸 Resistor (R)

Lei de Ohm: V=R⋅iV

O resistor converte energia elétrica em calor e é responsável por limitar a corrente elétrica no circuito.

🔸 Capacitor (C)

Equação característica: i=C*(dV/dt)

Capacitores armazenam energia elétrica na forma de campo elétrico e são usados em circuitos para filtragem e armazenamento temporário de energia.

🔸 Indutor (L)

Equação característica: V=L*(di/dt)

Indutores armazenam energia na forma de campo magnético e são usados principalmente em filtros e circuitos oscilatórios.

Interpretação prática:

O resistor controla intensidade de corrente;

O capacitor controla variações rápidas de tensão;

O indutor controla variações rápidas de corrente.

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Figura 1 – Etapas da Modelagem Matemática
Fonte: Adaptado de RODRIGUES, W.; FONSECA, M. G. Modelagem matemática: uma abordagem metodológica. Zetetiké, Campinas, v. 13, n. 24, p. 61–78, 2005.

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Ferramentas matemáticas visando criar representações simplificadas de sistemas e processos industriais. Essas representações, ou modelos, permitem entender, prever e otimizar o comportamento desses processos.

Eles servem como uma representação simplificada da realidade.

Motivação: A modelagem é necessária para:

Entender o comportamento de um processo.

Prever como o processo se comportará sob diferentes condições operacionais.

Otimizar o desempenho do processo (ex: aumentar a produção, reduzir custos, melhorar a qualidade).

Projetar novos processos ou equipamentos.

Desenvolver sistemas de controle mais eficazes.

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Figura 3 –  Aplicações Reais por Tipo Modelo. Fonte: Elaboração própria.

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Figura 2 – Classificação de Modelos Matemáticos segundo critérios técnicos  
Fonte: Elaboração própria.

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Classificação dos Modelos

Os modelos matemáticos podem ser classificados de diversas formas, cada uma adequada a um tipo específico de análise:

Estático vs. Dinâmico:

Estático: Não considera a variação das variáveis no tempo (descreve o processo em regime estacionário).

Dinâmico: Descreve como as variáveis do processo mudam ao longo do tempo (crucial para entender transientes e controle).

Linear vs. Não Linear:

Linear: A relação entre entradas e saídas é diretamente proporcional. Podem ser resolvidos por métodos analíticos.

Não Linear: A relação não é proporcional, exigindo linearização para certas análises ou métodos numéricos.

Contínuo vs. Discreto (no tempo):

Contínuo: Variáveis mudam continuamente ao longo do tempo (comuns para sistemas físicos).

Discreto: Variáveis são avaliadas em instantes específicos de tempo (comuns em controle digital ou simulações).

Fenomenológico vs. Empírico:

Fenomenológico (Caixa Transparente): Construídos com base em leis fundamentais da física e química (balanços de massa, energia, momento), usando conhecimento profundo do processo.

Empírico (Caixa Preta ou Caixa Cinza): Desenvolvidos a partir de dados experimentais, sem um conhecimento detalhado dos mecanismos internos. A caixa cinza combina aspectos fenomenológicos com dados.

MISO (Múltiplas Entradas, Uma Saída) vs. MIMO (Múltiplas Entradas, Múltiplas Saídas).

Determinístico vs. Estocástico.

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 Leis de Kirchhoff – A base da modelagem elétrica

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 Leis de Kirchhoff – A base da modelagem elétrica

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Primeira Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes)

“A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem.”

Também chamada de Lei da Conservação da Carga, essa lei garante que não há acúmulo ou desaparecimento espontâneo de corrente elétrica em um ponto de conexão do circuito.

Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões)

“A soma das diferenças de potencial (tensões) em uma malha fechada é igual a zero.”

Também chamada de Lei da Conservação da Energia, ela garante que a energia fornecida por fontes no circuito é totalmente consumida pelos componentes resistivos, capacitivos e indutivos.

As leis de Kirchhoff não se aplicam apenas a circuitos elétricos. Conceitualmente, elas também inspiram regras semelhantes em sistemas hidráulicos, térmicos e até econômicos — sempre que houver conservação de algo mensurável!

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Aplicações da Modelagem em Sistemas Específicos

A modelagem matemática é aplicada a diversos tipos de sistemas em processos contínuos:

Sistemas Hidráulicos: Modelagem de tanques, tubulações, escoamento de fluidos (nível, vazão, pressão).

Sistemas Térmicos: Modelagem de trocadores de calor, aquecedores, reatores com troca de calor (temperatura, transferência de energia).

Sistemas com Reação Química: Modelagem de reatores (concentrações de reagentes/produtos, taxa de reação).

Sistemas Mecânicos: Modelagem de agitadores, bombas, transportadores (movimento, força, torque).

Sistemas Elétricos: Embora menos foco no design de circuitos, a modelagem de elementos elétricos é relevante para entender o comportamento de sensores, atuadores e sistemas de controle eletrônicos que interagem com o processo.

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AULA - Modelagem Matemática e Simulação - Instituto Militar de Engenharia

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AULA - Modelagem Matemática e Simulação - Instituto Militar de Engenharia

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Modelagem Matemática e Simulação 1 - Aula 01 - Princípios de Modelagem Matemática

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Figura 4 –  Equação do Circuito RLC de 2ª ordem. Fonte: Elaboração própria.

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Circuito RLC – Sistemas de segunda ordem

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Circuito RLC – Sistemas de segunda ordem

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Além dos circuitos simples RC, temos circuitos mais complexos que incluem resistores (R), indutores (L) e capacitores (C). Esses circuitos são conhecidos como circuitos RLC e possuem comportamento dinâmico mais rico, descrito por equações diferenciais de segunda ordem.

Aplicações práticas:

Circuitos de rádio (sintonizadores)

Osciladores eletrônicos

Circuitos de filtragem em sistemas de comunicação

Circuitos RLC podem apresentar comportamentos importantes, como amortecimento (quando o sistema volta lentamente ao equilíbrio) e ressonância (quando o sistema oscila intensamente numa frequência específica).

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O que é modelagem em um sistema mecânico? 

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O que é modelagem em um sistema mecânico? 

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Modelagem de um sistema mecânico é o processo de criar uma representação matemática que descreva o comportamento físico de um sistema que envolve movimento, forças, massas, atrito, molas, amortecedores, etc. Essa modelagem permite:

Analisar como o sistema vai se comportar diante de certas condições.

Projetar controles (como em sistemas automáticos ou robôs).

Simular cenários antes de construir o sistema físico.

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A modelagem empírica é uma abordagem fundamental para compreender e prever o comportamento de sistemas dinâmicos, especialmente quando o conhecimento teórico completo do sistema é limitado ou inexistente. Ela se baseia na coleta e análise de dados experimentais para construir representações matemáticas ou estatísticas que descrevem as relações entre as variáveis observáveis de um sistema.

1. Natureza da modelagem empírica

Baseia-se na correspondência entre modelo e realidade: o modelo só é útil se reproduzir de perto o comportamento observado do sistema .

Usa técnicas estatísticas ou computacionais (ajuste de curvas, regressões, redes neurais) para encontrar padrões, sem pressupor forma funcional específica.

2. Origem filosófica

Inspirada pelo empirismo radical de William James, que defende que nosso conhecimento vem diretamente da experiência.

Reflete o teorema de Takens e o enfoque em sistemas dinâmicos, permitindo reconstrução de dinâmica complexa a partir de dados unidimensionais.

3. Diferença entre empírico e teórico

Modelos teóricos partem de leis conhecidas (como leis de Newton ou termodinâmica), criando representações simplificadas com base em conceitos fundamentais .

A modelagem empírica não assume relações predefinidas, mas descobre conexões e estruturas diretamente nos dados

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Etapas Clássicas da Modelagem Empírica

1. Coleta de dados – observação, medições ou séries históricas.

2. Análise exploratória – gráficos de dispersão, estatísticas descritivas, identificação de tendências iniciais .

3. Escolha do método – regressão, aprendizado de máquina, redes neurais, decomposição ou projeção de dados.

4. Ajuste e validação – estimativa de parâmetros, avaliação de precisão, validação cruzada e análise de incerteza .

5. Interpretação e refinamento – avaliar se o modelo faz sentido prático e refinar com mais dados.

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SEBORG, Dale E.; EDGAR, Thomas F.; MELLICHAMP, Duncan A.; DOYLE, Francis J. Process dynamics and control. 4th ed. Hoboken: Wiley, 2017.

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Process Dynamics - Seborg | Edgar | Mellichamp | Doyle

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Process Dynamics - Seborg | Edgar | Mellichamp | Doyle

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Aplicações da Modelagem Empírica

A modelagem empírica encontra aplicações em uma vasta gama de campos. Alguns exemplos incluem:

Engenharia: Controle de processos industriais, projeto de sistemas de controle, previsão de desempenho de máquinas.

Ciências Ambientais: Previsão de qualidade do ar e da água, modelagem de ecossistemas, análise de mudanças climáticas.

Economia: Previsão de mercados financeiros, modelagem de crescimento econômico, análise de políticas econômicas.

Medicina: Modelagem de respostas a medicamentos, previsão de progressão de doenças, otimização de tratamentos.

Agricultura: Otimização de sistemas de irrigação, previsão de rendimento de culturas, manejo de pragas.

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Transformar um sistema físico real (como um tanque, trocador de calor ou reator) em um modelo matemático que represente suas características dinâmicas. Isso possibilita:

Simular o comportamento do sistema sem precisar operá-lo fisicamente;

Projetar sistemas de controle (ex: manter a temperatura ou o nível de um tanque estáveis);

Otimizar processos industriais, economizando energia, tempo e recursos;

Antecipar problemas, como instabilidades ou respostas lentas.

O que compõe um modelo?

Todo modelo matemático de processo contínuo é formado por:

Entradas (ex: vazão de entrada, calor fornecido)

Saídas (ex: temperatura, nível)

Variáveis de estado (ex: massa de fluido, energia acumulada)

Parâmetros físicos (ex: área do tanque, capacidade térmica, resistência térmica)

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MARRA JUNIOR, Wiclef Dymurgo. Conservação da massa e energia em processos físicos e químicos: balanços materiais e energéticos. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2020. DOI: 10.11606/9786586954265.

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A base da modelagem de sistemas de processos está nas leis de conservação — princípios fundamentais da física que afirmam que nada se cria ou se perde dentro de um sistema, apenas se transforma ou se acumula.

Conservação de massa:

"A massa total em um sistema não pode ser criada nem destruída."

No contexto de um processo contínuo, como o escoamento de um fluido em um tanque, o balanço de massa é dado por:

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

M(t): massa acumulada no sistema

m(in): vazão mássica de entrada

m(out): vazão mássica de saída

Conservação de energia:

"A energia total de um sistema também é conservada — ela pode ser armazenada, transferida ou convertida."

O balanço de energia é formulado da seguinte forma:

dE(t)/dt = Q(in) - Q(out) + W(in) - W(out)

E(t): energia acumulada no sistema

Q: fluxo de calor

W: trabalho realizado

Como aplicar esses balanços?

1. Escolha o volume de controle (a região do sistema que será analisada);

2. Liste todas as entradas e saídas de massa e/ou energia;

3. Aplique as equações de conservação;

4. Use relações constitutivas (como leis físicas específicas) para fechar o modelo.

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Leis Fundamentais e Fenomenológicas na Modelagem de Processos

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Leis Fundamentais e Fenomenológicas na Modelagem de Processos

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A modelagem de sistemas de processos físicos envolve duas bases principais:

Leis de conservação (massa, energia, quantidade de movimento)

Leis fenomenológicas e empíricas (observações da natureza)

Lei de Lavoisier (Conservação da Massa)

“Na natureza, nada se cria, nada se perde, tudo se transforma.”

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

Primeira Lei da Termodinâmica (Conservação da Energia)

A energia interna de um sistema pode variar com calor e trabalho trocados.

dU/dt = Q(in) - Q(out) + W(in) - W(out)

Leis de Newton – Dinâmica de Sistemas

Segunda Lei (Força e movimento):

F = m * a

Base para modelar movimentos de fluidos, sólidos, pistões, etc.

Leis de Lagrange e Euler

Lagrange: útil para sistemas com restrições, fornece equações diferenciais diretamente a partir de energia cinética e potencial.

Euler: utilizada em sistemas contínuos como fluidos, modela conservação de momento e energia em forma vetorial.

Lei de Fourier – Condução de Calor

Relaciona fluxo de calor com gradiente de temperatura.

q = -k * dT/dx

Lei de Resfriamento de Newton – Convecção Térmica

Usada para modelar transferência de calor por convecção, comum em trocadores de calor.

Q = h A (T(superfície) - T(fluido))

Lei de Arrhenius – Cinética Química

Descreve como a velocidade de uma reação varia com a temperatura.

k = A exp(-Ea / (R T))

k: constante de velocidade da reação

A: fator pré-exponencial

Ea: energia de ativação

R: constante dos gases

T: temperatura absoluta

Muito utilizada para modelar reações químicas em reatores contínuos, fermentadores e processos térmicos.

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Gráfico 4 - Tanque com entrada e saída vazão constante. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 1: Tanque com entrada e saída (vazão constante)

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Exemplo 1: Tanque com entrada e saída (vazão constante)

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Vamos aplicar o que vimos até agora em um exemplo clássico da engenharia de processos: o tanque de nível com entrada e saída de fluido. Esse sistema está presente em indústrias químicas, alimentícias, farmacêuticas, estações de tratamento e muito mais.

Etapa 1:

Balanço de massa

Aplicando a Lei de Lavoisier, temos:

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

Como M(t) = ρ A h(t)

e considerando densidade constante (ρ), temos:

A * dh(t)/dt = q(in) - q(out)

Etapa 2:

Relação da vazão de saída

Pelo princípio de Torricelli (baseado na Lei de Bernoulli), a vazão de saída é proporcional à raiz quadrada do nível:

q(out) = k * sqrt(h(t))

Substituindo na equação anterior:

A dh(t)/dt = q(in) - k sqrt(h(t))

Essa é uma equação diferencial não linear, que descreve a variação do nível do tanque ao longo do tempo.

Interpretação

Quando q(in) > q(out), o nível sobe.

Quando q(in) < q(out), o nível desce.

O sistema tende a um estado estacionário onde q(in) = k * sqrt(h(est)).

Codigo Python no Colab: Clique aqui

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Linhas Gerais para Modelar Qualquer Processo

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Linhas Gerais para Modelar Qualquer Processo

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Identificar variáveis:

Variáveis de estado: aquelas que descrevem o estado interno do sistema ao longo do tempo.
Ex: temperatura T, nível h, concentração CA.

Variáveis de entrada: são controladas ou impostas ao sistema.
Ex: vazão de entrada q, temperatura de entrada T(in).

Variáveis de saída: são aquelas que medimos ou observamos.
Ex: nível final, temperatura final, conversão da reação.

Formular um modelo:

1 – Definir o sistema

Delimite as fronteiras físicas do que será modelado.
Ex: tanque, trocador, reator, etc.

2 – Aplicar leis de conservação

Massa

Energia

Quantidade de movimento

3 – Identificar relações constitutivas

São equações que ligam variáveis físicas.
Ex: Lei de Fourier, Lei de Ohm, Equação de Arrhenius, etc.

4 – Obter a equação diferencial final

Substitua as expressões auxiliares nas equações de conservação

Reorganize para obter equações diferenciais

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Gráfico 5 - Trocador de Calor Modelagem com Balanço de Energia. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 2: Trocador de Calor – Modelagem com Balanço de Energia

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Exemplo 2: Trocador de Calor – Modelagem com Balanço de Energia

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Descrição do sistema

Um fluido quente e um fluido frio passam por tubos paralelos separados por uma parede metálica;

A troca de calor ocorre por condução e convecção;

Vamos modelar o comportamento térmico do fluido frio, assumindo que o fluido quente tem temperatura constante.

Balanço de energia no fluido frio:

d(ρ* V Cp *T(t))/dt = h *A*(Tq - T(t))

ρ: densidade do fluido

V: volume do fluido

Cp: calor específico

T(t): temperatura do fluido frio no tempo

Tq: temperatura constante do fluido quente

h: coeficiente de troca térmica

A: área de troca térmica

Simplificando e reorganizando:

dT(t)/dt = (h*A / (ρ*V*Cp)) *(Tq - T(t))

Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem que descreve o aquecimento do fluido frio ao longo do tempo.

Interpretação:

Quando T(t) está muito abaixo de Tq, o fluido frio aquece rapidamente;

À medida que T(t) se aproxima de Tq, a troca de calor diminui;

O sistema tende ao equilíbrio térmico, onde T(t) = Tq.

Codigo Python no Colab: Clique aqui

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Gráfico 6 - Reator Químico com Camisa de Resfriamento. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 3: Reator Químico com Camisa de Resfriamento

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Exemplo 3: Reator Químico com Camisa de Resfriamento

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Descrição do Sistema

Um reagente A entra com vazão q1, concentração CA1 e temperatura T1;

A reação química A → B ocorre dentro do reator, catalisada internamente;

Uma camisa de resfriamento com temperatura Tc retira calor para manter a reação sob controle térmico.

Modelagem Matemática

Balanço de Massa Global
d(ρ V)/dt = ρ * q1 - ρ * q

Balanço de Espécie (A)
V dCA/dt = (CA1 - CA) q1 - Γ * V

Balanço de Energia no Reator
ρ*V *Cp* dT/dt = ρ* q1*Cp*(T1 - T) + (-ΔHr)*Γ *V + UA * (Tc - T)

Balanço de Energia na Camisa
ρc*Vc*Cpc*dTc/dt = ρc*qc*Cpc *(Tc0 - Tc) - UA * (Tc - T)

Cinética da Reação (Lei de Arrhenius)
Γ = k0*exp(-E / (R *T)) * CA

Simulação com Python

A simulação numérica considera os efeitos térmicos, reacionais e de troca com a camisa. O gráfico gerado mostra:

Temperatura do reator (T) crescendo rapidamente até atingir um platô, onde o calor gerado é equilibrado pela remoção pela camisa;

Concentração de A (CA) decrescendo exponencialmente, mostrando a conversão progressiva em produto;

Temperatura da camisa (Tc) variando levemente e mantendo o sistema estável.

Codigo Python no Colab: Clique aqui

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A análise dinâmica de sistemas estuda como variáveis internas de um sistema evoluem ao longo do tempo em resposta a entradas, perturbações ou condições iniciais. Ela é fundamental na engenharia para prever comportamentos, projetar controladores e garantir estabilidade e desempenho em processos reais.

Por que estudar sistemas dinâmicos?

Porque a maioria dos sistemas não são estáticos: eles mudam com o tempo.

Um tanque enche ou esvazia;

Um forno aquece até a temperatura desejada;

Um carro acelera e desacelera;

Uma reação química evolui até o equilíbrio.

Esses comportamentos precisam ser modelados, analisados e controlados.

O que a análise dinâmica permite?

Modelar sistemas reais com equações matemáticas;

Prever comportamentos futuros;

Projetar controladores (ex: PID);

Simular diferentes condições e entradas;

Estudar estabilidade, oscilação, resposta e tempo de acomodação.

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Lineares vs. Não Lineares

Lineares: seguem o princípio da superposição (proporcionalidade e aditividade).

Exemplo: dT/dt = -k * T

Não Lineares: a resposta não é proporcional à entrada; envolvem potências, produtos de variáveis, exponenciais, etc.

Exemplo: dT/dt = -k * T²

Tempo Contínuo vs. Tempo Discreto

Contínuos: variáveis definidas em todos os instantes de tempo.

Modelagem por equações diferenciais

Discretos: variáveis definidas em instantes específicos (ex: a cada 1s).

Modelagem por equações de diferenças

Determinísticos vs. Estocásticos

Determinísticos: mesmos parâmetros e entradas sempre geram a mesma saída.

Estocásticos: envolvem incertezas, ruído ou variabilidade (ex: mercado financeiro, previsão do tempo).

Causais vs. Não Causais

Causais: a saída depende apenas do presente e do passado.

Não causais: a saída depende também do futuro (inviável em sistemas físicos reais).

Estáveis vs. Instáveis

Estáveis: mesmo com perturbações, o sistema retorna ao equilíbrio.

Instáveis: qualquer perturbação pode levar a uma resposta crescente ou divergente.

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Gráfico 7 - Aquecimento de um Tanque de Água. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 1: Aquecimento de um Tanque de Água. 

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Exemplo 1: Aquecimento de um Tanque de Água. 

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Objetivo: Modelar empiricamente a temperatura em função do tempo com base em dados observados.

Código Phyton no Colab: Clique aqui

Parâmetros

a (amplitude) - ≈ 78.26 °C

b (constante de taxa) - ≈ 0.035 min⁻¹

c (offset) - ≈ 23.32 °C

Simulador online: https://www.mycompiler.io/view/ARMKib1TGD5

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Gráfico 8 - Modelagem Empírica de Potência Solar . Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 2: Modelagem Empírica de Potência Solar 

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Exemplo 2: Modelagem Empírica de Potência Solar 

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Modelamos a potência de um painel solar em função de irradiância (W/m²) e temperatura (°C) usando regressão linear múltipla com um termo de interação. Dados são sintéticos e contam com ruído experimental (caixa‑preta).

O gráfico exibido mostra potência prevista vs. medida; a linha tracejada é o ideal 1:1. Os pontos próximos à linha indicam bom ajuste.

Código Phyton no Colab : Clique aqui

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Gráfico 9 - Modelagem Empírica da Degradação de Bateria. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 3: Modelagem Empírica da Degradação de Bateria 

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Exemplo 3: Modelagem Empírica da Degradação de Bateria 

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Modelar como a capacidade da bateria (%) decai ao longo dos ciclos de carga/descarga, com base em dados observados.

Dados simulados

Eixo X: Número de ciclos (0 a 1000)

Eixo Y: Capacidade da bateria (com ruído simulado)

Modelo empírico usado

C(n)=a⋅exp(–b⋅n)+cC(n) = a · exp(–b·n) + c C(n)=a⋅exp(–b⋅n)+c

n = número de ciclos

a, b, c = parâmetros ajustados

A forma é de um decaimento exponencial, comum em envelhecimento físico de sistemas.

O gráfico exibe os dados de capacidade da bateria e a curva ajustada com base no modelo empírico.

O modelo segue bem a tendência de perda gradual de capacidade com o número de ciclos.

Código Phyton no Colab: Clique aqui

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1. Identificação dos elementos (massas, molas, amortecedores, juntas, etc.)

2. Definição das variáveis (posição, velocidade, aceleração…)

3. Aplicação das leis físicas (normalmente as leis de Newton ou o Princípio de D’Alembert)

4. Montagem das equações diferenciais que representam o sistema.

5. Simulação computacional (em softwares como MATLAB, Simulink ou Python).

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Gráfico 2 - Modelagem de um Processo Continuo, tanque com Entrada e Saída. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 1: Modelagem de um Processo Contínuo, Tanque com Entrada e Saída. 

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Exemplo 1: Modelagem de um Processo Contínuo, Tanque com Entrada e Saída. 

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Objetivo: Modelar o nível de líquido em um tanque

1 - Entrada de vazão constante q_in

2 - Saída proporcional ao nível: q_out = k · h

Equação diferencial:

A · dh(t)/dt = q_in - k · h(t)

Onde:

1 - A = área da seção transversal do tanque

2 - h(t) = altura do nível ao longo do tempo

3 - k = constante proporcional à saída de vazão

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Gráfico 3 - Modelagem de um Sistema Mecânico (massa mola amortecedor). Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 2: Modelagem de um Sistema Mecânico (massa mola amortecedor) 

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Exemplo 2: Modelagem de um Sistema Mecânico (massa mola amortecedor) 

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Objetivo: Modelar o comportamento de uma massa conectada a uma mola e um amortecedor.

Modelo físico:

Uma massa mmm

Uma mola com constante kkk

Um amortecedor com coeficiente de amortecimento ccc

Aplicação da 2ª Lei de Newton

Código Phyton no Colab: Clique aqui

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LINK ACESSO -> https://www.mycompiler.io/pt

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Gráfico 1: Resposta de um Circuito RC. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 1: circuito RC com entrada degrau

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Exemplo 1: circuito RC com entrada degrau

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Simulação em Python, codigo no Colab : Clique aqui

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Aula 1 - INTRODUÇÃO À MODELAGEM MATEMÁTICA

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Muitos sistemas encontrados na engenharia são não lineares, o que dificulta sua análise direta. Para facilitar, aplicamos uma linearização em torno de um ponto de operação (como um ponto de equilíbrio).

O objetivo é obter uma versão aproximadamente linear do sistema para usar ferramentas mais simples de análise e controle.

Como funciona a linearização?

Partimos de um sistema genérico:

dx(t)/dt = f(x, u, t)

E aplicamos a expansão em série de Taylor ao redor de um ponto de referência

(xref, uref):

x̄ = x − xref

ū = u − uref

Negligenciando as ordens superiores, temos o modelo linearizado:

dx̄(t)/dt = A·x̄(t) + B·ū(t)

Onde:

A = ∂f/∂x |ref

B = ∂f/∂u |ref

Essa abordagem é amplamente utilizada para simulações computacionais, controle linear e análise de estabilidade de sistemas não lineares.

Exemplo comum: tanques acoplados, onde a vazão depende da raiz da altura ➝ pode ser linearizado para estudar pequenas variações em torno do nível de operação.

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Linearização de equação diferencial não linear

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SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fabio Souto de; STRAUCH, Irene Maria Fonseca (orgs.). Transformada de Laplace: um livro colaborativo. [S.l.]: [s.n.], 2022. Disponível em: https://www.ufrgs.br/laplace/. Acesso em: 22 de abril de 2025.

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A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática fundamental na análise dinâmica de sistemas.

Ela transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de sistemas lineares.

Propriedades importantes:

Linearidade:

L{a·f(t) + b·g(t)} = a·F(s) + b·G(s)

Derivadas no tempo viram multiplicações por s:

L{df(t)/dt} = s·F(s) − f(0)
L{d²f(t)/dt²} = s²·F(s) − s·f(0) − f'(0)

Integrais viram divisões por s:

L{∫₀^t f(τ) dτ} = F(s)/s

Por que usar Laplace?

1. Elimina as derivadas das EDOs

2. Facilita o uso de álgebra para resolver sistemas

3. Permite a análise de estabilidade, resposta em frequência, etc.

4. É a base para encontrar a função de transferência dos sistemas!

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Quando analisamos sistemas dinâmicos, é essencial entender como diferentes sinais de entrada se comportam no domínio da Laplace.

Degrau (Step)

Usado para testar a estabilidade e a velocidade de resposta de sistemas.

u(t) = { A, t ≥ 0 ; 0, t < 0 }

L{u(t)} = A / s

Impulso (Delta de Dirac)

Ideal para analisar a resposta natural de um sistema (resposta ao impulso).

δ(t) = impulso unitário em t = 0

L{δ(t)} = 1

Pulso Retangular

Simula um estímulo de curta duração.

u(t) = { H, 0 ≤ t ≤ T ; 0, caso contrário }

L{u(t)} = H · (1 - e^(–sT)) / s

Senoide

Importante para análise em frequência e sistemas oscilatórios.

u(t) = sin(ω·t)

L{u(t)} = ω / (s² + ω²)

Esses sinais são a base para entender como um sistema reage a diferentes estímulos no tempo. A forma da resposta (amortecida, estável, instável) revela muito sobre a natureza do sistema.

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Gráfico 10 - Solução de EDOs no Domínio de Laplace. Fonte: Gerado por Colab. 

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Exemplo 1: Solução de EDOs no Domínio de Laplace

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Exemplo 1: Solução de EDOs no Domínio de Laplace

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A Transformada de Laplace nos permite resolver Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de forma algébrica.

Isso é muito útil na análise de sistemas dinâmicos, especialmente lineares com coeficientes constantes.

No código trazemos exemplos de:

1. Sistema de 1ª Ordem

2. Sistema de 2ª Ordem

3. Sistema de 3ª Ordem

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A estabilidade de um sistema linear depende das raízes do denominador da sua função de transferência, também chamadas de polos.

Exemplo SISO (entrada e saída únicas)

Se a função de transferência for:

G(s) = Y(s)/U(s) = b(s) / a(s)

O comportamento do sistema é determinado pelas raízes do polinômio a(s).

Classificação das raízes:

Estável: todas as partes reais das raízes são negativas → resposta decai com o tempo.

Marginalmente estável: parte real = 0 (raízes puramente imaginárias) → resposta constante ou oscilante sem decaimento.

Instável: pelo menos uma raiz com parte real positiva → resposta cresce indefinidamente.

Integrador puro: quando há raiz exatamente em zero → sistema acumula entrada ao longo do tempo.

Caso MIMO (várias entradas e saídas):

A função de transferência passa a ser uma matriz G(s):

Y(s) = G(s)·U(s)

onde G(s) = (s·I − A)⁻¹·B

Cada elemento Gᵢⱼ(s) tem seu próprio conjunto de polos, mas a estabilidade do sistema como um todo depende da matriz A.

Importância: sistemas instáveis ou marginalmente estáveis exigem atenção especial no projeto de controle.

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Muitos sistemas físicos podem ser aproximados por modelos lineares padrão, especialmente úteis para análise e controle. Aqui estão os mais comuns:

Modelo de 1ª Ordem

Equação no tempo:

τp·dy(t)/dt + y(t) = Kp·u(t)

Função de transferência:

G(s) = Y(s)/U(s) = Kp / (τp·s + 1)

Onde:

Kp = ganho estático do sistema

τp = constante de tempo (define a rapidez da resposta)

Modelo Capacitivo Puro (Integrador)

Equação no tempo:

dy(t)/dt = KI·u(t)

Função de transferência:

G(s) = KI / s

Usado para representar sistemas que acumulam entrada ao longo do tempo (como tanques ou posicionadores).

Modelo de 2ª Ordem

Equação no tempo:

τ²·d²y/dt² + 2ξτ·dy/dt + y = Kp·u(t)

Função de transferência:

G(s) = Kp / (τ²·s² + 2ξτ·s + 1)

Onde:

ξ = fator de amortecimento

τ = período natural de oscilação

Kp = ganho estático

Análise do amortecimento (ξ)

ξ ≥ 1 ➝ Superamortecido

0 < ξ < 1 ➝ Subamortecido (oscilação com decaimento)

ξ = 0 ➝ Não amortecido (oscilação contínua)

ξ < 0 ➝ Instável (crescimento oscilante ou monotônico)

Esses modelos ajudam a prever o comportamento do sistema e são base para o projeto de controladores como PID.

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Gráfico 11 - Simulação  Tanque Aquecido. Fonte: Gerado por Colab. 

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Simulamos um sistema dinâmico com acúmulo de fluido e troca térmica, modelado por duas equações diferenciais não lineares:

1. Balanço de Massa

dV/dt = qi − k·√h

V(t): volume do fluido no tanque

qi: vazão constante de entrada

k·√h: vazão de saída proporcional à raiz da altura (não linear)

Como simplificação, consideramos h ≈ V (altura proporcional ao volume)

Esse termo √h representa um escoamento gravitacional comum em reservatórios.

2. Balanço de Energia

ρ·V·cp·dT/dt = ρ·qi·cp·(Ti − T) + ρ·qc·λc·(Tc − T)

T(t): temperatura do fluido no tanque

Ti: temperatura da corrente de entrada

Tc: temperatura da fonte térmica (aquecedor)

λc: eficiência do trocador de calor

qc: vazão do fluido de aquecimento

O lado direito representa o ganho/perda de energia via entrada e aquecimento

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Aula 5 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS

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Aula 11 - LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS